【高等数学 东南大学】双曲函数
双曲函数
（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, ).
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数：
1、定义：双曲函数是一种定义域为实数域或复数域，取值域为实数或复数的函数，其曲线是关于原点成对的对称的双曲线，即上下对称的双曲线。
2、基本形式：双曲函数的一般形式表达式为：y=A*tanh（BX+C）或者y=A*coth（BX+C），A、B、C均为常数，A为双曲函数的拉伸系数，B决定双曲函数的斜率，C决定双曲函数的位移。
3、特点：
（1）双曲函数的大致形状和正弦函数类似，但是它的斜率比正弦函数更快；
（2）双曲函数是非线性函数，它可以用来模拟非线性系统；
（3）双曲函数的函数值不会无限接近于零，也就是说，双曲函数的函数值是有界的；
（4）双曲函数的导数和自身具有固定的比例关系，该关系仅仅取决于双曲函数的参数B。
4、应用：双曲函数在电动机控制、机器人控制、电参量控制、自动控
制等方面有着重要的应用，并且可以用来替代正弦函数和余弦函数在相应领域内的应用。
双曲函数公式
双曲函数公式
双曲函数是一种特殊函数，它由双曲线表示，它具有独特的性质，使它在很多领域都有用处。
双曲函数表示为：
y=a*sinh(x*b)+c
其中，a，b，c为常数。
双曲函数的特性有：
1. 对称性：双曲函数的函数图像关于y轴是对称的，也就是说，函数图像对称的两边的点的横坐标相等，而其纵坐标则是相反的；
2. 单调性：双曲函数的函数图像从一端到另一端是单调的，即从一端到另一端的函数值的变化是单调的；
3. 连续性：双曲函数的函数图像是连续的，也就是说，函数图像上每个点都与其他点没有断点；
4.无限性：双曲函数的函数图像是无限的，也就是说，函数图像一直延伸到正负无穷大，而不会停止。
双曲函数有很多应用，比如在物理学中，它被用来描述电荷在自由空间中的运动；在数学中，它被用来描述正弦函数、余弦函数等函数的变化；在工程学中，它被用来描述抛物线的变化等。
双曲函数的另一个重要用途是，它可以用来求解椭圆方程，这使得椭圆在很多领域都得到了应用。
因此，双曲函数是一种特殊函数，它具有独特的性质，使它在很多领域都有用处，它的应用极其广泛。
高等数学第六节 双曲函数
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
积分变换 东南大学 第四版第二章3节
( 2)
为 Lnz 的一单值函数 , 称为 Lnz 的主值 (主值支 )
故
Lnz = ln z + i 2kπ
(k ∈ Z )
例如 当 z = a > 0 Lnz 的主值 ln z = ln a Lnz = ln a + 2π ik k ∈ Z 当 z = a ( a > 0) Lnz 的主值 ln z = ln a + πi Lnz = ln a + ( 2 k + 1)πi 特别 a = 1 ln( 1 ) = ln 1 + π i = π i
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1) shz , chz 都是以 2π i为周期的函数
2)chz 偶函数 , shz 奇函数
3 ) ( chz )' = shz
( shz )' = chz
shz 和chz 在整个复平面内处处解 析
4) 由定义 shiy = i sin y chiy = cos y ch( x + iy) = chx cos y + ishx sin y
Ln ( 1 ) = ( 2 k + 1 )π i
1) w = Lnz 不仅对正数有意义 ,对一切非零 复数都有意义 .(负数也有对数)
2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性 ,这与实函数不同 . (2) 对数函数的性质 2 1) Ln( z1 z 2 ) = Lnz 1 + Lnz 2 , 但 Lnz ≠ 2 Lnz
其它三角函数的定义(详见P51) 1 sinz cosz 1 secz = cscz = tanz = cotz = sinz cosz sinz cosz
定义
双曲函数表示级数封闭形和式
双曲函数表示级数封闭形和式
双曲函数是一种常见的数学函数，在几何图形和函数有很多应用。
双曲函数能表示级数封闭形成，是一种方便可靠的表示形式。
在微积分学中，级数封闭形的应用很广，如傅里叶级数和拉普拉斯级数等等。
几何图形上也有很多应用，使得空间图形的描绘更加精确和清晰。
双曲函数形式描述类似如下：y=a/b*cosh(x/b)。
其中，a为函数在原点处的加权因子，b为函数图像弯曲因子，cosh为双曲函数。
双曲函数表示级数封闭形和式，需要满足四个条件：一是双曲函数主值无穷大；二是双曲函数的变量单位长度，双曲函数在每个变量单位长度上的变化量都是恒定的；三是变量的变化趋势，变量变化的趋势必须保持一致；四是级数封闭形，双曲函数的变量有上限，参数变量的级数封闭形态。
双曲函数表示级数封闭形和式，可用于几何图形的描绘中，可以起到非常好的参考作用。
它对于函数的研究也有很多的帮助，有助于精确地描绘函数性质和变化趋势，以识别重要的函数表解析几何关系。
总之，双曲函数表示级数封闭形和式，是一种方便可靠的表示形式，在微积分学和几何图形等方面，都有很多应用，可以用来表示几何图形更加精确和清晰，以及拓展函数学研究，是一种重要的数学工具。
高等数学课件：双曲函数介绍
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
y
y chx
o
x
1
o
1 ch2 x
。
在这里仅证公式（1）。
shxchy chxshy
ex ex ey ey ex ex ey ey
2
2
2
2
exy e yx exy e(xy) exy e yx exy e(xy)
4
4
e x y e(x y) sh(x y) 。 2
（五）反双曲函数
这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
在 y shx e x ex 中令ex u ，得 2
u2 2uy 1 0 ，u y y2 1 ，
∵u ex 0 ，∴u y y2 1 ，
即ex y y2 1 ， x ln( y y2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x2 1 ) ，x (, ).
