东南大学高数重修试卷.ppt
高数重修试题
⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。
（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。
（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。
（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。
（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。
42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。
（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。
（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。
（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。
4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。
（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。
（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。
（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。
⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷8套
东南大学高等数学（A ）期末试卷03年——10年2003级高等数学（A ）（下）期末试卷一. 填空题（每小题3分，满分15分）：1．幂级数11(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
2．当常数p 满足条件时，级数1(1)n n ∞=-∑绝对收敛。
3．设2sin ()(1)zf z z z=-，则()f z 在0z =的留数Re [(),0]s f z = 。
4．微分方程()9()0y x y x ''''-=的通解为 。
5．设C 为抛物线21y x =-上自点A （-1，0）到点B （1，0）的一段弧，则曲线积分22()()()C AB x y dx x y dy ++-⎰的值为 。
二.单项选择题（每小题4分，满分12分）：1．微分方程356x y y y xe '''-+=的特解形式为（其中A 、B 为常数） （ ） （A ）3x y Ae *= （B ）3x y Axe *= （C ）3()x y Ax B e *=+ （D ）3()x y x Ax B e *=+2．设2,02()0,24x x f x x +≤<⎧=⎨≤<⎩，1()sin ()4n n n xS x b x π∞==-∞<<+∞∑，其中 401()sin (1,2,)24n n xb f x dx n π==⎰，则(2)(9)S S +-等于 （ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）5 （D ）73．设级数1(1)n n n a ∞=-∑条件收敛，则必有 （ ）（A ）1n n a ∞=∑收敛 （B ）21n n a ∞=∑收敛（C ）11()n n n a a ∞+=-∑收敛 （D ）21n n a ∞=∑与211n n a ∞-=∑都收敛三．（每小题7分，满分35分）：1．计算积分10xydx dy y⎰。
2． 计算复积分2221(1)x ce dz z z --⎰，其中c 为正向圆周：3z =。
东南大学高数A下学期末试卷及答案 03-09
[ （B）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
]
f ( y 2 − 3 z ) 所确定的隐函数，其中 f 可微，求
2y
∂z ∂z + 3x . ∂x ∂y
2．确定 λ 的值，使曲线积分
C
∫(x
2
+ 4 xy λ ) dx + ( 6 x λ −1 y 2 − 2 y ) dy 在 XoY 平面上与路径
；
处的函数值 S (−1) = 8．设 C 为正向圆周： z = 1 ，则
学号
� ∫
C
sin z dz = z2
；
9．设 f ( z ) 在 z 平面上解析， f ( z ) =
∑a z
n =0 n
∞
n
，则对任一正整数 k ，函数
f ( z) 在点 z = 0 zk
的留数 Res
f ( z) ;0 = k z
n =1
∞
2n sin 2 n x 的敛散性；当级数收敛时，判别其是绝对收敛，还是条件收敛？ n
四（15） ． （本题满分 10 分）将函数 f ( z ) =
1 分别在圆环域（1）1 < z < +∞ ； （2） z (1 + z )
2
1 < z − 1 < 2 内展开成罗朗级数。
共 4 页
第 3 页
∫x
L
x 2 + y 2 dx + y x + x 2 + y 2 dy ，
(
)
其中 L 是从点 A(2,1) 沿曲线= y
x − 1 到点 B (1, 0) 的一段。
三（14） ． （本题满分 9 分）试就 x 在区间
东南大学10112高数期末试题有答
10-11-2高数期末试卷(150分钟)一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．2lim ()()a xbx x x a x b e +→∞⎛⎫= ⎪--⎝⎭；2．曲线sin()ln()(0,1)xy y x x +-=在点的切线方程是1y x =+；3．曲线3221x y x =+的斜渐近线方程是2y x=；4．若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则3b =；5．函数()ln(12)0(0)n y x x n y =-==在处的阶导数2(1)!n n --；6．设可导函数220()sin x yxt y y x e dt x t dt +-==⎰⎰是由方程所确定，则1 x dydx =-=； 7．2π=⎰4 π-；8．1x -=⎰23-； 9．微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的特解是1y x=。
二.按要求计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 10．求极限20(sin sin(sin ))sin lim1cos x x x x x →-- 13= 11. 求反常积分211 (1)dx x x +∞+⎰1ln 22= 12．求定积分1sin ln exdx ⎰()1sin1cos122e =-+ 13．求不定积分1sin 2cos dx x x ⎰ ()1sec ln csc cot 2x x x C =+-+三（14）．（本题满分7分）设sin , 02(),0,()0, 2x x f x x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=≥=⎨⎪>⎪⎩，分别求022x x ππ≤≤> 与 时积分()()xf tg x t dt -⎰的表达式。
