人教A版选修1-2之3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
练习 1、计算
(1) (2 + 4i) + (3 − 4i)
(2) 5 − (3 + 2i) (3) (−3 − 4i) + (2 + i ) − (1 − 5i)
(4 ) (2 − i) − (2 + 3i) + 4i
练习 C D
练习、计算 练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) － (3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 已知（ 求实数a 求实数a、b的值。 的值。
• 例题2.（创新设计第10题）在复平面内， A 、B 、C三点对应的复数 分别为1， 2+i,-1+2i （1）.求向量AB,AC,BC对应的复数； 1 . AB,AC,BC （2）.判断三角形ABC的形状.
六、随堂练习
选择
uuur uuur 1、设O是原点，向量OA,OB 对应的复 是原点， 、 是原点 uuur 数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA 对应 数分别为 那么向量 的复数是( D ) 的复数是
3.两个复数的和仍然是一个确定的 两个复数的和仍然是一个确定的 两个复数的 复数； 复数； 4.复数加法的几何意义就是复数的 复数加法的几何意义就是复数的 复数加法的几何意义就是 加法可以按照向量的加法来进行； 加法可以按照向量的加法来进行； 5.复数的减法法则 实部与实部 虚部 复数的减法法则:实部与实部 复数的减法法则 实部与实部,虚部 与虚部分别相减； 与虚部分别相减；
思考? 思考?
是共轭复数，则在复平面上， 若z1,z2是共轭复数，则在复平面上，它们 所对应的点有怎样的位置关系？ 所对应的点有怎样的位置关系？
练习：已知ｚ∈Ｃ，＋z＝２＋ｉ，则ｚ等于＿＿＿． ｚ
七、课堂小结
1.复数的加法法则 实部与实部 虚部 复数的加法法则:实部与实部 复数的加法法则 实部与实部,虚部 与虚部分别相加； 与虚部分别相加； 2.复数的加法仍然满足交换律、结合 复数的加法仍然满足交换律、 复数的加法仍然满足交换律 律；
A. B. C. D.
-5+5i， ， -5-5i， ， 5+5i， ， 5-5i.
2、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面 、 则 内对应的点位于( 内对应的点位于 D )
A. 第一象限， 第一象限，
B. 第二象限， 第二象限， C. 第三象限， 第三象限， D. 第四象限 第四象限.
五、学以致用：题型1.复数的加减运算 五、学以致用：题型1.复数的加减运算
例题1
自己动动手
计算
解:
(5- 6i) +(-2- i)-(3+4i)
(5- 6i) + (-2- i) - (3 + 4i) = (5- 2- 3) + (-6-1- 4)i = -11i
注意
通过此例我们可以看到代数形 式的加、减法， 式的加、减法，形式上与多项式的 减法是类似的. 加、减法是类似的
1 2 3
Z +Z =Z +Z ， （Z +Z ）+ Z =Z +（Z +Z ）
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
1.探究 探究
思考
复数与复平面内的向量有一一 对应关系.我们讨论过向量加法的 对应关系 我们讨论过向量加法的 几何意义， 几何意义，你能由此出发讨论复数 加法的几何意义吗？ 加法的几何意义吗？
例1.已知复数 z 满足 | z − 2 − 3i |= 1 已知复数 试求出复数 z 对应点的轨迹方程 对应点的 轨迹方程. 轨迹方程
y
x
★练习
1,满足条件 | z − i |=| 3 + 4i | 的复数 z 在复平面上对应点 满足条件 的轨迹是( 的轨迹是 C ) A.一条直线 一条直线 C.圆 圆 B.两条直线 两条直线 D.其它 其它
复数的减法就是 加法的逆运算. 加法的逆运算.
1. 类比复数加法的几何 意义， 意义，你能指出复数减法的 几何意义吗？ 几何意义吗？
自己画一画
r r uuuu uuuu 设OZ1， 2分别与 OZ
y
O
复数a+bi,c+di对应， uuuu r uuuu r Z2(c,d) 则OZ1 = (a,b),OZ2 = (c,d). OZ1-OZ2 由平面向量的坐标运算， Z1(a,b) uuu uuuu uuuu r r r 得OZ = OZ1 -OZ2 r r x uuuu uuuu OZ1 -OZ2 = (a-c,b-d). Z
3.过程：根据复数相等的定义，有 过程：根据复数相等的定义， 过程 复数相等的定义 c+x=a,d+y=b, 因此 x=a-c,y=b-d, 所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i, 即 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
4.结论 结论 这样我们得到复数的减法 法则就是: 实部与实部,虚部与虚部分 法则就是 实部与实部 虚部与虚部分 别相减. 别相减 由此可见，两个复数 由此可见， 的差是一个确定的复数. 的差是一个确定的复数
r uuuu uuuu r 这说明两个向量OZ1和OZ 2的差就是 复数(a - c) + (b - d)i对应的向量.
