初中数学相似三角形(1)PPT课件
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相似三角形的性质pptPPT课件-2024鲜版
16
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
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05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
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知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
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知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
二、学习目标
会运用“两组对应边的比相等 且对应的夹角相等”判定两个 三角形相似.
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
知
三 角
识形
点相
一
似 的
判
定
方
法
2
三、研读课文
认下真面阅练读习课并本体第验知44识至点45探全的页讨等形的的成内S可AS否过容方用程，法类，完似能于成否判通定过三两角个形
____________________________
__ .
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
五、强化训练
1、在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 那么这两个三角形能否相似的结论是_相__似___，理由是 _两__组__对__应__边__的__比__相__等__且_ 相应的夹角相等 ．
《相似三角形》优秀课件1
第二十七章 相似 27.2 相似三角形 第五课时 相似三角形的判定（3）
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
一、新课引入
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的 方法？
1、通过定义（三边对应成比例，三角相等） 2、平行于三角形一边的直线 3、三边对应成比例
9
的长是_____5_______.
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
三、研读课文
2、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
证明： AD AE, AB AC AD AE
《相似三角形》优秀课件1
二、学习目标
会运用“两组对应边的比相等 且对应的夹角相等”判定两个 三角形相似.
《相似三角形》优秀课件1
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知
三 角
识形
点相
一
似 的
判
定
方
法
2
三、研读课文
认下真面阅练读习课并本体第验知44识至点45探全的页讨等形的的成内S可AS否过容方用程，法类，完似能于成否判通定过三两角个形
____________________________
__ .
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五、强化训练
1、在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 那么这两个三角形能否相似的结论是_相__似___，理由是 _两__组__对__应__边__的__比__相__等__且_ 相应的夹角相等 ．
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第二十七章 相似 27.2 相似三角形 第五课时 相似三角形的判定（3）
《相似三角形》优秀课件1
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一、新课引入
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的 方法？
1、通过定义（三边对应成比例，三角相等） 2、平行于三角形一边的直线 3、三边对应成比例
9
的长是_____5_______.
《相似三角形》优秀课件1
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三、研读课文
2、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
证明： AD AE, AB AC AD AE
相似三角形ppt课件
∴DE=FC,∴
=
=
.
又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=
.
探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴
=
=
.
又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴
=
8
8+12
=
35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.
《相似三角形的性质》课件PPT1
3. 2
设△ABC的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.
x3
∴
60－ x
, 2
解得x＝36，60－x＝24.
∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
新知小结
相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如 果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.
巩固新知
12
53
2 5.
新知小结
相似三角形周长和面积的比 一般地，我们有：
易对错应点 角：平忽分略线相的似比三都角等形于利性__质用__的__适相__用. 条似件.比求周长和面积时，先判定两个三角形
以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们
相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比 【中考·南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于( )
相似三角形周长和面积的比
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，
所以 A D 1 . 如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
A B 5 A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝
所以 AD＝
∴矩形EFGH的周长为36 cm. 导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，所以△AEH D．1：5
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
巩固新知
1 如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证 AD BE .
AD BE
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC， △A′B′C′的高， ∴ AD ＝ AB .
相似三角形的性质_课件1(1)
A
D
A′ B
D′
B′
C C′
（4）CC'DD' 等于多少？你是怎么做的？
CA C' A'
CD C'D'
3 4
相似三角形对应高的比等于相似比。
A′
D′
B′
AD
B
EC
E′ C′
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相
似比为k。如果CD和C′D′分别是它们的对应角平
分线，那么 CD 等于多少？
CD
A′
D′
B′
A
D
B
C C′
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′
相似比为k。如果AD和A′D′分别是它们的对应中
线，那么 AD 等于多少？
AD
A′
A
B
D C
B′
D′ C′
相似三角形的性质
定理1：相似三角形对应高的比、对应 中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
练习
3.已知△ABC∽△A’B’C’，S△ABC∶S△A’B’C’=9:25， △ABC的周长是36，则△ABC的周长是 60。
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上， DE平行于BC，AD∶DB=3∶2，求四边形DBCE与 △ADE的面积比。
解：∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2 ∵AD∶DB=3∶2 ∴AD∶AB=3∶5 ∴S△ADE∶S△ABC=9∶25 ∴S△ADE∶S四边形DBCE=9∶16 所以四边形DBCE与△ADE的面积比为16∶9。
相似三角形的判定PPT精品课件1
例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=8,E 是AC上一点，AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.
解：∵ ED⊥AB ∴∠EDB=90°. 又∠C=90°, ∠A= ∠A ∴△AED∽△ABC
AD AE AC AB AC AE 8 5 AD 4 AB 10
27.2.1相似三角形的判定（3）
相似三角形的判定：
方法1：通过定义 方法2：通过平行于三角形一边的直线 方法3：三边成比例 方法4：两边成比例且夹角相等
观察
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与 60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同 ，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三 角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
AB 2 AC 2 , B1C1
2 2
C
C1
A1 B1 A1C1
2
2
k 2 A1 B1 k 2 A1C1 BC AB 2 AC 2 k B1C1 k B1C1 B1C1 B1C1 B1C1 BC AB AC ∴ Rt△ABC ∽Rt△A1B1C1 B1C1 A1 B1 A1C1
相似三角形的判定3：
两角分别相等的两个三角形相似 .
