2020年山东省聊城市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
解析：解：∵△=1-4=-3＜0， ∴∀x∈R，x2-x+1＞0 恒成立，故命题 p 是假命题， ∵∀x＜0，|x|＞x 恒成立，即命题 q 是真命题， 则（￢p）∧q 是真命题，其余为假命题， 故选：C． 分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题 p，q 的真假是解决本题的关键．
A. （-1，1）
B. （-1，+∞） C. [0，1]
D. （0，1）
3. 若命题 p：∃x0∈R，x02-x0+1≤0，命题 q：∀x＜0，|x|＞x．则下列命题中是真命题的是（ ）
A. p∧q
B. p∧（￢q）
C. （￢p）∧q
D. （￢p）∧（￢q）
4. 设
，
，
（其中 e=2.71828…是自然对数的底数），则（ ）
（1）求证：AB⊥CG； （2）若 BC＝CF，求直线 AE 与平面 BEG 所成角的正弦值．
19. 已知椭圆
的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆的离心率为 ，过椭圆 C1
的左焦点 F1，且斜率为 1 的直线 l，与以右焦点 F2 为圆心，半径为 的圆 C2 相切． （1）求椭圆 C1 的标准方程；
2020 年山东省聊城市高考数学三模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 若复数 z 满足 z（2+3i）=i，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知集合 A={x|y=lg（1-x2）}，B={y|y=2x}，则 A∩B=（ ）
，
函数 f（x）在[0，4]上的图象如下：
根据图象可得：关于 x 的方程 f（x）-a=0 在[0，4]上恰有四个解，则实数 a 的取值范围（- ，- ）．
故选：C． 可得 f（x）满足 f（4+x）=f（-x）=f（x），故函数 f（x）周期为 4．又 f（x）=xex，f′（x）=ex（x+1）， 可得 f（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增， 画出函数 f（x）在[0，4]上的图象根据图象可得 a 的取值范围． 本题考查了函数的周期性、单调性，属于中档题．
12.答案：A
解析：解：由双曲线的性质可得：|AF|=b，|OA|=a， tan∠AOF= ，
∴tan∠AOB=t 中，tan∠AOB= = ，
2.答案：D
解析：解：集合 A={x|y=lg（1-x2）}={x|-1＜x＜1}， B={y|y=2x}={y|y＞0}， ∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）． 故选：D． 先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（2）线段 MN 是椭圆 C1 过右焦点 F2 的弦，且
，求△MF1N 的面积的最大值以及取最
大值时实数 λ 的值．
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20. 某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：
每分钟跳绳个
数
[145，155） [155，165） [165，175） [175，185） [185，+∞）
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三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn=（n+3）an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18. 如图，三棱台 ABC-EFG 的底面是正三角形，平面 ABC⊥平面 BCGF，CB＝2GF，BF＝CF．
，所以 φ= ，即 f（x）
=2sin（2x- ），所以 f（ ）=2sin = ，得解．
本题考查了三角函数解析式的求法，属中档题．
9.答案：C
解析：【分析】 本题考查等差数列的性质及求和公式，考查运算能力，属于基础题． 直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果． 【解答】 解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列， 则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于 1+n2．
6.答案：A
解析：【分析】
本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
【解答】
解：依题意可得
设
，
，
则：
，
，
，
，
故选 A．
7.答案：B
解析：解：两圆的标准方程为（x+2a）2+y2=4 和 x2+（y-b）2=1， 圆心为（-2a，0），和（0，b），半径分别为 2，1， 若两圆恰有三条公切线， 则等价为两圆外切，
，则 的取值范围为______．
14. 若
，则
的展开式中 x-4 的系数为______．
15. 已知△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccosB+b=2a，将函数
的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）的图象，则 g（C）的值为______．
16. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．
得分
16
17
18
19
20
年级组为了解学生的体质，随机抽取了 100 名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本
频率分布直方图．
（1）现从样本的 100 名学生跳绳个数中，任意抽取 2 人的跳绳个数，求两人得分之和小于 35 分的概率；（用最简分数表示） （2）若该校高二年级共有 2000 名学生，所有学生的一分钟跳绳个数 X 近似服从正态分布 N（μ， σ2），其中 σ2≈225，μ 为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代 表）．利用所得的正态分布模型，解决以下问题： （i）估计每分钟跳绳 164 个以上的人数（结果四舍五入到整数）； （ii）若在全年级所有学生中随机抽取 3 人，每分钟跳绳在 179 个以上的人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望与方差． 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ） =0.9554，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．
，则
（）
A.
B.
C.
D.
7. 已知两圆 x2+y2+4ax+4a2-4=0 和 x2+y2-2by+b2-1=0 恰有三条公切线，若 a∈R，b∈R，且 ab≠0，则
的最小值为（ ）
A. 3
B. 1
C.
D.
8. 函数
的部分图象如图所
示，则 的值为（ ）
A.
B. C. D.
9. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1，2，…，9 填入 3×3 的方 格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数 1，2，
（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求
的取值范围．
23. 已知函数 f（x）=|2x-1|+|x+3|，g（x）=|a-1|-a|x|． （1）求函数 f（x）的值域 M； （2）若函数 g（x）的值域为 N，且 M∩N≠∅，求实数 a 的取值范围．
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1.答案：D
A.
B.
C.
D.
12. 已知双曲线
的两条渐近线分别为直线 l1，l2，经过右焦点 F 且垂直于 l1 的
直线 l 分别交 l1，l2 于 A，B 两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且 线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
，则该双曲
13. 已知实数 x，y 满足
根据求和公式得：Nn=
，
则 N9= 故选：C．
=369．
10.答案：B
解析：【分析】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】 解：将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，
基本事件总数 n=
=90，
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3，…，n2 填入 n×n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形 叫做 n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 Nn，如图三阶幻方的 N3=15，那么 N9 的值 为（）
A. 41
B. 45
C. 369
D. 321
10. 将 3 名教师和 3 名学生共 6 人平均分成 3 个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则
4.答案：B
解析：解：∵
，
，
；
∴a＞b＞c． 故选：B．
容易得出
，从而得出 a，b，c 的大小关系．
考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．
5.答案：A
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解析：解：函数 f（x）=-2x+lnx，可得 f′（x）=-2+ ，
函数 f（x）=-2x+lnx 的图象在 x=1 处的切线的斜率为：f′（1）=-1． 切点坐标为：（1，-2）， 函数 f（x）=-2x+lnx 的图象在 x=1 处的切线方程为 y+2=-（x-1） 即 x+y+1=0． 故选：A． 求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误； 本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
2020届山东省聊城市高考数学三模试卷(含解析)
2020届山东省聊城市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足z(1+i)=2i，i为虚数单位，则下列说法正确的是()A. |z|=2B. z的虚部是iC. z在复平面内所对应的点为(1,1)D. z−=−1+i2.已知集合A={1,2，3，4，5，6，7}，集合B={x∈N|2≤x<6}，则A⋂B=()A. {1,2，3，5，6，7}B. {2,3，4，5}C. {2,3，5}D. {2,3}3.已知命题p：∀x∈R，x2−x+1>0；命题q：a>b是1a >1b的充要条件，则下列为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∨qC. p∧￢qD. ￢p∧￢q4.()A. 0B. 1C. 2D. 45.设函数f(x)=lnx，且x0，x1，x2∈(0,+∞)，下列命题：①若x1<x2，则1x2>f(x1)− f(x2)x1−x2②存在x0∈(x1,x2)，(x1<x2)，使得1x0=f(x1)− f(x2)x1−x2③若x1>1，x2>1，则f(x1)− f(x2)x1−x2<1④对任意的x1，x2，都有f(x1+x22)>f(x1) +f(x2)2其中正确的命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④6.已知抛物线的焦点坐标为(0,12)，则该抛物线的标准方程为()A. y2=2xB. y2=xC. x2=2yD. x2=−2y7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−2x+4y−4=0，圆C2：x2+y2+2x−2y−2=0，则两圆的公切线的条数是()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8.己知曲线C1：y=sinx，C2：y=sin(2x+π6)，则下面结论中正确的是()A. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍．纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标伸长到原米的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29. 5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为A.B.C.D.10. 抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( )A.B.C.D.11. 设定义在R 上的奇函数f(x)满足，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，且f(1)=0，则不等式2017f(−x)−2018f(x)x≤0的解集为( )A. (−∞,−1]∪[1,+∞)B. [−1,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪(0，1]D. [−1,0)∪(0,1]12. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≥02x +y −7≤0，则z =x +y 的最大值是______ ．14. 已知(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则a 1+a 3+a 5a0+a 2+a 4= ______ .(用分数表示)15.把函数y=2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．16.一个底面为正三角形的直三棱柱的正视图和俯视图(单位：cm)如图所示，则它的外接球的表面积等于______ cm2．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a3=9，S6=60．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=1，b n+1=a bn，求数列{b n}的前n项和T n(Ⅲ)若√7m35≤1√2n+3(1+1a1)(1+1a2)…(1+1a n−1)对n≥2且n∈N∗恒成立，求实数m的最大值．18.如图，已知四棱锥S−ABCD的底面为直角梯形，且满足AB//CD，BC⊥AB，AB=9，BC=CD=SD=6，SB=12，平面SCD⊥平面SBC.M为线段SC的中点，N为线段上的动点．(1)求证：平面SCD⊥平面ABCD；(2)设AN=λNB(λ>0)，当二面角C−DM−N的大小为60°时，求λ的值．19.已知圆O：x2+y2=34，椭圆C：x225+y29=1．(Ⅰ)若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标；(Ⅱ)现有如下真命题：“过圆x2+y2=52+32上任意一点Q(m,n)作椭圆x252+y232=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆x2+y2=42+72上任意一点Q(m,n)作椭圆x242+y272=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”.据此，写出一般结论，并加以证明．20.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖．现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．(Ⅰ)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；(Ⅱ)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；(Ⅲ)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．21.设函数f(x)=lnx−12ax2+x．(1)当a=2时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)=f(x)+12ax2−x+ax(0<x≤3)，以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，方程mf(x)=x2有唯一实数解，求正数m的值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =3−ty =√5+t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√5sinθ． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3,√5)，求|PA|+|PB|．23. 已知f(x)=4x +a 2x为偶函数．(1)求实数a 的值，并写出f(x)在区间[0,+∞)上的增减性和值域(不需要证明)；(2)令g(x)=f(2x)+tf(x)，其中t >0，若g(x)对任意x 1，x 2∈[0,1]，总有|g(x 2)−g(x 1)|≤4，求t 的取值范围；(3)令ℎ(x)=f(2x)+f(x)，若ℎ(x)对任意x 1，x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，总有|ℎ(x 2)−ℎ(x 1)|≤s|f(x 2)−f(x 1)|，求实数s 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由z(1+i)=2i，得z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．∴z在复平面内所对应的点为(1,1)．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：B解析：利用交集定义直接求解．∵集合A={1,2，3，4，5，6，7}，集合B={x∈N|2≤x<6}={2,3，4，5}，∴A⋂B={2,3，4，5}．故选：B3.答案：C解析：解：∵判别式△=1−4=−3<0，∴p：∀x∈R，x2−x+1>0为真命题，当a=2，b=1时，满足a>b，但1a >1b不成立，即命题q：a>b是1a>1b的充要条件为假命题，则p∧￢q为真，其余为假命题，故选：C．分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假是解决本题的关键．比较基础．4.答案：C解析：试题分析：，故选C ．考点：对数的运算．5.答案：D解析：解：f′(x)=1xf′(x 1)=1x 1表示在x 1处的切线的斜率．f(x 1) −f(x 2)x 1−x 2表示x 1与x 2两点的斜率．①若x 1<x 2，由图象考查直线的斜率不满足1x 2>f(x 1)− f(x 2)x 1−x 2，故不正确；②存在x 0∈(x 1,x 2)，(x 1<x 2)，图中蓝色的切线就是直线在x 0处的切线，能够使得1x 0=f(x 1)− f(x 2)x 1−x 2，正确．③若x 1>1，x 2>1，1x <1，所以f(x 1)− f(x 2)x 1−x 2<1正确．④对任意的x 1，x 2，f(x 1) −f(x 2)x 1−x 2表示x 1与x 2两点的斜率．都有f(x 1+x 22)>f(x 1) +f(x 2)2.正确．结合图象可知选项②③④正确； 故选：D ．