()()()() ()()()()sin , 021, 2x xx x xf tg x t dt f x u g u dux u g u du x g u du ug u du x x x x x ππ-=-=-=-⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰关键步骤：四（15）．（本题满分8分） 求由sin , (0)2y x x y x x π==≤≤所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
东南大学大一公共课高等数学期末考试卷
东 南 大 学 考 试 卷 B 卷课程名称： 高等数学(下) 考试学期 XX 得分适用专业：非电类各专业 考试形式：闭卷 考试时间长度：150分钟 共2页一．单项选择题（每小题4分，满分16分）：1．设(,)u u f x y xy x y∂=+∂∂2具有二阶连续偏导数,则等于 [ ] （A ）22xyf （B ）1222xf xyf +（C ）21222f xf xyf ++ （D ）2111222()f f x y f xyf ++++2．设{(,)02,0D x y y x =≤≤≤，则Dxdxdy ⎰⎰的值为 [ ]（A ）23（B ）1 （C ）2 （D ）π 3．设C 是从(2,0)B 经(1,1)A -到(0,0)O 的有向折线，则曲线积分3232()()C I x xy dx y x y x dy =++++⎰的值等于 [ ]（A ）5 （B ）4 （C ）-5 （D ）-84．设级数1(1)n n n a ∞=-∑条件收敛，则必有 [ ]（A ）1n n a ∞=∑收敛 （B ）21n n a ∞=∑收敛（C ）21n n a ∞=∑与211n n a ∞-=∑都收敛 （D ）11()n n n a a ∞+=-∑收敛二．填空题（每小题3分，满分15分）：1．设向量{1,2,3},{1,1,0}a b ==，若非负实数β使向量a b β+与a b β-垂直，则β= 。
2．幂级数11(1)2n n n x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
3．函数222()()2()u x y z x y z =-+---在点(1,2,2)M 处方向导数的最大值是 。
4．若函数(,)z f x y =可微，且22(,)1,(,)x f x x f x x x ==，则当0x ≠时，2(,)y f x x = 。
5．交换积分次序2113(3)20010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰ 。
高等数学重修复习题(完整版)
x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（ ）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（ ）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx
东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)
东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。
x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。
东南大学高数试卷及答案-14-15-3高等数学教学B日历
J8-101
第6周
1,3
4.7-10
3-4
1-2
2
空间曲面与空间曲线，多元函数概念、极限与连续
张勤
J8-101
5
4.10
3-4
2
平面与直线，空间曲面与空间曲线，4.6清明节放假
张勤
J8-101
第7周
1,3,5
4.13-17
3-4
1-2,3-4
6
偏导数，全微分与梯度，复合函数微分法，数学试验（1）
张勤
J8-101
第8周
1,3
4.20-24
3-4
1-2
4
隐函数微分法，（自学：微分法的几何应用），方向导数
张勤
J8-101
5
4.24
3-4
2
极限与连续，偏导数，全微分与梯度，微分法，几何应用
张勤
J8-101
第9周
1,3,5
4.27-30
3-4
1-2,3-4
4
多元函数的泰勒公式与极值，多元数量值函数积分的概念与性质
东 南 大 学 教 学 日 历
2014-2015学年第3学期
高等数学B课程05系1-4班 人数125
时数分配
总时数
讲
课
习题课
实
验
课程设计
期中测验
考
试
考
查
教学计划上时数
96
80
14
2
课内外时数比例
课程总学分
每周答疑单位数
本学期学分
批改作业数
教学参考书书名
起讫日期
周次及
讲课
实验（或实习）
星期
日期
东南大学高等数学(A,B)(上册)期中试卷及答案(2003_～2009)
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.0=x ,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()--x xy e xy dx x xy e5.(1)!--n6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e2.lim 0→+∞=x3. 212()24(1)'=+-y e πππ 4.设222sin , 1=-=-dy d yt dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。
六、（8分）2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。
七、（6分）设3()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。
八、（8分）所求点为(, )22P a 。
2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. ()10(0)90=f4.1(1,)2-- 5. ()()()()()211, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D2三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 0111lim cot sin 6→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭x x x x2. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x yx yx dy x y y x 4. 2222322d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==-++y y t x t t x t t . 5. 1,1,12===a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。
东南大学08-09-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准.