A
A′
B
用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A ′ ， ∠B=∠B ′ ∴ ΔABC ∽ ΔA ′ B ′ C ′
C B′
C′
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A’
B C
A
A
D A B
(1)
C B’ A’
C’
(2)
D
A
E
E C
B
(3)
C
九年级数学《相似三角形判定(1)》课件
如到果l3或图l42上7.，2-如1中图l12,7l.22两-2条（直1 线）l1相、交（，2）交，点所A刚得好的落对
应线段的比会相等吗？依据是什么？
你由 此又 能得 到什 么结 论呢？
如图:在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE‖BC,则△ADE
与△ABC相似吗?
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等?
1、 如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？
A ∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AC
BC
=
AD AE
=
DE
D
E
DE ∥ BC
B
C
2、△ ABC中， DE ∥ BC且分别交边AB、AC 于D、E两点，那么△ ABC与 △ADE有什么
关系呢？
任意画两条直线l1 ,l2 ,再画三条与l1 、l2 相交的平行
(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE的
位置再试一试.
（3）你能用什么方法来判断呢？请你加以证明？
证明:在△ADE与△ABC中∠A= ∠A
A
∵ DE//BC
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C 过E作EF//AB交BC于F
D
E
∵ DE//BC, EF//AB
∴ AD AE , BF AE
27.2 相似三角形的判定(1)
1、相似三角形的定义是什么？它具有什么性质呢？
在△ ABC和△ DEF中，如果∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠C=∠F
A
AB AC BC DE DF EF
D B
E
那么 △ ABC∽ △DEF
F
C
相似三角形完整版PPT课件
通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
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学科网
相似三角形
学科网
观察下图º 5
28
20
94º
A
40º
8
46º
B
D
40º
32
46º
E
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？
下图中△ABC与△DEF相似，你能确定出m与x的值吗？
C
16
m° 10.4
50°
30°
BD E
已知 AD﹕AB=2﹕3,BC=9cm,求DE的长.
变变式式21如：图如(图3)(2,)D,,DE,分E别分是别△是A△BCAB的C的AB边,AACB边,A上C的上的点，点,点D
△与AD点EB∽是△对A应CB点. . △ADE ∽△ABC.
已知∠ADE＝∠C，AD＝2cm,DB＝4cm,AC＝10cm,求AE的长. 已知AD﹕DB=2﹕3,BC=9cm,求DE的长.
A
寻找对应边的方法:
①根据边的大小程度找对应边。
②对应角所对的边是对应边。
注意:两个三角
形的前后顺序. A
相似三角形对应边的比,
叫做两个相似三角形的
相似比
B
如图，A′B′
AB
1
=2
B′ C
则△A′B′C′与△ABC的相似比为 1
2
而△ABC与△A′B′C′的相似比为2
A′ C′
例1:已知:如图,D,E分别是AB,AC边的中点.
E
D
A
A E
A
DE
D
B
CB
C
B
C
图1
图2
图3
小明打算制作两个相似的三角形框架，其中 一个三角形框架的三边长分别为4cm，6cm，9cm。 已知另一个三角形一条边长度为3cm， 则余下的那两条边的长度,你能帮助他确定吗？
A 9cm
6cm
B 4cm C
求证:△ADE∽△ABC.
A
D
E
Zx.xk
B
C
如图,△ADE和△ABC相似,点D和点 CB 是对应 点。根据以下不同的图形分别说出△ADE与
△ABC的对应角和对应边成比例的比例式。
E
D
A
A DE
A E
D
B
CB
图1
图2
CB 图3
C
例2、如图(1),D,E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的
点, 点D与点B是对应点.△ADE ∽△ABC.
相似三角形
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观察下图º 5
28
20
94º
A
40º
8
46º
B
D
40º
32
46º
E
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？
下图中△ABC与△DEF相似，你能确定出m与x的值吗？
C
16
m° 10.4
50°
30°
BD E
已知 AD﹕AB=2﹕3,BC=9cm,求DE的长.
变变式式21如：图如(图3)(2,)D,,DE,分E别分是别△是A△BCAB的C的AB边,AACB边,A上C的上的点，点,点D
△与AD点EB∽是△对A应CB点. . △ADE ∽△ABC.
已知∠ADE＝∠C，AD＝2cm,DB＝4cm,AC＝10cm,求AE的长. 已知AD﹕DB=2﹕3,BC=9cm,求DE的长.
A
寻找对应边的方法:
①根据边的大小程度找对应边。
②对应角所对的边是对应边。
注意:两个三角
形的前后顺序. A
相似三角形对应边的比,
叫做两个相似三角形的
相似比
B
如图，A′B′
AB
1
=2
B′ C
则△A′B′C′与△ABC的相似比为 1
2
而△ABC与△A′B′C′的相似比为2
A′ C′
例1:已知:如图,D,E分别是AB,AC边的中点.
E
D
A
A E
A
DE
D
B
CB
C
B
C
图1
图2
图3
小明打算制作两个相似的三角形框架，其中 一个三角形框架的三边长分别为4cm，6cm，9cm。 已知另一个三角形一条边长度为3cm， 则余下的那两条边的长度,你能帮助他确定吗？
A 9cm
6cm
B 4cm C
求证:△ADE∽△ABC.
A
D
E
Zx.xk
B
C
如图,△ADE和△ABC相似,点D和点 CB 是对应 点。根据以下不同的图形分别说出△ADE与
△ABC的对应角和对应边成比例的比例式。
E
D
A
A DE
A E
D
B
CB
图1
图2
CB 图3
C
例2、如图(1),D,E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的
点, 点D与点B是对应点.△ADE ∽△ABC.