根据导数的几何意义可知f′(x 1)=1x 1表示在x 1处的切线的斜率，f(x 1) −f(x 2)x 1−x 2表示x 1与x 2两点的斜率，结合图象进行求解即可．本题主要考查了导数的几何意义以及函数的图象等有关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：由题意可设抛物线方程为x 2=2py(p >0)， 则p2=12，得p =1．∴抛物线的标准方程为x2=2y．故选：C．由已知设抛物线方程为x2=2py(p>0)，再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．7.答案：B解析：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，难度中档．根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案．解：圆C1：x2+y2−2x+4y−4=0的圆心坐标为(1,−2)，半径为3，圆C2：x2+y2+2x−2y−2=0的圆心坐标为(−1,1)，半径为2，则圆心距为：√(−1−1)2+(1+2)2=√13∈(3−2,3+2)，故两圆相交，故两圆的公切线的条数是2条，故选：B．8.答案：B)，解析：解：∵己知曲线C1：y=sinx，C2：y=sin(2x+π6倍，纵坐标不变，可得y=sin2x的图象；故把把C1上各点的横坐标缩短到原来的12个单位长度，得到曲线C2，再把得到的曲线向左平移π12故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.答案：C解析：故答案C．10.答案：D解析：本题主要考查等可能事件的概率的计算，本题是一个等可能事件的概率，试验发生时红骰子可以为1到6中任意一个，共有12种结果，两颗骰子点数之和大于8可以列举出包含5种情况，即可得出概率．解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生时红骰子可以为1到6中任意一个，共有12种结果，两颗骰子点数之和大于8可以列举出包含5种情况：(3,6)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，∴满足条件的概率是．故选D．11.答案：A解析：解：因为任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，所以f(x)在∈(0,+∞)上单调递减，因为f(x)为奇函数且f(1)=0，所以g(x)=f(x)x为偶函数且g(1)=0，g(x)在(0,+∞)上单调递减，则由2017f(−x)−2018f(x)x ≤0，可得−2017f(x)−2018f(x)x=−4035f(x)x≤0，所以f(x)x≥f(1)，即g(x)≥g(1)，所以|x|≥1，解可得，x≥1或x≤−1故选：A．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12.答案：B解析：双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为．【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质．13.答案：5解析：解：作出不等式组{x −y +1≥0x +2y −2≥02x +y −7≤0表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部， 其中A(2,3)，设z =F(x,y)=x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F(2,3)=5． 故答案为：5作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =x +y 对应的直线进行平移，可得当x =2，y =3时，z 取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =x +y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.答案：−121122解析：本题主要考查二项式定理的系数和的应用问题，这类问题的解决方法通常是将展开式中的x 进行赋值，一般常见的是把x 赋值为−1，0，1等的问题较多一些．本题通过观察，不难发现所求式子中的分子是x 的奇次方项，分母是x 的偶次方项，故可以令x =−1，得到a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6−a 7=32再利用令x =1，得到a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6−a 7=32，利用它们分别求得分子分母就可以求出结果． 解析：解：令x =−1，得(2+1)5=a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=35， 令x =1，得(2−1)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1， ∴a 1+a 3+a 5=−121，a 0+a 2+a 4=122， 则a 1+a 3+a 5a0+a 2+a 4=−121122故答案是−121122．15.答案：y =2sin解析：根据函数图象变换法则求解．把y =2sin x 向左平移个单位长度后得到y =2sin ，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y =2sin．16.答案：25π3解析：解：由已知得到三棱柱的底面三角形的高为√3，所以底面外接圆的半径为2√33，三棱柱的高为√3，所以外接球的半径的平方为(2√33)2+(√32)2=2512，所以外接球的表面积为4π×2512=25π3；故答案为：25π3．由已知三棱柱的三视图，计算三棱柱的底面边长以及高，然后求外接球的半径即可．本题考查了三棱柱的三视图以及其外接球表面积的求法；关键是由三视图得到正三棱柱的底面外接圆的半径、三棱柱的高与外接球的关系．17.答案：解：(I)由已知得{a 1+2d =96a 1+6×5×d 2=60，解得{a 1=5d =2，∴a n =2n +3． (II)∵a n =2n +3， ∴b n+1=2b n +3， ∴b n+1+3=2(b n +3)， 又b 1+3=4，∴{b n +3}是以4为首项2为公比的等比数列． ∴b n +3=4⋅2n−1,b n =2n+1−3． ∴T n =4⋅(1−2n )1−2−3n =2n+2−3n −4．(Ⅲ)设A n =(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3， 则当n ≥2且n ∈N ∗时，A n+1A n=(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n )⋅√2n+5(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n−1)⋅12n+3√2n+5(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n )12n+3(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n−1)=√2n+3(1+1a n)√2n+5=2n+42n+3√2n+3√2n+5==2>2=1=√4n 2+16n+162>1．所以A n+1>A n ，即当n 增大时，A n 也增大． 要使√7m 35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)⋅√2n+3≤√7m 35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)⋅√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)⋅√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3对n ≥2且n ∈N ∗恒成立， 只需√7m35≤(A n )min 即可．∵(A n )min =A 2=65√7=6√735． ∴√7m35≤6√735，即m ≤6，所以实数m 的最大值为6．解析：(Ⅰ)本题先利用等差数列的通项公式求出其首项和公差，得到等差数列的通项公式；(Ⅱ)再利用(1)的结论，结合新数列的定义，求出新的数列的通项公式；(Ⅲ)利用n 的代数式的单调性，求出相应式子的最值，得到本题结论．本题考查了等差数列通项公式的直接运用和技巧性运用，还利用单调性对数列相关最值进行研究，有一定的难度，属于难题．18.答案：证明：(1)∵SD=CD.∴△SDC为等腰三角形．又∵M为SC的中点，∴DM⊥SC．又∵平面SCD⊥平面SBC，平面SCD∩平面SBC=SC且DM⊂平面SCD，由平面与平面垂直的性质定理可知，DM⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，由直线与平面垂直的性质可知DM⊥BC，又∵BC⊥CD，DM∩DC=D，DM⊂平面SCD，CD⊂平面SCD．∴CD⊥平面CDS，∵BC⊂平面SCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴平面SCD⊥平面ABCD．(2)(方法一)由(1)可知，BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．在Rt△SCB中，SC=√SB2−BC2=√122−62=√108=6√3．在△SDC中，由余弦定理可知，cos∠SDC=SD2+DC2−SC22SD⋅DC =62+62−(6√3)22×6×6=−12，∵∠SDC∈(0°,180°)，∴∠SDC=120°．过点N作NG⊥CD于点G，G为垂足，则NG//BC，∵BC⊥平面SCD，∴NG⊥平面SCD，∵DM⊂平面SCD，∴DM⊥NG.过点G作GK⊥DM于点K，K为垂足，连接NK．∵DM⊥GK，DM⊥NG，NG∩GK=G，∴DM⊥平面NGK．又∵NK⊂平面NGK，∴DM⊥NK，∴∠GKN即为二面角C−DM−N的平面角，在Rt△NGK中∠NKG=60°，∴tan60°=NGGK =6GK，∴GK=3=2√3，在Rt △DKG,∠KDG =60°,sin60°=KGDG =2√3DG， ∴DG =√3√32=4，∴GC =CD −DG =6−4=2，∴NB =GC =2，AN =AB −NB =9−2=7， ∴λ=ANNB =72．(方法二)由(1)可知，BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．在Rt △SCB 中，SC =√SB 2−BC 2=√122−62=√108=6√3， 在△SDC 中，由余弦定理可知cos∠SDC =SD 2+DC 2−SC 22SD⋅DC=62+62−(6√3)22×6×6=−12，∵∠SDC ∈(00,180°)，∴∠SDC =120°， 过S 点作线段CD 的延长线的垂线，垂足为O ，∵∠SDC =120°∴∠SDO =60°，∴OD =12SD =3，∴OC =9， ∴四边形ABCO 为矩形．由平面SCD ⊥平面ABCD 可知，SO ⊥平面ABCD以OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则D(0,3,0),S(0,0,3√3),C(0,9,0),M(0,92,3√32)， 设AN =a(a >3)，则N(6,a,0),DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,a −3,0),DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)， 设平面DMN 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6x +(a −3)y =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +3√32z =0，令z =√3，得y =−3,x =a−32， ∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(a−32,−3,√3)，又∵平面CDM 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，∴|cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2|−=|a−32|√(a−32)2+9+3=cos600=12，∴(a−32)2(a−32)2+12=14， ∴4(a−32)2=(a−32)2+12∴3(a−32)2=12，∴(a−32)2=4，∵a >3，∴a−32=2，∴a =7，即AN =7，∴NB =AB −AN =9−7=2， ∴λ=ANNB =72．解析：(1)证明DM ⊥SC.推出DM ⊥平面SBC.DM ⊥BC ，结合BC ⊥CD ，推出CD ⊥平面CDS ，然后证明平面SCD ⊥平面ABCD ．(2)(方法一)求出∠SDC =120°.过点N 作NG ⊥CD 于点G ，G 为垂足，则NG//BC ，点G 作GK ⊥DM 于点K ，K 为垂足，连接NK.说明∠GKN 即为二面角C −DM −N 的平面角，通过求解三角形推出结果即可．(方法二)以OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DMN 的法向量，平面CDM 的法向量利用空间向量的数量积求解a ，然后转化求解λ即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．19.答案：解：(Ⅰ)设点P(x 0,y 0)，则x 02+y 02=34，(1)…(1分) 设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ，则M(x 02,y2)，…(2分)椭圆C ：x 225+y 29=1的右焦点F(4,0)，…(3分)∵MF ⊥OP ，∴k OP ⋅k MF =−1， ∴y 0x 0⋅y 02−0x 02−4=−1，∴y 02+x 02−8x 0=0，(2)…(4分)由(1)，(2)，解得x 0=174，∴点P 的横坐标为174. …(5分)(Ⅱ)一般结论为：“过圆x 2+y 2=a 2+b 2上任意一点Q(m,n)作椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…(6分)证明如下： (ⅰ)当过点Q 与椭圆x 2a2+y 2b 2=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x =±a ，∵点Q 在圆x 2+y 2=a 2+b 2上， ∴Q(±a,±b)，∴直线y =±b 恰好为过点Q 与椭圆x 2a2+y 2b 2=1相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．…(7分) (ⅰ)当过点Q(m,n)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y −n =k(x −m)，由{x 2a 2+y 2b 2=1y −n =k(x −m)得 b 2x 2+a 2[k(x −m)+n]2−a 2b 2=0， 整理得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2k(n −km)x +a 2(n −km)2−a 2b 2=0，…(8分) ∵直线与椭圆相切，∴△=4a 4k 2(n −km)2−4(b 2+a 2k 2)[a 2(n −km)2−a 2b 2]=0， 整理得(m 2−a 2)k 2−2mnk +(n 2−b 2)=0，…(9分) ∴k 1k 2=n 2−b 2m 2−a 2，…(10分)∵点Q(m,n)在圆x 2+y 2=a 2+b 2上， ∴m 2+n 2=a 2+b 2， ∴m 2−a 2=b 2−n 2， ∴k 1k 2=−1， ∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．…(13分)解析：(Ⅰ)设点P(x 0,y 0)，则x 02+y 02=34，利用MF ⊥OP ，可得k OP ⋅k MF =−1，进而可得y 02+x 02−8x 0=0，从而可求点P 的横坐标；(Ⅱ)一般结论为：“过圆x 2+y 2=a 2+b 2上任意一点Q(m,n)作椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”，再分类讨论，借助于根的判别式，即可得出结论．求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．20.答案：解：(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得121−0.4−0.26−0.1=50，所以语文成绩为一等奖的考生50×(1−0.38×2−0.16)=4人．(Ⅱ)设数学和语文两科的平均数和方差分别为x−1，x−2，s12，s22，x−1=81+84+93+90+925=88，x−2=79+89+84+86+875=85，s12=72+42+52+22+425=22，s22=62+42+22+12+125=11.6，因为88>85，11.6<22，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．(Ⅲ)两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人设两科成绩都是一等奖的3人分别为A1，A2，A3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B1，B2，只有语文一科为一等奖的1人是C，则随机抽取两人的基本事件空间为：Ω={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C}，共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件Ω1={A1A2,A1A3,A2A3}共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率P=315=15．解析：本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生有12人，能求出语文成绩为一等奖的考生数．(Ⅱ)求出数学和语文两科的平均数和方差，从而得到数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．(Ⅲ)两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人，设两科成绩都是一等奖的3人分别为A1，A2，A3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B1，B2，只有语文一科为一等奖的1人是C，利用列举法能求出两人的两科成绩均为一等奖的概率．21.答案：解(1)a=2时，f(x)=lnx+x−x2，f/(x)=1x+1−2x…(1分)，解f′(x)=0得x=1或x=−12(舍去)…(2分)，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调增加，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调减少…(3分)， 所以f(x)的最大值为f(1)=0…(4分)(2)F(x)=lnx +a x (0<x ≤3)，k =F /(x 0)=1x 0−ax 02(0<x 0≤3)…(6分)由k ≤12恒成立得a ≥x 0−12x 02=−12(x 0−1)2+12恒成立…(7分) 因为−12(x 0−1)2+12≤12，等号当且仅当x 0=1时成立…(8分)， 所以a ≥12…(9分)(3)a =0时，方程mf(x)=x 2即x 2−mx −mlnx =0， 设g(x)=x 2−mx −mlnx ， 解g /(x)=2x −m −m x=0…(10分)，得x 1=m−√m2+8m4(<0舍去)，x 2=m+√m 2+8m4，类似(1)的讨论知，g(x)在x ∈(0,x 2)单调增加， 在x ∈(x 2,+∞)单调减少，最大值为g(x 2)…(11分)，因为mf(x)=x 2有唯一实数解，g(x)有唯一零点，所以g(x 2)=0…(12分)， 由{g′ (x 2)=0g(x 2)=0得x 2+2lnx 2−1=0， 因为ℎ(x)=x +lnx −1单调递增，且ℎ(1)=0， 所以x 2=1…(13分)， 从而m =1…(14分)．