高等数学,清华大学出版社资料52页PPT
合集下载
高等数学PPT(电子高专)
y = f [ϕ(x)]
因变量 内部函数
外部函数
初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的 函数，称为初等函数. 初等函数. 初等函数
y 如 y = ln(sin 2x) + x2， = e
arctan x
+ cos x 等都是初等函数，
而 y = x 不是初等函数。
背景12函数的极限121函数的极限的概念函数的极限122单侧极限123数列的极限124无穷大与无穷小125函数极限的运算第一节函数及其图形一案例二概念和公式的引出三进一步练习121函数极限的概念一一案例将一盆80房间里水的温度将逐渐降低随着时间的推移水温会越来越接近室温20案例1水温的变化趋势在某一自然保护区中生长的一群野生动物其群体数量会逐渐增长但随着时间的推移由于自然环境保护区内各种资源的限制这一动物群体不可能无限地增大它应达到某一饱和案例2自然保护区中动物数量的变化规律状态如右图所示
1 t ≥ 0 u(t) = 0 t < 0
练习5 个人所得税 个人所得税] 练习 [个人所得税 我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国 个人所得税法》规定月收入超过800元为应纳税所得 额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．
级 数 1 2 全 月 应 纳 税 所 得 额 不超过500元部分 不超过500元部分 500 超过500元至2000元部分 超过500元至2000元部分 500元至2000 税 率 (％) 5 10
0 f (x) = A
−π ≤ x < 0 0 ≤ x <π
二、 概念和公式的引出 分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式 表示的函数称为分段函数 分段函数． 分段函数
清华微积分(高等数学)课件第五讲导数与微分(一)35页PPT
lxi m 0f(xx0)f(x0)
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f(xx0)f(x0)o(1)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o (x )
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 A ( x 0 微 ) f ( x 0 )
24.04.2020
16
[证] (2) 设函 f(x 数 )在x 点 0可微
f ( x 0 ) A ( x 0 ) x o (x ) (x 0 )
f(x0)lxi m 0f(xx0)
limA(x0)xo(x)
x0
x
A(x0)
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 f ( x 导 0 ) A ( x 0 )
24.04.2020
17
定理2：若函 f在 x 0 数 可 ,则 导 f在 x 0连 .
f 在x0 左 可 导
右导数
lx i0 m f(x0x x )f(x0)f (x0)
f 在x0 右 可 导
定理： 函数f 在点 x0可导f 在x0的
左、右导数都存等在 ,即且相
24.04.2020 f(x0)存在f(x0) f(x01)1
3. 导函数定义：
• 若函f在 数开(区 a, b)间 上处处
[证] f在 x0可 导 lx i0m x yf(x0)
y f ( x 0 ) x ( x ) x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质
三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
24.04.2020
1
一、引言
两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 xx(t) 求在时刻 t 0的瞬时速度.
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f(xx0)f(x0)o(1)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) x o (x )
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 A ( x 0 微 ) f ( x 0 )
24.04.2020
16
[证] (2) 设函 f(x 数 )在x 点 0可微
f ( x 0 ) A ( x 0 ) x o (x ) (x 0 )
f(x0)lxi m 0f(xx0)
limA(x0)xo(x)
x0
x
A(x0)
即 f ( x ) 在 x 0 可 点 ,且 f ( x 导 0 ) A ( x 0 )
24.04.2020
17
定理2：若函 f在 x 0 数 可 ,则 导 f在 x 0连 .
f 在x0 左 可 导
右导数
lx i0 m f(x0x x )f(x0)f (x0)
f 在x0 右 可 导
定理： 函数f 在点 x0可导f 在x0的
左、右导数都存等在 ,即且相
24.04.2020 f(x0)存在f(x0) f(x01)1
3. 导函数定义：
• 若函f在 数开(区 a, b)间 上处处
[证] f在 x0可 导 lx i0m x yf(x0)
y f ( x 0 ) x ( x ) x
第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质
三、函数的微分 四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
24.04.2020
1
一、引言
两个典型背景示例
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 xx(t) 求在时刻 t 0的瞬时速度.
2019年-高等数学,清华大学出版社-PPT精选文档
播放
无限增大时, x n 是否无限接近于某一 问题: 当 n 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
n 1 ( 1 ) 当 n 无限增大时 ,x 1 无限接近 1 . n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.Βιβλιοθήκη x 1(1) nn1
1 1 n n
其中 : 每一个或任给的 ; :至少有一个或存在 .
几何解释:
a
2
a
x
x 2 x 1 x N 1
a xN 2 x 3
当 n N 时 , 所有的点 x 都落在 ( a ,a ) 内 , n 只有有限个 ( 至多只有 N 个 ) 落在其外 .
3 . 改变数列的有限项不影 响数列的收敛性和 值 .
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A 1 正十二边形的面积 A 2
R
n 1 正6 2 形的面积 A n
A , A , A , , A , S 1 2 3 n
2、截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 2; 2 2
lim q 0 , 其中 q 1 . 例3 证明 n
n
n 则 lim q lim 0 0 ; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
n 0 q , n ln q ln , 若 0 q 1 , x n
ln n , ln q
称为数列 .其中 x n 称为通项 (一般项 ).数列 (1)记
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
清华微积分(高等数学)课件第十六讲定积分
k1
n
limf( 0k1
k)
xkC (ba)
即 bf(x )d xb C d x C (b a )
a
a
03.01.2021
编辑ppt
10
[例2] 证 明 Diric函 hle数 t
1 D(x)0
xx为 为有 无理 理在 数 数 [0, 1]上 不 可 积
[证] 任[0 给 , 1]的 一 个 xk n k 划 0 分
2
一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
曲边梯形 y f(x)
oa
03.01.2021
x x i 1 i
i
编辑ppt
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区间任意插入分点:
a x 0 x 1 x i 1 x i x n b
将 [ a ,b ]分 n 个 成 [ 子 x k 1 ,x k ]区 (k 1 ,2 , 间 ,n )
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造和 式:
k 1
f
( k
)xk ,
记
max
1 k n
xk
,
03.01.2021
编辑ppt
7
n
如 果
和
式 极 l i m 限
0 k1
f (k)xk
存
在 ,则
称f 在[a, b]上 可 ,积 记f R[a, b];并 且
称 此 极 限 值 f(x为 )在[a, b]上 的 定 积 . 分
学高数一定要看的-清华大学高等数学教材PPT资料20页
q2[x (1 )1 ]33x q2[x (1 )33(x1 )23(x1 )1 ]3x
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
高等数学完整详细PPT课件
解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法