y
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
x Z
2.结论 因此， 结论 因此， 复数的减法可以 按照向量的减法 来进行， 来进行，这就是 复数减法的几何 意义（ 意义（三角形法 则）.
解答题
3.计算 计算 (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) － 解： 原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i 原式 =-1+11i
知识回顾： 知识回顾：
1，复数的加减法法则： ，复数的加减法法则： 是任意两个复数， 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数， 是任意两个复数 那么(a+bi) ±(c+di）=＿＿＿＿ 那么 ） ＿＿＿＿ ；
基本思想： 基本思想：
规定复数的减法是加法的逆运算， 规定复数的减法是加法的逆运算，即用加 法定义两个复数的差，然后只要依据复数的加法， 法定义两个复数的差，然后只要依据复数的加法， 复数相等的条件就可以得到复数减法的法则. 复数相等的条件就可以得到复数减法的法则 这里实际使用的是待定系数法，也是确 这里实际使用的是待定系数法， 定复数的一个一般方法. 定复数的一个一般方法
6.两个复数的差仍然是一个确定 6.两个复数的差仍然是一个确定 两个复数的 的复数； 的复数； 7.复数的减法就是加法的逆运算； 复数的减法就是加法的逆运算； 复数的减法就是加法的逆运算 8.复数减法的几何意义就是复数的 复数减法的几何意义就是复数的 复数减法的几何意义就是 减法可以按照向量的减法来进行； 减法可以按照向量的减法来进行；
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则 我们知道 两个向量的和满足平行四边形法则, 复 两个向量的和满足平行四边形法则 数可以表示平面上的向量， 数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的 加法是否具有一致性呢？ 加法是否具有一致性呢？
题型2.复数加减运算的几何意 题型 复数加减运算的几何意 义
2.注意 注意
类比实数集中减法的意义， 类比实数集中减法的意义，我们 规定，复数的减法是加法的逆运算， 规定，复数的减法是加法的逆运算， 即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 即把满足 的 x+yi叫做复数 叫做复数a+bi减去复数 减去复数c+di的差， 的差， 叫做复数 减去复数 的差 记作(a+bi)-(c+di). 记作
r uuuu uuuu r 这说明两个向量OZ1和OZ2的和就是 复数(a + c) + (b + d)i对应的向量.
y
Z2(c,d)
Z
Z1(a,b)
4.结论：因此，复数的 结论：因此， 结论
加法可以按照向量的加 法来进行，这就是复数 法来进行，这就是复数 加法的几何意义. 加法的几何何 理解复数的减法？ 理解复数的减法？
我们知道实数有 我们知道实数有加、 实数 减法等运算 且有运算律. 等运算， 减法等运算，且有运算律 加法交换律： 加法交换律：a+b=b+a; 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 加法结合律：
那么复数应怎样进行加、 那么复数应怎样进行加、 减运算呢？ 减运算呢？
3.2.1
1、我们规定，复数的加法法则如下： 、我们规定，复数的加法法则如下：
两个复数的和或减是一个确定的_____; 两个复数的和或减是一个确定的 2，复数的加法在几何上可 ， 以按照＿＿＿＿来进行； 以按照＿＿＿＿来进行； ＿＿＿＿来进行 减法在几何上可以按 ＿＿＿＿来进行 来进行； 照＿＿＿＿来进行；
O y Z
Z 2 (c , d )
Z1 (a , b)
x
1 .计算练习： 计算练习： 计算练习 1) (-2+3i)+(5-i)= 2) (-1+5i)-(-4i)= 3) (a+bi)-(2a-3bi)-3i= (这里 ∈R) 这里a,b 这里 2，复平面上三点A,B,C中，点A对应的 ，复平面上三点 中 对应的 复数是2+i， 对应的复数为1+2i， 复数是 ，向量 BA 对应的复数为 ， 对应的复数为3-i，求点C对应的复 向量 BC 对应的复数为 ，求点 对应的复 数。
【课堂设计】高二数学人教A版选修1-2课件3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
这表明两个复数的差 z1-z2(即������������1 − ������������2 )与连接两个向量的终点 Z1,Z2, 且指向被减数的向量对应.