解析：(1)把a =2代入函数f(x)=lnx −12ax 2+x ，对f(x)进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；(2)对F(x)进行求导，求过点P(x 0,y 0)的切线，求出k 用x 0的表达出来，再根据斜率k ≤12恒成立，从而求出a 的范围；(3)当a =0时，方程mf(x)=x 2即x 2−mx −mlnx =0，令g(x)=x 2−mx −mlnx ，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题．22.答案：解：(1)∵ρ=2√5sinθ，∴ρ2=2√5ρsinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ可得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2√5y ，即x 2+(y −√5)2=5;(2)将{x =3−t y =√5+t (t 为参数)，消参得y =−x +3+√5，点P 的坐标为(3,√5)，∴点P 在直线l 上， 以P 为恒过定点，将l 写成标准参数方程： {x =3−√22t y =√5+√22t(t 为参数)，代入x 2+(y −√5)2=5， 得t 2−3√2t +4=0，可设t 1、t 2是上述方程的两个根， ∴t 1+t 2=3√2，t 1·t 2=4， 由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2．解析：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程中t 的几何意义，属于中档题． (1)对ρ=2√5sinθ两边同乘ρ，得到ρ2=2√5ρsinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ即可得出直角坐标方程；(2)把直线l 的参数方程先化成标准参数方程，然后代入圆C 的普通方程，得到t 2−3√2t +4=0，利用参数方程中t 的几何意义和韦达定理得出|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2．23.答案：解：(1)f(x)=4x +a 2x为偶函数，则f(−1)=f(1)，得a =1，f(x)在[0,+∞)上是增函数，值域为[2,+∞)．(2)由(1)得f(x)=2x +2−x ，所以g(x)=f(2x)+tf(x)=(22x +2−2x )+t(2x +2−x )=(2x +2−x )2+(2x +2−x )t −2， 令u =2x +2−x ，x ∈[0,1]，则u ∈[2,2.5]，对任意x 1，x 2∈[0,1]，总有|g(x 2)−g(x 1)|≤4，只需u ∈[2,2.5]，g(u)max −g(u)min ≤4， 因为g(u)=u 2+ut −2，对称轴为u =−0.5，故g(u)max =g(2.5)=174+52t ，g(u)min =2t +2，所以174+52t −2t −2≤4，得t ≤72， 综上，0<t ≤72．(3)不妨设x 1>x 2∈[0,1]，令u =2x +2−x ，x ∈[0,1]，则u ∈[2,2.5]，ℎ(u)=u 2+u −2=(u +12)2−94，根据复合函数的单调性ℎ(u(x))单调递增，所以ℎ(x 2)>ℎ(x 1)，因为f(x)单调递增，f(x 2)>f(x 1)，故只需ℎ(x 2)−ℎ(x 1)≤s(f(x 2)−f(x 1))，即ℎ(x 2)−sf(x 2)≤ℎ(x 2)−sf(x 1)，设F(x)=ℎ(x)−sf(x)=u 2+(1−s)u −2，上式即F(x 2)≤F(x 1)， 只需F(x)在u ∈[2,2.5]单调递减即可，所以s−12≥2.5，s ≥6．解析：(1)利用偶函数的性质，f(1)=f(−1)求出；(2)由题意可得对任意x 1，x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，令u =2x +2−x ，x ∈[0,1]，则u ∈[2,2.5]，等价为只需u ∈[2,2.5]，g(u)max −g(u)min ≤4；(3)对任意x 1，x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，总有|ℎ(x 2)−ℎ(x 1)|≤s|f(x 2)−f(x 1)|，相当于ℎ(u)max −ℎ(u)min ≤s(f(x)max −f(x)min )，解出即可．考查偶函数的性质，不等式恒成立问题，求函数的最值，难题．。
山东省聊城市高三数学三模试卷附解析
高三数学三模试卷一、单项选择题1.集合，，假设，那么实数的值为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 32. ，为虚数单位，假设为实数，那么的值为〔〕A. B. C. D.3.函数的图象大致为〔〕A. B.C. D.4.直线，圆．那么“ 〞是“ 与相切〞的〔〕A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.声强级〔单位：dB〕由公式给出，其中为声强〔单位：W/m2〕一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的〔〕A. 104倍B. 105倍C. 106倍D. 107倍6.在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，假设选出的两人性别相同的概率为，那么受表彰人员中男性人数为〔〕A. 15B. 18C. 21D. 15或217.在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，那么〔〕A. B. C. D. 1A，B，C是双曲线上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，假设，且，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.二、多项选择题x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 假设两变量x，y具有线性相关关系，那么回归直线至少经过一个样本点B. 假设两变量x，y具有线性相关关系，那么回归直线一定经过样本点中心C. 假设以模型拟合该组数据，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，那么a，b的估计值分别是3和6．D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，假设所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，那么的值为110.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，那么下面对函数的表达中正确的选项是〔〕A. 函效的最小正周期为B. 函数图象关于点对称C. 函数在区间内单调递增D. 函数图象关于直线对称a、b，以下说法一定正确的选项是〔〕A. 假设，那么B. 假设，那么C. 假设，，，那么的最小值为8D. 假设，那么ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，将沿MN折起至，在四棱锥中，以下说法正确的选项是〔〕A. 直线MN∥平面B. 当四棱锥体积最大时，二面角为直二面角C. 在折起过程中存在某位置使BN⊥平面三、填空题D. 当四棱体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为13.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的?算盘全书?提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为________．14.曲线在处的切线的倾斜角为，那么________．15.点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，假设，那么________．16.函数有三个不同的零点，，，其中，那么的值为________．四、解答题17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，〔1〕求角B的大小；〔2〕点D满足，且，假设，，求AC．18.在① ，，成等比数列② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．是公差不为零的等差数列，为其n前项和，，_______，是等比数列，，，公比．〔1〕求数列，的通项公式；〔2〕数列和的所有项分别构成集合A，B，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．19.如图，在平面四边形ABCD中，，，，以BD为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且．〔1〕证明：；〔2〕假设M为PB的中点，二面角的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．20.2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购置2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．〔1〕求X的分布列；〔2〕以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？21.圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，〔1〕求曲线C的方程；〔2〕点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，假设存在，求出m，；假设不存在，请说明理由．22. ．〔1〕当时求的极值点个数；〔2〕当时，，求a的取值范围；〔3〕求证：，其中．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由，而，故，故答案为：B.【分析】根据集合交集运算即可求得。
2020年山东省新高考数学第三次模拟检测试卷 含解析
2020年新高考数学第三次模拟试卷一、选择题1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0} 2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．86．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．78．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]二、多项选择题（共4小题）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+210．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．1412．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2三、填空题（共4小题）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝，数列{a n}的前2019项的和为．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．四、解答题（本题共6小题）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．参考答案一、单项选择题（共8小题）1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0}【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N＝{x|﹣2＜x＜3}；∴M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选：A．2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【分析】由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1+i，∴z2＝﹣1+i，∴＝＝．故选：B．3．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义；指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断．解：若3a＞2b，b＞0，则a＞log32b，可得a＞log3b；若a＞log3b，可得3a＞b，无法得到3a＞2b，所以“3a＞2b”是“a＞log3b”的充分而不必要条件．故选：A．4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大【分析】根据图象，逐一分析选项，得出答案．解：根据图象，分析如下：A，错误，第四季度三星和苹果总销量之和低于华为的销量；B，错误，苹果第二季度的销量大于第三季度的销量；C，错误，第一季度销量最大的为华为；D，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D正确，故选：D．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】由题意，＝•（+）＝•+•；⊥；•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．解：＝•（+）＝•+•＝•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×4×＝4；故选：B．6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．解：f（﹣x）＝＝＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）＝＜0，排除B，故选：A．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．7【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．8．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]【分析】根据题意，分析可得f（a﹣x）＝f（x），即可得函数f（x）的图象关于直线x ＝对称，据此可得a的值，进而可得f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，由换元法分析可得答案．解：根据题意，对于函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x），有f（a﹣x）＝ln（a﹣x）+ln[a﹣（a﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称，若函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则有＝1，则a＝2，则f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），其定义域为（0，2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，又由t＝﹣（x﹣1）2+1，0＜x＜2，则有0＜t≤1，则y＝lnt≤0，即函数f（x）的值域为（﹣∞，0]；故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+2【分析】现根据三角形面积公式得条件，再利用基本不等式求最值．解：有题意知S△ABC＝S△ABD+S△BDC，由角平分线性质以及面积公式可得：，化简得ac＝a+c，∴，当且仅当a＝c时成立，解之得ac≥4，选项A对；∵ac＝a+c，∴1＝，∴≥3+2，当且仅当a＝，选项D对；故选：AD．10．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b【分析】当a＜b＜0时，＜1不成立可判断A；当时，不成立可判断B；利用作差可判断C，D．解：当a＜b＜0时，＜1不成立，当时，不成立，因为＝＜0，则一定成立，因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2a＜b2+b不一定成立．故选：ABD．11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．14【分析】由平行截面的周长求出两个半径，再由截面圆的半径，球的半径和球心到截面的距离构成直角三角形求出球心到截面的距离，分平行平面在球心的同一侧和两边求出平行平面的距离．解：两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，可得两个半径分别为6，8，如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离OB＝＝＝8，OA＝＝＝6，所以平行线间的距离d＝OB﹣OA＝8﹣6＝2，如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离d'＝OB+OA＝8+6＝14，故选：AD．12．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2【分析】l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m的值，综合可得结论．解：由于l1的斜率﹣a，l3的斜率为﹣1，则由题意可得l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行．若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；若l2和l3平行，则＝，求得a＝1．若l1和l2平行，则＝，求得a＝±1．综上可得，实数a所有可能的值为﹣1，1，故选：AB．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有36种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，排好后有4个空位，②，分析甲乙的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，②，由于甲不站在两端，则甲有2个空位可选，乙在剩下的3个空位中任选1个，有3种选法，则甲乙的选法有2×3＝6种，故不同的排法有6×6＝36种；故答案为：36．14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝0，数列{a n}的前2019项的和为1346．【分析】根据题意写出数列{a n}的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，继而可求解．解：∵“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，∴此数列被2整除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，即a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，……，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2019＝a3＝0，∴数列{a n}的前2019项的和为：a1+a2+a3+……+a2019＝673（a1+a2+a3）＝673×2＝1346，故答案为：0，1346．