双曲函数
（一）双曲函数的定义
（1）双曲正弦函数： shx ex ex ， 2
（2）双曲余弦函数：chx ex ex ， 2
（3）双曲正切函数：thx
shx chx
ex ex
ex ex
。
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y y arshx
y y archx
o
双曲函数知识点总结
双曲函数知识点总结双曲函数的定义域是实数集，而值域是实数，它们的定义如下：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))双曲函数和普通的三角函数在函数定义和性质上有一些类似，但也有很多不同之处。
接下来我们将重点介绍双曲函数的性质、导数和积分等知识点。
一、双曲函数的性质1. 双曲函数的奇偶性双曲正弦函数sinh(x)是奇函数，即sinh(-x) = -sinh(x)双曲余弦函数cosh(x)是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)2. 双曲函数的增减性双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)都是增函数3. 双曲函数的双曲恒等式双曲恒等式是指双曲函数之间的一些关系式，例如：cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))二、双曲函数的导数双曲函数的导数也是双曲函数，具体如下：sinh'(x) = cosh(x)cosh'(x) = sinh(x)tanh'(x) = 1 / cosh^2(x)三、双曲函数的积分双曲函数的积分也是双曲函数，具体如下：∫cosh(x)dx = sinh(x) + C∫sinh(x)dx = cosh(x) + C∫tanh(x)dx = ln|cosh(x)| + C在实际的数学问题中，双曲函数的应用非常广泛，特别是在微积分中的积分计算和微分方程的求解中起到重要作用。
同时，双曲函数也在工程、物理、经济学等应用领域中发挥着重要的作用。
总之，双曲函数在数学中起着重要的作用，它们的定义和性质与普通函数有一些相似之处，但也有很多不同之处。
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这里仅推导反双曲正弦函数的表达式。
在 y shx e x ex 中令ex u ，得 2
u2 2uy 1 0 ，u y y2 1 ，
∵u ex 0 ，∴u y y2 1 ，
即ex y y2 1 ， x ln( y y2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x2 1 ) ，x (, ).
（六）反双曲函数的图象
y y arshx
y y archx
o
x
o1
x
y y arthx
-1 o
1
x
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
（1）双曲正弦函数： shx ex ex ， 2
（2）双曲余弦函数：chx ex ex ， 2
（3）双曲正切函数：thx
shx chx
ex ex
ex ex
。
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ， 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在(0, ) 内 单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
y
y shx
y
y chx
o
x
1
o
1 ch2 x
。
在这里仅证公式（1）。
shxchy chxshy
ex ex ey ey ex ex ey ey
2
2
2
2
exy e yx exy e(xy) exy e yx exy e(xy)
4
4
e x y e(x y) sh(x y) 。 2
（五）反双曲函数
（1）反双曲正弦函数： arshx ln( x x2 1 ) ， (, ) ；
（2）反双曲余弦函数： archx ln( x x2 1 ) ，x [1, ) ；
另一支为 archx ln( x x2 1 ) ，x [1, ) ；
（3）反双曲正切函数： arthx 1 ln 1 x ，x (1, 1) 。 2 1 x
x
y
1
o
-1
y thx
x
（四）双曲函数之间的关系式
（1） sh(x y) shxchy chxshy ；
（2） ch(x y) chxchy shxshy ；
（3）sh2x 2shxchx ；
（4） ch2x ch2x sh2x ；
（5）ch2x sh2x 1 ；
（6）1 th2x