08-09-3高数A期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.设幂级数的收敛半径是，则幂级数的收敛区间是；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.将函数在上展开为余弦级数，其和函数在点处的函数值；7. 设为圆周，取逆时针方向，则积分的值是；8.留数；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）判别级数的敛散性．解，（5分）由比值法得知级数收敛。
（2分）12．（本小题满分8分）判别级数是否收敛，若收敛，判别是绝对收敛，还是条件收敛？并说明理由.解显然，记，令，得，当时，单调递减，由判别法得知级数收敛，（4分）且，而级数发散，由比较判别法得知级数发散，（3分）故条件收敛。
（1分）13. （本小题满分8分）将函数展开为以为周期的级数.解，（1分），（2分），（3分）于是由收敛定理得：（2分）三（14）．（本题满分7分）求幂级数的收敛域与和函数.解收敛域为，（1分）令，则（3+3分）四（15）。
（本题满分7分）将函数在圆环域内展开为级数.解（1+2分）（2+2分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）设，若存在常数，使得，则收敛.证由于，故正数列单调递减且有下界，数列收敛，（3分）从而得正项级数的部分和收敛，即收敛，再由比较判别法得收敛.（3分）或证由，得正项级数的部分和有上界，即得收敛，（3分）再由比较判别法得收敛.（3分）。
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，其中 S 为曲面 z 1 x2 y2 被 z 2 所截部分的下侧。
（B）f x, y 在点 x, y 的某邻域内有界； （C） f x, y 在点 x, y 处两个偏导数
fx x, y, fy x, y 都存在；
（D） f x, y 在点 x, y 处两个偏导数
fx x, y, fy x, y 都连续.
三．计算下列各题
1.将函数
1 f (z)
z2 1
在圆环域
，取下侧。
x2 y2 z 六．求原点到曲线
x y z 2
的最长距离和最短距离.
七．(本题满分6分) 判断级数
1 n
x
dx
n1 0 1 sin x
的敛散性,并证明你的结论.
06.5高数重修(下，电）
一．填空题( 每题４分，共２０分)
1．设
u ex cos y x
，则
2u
____。
3．球面 x2 y2 z2 1 与柱面 x2 y2 y
所围立体内部的体积 V
［］
(A)
4 2 d
sin
1 r2dr (B)
8 2 d
sin
1 r2 rdr
0
0
0
0
(C)
sin
4 2 d
1 r2 r d r (Ｄ)
d
sin
1 r2 rdr
0
0
0
0
4.设 C 是正向圆周 z 2 ，则积分
1
ÑC (z i)(z 2) dz
.