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．【分析】方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，设A（2x1，4mx1），B（2x1，），构造，，在（0，1）递减，转化求解即可．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x，有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，利用函数的单调性转化求解即可．解：方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，，，直线y＝2mx，曲线y＝e x，x2≥2x1，A（2x1，4mx1），B（2x1，），，x1≤ln2，构造，，在（0，1）递减，．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x由题知有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，易知h（x）在（﹣∞，0），（0，1）上为减函数；在（1，+∞）上为增函数．当x2＝2x1时，由，得x1＝ln2，此时；当x2＞2x1时，综上．故答案为：．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ＝tan∠AOB，求出F到渐近线y＝x的距离为b，即有|OB|＝a，△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ＝tan∠AOB＝＝，设FB⊥OB，则F到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即有|OB|＝a，则△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ＝＝，解得＝，则e＝＝＝．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角平方关系即可求解cos A，（2）由已知结合余弦定理可求b．解：（1）因为4b cos2＝2b+a sin B，所以2b（1+cos A）＝2c+a sin B，即4b cos A＝3a sin B，由正弦定理可得，4sin B cos A＝3sin A sin B，因为sin B≠0，所以4cos A＝3sin A，又sin2A+cos2A＝1且sin A＞0，cos A＞0，所以cos A＝；（2）由余弦定理可得，cos A＝＝，整理可得，b2﹣6b+5＝0，解可得，b＝1或b＝5．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1，化为：＝，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n＝2n﹣1．可得＝＝，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．解：（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝+4n﹣1﹣[+4（n﹣1）﹣1]，化为：＝，a n＞0．∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n+a n﹣1＝2，a n﹣a n﹣1＝2时，数列{a n}是等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．a n+a n﹣1＝2，∵a1＝1，可得a n＝1．（2）{a n}是递增数列，∴a n＝2n﹣1．＝＝，数列{b n}的前n项和T n＝＝，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成列联表，由列联表，得k2＝，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：k2＝＝，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P＝＝．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）＝10×0.6＝6，方差D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4．20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理或者面面平行的性质定理即可证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【解答】（I）证法一：设AC∩BD＝O，BF的中点为H，因为G是BE的中点，，∴OCGH是平行四边形∴CG∥OH，CG⊄平面BDF，OH⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF证法二：因为G是BE的中点，，∴CG∥DF，∵CG⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF（II）设EF的中点为N，ACEF是矩形，ON⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，∴ON⊥面ABCD∴ON⊥AC，ON⊥BD四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，AB＝2，AF＝1，∠BAD＝60°，则平面BEF的法向量为，平面BDF的法向量为，令z1＝1，则，由设二面角E﹣BF﹣D的大小为θ则，则二面角E﹣BF﹣D的余弦值是．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点三角形的周长建立方程求出a，c的值即可；（2）先设出直线PQ的方程为x＝my+1，联立方程组得出根与系数关系，利用四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，得出t关于m的表达式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范围，进而根据得出k的取值范围．解：（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|F1F2|＝2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c＝6，又因为椭圆的离心率为，所以，解得a＝2，c＝1．所以，E的方程为．……………（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1，由，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．…设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，则S1＝3S2，又因为，S2＝．所以，即3（t﹣1）＝2t﹣（x1+x2），得t＝3﹣（x1+x2），又x1＝my1+1，x2＝my2+1，于是t＝3﹣（my1+my2+2）＝1﹣m（y1+y2），所以，由t＞2得，解得，设直线PQ的斜率为k，则，所以，解得，所以直线PQ斜率的取值范围是．……………22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．【分析】（1）由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．可得a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），利用导数研究其单调性可得实数a的取值范围．（2）当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．利用导数研究其单调性极值，进而证明结论．【解答】（1）解：由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．∴a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），h′（x）＝（1+3x+x2）e x﹣1＞0，∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．∴a≤h（1）＝2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（2）证明：当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．u′（x）＝e x﹣2，可得x＝ln2时，函数u（x）取得极小值，g′（ln2）＝u（ln2）＝1﹣2ln2＜0．∵g′（0）＝0，又＝﹣2（1+ln2）﹣1＝e﹣3﹣ln2＞0．∴存在x0∈（ln2，1+ln2），使得g′（x0）＝﹣2x0﹣1＝0，＝2x0+1．由单调性可得：x＝x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（x）≥g（x0）＝﹣﹣x0＝2x0+1﹣﹣x0＝﹣+x0+1＝﹣+．由x0∈（ln2，1+ln2），可得函数y＝g（x0）单调递减，故g（x））≥g（x0）＞﹣+＞1﹣﹣（）2．∴当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．。
山东省聊城市高考数学三模试卷(理科)解析版
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z（2+3i）=i，则在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|y=lg（1-x2）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. （-1，1）B. （-1，+∞）C. [0，1]D. （0，1）3.若命题p：∃x0∈R，x02-x0+1≤0，命题q：∀x＜0，|x|＞x．则下列命题中是真命题的是（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）4.设，，（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则（）A. c＞b＞aB. a＞b＞cC. a＞c＞bD. b＞a＞c5.函数f（x）=-2x+ln x的图象在x=1处的切线方程为（）A. x+y+1=0B. x-y+1=0C. 2x-y+1=0D. 2x+y-1=06.已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（）A. B. C. D.7.已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A. 3B. 1C.D.8.函数的部分图象如图所示，则的值为（）A.B.C.D.9.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2， (9)入3×3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数字之和为N n，如图三阶幻方的N3=15，那么N9的值为（）A. 41B. 45C. 369D. 32110.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为A. B. C. D.11.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=xe x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）．若关于x的方程f（x）-a=0在[0，4]上恰有四个解，则实数a的取值范围（）A. B. C. D.12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足，则的取值范围为______．14.若，则的展开式中x-4的系数为______．15.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c cos B+b=2a，将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（C）的值为______．16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF．（1）求证：AB⊥CG；（2）若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的离心率为，过椭圆C1的左焦点F1，且斜率为1的直线l，与以右焦点F2为圆心，半径为的圆C2相切．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）线段MN是椭圆C1过右焦点F2的弦，且，求△MF1N的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值．20.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：年级组为了解学生的体质，随机抽取了名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图．（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中σ2≈225，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）．利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9554，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．21.已知函数．（1）证明：当a=1时，不等式恒成立；（2）当a≤2时，若方程f（x）=x有两个不等实根，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点P的极坐标为（2，π），倾斜角为α的直线l经过点P．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x+3|，g（x）=|a-1|-a|x|．（1）求函数f（x）的值域M；（2）若函数g（x）的值域为N，且M∩N≠∅，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z（2+3i）=i，得z=，∴，∴在复平面上对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】D【解析】解：集合A={x|y=lg（1-x2）}={x|-1＜x＜1}，B={y|y=2x}={y|y＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：D．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵△=1-4=-3＜0，∴∀x∈R，x2-x+1＞0恒成立，故命题p是假命题，∵∀x＜0，|x|＞x恒成立，即命题q是真命题，则（￢p）∧q是真命题，其余为假命题，故选：C．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵，，；∴a＞b＞c．故选：B．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．5.【答案】A【解析】解：函数f（x）=-2x+ln x，可得f′（x）=-2+，函数f（x）=-2x+ln x的图象在x=1处的切线的斜率为：f′（1）=-1．切点坐标为：（1，-2），函数f（x）=-2x+ln x的图象在x=1处的切线方程为y+2=-（x-1）即x+y+1=0．故选：A．求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误；本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：依题意可得设，，则：，，，，故选A．7.【答案】B【解析】解：两圆的标准方程为（x+2a）2+y2=4和x2+（y-b）2=1，圆心为（-2a，0），和（0，b），半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线，则等价为两圆外切，则满足圆心距=2+1=3，即4a2+b2=9，则a2+b2=1，则=（）（a2+b2）=+++≥+2=+=1，故选：B．求出两圆的标准方程，结合两圆有三条公切线，得到两圆相外切，结合圆外切的等价条件，求出a，b的关系，结合基本不等式的性质进行求解即可．本题主要考查两圆位置关系的应用，结合公切线条数，得到两圆外切，求出a，b的关系，结合基本不等式的性质进行求解是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由图可知：A=2，==，所以T=π，所以ω==2，又2×+φ=2k，所以φ=2kπ，（k∈Z）又|φ|＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x-），所以f（）=2sin=，故选：C．由三角函数解析式的求法得：A=2，T=π，所以ω==2，又2×+φ=2k，所以φ=，即f（x）=2sin（2x-），所以f（）=2sin=，得解．本题考查了三角函数解析式的求法，属中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查运算能力，属于基础题．直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．【解答】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列，则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于1+n2．根据求和公式得：N n=，则N9==369．故选：C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n==90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===．故选：B．11.【答案】C【解析】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），则f（x）满足f（4+x）=f（-x）=f（x），故函数f（x）周期为4．当x∈[-2，0]时，f（x）=xe x，f′（x）=e x（x+1），可得f（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，，函数f（x）在[0，4]上的图象如下：根据图象可得：关于x的方程f（x）-a=0在[0，4]上恰有四个解，则实数a的取值范围（-，-）．故选：C．可得f（x）满足f（4+x）=f（-x）=f（x），故函数f（x）周期为4．又f（x）=xe x，f′（x）=e x（x+1），可得f（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，画出函数f（x）在[0，4]上的图象根据图象可得a的取值范围．本题考查了函数的周期性、单调性，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由双曲线的性质可得：|AF|=b，|OA|=a，tan∠AOF=，∴tan∠AOB=tan2∠AOF===，在Rt△OAB中，tan∠AOB==，∴=，∴|AB|=，∴|OB|=，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴2|AB|=|OA|+|OB|，∴=a+，化简得：2a2-3ab-2b2=0，即（2a+b）（a-2b）=0，∴a-2b=0，即a=2b，∴a2=4b2=4（c2-a2），5a2=4c2，∴e2==，∴e=．故选：A．