思考 2 从上图看,|z1-z2|的意义是什么? 提示:表示点 Z1 与 Z2 之间的距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
复数的加减法运算
对复数进行加减运算时,要先分清复数的实部与虚部,然后将实部与实 部、虚部与虚部分别相加减.若有括号,先计算括号内的,若没有括号,可从左 到右依次进行. 【典型例题 1】 计算: (1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i); (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i). 思路分析:根据复数的加减法法则. 解:(1)原式=(3-4-3)+(-5i-i-4i)=-4-10i. (2)原式=(5-9+3)+(-7i+8i-2i)=-1-i.
(1)求������������表示的复数; (2)求������������表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.
探究一
探究二
探究三
探究四
思路分析:对于(1),可由������������=-������������求得;对于(2),由������������ = ������������ − ������������ 求得;对 于(3),可先求出������������ 的坐标,进而可知点 B 的坐标. 解:(1)∵ ������������=-������������, ∴ ������������表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.
提醒:因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从数与形两个 方面来领会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形 式上,复数加法类似于向量加法.
高中数学选修1-2教案3：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学设计
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义整体设计教材分析复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一．复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材．对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过向量加法、减法法则来进行)，它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义．2．过程与方法目标培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．3．情感、态度和价值观培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则．难点：复数加法、减法的几何意义．教学过程引入新课我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算．探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i.提出问题：问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答．活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．设计意图加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性．提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．活动设计：学生先独立思考，然后小组交流．活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．证明：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1.同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．设计意图引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．下面我们根据复数的几何意义，探究一下复数加法的几何意义．提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决．设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，则OZ 1＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，有OZ 1＋OZ 2＝(a ＋c ，b ＋d )．这说明两个向量OZ 1→与OZ 2→的和就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义． 设计意图既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想．下面我们来研究复数的减法提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义．活动设计：学生独立完成，口述，教师板书．活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c ＋d i)＋(x ＋y i)＝a ＋b i 的复数x ＋yi 叫做复数a ＋b i 减去复数c ＋d i 的差，记做(a ＋b i)－(c ＋d i)．2．复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的．设计意图考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力．提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a ＋b i)＋(－1)(c ＋d i)＝(a ＋bi )＋(－c －d i)＝(a －c )＋(b －d )i.活动成果：证明：根据复数相等的定义，有c ＋x ＝a ，d ＋y ＝b ，因此x ＝a －c ，y ＝b －d ，即(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.设计意图让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯．理解新知提出问题：问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？问题2：复数的加(减)法实质是什么？问题3：多个复数相加减怎样运算？活动设计：学生独立完成，口述，教师完善．活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．设计意图加深对复数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础．运用新知例1 计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出．解法一：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i.解法二：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2)＋(－6－1)i －(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝－11i.点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性．解法一是直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好．变式练习计算(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(99－100i)＋(－100＋101i)．思路分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加．解：原式＝(1－2＋3－4＋…＋99－100)＋(－2＋3－4＋5－…－100＋101)i ＝－50＋50i. 点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性．变练演编教师：我们知道，在复数减法的几何意义中，复数z 1－z 2与向量Z 2Z 1→一一对应，那么，z 1－z 2的模长呢？显然，|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|Z 1Z 2|，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．提出问题：设动点Z 与复数z ＝x ＋y i 对应，定点P 与复数p ＝a ＋b i 对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程．活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果．