二．单项选择题
1.设 ez 1 3i 0 ,则 z [ ]
(A) (C)
ln
2
i
4
2k
ln
2
i
3
2k
(B) ln
2
i
4
2k
(D) ln 2
2．下列级数中条件收敛的是
[]
（A）
n 1
1
n
1 n2
(B)
(C)
1
1n (en2 1)
(D)
D
D : x2 y2 1, x2 y2 2x
其中
。
Ñ ３．计算第二型曲线积分： (x y)dy (x y)dx
C
x2 y2
，其中 C : x2 y2 1 ，沿逆时针方向。
４．计算第一型曲面积分： (2z xy)dS ，其中 为由曲面 z x2 y 2 与
z 2 x2 y2 所围成的立体的表面。
处的留数是 。
二．单项选择题( 每题４分，共１６分)
1．下列级数中绝对收敛的是
[]
(A) 1n 1
n 1
n
(B)
1
n1 n
(C)
1
1n (e n2 1)
(D)
1n n
n1
n 1
2．已知
(x ay)dx ydy x2 y2
为某函数的全微分，则
a 等于
［］
1 （A） 1 （B）0 （C） （D） 2
n1
1n ln1
n1
1 n
1n (1-cos )
n1
n
3．设
S
为平面
x y z 1 34
在第一卦限部分，
则
S
2
x
2 3
y
z 2
dS
[]
4 （A）
13 2
（B）13 （C）
（D）8
4．设二元函数 z f (x, y) 在点 x, y 处可微，
下列结论不正确的是
[]
（A）f x, y 在点 x, y 连续；
06暑期高数重修(下，电A）
一。填空题
1.
Res
1
z cos
z
,
0
_______.
Байду номын сангаас
2．改变积分次序：
1
dx
1 1x2
f (x, y)dy ____.
0
x
3．
y2 x2 sin y dxdy _______.
x y 1
4．幂级数
n1
1 3n n
(x
1)n
的收敛域为
。
5．设 C 为 z 3 ,取逆时针方向,则
ÑC 1coszz2 dz
[]
(A) 2i cos1 (B) 2i sin1
(C) 1 cos1
2 i
(D) 1 sin1 2 i
三．（每题７分，共３５分）
１．求曲线
x2 y2 z2 14
z
x2
1 2
y2
在点 (1, 2, 3)
处的切线方程和法平面方程。
２．计算二重积分： x(2y 3)dxdy,
2 z i
内展成罗朗级数。
2． 求函数 u ln x y2 z2 在点 A(1,5, 4)
处沿着从点 A 指向点 B(4,1, 4)
的方向的方向导数。
3．求曲线
C
:
x2 x2
2y2 3y2
3z2 z
51
在点
(1,1, 4)
处的法平面方程。
4.计算二重积分 sin y2dxdy ，其中 D
D
是由 x 0, y 1 与 y x 所围成的区域。
5.计算积分 x2 y zdv ，其中 为曲面 z 4 x2 y2 与曲面 z x2 y2
所围成的区域。
四．将
1 f (x) x2 6x 8
展成 x 1
的幂级数，并指明收敛域。
五．计算曲面积分 x2dy dz y2dz dx z 1dx dy ，其中 为曲面 z x2 y2 (0 z 1)
Ñ ５．
z
2
ez ez i
dz
四．（７分）将函数
f (x)
x2
x 5x 6
展成 x 1 的幂级数。
五．（７分）将函数 f (x) 2 3x 在
[0, ] 上展成正弦级数。
六．（８分）求级数
1
n1 (2n 1) 2n 的和。
七．（７分）计算第二型曲面积分：
x2 yzdy dz y2 zxdz dx 2zdx dy
xy
2．交换积分次序：1dx
x2
f (x, y)dy
2
dx
4x2
f (x, y)dy
0
0
1
0
3．幂级数
(1)n 2n xn
n0 n 1
的收敛域是
。
4．函数 u exy2z3 在点 M (1, 2, 1)
处的梯度 gradu M
。
1
5．函数 f (z) ze z 在奇点 z 0