由双曲线的性质可得：|AF|=b，|OA|=a，∴tan∠AOF=，∴tan∠AOB=tan2∠AOF===，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得a =2b，可得离心率．本题考查了双曲线的性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：作出实数x，y满足，对应的平面区域如图：其中A（-1，8），B（-1，-1），z=的几何意义，即动点P（x，y）与定点D（-3，1）连线斜率的取值范围；由图象可知AD直线的斜率k==．直线BD的斜率k=═1，则的取值范围为：．故答案为：．首先作出不等式组对应的平面区域，利用z=的几何意义，即动点P（x，y）与定点D（-3，1）连线斜率的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，要利用数形结合的数学思想．14.【答案】1104【解析】解：由，所以n=x3=8，又（2-）8的展开式通项为T r+1=（-1）r28-r x-r，则（1+x3）（2-）8的展开式中x-4的系数为（-1）4••28-4+（-1）7••28-7=1104，故答案为：1104．由定积分的运算及二项式定理得：n=x3=8，又（2-）8的展开式通项为T r+1=（-1）r28-r x-r，则（1+x3）（2-）8的展开式中x-4的系数为（-1）4••28-4+（-1）7••28-7=1104，得解．本题考查了定积分的运算及二项式定理，属中档题．15.【答案】1【解析】解：由2c cos B+b=2a，由正弦定理得：2sin C cos B+sin B=2sin A=2sin B cos C+2cos B sin C，所以cos C=，所以C=，将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]+=-cos2x，所以g（）=-cos=1，故答案为：1．由正弦定理及三角函数图象的平移得：c=，将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]+=-cos2x，所以g（）=-cos=1，得解．本题考查了正弦定理及三角函数图象的平移，属中档题．16.【答案】【解析】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P-ABC，直观图如图所示：D是BC的中点，PA⊥平面ABC，且PA=AD=BC=2，三角形ABC的外接圆的半径为：，所以三棱锥外接球的半径为=，所以外接球的表面积为4π=；故答案为：．由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图得到直观图，求出外接球的半径，进一步求球的表面积．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查了空间想象能力．17.【答案】解：（1）因为，①当n=1时，2a1-S1=2a1-a1=2，所以a1=2．当n≥2时，2a n-1-S n-1=2，②①-②得2a n-S n-（2a n-1-S n-1）=0，即a n=2a n-1．因为a1=2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③-④得，=6+（21+22+23+…+2n）-（n+3）×2n+1==6+2n+1-2-（n+3）×2n-1=4-（n+2）2n+1，所以．【解析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．18.【答案】证明：（1）取BC的中点为D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG．∵CB=2GF，∴，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵BF=CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB．解：（2）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由（1）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，AD、BC平面ABC，∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．设BC=2，则A（），E（），B（1，0，0），G（-1，，0），∴，，．设平面BEG的一个法向量为．由可得，．令，则y=2，z=-1，∴．设AE与平面BEG所成角为θ，则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）取BC的中点为D，连结DF，推导出四边形CDFG为平行四边形，从而CG∥DF，DF⊥BC，CG⊥BC．进而CG⊥平面ABC，由此能证明CG⊥AB．（2）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由CG⊥平面ABC，CG∥DF，DF⊥AD，DF⊥BC，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值．19.【答案】解：（1）设F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），则直线l的方程为：y=x+c，即x-y+c=0．∵直线l与圆C2相切，∴圆心F2到直线l的距离为，解之得c=1．∵椭圆C1的离心率为，即，∴a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C1的方程为；（2）由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），由题意得直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为：x=ty+1（t∈R），代入椭圆方程，化简可得（4+3t2）y2+6ty-9=0，△=36t2+36（4+3t2）＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1，y2是上述方程的两个不等根，∴，．∴△MF1N的面积===．设，则m≥1，t2=m2-1，则3t2+4=3m2+1，．令，则恒成立，则函数f（m）在[1，+∞）上为减函数，故f（m）的最大值为，∴△MF1N的面积的最大值为，当且仅当m=1，即t=0时取最大值，此时直线MN的方程为x=1，即直线MN垂直于x轴，此时，即λ=1．【解析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于解得c，再由椭圆离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），由题意得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为：x=ty+1（t∈R），代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y1-y2|，写出△MF1N的面积，换元后利用导数求最值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，属难题．20.【答案】解：（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A，则事件A包括以下四种情况：①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分；③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分．由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得．∴两人得分之和小于35的概率为；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：0.034×180+0.016×190+0.008×200+0.006×210）×10=179（个）．又由σ2≈225，得标准差σ≈15，∴高二年级全体学生的跳绳个数X近似服从正态分布N（179，152）．（i）∵μ-σ=179-15=164，∴，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为2000×0.8413=1682.6≈1683（人）；（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，∴ξ～B（3，），ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．∴，，，，故ξ的分布列为：∴，．【解析】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A，写出事件A包括的四种情况，再由频率分布直方图可得得16分，得17分和得18分的人数，然后利用古典概型概率就送过去求解；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值，再求得标准差σ，可得高二年级全体学生的跳绳个数X近似服从正态分布N（179，152）．（i）利用正态分布的对称性求解；（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，则ξ～B（3，），ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求出概率，得到ξ的分布列，再由期望公式求期望．本题考查古典概型概率的求法，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，训练了离散型随机变量的分布列与期望的求法，属中档题．21.【答案】解：（1）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，，等价于ln x≤x-1．设g（x）=ln x-x+1，，令g′（x）＞0，得0＜x＜1，g（x）在（0，1）上单调递增，令g′（x）＜0，得x＞1，g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）=0，即ln x≤x-1（当且仅当x=1时取等号）所以当a=1时，不等式恒成立．（2）方程f（x）=x有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令，则．①若a=2，，则F（x）=0在（0，+∞）上有且只有一个零点x=2，不符合题意；②若a＜2，由x＞0可得x-（a-2）＞0．令F′（x）＜0，得x＞1，所以F（x）在（1，+∞）上单调递减，令F′（x）＞0，得0＜x＜1，所以F（x）在（0，1）上单调递增．所以．（i）若，即时，F（x）无零点，不符合题意；（ii）若，即时，F（x）有且只有一个零点，不符合题意；（iii）若，即时，F（1）＞0，又F（2）=（a-2）（2-ln2）＜0，所以F（x）在（1，2）上有一个零点．当0＜x＜1时，由（1）得ln x＜x-1，所以==，令x-（2-a）＜0，得x＜2-a，取x0=2-a，因为，所以，且F（x0）＜0，所以，F（x）在（x0，1）上有一个零点．即F（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点．所以实数a的取值范围为．【解析】（1）当a=1时，，等价于ln x≤x-1．设g（x）=ln x-x+1，利用函数的导数通过导函数的符号转化证明即可．（2）方程f（x）=x有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令，利用函数的导数，通过a的范围判断函数的单调性，判断函数的零点的个数，结合零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数的求法，考查分类讨论思想的应用，构造法的应用，难度比较大．22.【答案】解：（1）由ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12可得，x2+3y2=12，即．设点P（x，y），则x=2×cosπ=-2，y=2×sinπ=0，即点P（-2，0），∴直线l的参数方程为（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得，（1+2sin2α）t2-4t cosα-8=0，△=48+48sin2α＞0恒成立，设点A对应的参数为t1，点B对应的参数为t2，则，，则=．【解析】（1）根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程，根据点P的极坐标求得直角坐标，再写出参数方程；（2）联立直线与曲线C，根据参数t的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）∵函数f（x）=|2x-1|+|x+3|，∴函数f（x）可化简为，可得当x≤-3时，f（x）=-3x-2≥7．当时，．当时，．故f（x）的值域．（2）M=[，+∞），当a=0时，g（x）=1，N={1}，M∩N=∅，所以a=0不符合题意．当a＞0时，因为|x|≥0，所以函数g（x）的值域N=（-∞，|a-1|]，若M∩N=∅，则，解得或，从而符合题意．当a＜0时，因为|x|≥0，所以函数g（x）的值域N=[|a-1|，+∞），此时一定满足M∩N≠∅，从而a＜0符合题意．综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪[，+∞）．【解析】（1）当x≤-3时，f（x）=-3x-2≥7．当时，．当时，．由此能求出f（x）的值域M．（2）当a=0时，g（x）=1，N={1}，M∩N=∅，从而a=0不符合题意．当a＞0时，由|x|≥0，得函数g（x）的值域N=（-∞，|a-1|]，由M∩N=∅，则，得或，从而符合题意．当a＜0时，由|x|≥0，得函数g（x）的值域N=[|a-1|，+∞），由此能求出实数a的取值范围．本题考查函数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020年山东省新高考数学第三次原创测试试卷 含解析
2020年新高考数学原创试卷一、单项选择题（共8小題）.1．设集合A＝N，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．已知直线l：y＝kx+1与圆O：（x﹣1）2+y2＝1相交于不同两点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（1，+∞）3．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线x+2y+1＝0平行，则双曲线C的离心率e（）A．B．C．D．4．根据新实施的新高考改革方案，某省将实行“3+1+2”的高考模式该模式中的“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、政治地理四科中选考两门．已知甲、乙两位高一同学在选“2”的时候已经都选择了地理，现在甲、乙两位同学准备各自从生物、化学、政治三科中再选出一门，则这两位同学选择了不同学科的概率是（）A．B．C．D．5．函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．6．目前世界上所能见到的最古老的数学文献是古埃及的莱因特纸草书．书中记载了85个数学问题，在书写第79题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401和16807这5个数，在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜你能发现这五个数的规律吗？如果还有第六个、第七个数，你认为第七个数的个位数字是（）A．3B．3C．5D．67．直线m：（3+a）x+y＝4的方向向量是，直线n：2x+（2+a）y﹣4＝0的方向向量是，则“a＝﹣4或a＝﹣1”是“∥”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若函数y＝f（x）﹣mx+1+m有三个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）二、多项选择题（共4小題）9．下列结论正确的是（）A．复数z＝，则||＝B．已知l，m是不同的直线，α，β是不同的平面，则l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βC．（x2﹣2x+1）5展开式中x5的系数是252D．若sin x＜x，则x为锐角10．药理学中有如下内容：（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量．（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起50%实验动物出现阳性反应的药物剂量．（3）治疗指数（TI）为药物的安全性指标．通常将半数致死量（LD50）与半数有效量（ED50）的比值称为治疗指数．基于以上内容，下列说法正确的是（）A．LD50越小，药物毒性越大B．TI越小，药物安全度越高C．同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越低D．同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越高11．若函数f（x）＝4sinωx•sin2（）+cos2ωx﹣1（ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）的最小正周期T＝C．ω的最大值为D．ω没有最小值12．如图，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1内的动点，则（）A．点P至少存在两个位置满足DP⊥BC1B．点P存在无数个位置满足到直线BC和直线A1B1的距离相等C．三棱锥A﹣D1PC的体积存在最大值D．过点P的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面多边形最大边数为6三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，且当n∈N*时，a n+2+a n＝2a n+1恒成立，若12a5＝S5+S9，则a10＝．14．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人、普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有种不同的选法（用数字作答）15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）+f（x）＝0，f（0）＝，则满足条件的一个函数的解析式为f（x）＝．16．一个所有棱长都是2的正八面体内接于球，则该正八面体的体积为，其外接球的表面积为．四、解答题（本题共6小題，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①1，a n，S n成等差数列，②递增等比数列{a n}中的项a2，a4是方程x2﹣10x+9＝0的两根，③a1＝1，a n+1+2a n＝0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．已知数列{a n}和等差数列{b n}满足_______，且b1＝a4，b2＝a2﹣a3，是否存在k（3＜k＜20，k∈N）使得T k是数列{a n}中的项？（S n 为数列{a n}的前n项和，T n为数列{b n}的前n项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2＝4m2﹣2bc（D为BC的中点，AD＝m）（1）求∠BAC；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b．19．如图1，在同一平面内△ABC和△PAC的公共边AC＝2，PA＝PC，AB＝BC＝，∠APC＝．