活动成果：解：设定点P 为圆心，r 为半径，如图，由圆的定义，得复平面内圆的方程|z －p |＝r .提出问题：1．复平面内满足__________的点Z 的集合表示的图形是以P 为圆心，r 为半径的不含边界的圆面部分．2．由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内点的轨迹方程．活动设计：学生分组完成，教师完善．活动成果：1.|z －p |<r2．(1)复数等式|z ＋i|＋|z －i|＝3在复平面上表示一个椭圆．(2)复数等式|z ＋i|－|z －i|＝1在复平面上表示双曲线的一支．(3)复数等式|z －z 1|＝|z －z 2|(z 1≠z 2)在复平面上表示线段的中垂线．(4)复数等式|z ＋i|＋|z －i|＝2在复平面上表示一条线段．(5)复数等式|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|在复平面上表示平行四边形对角线相等，即表示矩形． 设计意图设置本组题目，意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义，增加问题的多样性、趣味性，训练学生思维的发散性、深刻性．达标检测1．计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．2．复数6＋5i 与－3＋4i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量AB →，BA →对应的复数．3．求复数2＋i ，3－i 所对应的两点之间的距离．【答案】1.(1)5；(2)－2＋2i.2.－9－i ；9＋i. 3. 5.(提示：两复数所对应的点分别是(2,1)，(3，－1)，求这两点距离即可．)课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．若干个复数相加(减)，可以将它们的实部与虚部分别相加(减)，复数的加(减)法则与多项式的加(减)法是类似的．2．复数加(减)法的几何意义可以按照向量的加(减)法来进行．3．两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离．布置作业习题3.2 A 组1,3题．补充练习基础练习1．如果复数a ＋b i 与c ＋d i 的和是一个纯虚数，则有( )A ．b ＋d ＝0且a ＋c ≠0B ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0C ．a ＋d ＝0且b ＋c ≠0D ．b ＋c ＝0且a ＋d ≠02．当－1<m <12时，复数m (2＋i)－(1－i)在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复平面内三点A 、B 、C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．4．在平行四边形OABC 中(其中O 为原点)，点A 、B 、C 所对应的复数分别是z 1＝4＋a i 、z 2＝6＋8i 、z 3＝a ＋b i(a ，b ∈R )，求复数z 1，z 3，并求出z 1－z 3的值．【答案】1.B 2.B 3.4－2i 4.z 1＝4＋2i ；z 3＝2＋6i ；z 1－z 3＝2－4i.拓展练习5．在复平面内，求满足方程|z ＋i|＋|z －i|＝4的复数z 所对应的点的轨迹．6．复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.【答案】5.提示：方程可以变形为|z －(－i)|＋|z －i|＝4，表示到两个定点(0，－1)和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆．6．提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线的长度为2，则所求的另一条对角线的长度也等于 2.法二：(向量法)设z 1，z 2所对应的向量分别是a ，b ，将|z 1＋z 2|＝2两边平方得a ·b ＝0，则(z1－z2)2＝2，所以|z1－z2|＝ 2.设计说明本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题入手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念．对于复数减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生．。
高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义教学案 新人教a版选修1-2
§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.【重点难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；难点：加、减运算的几何意义。
【知识链接】（预习教材P 66~ P 67，找出疑惑之处）复习1：试判断下列复数14,72,6,,20,7,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.复习2：求复数2log 3z i =的模【学习过程】※ 学习探究探究任务一：复数代数形式的加减运算规定：复数的加法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。
()()()()a bi c di a c b d i +++=+++很明显，两个复数的和仍然是 .问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z +=+123123()()z z z z z z ++=++探究任务二：复数加法的几何意义问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ +=（ ）新知：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）试试：计算（1）(14)(72)i i +-+=（2）(72)(14)i i -++=（3）[(32)(43)](5)i i i --++++=（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[=反思：复数的加法运算即是：探究任务三：复数减法的几何意义问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算.新知：复数的减法法则为：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.※ 典型例题例1 计算 (56)(2)(34)i i i -+---+变式：计算（1）()845i -+（2）()543i i --（3())29i i +---小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求：（1）AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数.变式： ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：B A AB z z =-※ 动手试试练1. 计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+；（3）(34)(2)(15)i i i --++--；（4）(2)(23)4i i i --++练2. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，求向量AB ，BA 对应的复数.【学习反思】※ 学习小结两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行.※ 知识拓展复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件2. 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i -3. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 2i i +在复平面内表示的点在第 象限.5. 已知134z i =+，点2z 和点1z 关于实轴对称，点3z 和点2z 关于虚轴对称，点4z 和点2z 关于原点对称，则2z = ；3z = ；4z =1. 计算：（1）(65)(32)i i -++；（2）5(22)i i -+； （3）2213()(1)()3324i i i ++--+； （4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-2. 如图的向量OZ 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量：（1）1z +；（2）z i -；（3）(2)z i +-。
高二数学人教A版选修1-2课件：3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
∴以
������������1 , ���为������邻���2边的平行四边形OZ1ZZ2为菱形.
又|z1+z2|=
,∴2∠OZ1Z=90°.
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形,故|z1-z2|=
2.
