平面概念定理

证明（: 存在性）∵A a , 在a上任取两点B、C，
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和点A的平面只有一个.
推论2: 经过两条相交直线有且只有一个 平面。
a
α
b
a ∥ b 有且只有一个平面， 使得a ,b
另法：两条平行直线确定一个平面。
已知：直线a、b且a∥b.
求证：经过直线a、b有且只有一个平面.
证明：（1）存在性.
a
∵a∥b，由平行线的定义，
a、b在同一平面内，
α
B•
b
∴过直线a、b有一个平面α.
（2）唯一性。
在直线b上任取一点B，则B a（否则与a∥b 矛盾）
二、简单几何体 （1）棱柱 （2）棱锥 （3）多面体与正多面体 （4）球
今天，我们先来学习
“平面”的知识！
1．平面
概念：平面无大小、无厚度、无边界无面积， 是无限延伸的．
几何画法：通常用一个角为 45o平行四边形来表示平面．
符号表示：通常用希腊字母 , , 等来表 示，如：平面 也可用表示平行四边形的两个 相对顶点的字母来表示，如：平面AC．aLeabharlann a αa // α
a α =A a b=A α β= a
集合 （直线）
与集合 （平面） 之间的
关系
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
符号语言ΑΑ α l ΒΒαl l
应用：
1.判断点或直线在平 面内的依据; 2.检查物体表面是否平整 α A
面上升到三维空间，因此，需要我们在学习过程中通过严
密的逻辑推理把三维空间图形问题转化为二维平面图形问
题，这也是学好立体几何的一个重要方法．
• 土木建筑、机械设计、航行测绘等大量的实际问题，
都要涉及对立体图形的研究。因此，学好立体几何对我们
的日常生产和生活非常重要。
一、空间直线和平面 （1）平面（2）空间直线与直线 （3）直线与平面（4）平面与平面
A● a
A● α
●A α
Aa
Aα
A α
元素 （点） 与集合 （直线 或平面） 之间的 关系
5、直线和平面的位置关系：
直线a在平面α内(或 平面α经过直线a) 直线a与平面α平行
直线a与平面α相交 与点A
a α
a
α a
α ●A
直线a与直线b相交 与点A
平面α与平面β相交 与直线a
Aa
●
α
b
β
α
1.判定两个平面相交
2.判定点共线
3.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
例 2 . 正 方 体 A C1中 ,对 角 线 A1C 和 平 面 B D C1
交于O,AC与BD交于点M求, 证:点C1、O、
M共线.
D1
C1
A1
B1
•O
D
C
A
M B
D1 A1
C1 B1
•O
D
C
A
M
证明： C1、O、M 面BDC1，
课题：
平面
观察下面图形
• 同学们比较图（1）和图（2）有什么不同？
（1）
平面几何图形
（2）
立体几何图形
引言
•
以往我们所学的几何是平面几何，研究的是平面图形
的性质、画法、计算、应用．今天我们开始学习一门新的
学科——立体几何．立体几何的研究对象是空间图形的性
质、画法、计算及应用．它使得我们的学习内容从二维平
有时也可以用其他平面图形来表示，如：
(1)
(2)
(3)
表示两平面相交的画法
3．观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．
4、点和直线的位置关系：
点A在直线a上（或
A
直线a经过点A)
●
a
A a
点A在直线a外 （或直线a不经 过点A)
点A在平面α内 （或平面α经过点
A)
点A在平面a外 （或平面a不经 过点A)
且B、a在过a、b的平面α内。
又由推论1，过点B和直线a的平面只有一个，
∴过直线a、b的平面只有一个。
由（1）（2），可知经过两条平行直线的平面
有且只有一个。
l
P
=a且
Pa
公理3
经过不在同一条直线 上的三点， ，有且只 有一个平面。
αA ●
C ● ●
B
A、B、C三点不共线
有且只有一个平面α，
使A∈α，B ∈α，C ∈α.
推论1：经过一条直线和直线外一点，有
且只有一个平面.
已知：点A a
A
a
BC
求证：过点A和直线a有且只有一个平面.
又A ,
AP ,即a
经过相交直线a、b有平面.
（2）唯一性。 ∵经过直线a、b的平面一定经过点A和直线b，
而A b。
根据推论1，经过点A和直线b的平面只有一个. ∴经过a、b的平面只有一个.
由（1）（2），可知经过两条相交直线 有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线有且只有一个 平面。
Aa
•b
α
a b P 存在唯一的平面 ， 使得a ，b
另法：两相交直线确定一个平面。
已知：直线a、b且a∩b=P.
求证：过a、b有且只有一个平面。
证明：（1）存在性
在直线a上取不同于点P的点A
则点A直线b.
α
C
Pa
•
•b
•A
根据推论1，过点A和直线b有一个平面α。
b , P b, P
l B
公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它
们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条
经过这个公共点的直线。
如果两个平面有一条公共
β
直线，则称这两个平面相
交，这条公共直线叫做这 P
两个平面的交线。
l
α
符号语言： P l且P l
应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据
B
又C1、O、M 面A1 ACC1，
由公理2知，
点C1、O、M在平面BDC1与平面A1 ACC1的交线上， C 、O、M三点共线。
公理三：经过不在一条直线上的三点有且只有一 个平面
即：不共线的三点确定一个平面
过A,B,C三点的平面可记作：平面ABC
B
应用：确定平面的依据
A
α
C
判定点或线的共面;
8、平面的基本性质的三种语言描述：
语言 公理
公理1
文字语言
如果一条直线上的两 点在一个平面内，那 么这条直线上的所有 点都在这个平面内。
图形语言
●
A
●
B
l
如果两个平面有一个公
公理2
共点，那么它们还有其 他的公共点，且所有这
β
●P
些公共点的集合是一条
α
a
过这个公共点的直线
符号语言
Al，B l， A ，B