现沿AC将△PAC折起，使平面PAC⊥平面ABC，如图2（以下问题均在折起后的图2中求解和证明）折起后在平面ABC内过点A作AC的垂线并在垂线上取一点D，使AD＝1，且点D与点C在直线AB的同一侧．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线PD与平面PCB所成的角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得DM∥平面PCB？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，进一步物尽其用、保护环境为进一步帮助市民进行垃圾分类，某公司研制了家用垃圾分类机器人，自动对垃圾进行分类．该公司研究部门从流水线上随机抽取100个垃圾分类机器人（以下简称产品），统计其性能指数，制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图：性能指数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110]产品数量4m2025n17产品分为三类性能指数在[50，70）的是基本型，在[70，90）的是提高型，在[90，110]的是全能型，性能指数越高，产品的垃圾分类效率和准确程度越高为提高人们的环保意识和更快推广产品，公司微利出售基本型、提高型、全能型这三类产品的销售利润分别为每件1，3，5（单位：元）以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率（1）求m，n的值并求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解月营销费用x（单位：万元）对月销售量y（单位：万件）的影响，对近10个月的月营销费用x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）数据做了初步处理，并进一步整理得到表16.824.870.41 1.64表中u i＝lnx i，v i＝lny i，＝，．根据散点图可判定＝a•x b可以作为月销售量y（万件）关于月营销费用x（万元）的回归方程．（i）建立y关于x的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品的月收益达到最大（精确到整数，收益＝销售利润﹣营销费用，e2067≈8，≈1.9，1.94≈13）．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别，．21．已知点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，且△PF1F2的周长为6，△PF1F2的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线PF1交椭圆C于Q点，求△F2PQ的面积的最大值．22．已知函数f（x）＝e x（lnx﹣x），g（x）＝e x（x2+lnx﹣a﹣1﹣x）（e为自然对数的底数，a为常数）（1）记函数f（x）的导函数为f'（x），在区间（1，e）上解方程f'（x）＝0；（2）设函数f（x）的最大值为f（x）max，求证：f（x）max＜0；（3）记F（x）＝g（x）﹣f（x），当F（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，总有eF（x2）≤t（2+x1）（e+1），求此时实数t的值．参考答案一、单项选择题（本题共8小題，每小題5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A＝N，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝N，B＝{x|0＜x＜e}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．已知直线l：y＝kx+1与圆O：（x﹣1）2+y2＝1相交于不同两点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】条件等价于圆心到直线的距离小于半径，列出不等式即可．解：根据条件可知＜1，即2k＜0，解得k＜0，故选：A．3．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线x+2y+1＝0平行，则双曲线C的离心率e（）A．B．C．D．【分析】根据条件得到渐近线方程为y＝±，分类讨论双曲线焦点在x轴和y轴的情况，求出e即可解：根据渐近线与直线x+2y+1＝0平行可得渐近线方程为y＝±，当双曲线的焦点在x轴上时，＝＝＝，解得e＝，同理，当焦点在y轴上时，＝＝＝，解得e＝，故选：D．4．根据新实施的新高考改革方案，某省将实行“3+1+2”的高考模式该模式中的“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、政治地理四科中选考两门．已知甲、乙两位高一同学在选“2”的时候已经都选择了地理，现在甲、乙两位同学准备各自从生物、化学、政治三科中再选出一门，则这两位同学选择了不同学科的概率是（）A．B．C．D．【分析】运用组合数公式和乘法原理计算出：甲、乙两位同学各自从生物、化学、政治三科中选一科，共有C C种方法，甲、乙两位同学选择不同学科的方法共有C C种，再求比值即可．解：甲、乙两位同学各自从生物、化学、政治三科中选一科，共有C C种方法，甲、乙两位同学选择不同学科的方法共有C C种，则甲、乙两位同学选择不同学科的概率为＝，故选：D．5．函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先利用趋近性可排除BC，再利用f（e）＞1可得出选项A符合题意．解：当x从正值趋近于零时，函数值为负且趋近于零，所以排除B，C；当x＝e时，y＝e3﹣e＞1，只有A项符合题意，故选：A．6．目前世界上所能见到的最古老的数学文献是古埃及的莱因特纸草书．书中记载了85个数学问题，在书写第79题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401和16807这5个数，在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜你能发现这五个数的规律吗？如果还有第六个、第七个数，你认为第七个数的个位数字是（）A．3B．3C．5D．6【分析】找到数字之间的规律，即可求解结论．解：由题7、49、343、2401和16807；可得这些数组成的是首项为7，公比为7的等比数列；故第七个数为：16807×72＝823543；其个位数字为3；故选：B．7．直线m：（3+a）x+y＝4的方向向量是，直线n：2x+（2+a）y﹣4＝0的方向向量是，则“a＝﹣4或a＝﹣1”是“∥”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再判断充要性．解：若“∥”，则（3+a）（2+a）＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣4，则a＝﹣1或a＝﹣4是a＝﹣4或a＝﹣1的充要条件，故选：A．8．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若函数y＝f（x）﹣mx+1+m有三个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当﹣＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞或x时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣，）上递减，在（，+∞）以及（﹣∞，﹣）上递增，又：f（0）＝f（2）＝0，∴函数f（x）的图象大致如图：∵g（x）＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），当m＝﹣1时，g（x）＝﹣x的图象过（0，0）和（1，﹣1），此时两个函数两个交点，要想有三个，结合图象可知：m∈（﹣1，0）；故选：B．二、多项选择题（本题共4小題，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．复数z＝，则||＝B．已知l，m是不同的直线，α，β是不同的平面，则l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α⊥βC．（x2﹣2x+1）5展开式中x5的系数是252D．若sin x＜x，则x为锐角【分析】A，求出z，进而判断结论；B，根据直线和平面的位置关系以及垂直间的相互转化即可判断；C，根据二项展开式定理，求出其特定项即可判断；D，举反例即可说明问题．解：A，因为复数z＝＝＝1+i；∴||＝|z|＝，即A对；B，由l⊥α，l⊥m⇒m∥α或m⊂α；又m⊥β，所以：α⊥β，即B对；C，∵（x2﹣2x+1）5＝（x﹣1）10展开式中x5的系数是：（﹣1）5＝﹣252；故C错；D，x＝π时，sin x＜x成立，故D错；故选：AB．10．药理学中有如下内容：（1）半数致死量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量．（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起50%实验动物出现阳性反应的药物剂量．（3）治疗指数（TI）为药物的安全性指标．通常将半数致死量（LD50）与半数有效量（ED50）的比值称为治疗指数．基于以上内容，下列说法正确的是（）A．LD50越小，药物毒性越大B．TI越小，药物安全度越高C．同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越低D．同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全度越高【分析】根据题意，理解题意，进行判断．解：根据题目提供的药理学内容可以判断，LD50越小，毒性越大，同一药物的LD50与ED50的比值越大，药物安全性度越高．故选：AD．11．若函数f（x）＝4sinωx•sin2（）+cos2ωx﹣1（ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）的最小正周期T＝C．ω的最大值为D．ω没有最小值【分析】先化简函数得f（x）＝4sinωx•sin2（+）+cos2ωx﹣1＝2sinωx，∴A 错，B对，由函数f（x）在[﹣，]上是增函数，求出ω的范围，则C，D正确．解：f（x）＝4sinωx•sin2（+）+cos2ωx﹣1＝2sinωx，包含原点的增区间为[﹣，]，又f（x）在[﹣，]上是增函数，所以，所以0＜ω≤．所以f（x）是奇函数，最小正周期T＝，ω的最大值是，ω没有最小值故选：BCD．12．如图，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1内的动点，则（）A．点P至少存在两个位置满足DP⊥BC1B．点P存在无数个位置满足到直线BC和直线A1B1的距离相等C．三棱锥A﹣D1PC的体积存在最大值D．过点P的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面多边形最大边数为6【分析】若DP⊥BC1，由DC⊥BC1，则PC⊥BC1，可知线段B1C上的点均满足DP⊥BC1，判断A正确；把到直线BC和直线A1B1的距离相等，转化为到点B1和直线BC 的距离相等，结合抛物线的定义判断；利用等体积法，即，可知当点P与B1重合时，三棱锥A﹣D1PC的体积最大；判断C正确；举例画图说明D正确．解：对于A．若DP⊥BC1，由DC⊥BC1，则PC⊥BC1，由此可知，线段B1C上的点均满足DP⊥BC1，故A正确；对于B．到直线BC和直线A1B1的距离相等，即到点B1和直线BC的距离相等，点P 的轨迹是抛物线的一段，故B正确；对于C．由，可知当点P与B1重合时，三棱锥A﹣D1PC的体积最大，故C正确；对于D．不妨取P为CC1的中点，可知截面分别过CC1、C1D1、A1D1、AA1、AB、BC 中点时，得截面多边形为6变形．∴过点P的平面截正方体的截面多边形最大边数为6，故D正确．∴正确的命题是ABCD．故选：ABCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，且当n∈N*时，a n+2+a n＝2a n+1恒成立，若12a5＝S5+S9，则a10＝10．【分析】由题意可知，数列{a n}是首项为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式以及前n项和公式即可求出公差d，从而求出a10．解：由题意可知，数列{a n}是首项为1的等差数列，设公差为d，∵12a5＝S5+S9，∴12（1+4d）＝5+10d+9+36d，解得：d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×1＝n，∴a10＝10，故答案为：10．14．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人、普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有360种不同的选法（用数字作答）【分析】分两类来求解：①只有1名护士；然后从余下的5人中选3人，其中两人排序即可；②有两名护士，然后从余下的4人中选2人，其中两人排序即可．解：分两类：①只有1名护士，共有：•＝240种选法；②有2名护士，共有：1ו＝120种；故共有240+120＝360种选法．故答案为：360．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）+f（x）＝0，f（0）＝，则满足条件的一个函数的解析式为f（x）＝．【分析】分析可知，函数f（x）的周期为4，且过点，结合三角函数的周期性，容易找到一个满足条件的函数．解：∵f（2+x）+f（x）＝0，∴f（x）＝﹣f（x+2），则f（x+2）＝﹣f（x+4），∴f（x）＝f（x+4），即函数f（x）的周期为4，又函数过点，故满足条件的一个函数解析式为．故答案为：．16．一个所有棱长都是2的正八面体内接于球，则该正八面体的体积为，其外接球的表面积为8π．【分析】把其分为两个四棱锥的体积相加即可求第一个空，正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，可得，此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形，其对角线的长度即为球的直径，由此求出球的表面积．解：由题意正八面体的体积可以看作两个底面都是边长为2的正方形，侧面都是边长为2的正三角形的四棱锥的体积和；正八面体上半部分的斜高为，高为，∴体积V＝2××2×＝；又正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，因为正八面体的棱长为2，所以底面四点组成的正方形的对角线的长为2，球的半径是；所以此球的表面积4πr2＝8π．故答案为：，8π．四、解答题（本题共6小題，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①1，a n，S n成等差数列，②递增等比数列{a n}中的项a2，a4是方程x2﹣10x+9＝0的两根，③a1＝1，a n+1+2a n＝0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．已知数列{a n}和等差数列{b n}满足_______，且b1＝a4，b2＝a2﹣a3，是否存在k（3＜k＜20，k∈N）使得T k是数列{a n}中的项？（S n 为数列{a n}的前n项和，T n为数列{b n}的前n项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】先从中选出一个条件，然后结合数列的递推关系求出a n，然后结合等差数列的求和公式求出T n，结合其公式即可判断是否存在．解：选①，由题意可得，2a n＝1+S n，当n＝1时，2a1＝1+s1＝1+a1，所以，a1＝1，当n≥2时，2a n﹣1＝1+S n﹣1，∴2a n﹣2a n﹣1＝a n，即＝2，所以数列{a n}是以2为公比以1为首项的等比数列，∴a n＝2n﹣1，b1＝a4＝8，b2＝a2﹣a3＝﹣2，则等差数列{b n}的公差d＝﹣10，＝13n﹣5n2，当n≥3时，T n＜0，a n＞0，故不存在k（3＜k＜20，n∈N）使得使得T k是数列{a n}中的项；选②由题意可得，a2+a4＝10，a2•a4＝9，所以，因为递增等比数列{a n}中，q＞1，所以q＝3，a1＝，，b1＝a4＝9，b2＝a2﹣a3＝﹣2，则等差数列{b n}的公差d＝﹣11，＝n﹣n2，当n≥3时，T n＜0，a n＞0，故不存在k（3＜k＜20，n∈N）使得使得T k是数列{a n}中的项；选③由a1＝1，a n+1+2a n＝0可得，＝﹣2，所以数列{a n}是以﹣2为公比以1为首项的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1，b1＝a4＝﹣8，b2＝a2﹣a3＝﹣6，则等差数列{b n}的公差d＝2，T n＝9n﹣n2，T8＝8＝（﹣2）3＝a4，故存在k＝8，使得使得T k是数列{a n}中的项；18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2＝4m2﹣2bc（D为BC的中点，AD＝m）（1）求∠BAC；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b．【分析】（1）由已知利用余弦定理及∠ADB+∠ADC＝π，可求b2+c2﹣a2＝bc，可求cos ∠BAC＝，结合范围0＜∠BAC＜π，可求∠BAC的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc＝4，利用余弦定理可求b2+c2＝8，联立即可解得b的值．解：（1）在△ABD和△ACD中，由余弦定理可得：c2＝m2+a2﹣ma cos∠ADB，b2＝m2+a2﹣ma cos∠ADC，因为∠ADB+∠ADC＝π，所以cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以b2+c2＝2m2+a2，即m2＝b2+c2﹣a2，由已知可得a2+2bc＝4m2，则a2+2bc＝2b2+2c2﹣a2，即b2+c2﹣a2＝bc．所以cos∠BAC＝＝，又∵0＜∠BAC＜π，∴∠BAC＝．（2）△ABC的面积S＝bc sin∠BAC＝，又sin∠BAC＝，所以bc＝4①，由a2＝b2+c2﹣2bc cos∠BAC，可得b2+c2＝8②，联立①②，解得b＝2．19．如图1，在同一平面内△ABC和△PAC的公共边AC＝2，PA＝PC，AB＝BC＝，∠APC＝．现沿AC将△PAC折起，使平面PAC⊥平面ABC，如图2（以下问题均在折起后的图2中求解和证明）折起后在平面ABC内过点A作AC的垂线并在垂线上取一点D，使AD＝1，且点D与点C在直线AB的同一侧．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求直线PD与平面PCB所成的角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得DM∥平面PCB？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意，折起后，平面PAC⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质可得AD ⊥平面PAC，进一步得到AD⊥PC，再由PA⊥PC，利用线面垂直的判定可得PC⊥平面PAD；（2）取AC的中点O，连接PO，BO，证明PO⊥平面ABCD，BO⊥AC，分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCB的一个法向量的坐标与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线PD与平面PCB所成的角的正弦值；（3）假设存在满足题意的点M，设（λ∈[0，1]），可得M（0，1﹣λ，λ），可得，由求得，说明在棱PA上不存在点M，使得DM∥平面PCB．