案例探究
思悟升华
本题的两种解法分别从不同角度解决问题.常规解法利用复数代数形式的加、减运算,是代数运算.巧妙解法 则利用复数加、减法的几何意义,运算简单,直观易懂
解:(1)原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.
(2)原式=(-1+i)+
0+(+1+i)12
=-1+i+1+(1+i)=1+2i.
知识精要
典题例解
迁移应用
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
二、复数加减法几何意义的应用 1.两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和;两个复数对应向量的差向量所对应的复 数就是这两个复数的差. 2.求两个复数对应向量的和,可使用平行四边形法则或三角形法则. 3.在确定两复数的差所对应的向量时,可按照三角形法则进行.
一二
知识精要
典பைடு நூலகம்例解
迁移应用
2.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量
������������
对应的复数为1+2i,向量
对应的���复������数��� 为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.
解:(1)∵向量 对应������的������复数为1+2i,向量
3.2 复数代数形式的四则运算
高二数学人教A版选修1-2：3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件
设向量O→Z1及O→Z2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋ 2i.
如下图所示，Z→2Z1即为 z1－z2 所对应的向量． 根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连结向量O→Z1，O→Z2
第三页，编辑于星期一：点 五十九分。
已知复数 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i 及其对应的向量O→Z1＝ (x1，y1)，O→Z2＝(x2，y2)．以O→Z1和O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表示的向量O→Z＝O→Z1＋O→Z2， 而O→Z1＋O→Z2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复 数之和 z1＋z2 所对应的有序实数对．
第二十六页，编辑于星期一：点 五十九分。
3．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1＋2i，
－2－3i，则B→C对应的复数为
()
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
[答案] A [解析] B→C＝A→C－A→B，故B→C对应的复数为(－2－3i)－ (－1＋2i)＝－1－5i.
即 B 点对应的复数为 1＋6i.
第十四页，编辑于星期一：点 五十九分。
[点评] 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因 此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复 数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用 几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为 工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平 面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判 断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解 释 为 ： 平 行 四 边 形 两 对 角 线 长 相 等 ， 故 四 边 形 OACB 为 矩 形．
高中数学人教A版选修1-2第三章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课件
2．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z－ 3|2＋|z－2i|2 的最大值 和最小值． 解：如图所示，在圆面上任取一点 P，与复数 zA＝ 3，zB ＝2i 对应点 A，B 相连，得向量―PA→，―P→B ，再以―P→ A ，―P→B 为邻边作平行四边形．
P 为圆面上任一点，zP＝z， 则 2|―PA→|2＋2|―P→B |2＝|―A→B |2＋(2|P―O→′|)2＝7＋4|P―O→′|2，(平行四 边形四条边的平方和等于对角线的平方和)， 所以|z－ 3|2＋|z－2i|2＝127＋4z－ 23－i2. 而z－ 23－imax＝|O′M|＋1＝1＋ 243， z－ 23－imin＝|O′M|－1＝ 243－1. 所以|z－ 3|2＋|z－2i|2 的最大值为 27＋2 43，最小值为 27－2 43.
所以5－x－3x5＋y＝4y5＝，－3， 解得 x＝1，y＝0， 所以 z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则 z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2) 2
复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加 减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要 准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先； 若无括号，可以从左到右依次进行计算．
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
高中数学人教A版选修1-2课件3-2-1复数的代数形式的加减运算及其几何意义2
变式训练
计算： (1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)－(2＋2 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解 (1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)－(2＋2 2i) ＝(－1＋1－2)＋( 2＋ 2－2 2)i＝－2. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
→
→
设复数z1，z2对应的向量为 OZ1 ， OZ2 ，则复数z1＋z2是以
→→ __________所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1与OZ2的终点并指
向__________所对应的复数.
1.(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i 答案 → → 2.OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的
(1)A→O表示的复数； →
(2)CA表示的复数； (3)B 点对应的复数．
→→ 解 (1)AO＝－OA，
→ ∴AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
→ →→→ → (3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，
人教版 选修1-2
第三章 数系的扩充与复数 的引入
3.2.1 复数的代数形式的加减运算 及其几何意义
自学导引
了解复数代数形式的加减运算的几何意义，能进行复数代数
形式的加减运算.
课前热身
1.复数的加减法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __________.
