基于EMD的信号瞬时频率估计_刘小丹

第32卷第1期2009年3月 辽宁师范大学学报(自然科学版)Journal of Liaoning Normal University (Natural Science Edition ) Vol.32　No.1Mar.　2009 文章编号:100021735(2009)0120051207

基于EMD 的信号瞬时频率估计

刘小丹,　孙晓奇,　沈　滨

(辽宁师范大学计算机与信息技术学院,辽宁大连　116029)

收稿日期:2008209224基金项目:辽宁省教育厅科学技术研究项目(20060466)

作者简介:刘小丹(19572),男,吉林蛟河人,辽宁师范大学教授,硕士.E 2mail :xdliu @

摘　要:分析了信号瞬时频率的定义及其两种主要的获得信号相位的方法:解析信号法和正交模型法.提出了一种基

于经验模式分解的新的瞬时频率估计方法———正交包络法.该方法计算简单,克服了正交模型法无法由一个时间函数

确定两个时间函数的困难.与Hilbert 变换方法相比,正交包络法使边界问题得到了明显改善.实验证明这是一种有效

的瞬时频率估计方法.

关键词:瞬时频率;正交包络法;EMD ;Hilbert 变换

中图分类号:TP202.4 文献标识码:A

根据Fo urier 分析理论,任何一个平稳信号都可以表示为多个谐波的加权和,对于谐波的某一特定频率,其幅值和相位是常数.而对于非平稳信号,由于其谱特性是随时间变化的,因此不能简单地用Fourier 变换作为非平稳信号的分析工具[1],平稳信号的频率概念也就无法准确解释非平稳信号的时变特性,于是就需要引入一个随时间变化的频率的概念,即瞬时频率.

瞬时频率的一个重要特性是作为时间的函数,用它可以确定信号谱峰的位置.基于这一特性,瞬时频率的概念有着极其重要的应用,因此瞬时频率的估计也就成为许多实际的信号处理应用中一项很有意义的工作.一些信息探测系统只要系统与目标之间有相对运动,多普勒效应就会使频率改变,传播媒质的扰动也会使频率变化,雷达、声呐、移动通信、医疗设备和天文观测都存在这一问题.以雷达信号处理为例,其主要目的是对目标实行检测、跟踪和成像,而像军用飞机一类的目标为了逃避被跟踪,其径向速度是随时间改变的,这使得雷达的多普勒频率具有非平稳的谱.因此,跟踪这类目标需要用到瞬时频率估计技术.瞬时频率估计技术也应用于生物医学.例如,血流的多普勒变化直接关系到心脑血管疾病的诊断.同时,在地震信号处理中,可以利用瞬时频率来确定不同的地质构造.在语音处理等其他诸多领域都有瞬时频率估计技术的应用,详见文献[223].

从物理学的角度,信号可以分为单分量信号和多分量信号.单分量信号在任意时刻都只有一个频率,该频率称为信号的瞬时频率,而多分量信号则在某些时刻具有多个不同的瞬时频率.

瞬时频率的定义最早是由Carson 和Fry 在研究调频信号时分别提出的,在Gabor 提出了解析信号的概念之后,Ville 将二者结合起来,提出了现在普遍接受的实信号的瞬时频率的定义[4],即:实信号的瞬时频率就是该信号所对应的解析信号的相位关于时间的导数.上述定义只对单分量信号有意义.下面分析一下将瞬时频率定义为复信号相位关于时间的导数的原因.

设一复信号c (t )=A (t )e j φ(t ),A (t )、

φ(t )分别称为信号c (t )的幅度和相位.c (t )的频谱为C (ω)=12

π∫+∞-∞c (t )e -j ωt d t c (t )的总能量E =∫+∞-∞|c (t )|2d t =∫+∞-∞

|C (ω)|2d ω 于是,归一化的函数|c (t )|2/E 和|C (ω

)|2/E 可分别作为信号c (t )在时域和频域的能量密度函数,从而得到信号频谱C (ω

)的平均频率: 〈ω〉=1E ∫+∞-∞ω|C (ω)|2d ω=1E ∫+∞-∞

ωC (ω)C 3(ω)d ω　(3表示共轭运算)

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　辽宁师范大学学报(自然科学版)第32卷=1E 12π∫+∞-∞∫+∞-∞∫+∞-∞ωc 3(t )c (t ′)e j (t-t ′)ωd ωd t ′d t =1E 1j ∫+∞-∞c 3(t )d d t c (t )d t =1E ∫+∞

-∞φ′(t )|c (t )|2d t

(1) 从(1)可知,在整个时间范围内,对信号相位的导数关于信号时域能量密度进行积分就可以得到信号频谱的平均频率,而信号相位的导数必须是瞬时值,才可供计算平均值使用,因此将瞬时频率定义为相位的导数是很自然的.也就是说,信号频谱的平均频率等于其瞬时频率的时间平均.