【解答】（1）证明：由题意，折起后，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，AC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴AD⊥PC．又∵PA⊥PC，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴PC⊥平面PAD；（2）解：取AC的中点O，连接PO，BO，∵PA＝PC，∴PO⊥AC，又∵PO⊂平面PAC，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，∴PO⊥平面ABCD，∵BO⊂平面ABCD，∴PO⊥BO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC．分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意得：A（0，1，0），B（2，0，0），C（0，﹣1，0），D（﹣1，1，0），P（0，0，1），，，．设平面PCB的一个法向量为，由，取z＝2，得．∴cos＜＞＝．∴直线PD与平面PCB所成的角的正弦值为；（3）解：假设存在满足题意的点M，设（λ∈[0，1]），可得M（0，1﹣λ，λ），则，∵DM∥平面PCB，∴，即（1，﹣λ，λ）•（1，﹣2，2）＝1+4λ＝0，即．∴在棱PA上不存在点M，使得DM∥平面PCB．20．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，进一步物尽其用、保护环境为进一步帮助市民进行垃圾分类，某公司研制了家用垃圾分类机器人，自动对垃圾进行分类．该公司研究部门从流水线上随机抽取100个垃圾分类机器人（以下简称产品），统计其性能指数，制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图：性能指数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110]产品数量4m2025n17产品分为三类性能指数在[50，70）的是基本型，在[70，90）的是提高型，在[90，110]的是全能型，性能指数越高，产品的垃圾分类效率和准确程度越高为提高人们的环保意识和更快推广产品，公司微利出售基本型、提高型、全能型这三类产品的销售利润分别为每件1，3，5（单位：元）以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率（1）求m，n的值并求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解月营销费用x（单位：万元）对月销售量y（单位：万件）的影响，对近10个月的月营销费用x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）数据做了初步处理，并进一步整理得到表16.824.870.41 1.64表中u i＝lnx i，v i＝lny i ，＝，．根据散点图可判定＝a•x b可以作为月销售量y（万件）关于月营销费用x（万元）的回归方程．（i）建立y关于x的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品的月收益达到最大（精确到整数，收益＝销售利润﹣营销费用，e2067≈8，≈1.9，1.94≈13）．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别，．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出m，n，设每件产品的销售利润为X元，则X ＝1，3，5，写出分布列求出数学期望；（2）（i）由y＝a•x b得lny＝ln（ax b）＝lna+blnx，令u＝lnx，v＝lny，c＝lna，则v ＝c+bu，根据公式求出线性回归方程；（ii）设月收益为z万元，则z＝y•E（X）﹣x＝28﹣x，设t ＝，则z＝f（t）＝28t﹣t4，利用导数法求出最大值，得出结论．解：（1）根据频率分布直方图，m＝0.011×10×100＝11，n＝0.023×10×100＝23，设每件产品的销售利润为X元，则X＝1，3，5，其中P（X＝1）＝0.15，P（X＝3）＝0.45，P（X＝5）＝0.4，所以随机变量的分布列如下：X135P0.150.450.4 E（X）＝1×0.15+3×0.45+5×0.4＝3.5，故每件产品的平均销售利润为3.5元；（2）（i）由y＝a•x b得lny＝ln（ax b）＝lna+blnx，令u＝lnx，v＝lny，c＝lna，则v＝c+bu，由，c＝，故v＝c+bu＝2.067+u，，因为e2.067≈8，所以；（ii）设月收益为z万元，则z＝y•E（X）﹣x＝28﹣x，设t＝，则z＝f（t）＝28t﹣t4，所以f'（t）＝28﹣4t3＝4（7﹣t3），t＝，当t∈（1.9，+∞）时，函数f（t）递减；当t∈（0，1.9）时，f（t）递增；故当t＝1.9时，即x≈13时，z由最大值约为40，所以该公司应投入13万元营销费，才能使得该产品的月收益达到最大约为40万元．21．已知点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，且△PF1F2的周长为6，△PF1F2的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线PF1交椭圆C于Q点，求△F2PQ的面积的最大值．【分析】（1）由题意可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）由（1）知F1（﹣1，0），易知当PF1⊥y轴时不构成△F2PQ，设直线PF1的方程为x＝ky﹣1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式可得△F2PQ的面积关于k的不等式，换元后利用导数求最值．解：（1）由题意可得，，解得．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知F1（﹣1，0），易知当PF1⊥y轴时不构成△F2PQ．∴设直线PF1的方程为x＝ky﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去x可得（4+3k2）y2﹣6ky﹣9＝0．∴，∴．令，则t≥1，∴．令f（t）＝3t+，则f′（t）＝3﹣，∵当t∈[1，+∞）时，f′（t）＞0，∴f（t）＝3t+在[1，+∞）上单调递增，∴，当t＝1时取等号．即当k＝0时，△F2PQ的面积的最大值3．22．已知函数f（x）＝e x（lnx﹣x），g（x）＝e x（x2+lnx﹣a﹣1﹣x）（e为自然对数的底数，a为常数）（1）记函数f（x）的导函数为f'（x），在区间（1，e）上解方程f'（x）＝0；（2）设函数f（x）的最大值为f（x）max，求证：f（x）max＜0；（3）记F（x）＝g（x）﹣f（x），当F（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，总有eF（x2）≤t（2+x1）（e+1），求此时实数t的值．【分析】（1）f′（x）＝e x（lnx﹣x+﹣1），在区间（1，e）上解方程f'（x）＝0⇒在区间（1，e）上lnx﹣x+﹣1＝0的解，令φ（x）＝lnx﹣x+﹣1，x∈（1，e），求导，分析φ（x）在（1，e）上单调性，得φ（x）＜φ（1）＝﹣1＜0，得到在区间（1，e）上，方程f′（x）＝0无解．（2）f′（x）＝e x（lnx﹣x+﹣1），令h（x）＝lnx﹣x+﹣1，知h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（）＞0，h（1）＜0，存在x1∈（，1），使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，x1）上单调递增，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（x1，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（x1）＝e（lnx1﹣x1），由h（x1）＝0，得lnx1﹣x1＝1﹣，则f（x1）＝e（1﹣），x1∈（，1），令r（x）＝e x（1﹣），x∈（，1），求导得r （x）单调递增，进而得f（x）max＜0．（3）先求导，得x2+2x﹣a﹣1＝0，有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），进而4+4（a+1）＞0，即a＞﹣2，且x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣a﹣1，x1＜﹣1＜x2．由eF（x2）≤t（2+x1）（e+1），所以上式可转化为x2[2e•e﹣t（e+1）]≥0，对任意的x2＞﹣1恒成立．分三种情况讨论①当x2＝0时，②当x2∈（﹣1，0）时，③当x2∈（0，+∞）时，即可得出结论．解：（1）由题意得，f′（x）＝e x（lnx﹣x+﹣1），令φ（x）＝lnx﹣x+﹣1，x∈（1，e），则f′（x）＝e xφ（x），因为φ′（x）＝﹣＜0恒成立，所以φ（x）在（1，e）上单调递减，当x∈（1，e）时，φ（x）＜φ（1）＝﹣1＜0，所以在区间（1，e）上，方程f′（x）＝0无解．（2）证明：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝e x（lnx﹣x+﹣1），令h（x）＝lnx﹣x+﹣1，易知h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（）＝e2﹣3﹣＞e2﹣4＞0，h（1）＝﹣1＜0，所以存在x1∈（，1），使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（x1）＝e（lnx1﹣x1），由h（x1）＝0，得lnx1﹣x1+﹣1＝0，即lnx1﹣x1＝1﹣，所以f（x1）＝e（1﹣），x1∈（，1），令r（x）＝e x（1﹣），x∈（，1），则r′（x）＝e x（﹣+1）＞0，恒成立，所以r（x）在（，1）上单调递增，所以r（x）＜r（1）＝0，f（x）max＜0．（3）有题意可得，F（x）＝（x2﹣a﹣1）e x，则F′（x）＝（x2+2x﹣a﹣1）e x，根据题意，知方程x2+2x﹣a﹣1＝0，有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），所以4+4（a+1）＞0，即a＞﹣2，且x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣a﹣1，x1＜﹣1＜x2．由eF（x2）≤t（2+x1）（e+1），可得e（x22﹣a﹣1）e≤t（2+x1）（e+1），又x22﹣a﹣1＝﹣2x2，2+x1＝﹣x2，所以上式可转化为x2[2e•e﹣t（e+1）]≥0，对任意的x2＞﹣1恒成立．①当x2＝0时，不等式x2[2e•e﹣t（e+1）]≥0恒成立，t∈R；②当x2∈（﹣1，0）时，不等式2e•e﹣t（e+1）≤0恒成立，即t≥恒成立；令函数m（x）＝＝2e（1﹣），显然m（x）是R上的增函数，所以当x∈（﹣1，0）时，m（x）＜m（0）＝e，所以t≥e，③当x2∈（0，+∞）时，2e•e﹣t（e+1）≥0恒成立，即t≤恒成立；由②知当x∈（0，+∞）时，m（x）＞m（0）＝e，所以t≤e．所以t＝e．。
山东省聊城市2020年高考模拟考试(三模)数学试题 (含答案)
数学（三）2020.06注意；.：主卷满归时，考试用刷叫钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名考生号等填写：：：：：：：��ft：�小题时口，用叫笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再吟其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，只将答题卡交回。
参考公式：v i;i* ＝÷附S刊h，其中“分别为上、下底面面积，h为台体的高一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={l,3,5,7},B={yI y=2x+l,xεA｝，则A nB=A.{ 1, 3, 5汀，9,11, 15}B.{ 1, 3, 5, 7}C.{ 3, 5, 9}D.{ 3, 7}2.己知复数z满足z(2+3i)=13，则在复平面内三对应的点位于A.第一象限B.第二象限 c.第三象限 D.第四象限3.己知向量lal＝布，lbl=l,(a+b)• (a-3b)=l，则向量α与向量b的夹角为A.fB.以古n 2TI---:---C.--D一-·34.在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母α代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为A.20 20甲｜｜乙8 8 68 4αB.21 20128 8I o o 4sC.20 21n一？内5.函数y=sin2x＋一�的图像大致是zx-1y y yA. B. c.数学试题（三）（共5页）第1贝D.21 21D.山东省聊城市2020年高考模拟试题。
山东省聊城市临清第三中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析
山东省聊城市临清第三中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f（x）=的定义域为（）A．（0，） B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．2. 复数z=（1+2i）i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为( )A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．解答：解：∵z=（1+2i）i=﹣2+i，∴，复数在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为A. B. C. D．参考答案：A双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，因为是双曲线的渐近线方程，所以，解得，故选A.4. 已知复数z满足（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得，．故选：A．5. 对任意实数x，若表示不超过的最大整数，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B6. 复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是( )A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可得到结论．解答：解：∵z===1﹣i，∴共轭复数=1+i对应的点为（1，1），故选：A．点评：本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．7. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：A∵由图可知，最小正周期为，∴∴∵经过点∴∵∴∴是将向右平移个单位得到故选A8. 设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B本题是一个新定义型问题，考查了学生对新定义的理解和应用能力，难度较大。
2020届山东省聊城市普通高中高三下学期第三次高考模拟考试数学试题(解析版)
绝密★启用前山东省聊城市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学试题(解析版)一、单项选择题．1.已知集合{}1,3,5,7A =，{}21,B y y x x A ==+∈，则A B =（ ）A. {}1,3,5,7,9,11,15B. {}1,3,5,7C. {}3,5,9D. {}3,7 【答案】D【解析】【分析】根据题意，先得到{}3,7,11,15，再求交集，即可得出结果.【详解】因为{}1,3,5,7A =， 所以{}{}21,3,7,11,15B y y x x A ==+∈=，因此{}3,7A B ⋂=.故选：D.【点睛】本题主要考查集合交集运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.已知复数z 满足()2313z i +=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】首先化简复数z 和z ，再根据复数的几何意义判断对应的点所在的象限.【详解】()()()13231323232323i z i i i i -===-++- 23z i ∴=+，复数z 在复平面内对应的点是()2,3,在第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的运算,复数的几何意义,属于基础题型.3.已知向量2a =,1b =,()()31a b a b +⋅-=,则向量a 与向量b 的夹角为（ ） A. 4π B. 34π C. 3π D. 23π 【答案】B【解析】【分析】 根据题中条件,求出a b ⋅,再由向量夹角公式,即可求出结果.【详解】因为向量2a =,1b =,()()31a b a b +⋅-=,所以22231a a b b -⋅-=,即2231a b -⋅-=,即1a b ⋅=-,因此2cos ,22a b a b a b ⋅<>===-,所以3,4a b π<>=. 故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的夹角,熟记向量夹角公式,以及向量数量积的运算法则即可,属于基础题型.4.在某技能测试中,甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中,其中甲的某次成绩不清晰,用字母a 代替．已知甲乙成绩的平均数相等,那么甲乙成绩的中位数分别为（ ）A. 20 20B. 21 20C. 20 21D. 21。
2020届山东省聊城市高考模拟考试(三模)数学试题解析
点评：
本题主要考查由茎叶图计算中位数，属于基础题型.
5．函数 的图像大致是（）
A． B．
C． D．
答案：C
根据函数解析式，分别判断 ， ， 的正负，即可得出结果.
解：
当 时， ， ，所以 ，排除AB选项；
当 时， ， ，所以 ，排除D选项.
故选：C.
点评：
本题考查函数图像的识别，根据排除法，即可得出结果.
答案：C
取 中点为 ，连接 ， ，根据题意，求出 ，再由 ， ，得到 取最小值，即是 取最小值，所以只需 取最小，根据点到直线距离公式，求出 的最小值，即可得出结果.
解：
取 中点为 ，连接 ， ，
因为 是圆 的一条动弦，且 ，
所以 ，
又 ， ，即
因此， 取最小值，即是 取最小值，所以只需 取最小，
又点 为直线 上的任意一点，
解：
由条件可知悬挂的彩旗表达行动信号，共有 种，若恰有2面红色旗子，则有 种，所以这种信号中恰有2面红色旗子的概率 .
故选：A
点评：
本题考查古典概型，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意，并能转化为数学问题.
8．已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，若点 为直线 上的任意一点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
答案：丁
根据题意，先得到甲的卡片数字只能是6，从而可分别得出其他同学的卡片数字，进而可得出结果.
解：
由题意，因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，所以甲的是4、乙的是6，或乙的是4、甲的是6；
又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则甲的卡片数字只能是6，所以乙的是4，丙的是5，故丁的是3.
即丁同学卡片上的数字最小.