数学人教A版选修1-23.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
§3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．知识点一 复数代数形式的加减法思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.思考2 若复数z 1，z 2满足z 1－z 2>0，能否认为z 1>z 2? 答案 不能，如2＋i －i>0，但2＋i 与i 不能比较大小． 梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，那么(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i. (2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋bi ，c ＋di 对应，则OZ 1→＝(a ，b)，OZ 2→＝(c ，d)，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d)，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1―――→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √)2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √) 3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( ×)类型一 复数的加、减法运算例1 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法的综合应用解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.(2)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z|与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋bi)－(2a －3bi)－3i ＝________(a ，b ∈R)． (3)已知复数z 满足|z|＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋bi)－(2a －3bi)－3i＝(a －2a)＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，|z|＝x 2＋y 2，∴|z|＋z ＝(x 2＋y 2＋x)＋yi ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义 例2 已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i. (1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出z 1－z 2的运算结果所对应的向量． 考点 复数的加减运算法则 题点 复数加减法与向量的对应解 (1)z 1－z 2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.(2)在复平面内作z 1－z 2的运算结果所对应的向量，如图中所示的OZ →.反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算． 跟踪训练2 已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 C解析 z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i ，故复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C. 类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用例3 已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．考点 复数加减法的几何意义的应用 题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题解 由已知得，在复平面内复数z 对应的点Z 在以原点为圆心，半径为2的圆上． 设w ＝1＋3i ＋z ，∴z ＝w －1－3i ， ∴|z|＝|w －(1＋3i)|＝2，∴在复平面内复数w 对应的点在以(1，3)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)， 故|1＋3i ＋z|max ＝4，|1＋3i ＋z|min ＝0.反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即AB →所对应的复数是z B －z A ，BA →所对应的复数是z A －z B ，不可把被减数与减数弄错． 跟踪训练3 在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8iD ．1＋4i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 C解析 AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i. 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z. 又AB →＝DC →，∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( ) A ．1B ．－iC ．5＋2iD ．1－i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 A解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.2．在复平面内，向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0D ．10＋8i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 C解析 OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 故OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝22，|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于( ) A ．1B.12C ．2D ．2 2考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z 1，z 2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1－z 2|＝2 2.4．若z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，x 2，y 1，y 2∈R)，则|z 2－z 1|＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2解析 ∵z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ， ∴z 2－z 1＝(x 2－x 1)＋(y 2－y 1)i ， ∴|z 2－z 1|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.5．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则2z 1＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 8＋2i解析 两式相加得2z 1＝8＋2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )A．1 B．2C．－2 D．－1考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 A解析z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0， ∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3ai ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 C解析 z 1＋z 2＝(a 2＋a －2)＋(a 2－3a ＋2)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.3．设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)， 则z ＋|z|＝(a ＋a 2＋b 2)＋bi ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.4．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－1＋2i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 z ＝z 1＋z 2＝3－4i ＋(－1＋2i)＝2－2i ，z 在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限． 5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1对应的向量是( )考点复数的加减法运算法则题点复数加减法与向量的对应答案 A解析由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，故选A.6．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )A．0B．1C.22 D.12考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案 C解析由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线y＝－x，∴|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，故所求最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离22. 7．复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)满足|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．42D ．8 2考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 C解析 ∵|z －4i|＝|z ＋2|，且z ＝x ＋yi ，∴|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋yi|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，∴x ＝－2y ＋3，∴2x ＋4y ＝2－2y ＋3＋4y ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋4y ≥42， 当且仅当8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＝4y ， 即y ＝34时，等号成立． 