但对于实信号,频谱满足C (-ω

)=C 3(ω),因此能量密度频谱|C (ω)2|总是关于原点对称.由于对称性,使得实信号的平均频率是0,即瞬时频率的时间平均为0,这样就无法表示出信号的物理情况.为了将瞬时频率的概念推广到实信号和多分量信号,需要解决两个问题:(1)如何将一实信号变换为一个相对应的复信号;(2)如何将一个多分量信号分解为若干个单分量信号之和.

1　实信号变换为复信号的两种方法

通常,我们所能获得的各种信号都是实信号,需要构造一个对应于实信号的复信号,这是由于通过复信号可以确定信号的相位,从而得到信号的瞬时频率.显然,要构造复信号可以令其实部是实信号本身,关键是如何定义其虚部,通常有两种方法:解析信号方法和正交模型方法[5].

1.1　解析信号方法和正交模型方法

自从Gabor 引入解析信号的概念以后,解析信号方法就成为将实信号变换为复信号的一种最常用的方法.

与实信号s (t )相对应的复信号———解析信号———z a (t )定义为:z a (t )=s (t )+j H [s (t )],其中H[s (t )]表示s (t )的Hilbert 变换,即H[s (t )]=s (t )3(1/πt ).

解析信号的频谱Z a (ω

)在负频率部分为0,而在正频率部分是其对应的实信号的频谱在正频率部分的2倍,即:Z a (ω)=0ω<02S (ω

)ω>0 由于解析信号是复信号,因此可以表示成极坐标形式,也就是用幅度和相位表示,即z a (t )=A (t )e j φ(t ).那么幅度和相位需要怎样的关系才能使得一信号是解析信号呢?

幅度A (t )的频谱,S A (ω

)=12π∫+∞-∞A (t )e -j ωt d t ,e j φ(t )的频谱S φ(ω)=12π∫+∞-∞e j φ(t )e -j ωt d t ,于是z a (t )=A (t )e j φ(t )的频谱Z a (ω)=S A (ω)3S φ(ω)=∫+∞-∞S A (ω-ω′)S φ(ω′)d ω′.因此,信号z a (t )的频谱

Z a (ω)可看做是系数为S φ(ω′)的A (t )的已搬移频谱之和.假定S A (ω)在频率区间(-ω1,ω1)是带限的,

则z a (t )是解析的,即把Z a (ω)搬移到正频率轴的充分条件是:当ω′≤ω1时,S φ(ω

′)=0.因此,对于一解析信号,其低频含量在幅度上,而高频含量在e j φ(t )项上.

用正交模型法将一实信号变换为复信号,首先需要将实信号写成s (t )=A (t )co s φ(t )的形式,那

么其对应的复信号就是z q (t )=A (t )e j φ(t ),z q (t )称为正交模型信号.正交模型法在提出解析信号法之

前就已使用.

1.2　解析信号法与正交模型法的比较

从表面上看,通过解析信号法得到的复信号———解析信号———似乎和正交模型法的一样都是实信号加上其正交分量,但实际上解析信号并非总是如此.这是由于在Hilbert 变换过程中首先对实信号做Fourier 变换得到双边谱,然后通过滤波得到单边谱,之后再对单边谱进行Fourier 逆变换得到复信号,因此,通过Hilbert 变换构造解析信号等价于去掉实信号频谱的负频率部分,如果实信号的正频谱泄漏到负频谱区域中,则其Hilbert 变换就不是实信号的正交分量.根据Bedrosian 乘积定理[6],如果实信号s (t )=A (t )co s φ(t )的幅值频谱Φ[A (t )]只在区间(-f 0,f 0)内有值,而频谱Φ[cos φ(t )]只在区间(-f 0,f 0)外有值,则等式A (t )cos φ(t )+j H[A (t )cos φ(t )]=A (t )e j φ(t )成立.因此,基于Hilbert 变换的解析信号发生器是一种高频选择器,信号的高频部分成为复信号的相位.它并不能准确刻画所有