B．已知 ，当 不变时， 越大， 的正态密度曲线越矮胖
山东省聊城市高考数学三模试卷(理科)解析版
高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z（2+3i）=i，则在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|y=lg（1-x2）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（ ）A. （-1，1）B. （-1，+∞）C. [0，1]D. （0，1）3.若命题p：∃x0∈R，x02-x0+1≤0，命题q：∀x＜0，|x|＞x．则下列命题中是真命题的是（ ）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）4.设，，（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则（ ）A. c＞b＞aB. a＞b＞cC. a＞c＞bD. b＞a＞c5.函数f（x）=-2x+ln x的图象在x=1处的切线方程为（ ）A. x+y+1=0B. x-y+1=0C. 2x-y+1=0D. 2x+y-1=06.已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（）A. B. C. D.7.已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（ ）A. 3B. 1C.D.8.函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）A.B.C.D.9.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2， (9)入3×3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数字之和为N n，如图三阶幻方的N3=15，那么N9的值为（）A. 41B. 45C. 369D. 32110.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为A. B. C. D.11.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=xe x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）．若关于x的方程f（x）-a=0在[0，4]上恰有四个解，则实数a的取值范围（ ）A. B. C. D.12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足，则的取值范围为______．14.若，则的展开式中x-4的系数为______．15.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c cos B+b=2a，将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（C）的值为______．16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF．（1）求证：AB⊥CG；（2）若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆的离心率为，过椭圆C1的左焦点F1，且斜率为1的直线l，与以右焦点F2为圆心，半径为的圆C2相切．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）线段MN是椭圆C1过右焦点F2的弦，且，求△MF1N的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值．20.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：每分钟跳绳[145，155）[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）个数得分1617181920年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图．（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中σ2≈225，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）．利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差．附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9554，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．21.已知函数．（1）证明：当a=1时，不等式恒成立；（2）当a≤2时，若方程f（x）=x有两个不等实根，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，点P的极坐标为（2，π），倾斜角为α的直线l经过点P．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x+3|，g（x）=|a-1|-a|x|．（1）求函数f（x）的值域M；（2）若函数g（x）的值域为N，且M∩N≠∅，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z（2+3i）=i，得z=，∴，∴在复平面上对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】D【解析】解：集合A={x|y=lg（1-x2）}={x|-1＜x＜1}，B={y|y=2x}={y|y＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：D．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵△=1-4=-3＜0，∴∀x∈R，x2-x+1＞0恒成立，故命题p是假命题，∵∀x＜0，|x|＞x恒成立，即命题q是真命题，则（￢p）∧q是真命题，其余为假命题，故选：C．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵，，；∴a＞b＞c．故选：B．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．5.【答案】A【解析】解：函数f（x）=-2x+ln x，可得f′（x）=-2+，函数f（x）=-2x+ln x的图象在x=1处的切线的斜率为：f′（1）=-1．切点坐标为：（1，-2），函数f（x）=-2x+ln x的图象在x=1处的切线方程为y+2=-（x-1）即x+y+1=0．故选：A．求出函数的导数，得到切线的斜率，即可判断选项的正误；本题考查曲线的曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：依题意可得设，，则：，，，，故选A．7.【答案】B【解析】解：两圆的标准方程为（x+2a）2+y2=4和x2+（y-b）2=1，圆心为（-2a，0），和（0，b），半径分别为2，1，若两圆恰有三条公切线，则等价为两圆外切，则满足圆心距=2+1=3，即4a2+b2=9，则a2+b2=1，则=（）（a2+b2）=+++≥+2=+=1，故选：B．求出两圆的标准方程，结合两圆有三条公切线，得到两圆相外切，结合圆外切的等价条件，求出a，b的关系，结合基本不等式的性质进行求解即可．本题主要考查两圆位置关系的应用，结合公切线条数，得到两圆外切，求出a，b的关系，结合基本不等式的性质进行求解是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由图可知：A=2，==，所以T=π，所以ω==2，又2×+φ=2k，所以φ=2kπ，（k∈Z）又|φ|＜，所以φ=，即f（x）=2sin（2x-），所以f（）=2sin=，故选：C．由三角函数解析式的求法得：A=2，T=π，所以ω==2，又2×+φ=2k，所以φ=，即f（x）=2sin（2x-），所以f（）=2sin=，得解．本题考查了三角函数解析式的求法，属中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查运算能力，属于基础题．直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．【解答】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列，则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于1+n2．根据求和公式得：N n=，则N9==369．故选：C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n==90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===．故选：B．11.【答案】C【解析】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），则f（x）满足f（4+x）=f（-x）=f（x），故函数f（x）周期为4．当x∈[-2，0]时，f（x）=xe x，f′（x）=e x（x+1），可得f（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，，函数f（x）在[0，4]上的图象如下：根据图象可得：关于x的方程f（x）-a=0在[0，4]上恰有四个解，则实数a的取值范围（-，-）．故选：C．可得f（x）满足f（4+x）=f（-x）=f（x），故函数f（x）周期为4．又f（x）=xe x，f′（x）=e x（x+1），可得f（x）在[-2，-1]递减，在[-1，0]递增，画出函数f（x）在[0，4]上的图象根据图象可得a的取值范围．本题考查了函数的周期性、单调性，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由双曲线的性质可得：|AF|=b，|OA|=a，tan∠AOF=，∴tan∠AOB=tan2∠AOF===，在Rt△OAB中，tan∠AOB==，∴=，∴|AB|=，∴|OB|=，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴2|AB|=|OA|+|OB|，∴=a+，化简得：2a2-3ab-2b2=0，即（2a+b）（a-2b）=0，∴a-2b=0，即a=2b，∴a2=4b2=4（c2-a2），5a2=4c2，∴e2==，∴e=．故选：A．由双曲线的性质可得：|AF|=b，|OA|=a，∴tan∠AOF=，∴tan∠AOB=tan2∠AOF===，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得a =2b，可得离心率．本题考查了双曲线的性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：作出实数x，y满足，对应的平面区域如图：其中A（-1，8），B（-1，-1），z=的几何意义，即动点P（x，y）与定点D（-3，1）连线斜率的取值范围；由图象可知AD直线的斜率k==．直线BD的斜率k=═1，则的取值范围为：．故答案为：．首先作出不等式组对应的平面区域，利用z=的几何意义，即动点P（x，y）与定点D（-3，1）连线斜率的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，要利用数形结合的数学思想．14.【答案】1104【解析】解：由，所以n=x3=8，又（2-）8的展开式通项为T r+1=（-1）r28-r x-r，则（1+x3）（2-）8的展开式中x-4的系数为（-1）4••28-4+（-1）7••28-7=1104，故答案为：1104．由定积分的运算及二项式定理得：n=x3=8，又（2-）8的展开式通项为T r+1=（-1）r28-r x-r，则（1+x3）（2-）8的展开式中x-4的系数为（-1）4••28-4+（-1）7••28-7=1104，得解．本题考查了定积分的运算及二项式定理，属中档题．15.【答案】1【解析】解：由2c cos B+b=2a，由正弦定理得：2sin C cos B+sin B=2sin A=2sin B cos C+2cos B sin C，所以cos C=，所以C=，将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]+=-cos2x，所以g（）=-cos=1，故答案为：1．由正弦定理及三角函数图象的平移得：c=，将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]+=-cos2x，所以g（）=-cos=1，得解．本题考查了正弦定理及三角函数图象的平移，属中档题．16.【答案】【解析】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥P-ABC，直观图如图所示：D是BC的中点，PA⊥平面ABC，且PA=AD=BC=2，三角形ABC的外接圆的半径为：，所以三棱锥外接球的半径为=，所以外接球的表面积为4π=；故答案为：．由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图得到直观图，求出外接球的半径，进一步求球的表面积．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查了空间想象能力．17.【答案】解：（1）因为，①当n=1时，2a1-S1=2a1-a1=2，所以a1=2．当n≥2时，2a n-1-S n-1=2，②①-②得2a n-S n-（2a n-1-S n-1）=0，即a n=2a n-1．因为a1=2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③-④得，=6+（21+22+23+…+2n）-（n+3）×2n+1==6+2n+1-2-（n+3）×2n-1=4-（n+2）2n+1，所以．【解析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．18.【答案】证明：（1）取BC的中点为D，连结DF．由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG．∵CB=2GF，∴，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵BF=CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB．解：（2）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由（1）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，AD、BC平面ABC，∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．设BC=2，则A（），E（），B（1，0，0），G（-1，，0），∴，，．设平面BEG的一个法向量为．由可得，．令，则y=2，z=-1，∴．设AE与平面BEG所成角为θ，则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）取BC的中点为D，连结DF，推导出四边形CDFG为平行四边形，从而CG∥DF，DF⊥BC，CG⊥BC．进而CG⊥平面ABC，由此能证明CG⊥AB．（2）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由CG⊥平面ABC，CG∥DF ，DF⊥AD，DF⊥BC，以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．利用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值．19.【答案】解：（1）设F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），则直线l的方程为：y=x+c，即x-y+c=0．∵直线l与圆C2相切，∴圆心F2到直线l的距离为，解之得c=1．∵椭圆C1的离心率为，即，∴a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C1的方程为；（2）由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），由题意得直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为：x=ty+1（t∈R），代入椭圆方程，化简可得（4+3t2）y2+6ty-9=0，△=36t2+36（4+3t2）＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1，y2是上述方程的两个不等根，∴，．∴△MF1N的面积===．设，则m≥1，t2=m2-1，则3t2+4=3m2+1，．令，则恒成立，则函数f（m）在[1，+∞）上为减函数，故f（m）的最大值为，∴△MF1N的面积的最大值为，当且仅当m=1，即t=0时取最大值，此时直线MN的方程为x=1，即直线MN垂直于x轴，此时，即λ=1．【解析】（1）写出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于解得c，再由椭圆离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），由题意得直线MN的斜率不为0，设直线MN 的方程为：x=ty+1（t∈R），代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y1-y2|，写出△MF1N的面积，换元后利用导数求最值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，属难题．20.【答案】解：（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A，则事件A包括以下四种情况：①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分；③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分．由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得．∴两人得分之和小于35的概率为；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：0.034×180+0.016×190+0.008×200+0.006×210）×10=179（个）．又由σ2≈225，得标准差σ≈15，∴高二年级全体学生的跳绳个数X近似服从正态分布N（179，152）．（i）∵μ-σ=179-15=164，∴，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为2000×0.8413=1682.6≈1683（人）；（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，∴ξ～B（3，），ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．∴，，，，故ξ的分布列为：ξ0123P∴，．【解析】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A，写出事件A包括的四种情况，再由频率分布直方图可得得16分，得17分和得18分的人数，然后利用古典概型概率就送过去求解；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值，再求得标准差σ，可得高二年级全体学生的跳绳个数X近似服从正态分布N（179，152）．（i）利用正态分布的对称性求解；（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，则ξ～B（3，），ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求出概率，得到ξ的分布列，再由期望公式求期望．本题考查古典概型概率的求法，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，训练了离散型随机变量的分布列与期望的求法，属中档题．21.【答案】解：（1）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，，等价于ln x≤x-1．设g（x）=ln x-x+1，，令g′（x）＞0，得0＜x＜1，g（x）在（0，1）上单调递增，令g′（x）＜0，得x＞1，g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）=0，即ln x≤x-1（当且仅当x=1时取等号）所以当a=1时，不等式恒成立．（2）方程f（x）=x有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令，则．①若a=2，，则F（x）=0在（0，+∞）上有且只有一个零点x=2，不符合题意；②若a＜2，由x＞0可得x-（a-2）＞0．令F′（x）＜0，得x＞1，所以F（x）在（1，+∞）上单调递减，令F′（x）＞0，得0＜x＜1，所以F（x）在（0，1）上单调递增．所以．（i）若，即时，F（x）无零点，不符合题意；（ii）若，即时，F（x）有且只有一个零点，不符合题意；（iii）若，即时，F（1）＞0，又F（2）=（a-2）（2-ln2）＜0，所以F（x）在（1，2）上有一个零点．当0＜x＜1时，由（1）得ln x＜x-1，所以==，令x-（2-a）＜0，得x＜2-a，取x0=2-a，因为，所以，且F（x0）＜0，所以，F（x）在（x0，1）上有一个零点．即F（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点．所以实数a的取值范围为．【解析】（1）当a=1时，，等价于ln x≤x-1．设g（x）=ln x-x+1，利用函数的导数通过导函数的符号转化证明即可．（2）方程f（x）=x有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令，利用函数的导数，通过a的范围判断函数的单调性，判断函数的零点的个数，结合零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点个数的求法，考查分类讨论思想的应用，构造法的应用，难度比较大．22.【答案】解：（1）由ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12可得，x2+3y2=12，即．设点P（x，y），则x=2×cosπ=-2，y=2×sinπ=0，即点P（-2，0），∴直线l的参数方程为（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得，（1+2sin2α）t2-4t cosα-8=0，△=48+48sin2α＞0恒成立，设点A对应的参数为t1，点B对应的参数为t2，则，，则=．【解析】（1）根据互化公式可得曲线C的直角坐标方程，根据点P的极坐标求得直角坐标，再写出参数方程；（2）联立直线与曲线C，根据参数t的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）∵函数f（x）=|2x-1|+|x+3|，∴函数f（x）可化简为，可得当x≤-3时，f（x）=-3x-2≥7．当时，．当时，．故f（x）的值域．（2）M=[，+∞），当a=0时，g（x）=1，N={1}，M∩N=∅，所以a=0不符合题意．当a＞0时，因为|x|≥0，所以函数g（x）的值域N=（-∞，|a-1|]，若M∩N=∅，则，解得或，从而符合题意．当a＜0时，因为|x|≥0，所以函数g（x）的值域N=[|a-1|，+∞），此时一定满足M∩N≠∅，从而a＜0符合题意．综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪[，+∞）．【解析】（1）当x≤-3时，f（x）=-3x-2≥7．当时，．当时，．由此能求出f（x）的值域M．（2）当a=0时，g（x）=1，N={1}，M∩N=∅，从而a=0不符合题意．当a＞0时，由|x|≥0，得函数g（x）的值域N=（-∞，|a-1|]，由M∩N=∅，则，得或，从而符合题意．当a＜0时，由|x|≥0，得函数g（x）的值域N=[|a-1|，+∞），由此能求出实数a的取值范围．本题考查函数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。