二、填空题8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 16i解析 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.9．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是z ＝________.考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 115＋3i 解析 设这个复数为z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，∴x ＋yi ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝5，y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝115，y ＝ 3.∴z ＝x ＋yi ＝115＋3i. 10．已知z 1＝(3x ＋y)＋(y －4x)i ，z 2＝(4y －2x)－(5x ＋3y)i(x ，y ∈R)．若z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 5－9i －8－7i解析 z ＝z 1－z 2＝[(3x ＋y)＋(y －4x)i]－[(4y －2x)－(5x ＋3y)i]＝(5x －3y)＋(x ＋4y)i ，又z ＝13－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i ＝－8－7i.11．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a 2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C ＝－b ＋ai ，a ，b ∈R ，则a －b ＝________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 －4解析 因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a 2i ＋(－b ＋ai)＝－2a ＋3i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝6.故a －b ＝－4. 三、解答题12．(1)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－yi(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求x ＋yi ；(2)已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，求实数a 的值． 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 (1)∵z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y)i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，∴x ＋yi ＝2＋8i. (2)∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.13．复数z 1＝3m －1－2mi ，z 2＝－m ＋m 2i ，m ∈R.若z 1＋z 2>0，求实数m 的值．考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 z 1＋z 2＝(3m －1－2mi)＋(－m ＋m 2i)＝(3m －1－m)＋(m 2－2m)i.∵z 1＋z 2>0，∴z 1＋z 2为实数且大于0， ∴⎩⎨⎧ 3m －1－m>0，m 2－2m ＝0，3m －1≥0，解得m ＝2.四、探究与拓展14．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 考点 复数的加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 3解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋[(a ＋1)－(b ＋2)]i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，∴a ＋b ＝3.15．设z 为复数，D 为满足条件||z|－1|＋|z|－1＝0的点Z 所构成图形的边界．(1)若复数ω＝12z ＋1－2i(其中z ∈D)，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；(2)若满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －32i 的点所构成的图形D ′与D 有两个公共点A ，B ，OA ，OB 的倾斜角分别为α，β(O 为原点)，求cos(α＋β)的值．考点 复数加减法几何意义的应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)由已知得||z|－1|＝－(|z|－1)，∴|z|－1≤0，即|z|≤1，∴|z|＝1.又∵ω＝12z ＋1－2i ，∴ω－1＋2i ＝12z ， ∴|ω－(1－2i)|＝12|z|＝12， ∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，12为半径的圆上运动． 圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝12. (2)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，∵|z|＝1，∴x 2＋y 2＝1.① 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －32i ，得x ＝－3y ＋2.② 把②代入①整理得10y 2－12y ＋3＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝65，y 1·y 2＝310. 又x 2＋y 2＝1，设x 1＝cosα，x 2＝cosβ，y 1＝sinα，y 2＝sinβ，∴sinα·sinβ＝y 1·y 2＝310， cosα·cosβ＝x 1·x 2＝(－3y 1＋2)(－3y 2＋2)＝9y 1y 2－6(y 1＋y 2)＋4＝－12. ∴cos(α＋β)＝－45.。
人教版高中数学选修1-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》
表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： → → (1)AO 所表示的复数，BC 所表示的复数； → (2)对角线CA 所表示的复数； → → (3)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度．
【思路点拨】 画出图形，作出相应的向量借用 向量加减法求复数．
【解】 如图所示， → → → (1)∵AO ＝－OA，∴AO 所表示的复数为－3－ 2i. → → → ∵BC＝ AO ，∴BC所表示的复数为－ 3－ 2i.
4. 复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 说明：两个复数的差是一个确定的复数 .
探究点5.复数减法运算的几何意义 复数z2－z1 向量Z1Z2
y
符合向量 减法的三 角形法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
探究点3 复数与复平面内的向量有一一对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 , OZ2 分别与复数a+bi,c+di对应
y
Z
Z2(c,d)
OZ2 =(c,d) OZ1=（a,b），
OZ1 + OZ2 =（a+c,b+d）
Z1(a,b)
OZ =(a+c)+(b+d)i
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2复数代数形式的四则运算
引入
随着生产发展的需要，我们将数的范围扩
展到了复数
a bi
实部 虚部
运算是“数”的最主要的功能，复数不同于 实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的 整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简 单的复数运算——复数的加、减法．
人教A版高中数学选修1-2：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( ) A．0 B．2iC．6 D．6－2i2．复数i＋i2在复平面内表示的点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( ) A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i4．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋b i为( ) A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( ) A．－3i B．3iC．±3i D．4i6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(2011-2012i)＋(-2012＋2013i)＋(2013－2014i)等于( )A．－1007＋1007i B．1007＋1007iC．－1007-1007i D．1007-1007i二、填空题7．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P，Q，则向量PQ→对应的复数是____．8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是________．三、解答题9．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量BA→对应的复数1＋2i，向量BC→对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．10．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB→，BC→，AC→对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．3．2.1答案1．D 2．B 3．C4．D 5．B 6．D7．3＋i8.115＋3i9．解∵AC→＝BC→－BA→，∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，设C(x，y)，则(x＋y i)－(2＋i)＝2－3i，∴x＋y i＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．10．解(1)AB→对应的复数为2＋i－1＝1＋i，BC→对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，AC→对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，(2)∵|AB→|＝2，|BC→|＝10，|AC→|＝8＝22，∴|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2，∴△ABC为直角三角形．(3)S△ABC＝12×2×22＝2.。