第四讲：因式分解的应用(2)
因式分解的原理及应用
因式分解的原理及应用1. 原理因式分解是一种数学方法，它将一个多项式表示为多个较简单的乘积形式。
原理是找出多项式中的公因子，并将其分解为乘积的形式。
因式分解在代数中有广泛的应用，并且是解决多项式方程、简化计算和推导其他数学概念的重要工具。
因式分解的原理可以归结为以下几个关键步骤：1.找出多项式中的公因子。
这是因式分解的第一步，通过找到多项式中的公因子，可以将多项式分解为较简单的乘积形式。
2.使用分配律。
使用分配律来展开多项式，将多个项拆分为更小的乘积形式。
3.使用特定的因式分解公式。
对于一些特定的多项式形式，有一些常用的因式分解公式可以应用。
例如，平方差公式可以将一个差的平方形式因式分解为两个乘积。
4.检查是否可以再次分解。
在应用上述步骤后，检查是否可以进一步分解多项式，直到无法再分解为止。
2. 应用因式分解在数学中有广泛的应用。
以下是因式分解的一些常见应用场景：2.1 多项式方程的解通过因式分解多项式方程，可以更容易地找到方程的解。
对于一元多项式方程，通过将方程化简为乘积形式，可以把解的问题转化为求解每个因子为零的问题。
举例来说，考虑方程x2−4x=0。
通过因式分解，可以将方程化简为x(x−4)=0，然后求解得到x=0和x=4为方程的解。
2.2 多项式的简化计算因式分解可以简化多项式的计算，特别是在进行加法、减法和乘法操作时。
通过将多项式分解为较简单的乘积形式，可以减少计算的复杂度。
举例来说，考虑多项式x2+4x+4。
通过因式分解，可以将多项式简化为(x+ 2)2，从而减少了计算乘法的步骤。
2.3 推导其他数学概念因式分解在推导其他数学概念时也起着重要的作用。
例如，平方差公式可以通过因式分解的方法推导得到。
平方差公式描述了两个数的平方之差的因式分解形式。
通过因式分解，可以将差的平方形式分解为两个乘积，这是许多数学推导中常用的一种技巧。
3. 总结因式分解是一种重要的数学方法，它可以将多项式表示为多个较简单的乘积形式。
因式分解的应用
因式分解的应用1. 什么是因式分解因式分解是指将一个多项式拆分成多个乘法的形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式看作是多个因式相乘的结果，这些因式可以是整数、变量或者其他多项式。
2. 因式分解的重要性因式分解在数学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们简化复杂的多项式、解决方程以及分析函数的性质。
以下是因式分解的几个重要应用：2.1 简化多项式通过因式分解，我们可以将一个复杂的多项式简化为多个简单的乘积形式。
这样不仅可以方便计算，还可以使问题更加直观和容易理解。
2.2 解方程在解方程的过程中，因式分解可以帮助我们将一个复杂的方程转化为多个简单的因式相乘的形式。
这样可以更容易找到方程的解，减少计算的复杂性。
2.3 分析函数性质对于给定的函数，我们可以通过因式分解来分析其性质。
通过找到函数的因式分解式，我们可以确定函数的零点、极值点以及函数的图像变化趋势等重要特征，从而更好地理解和应用这个函数。
3. 因式分解的实际应用举例3.1 商业应用在商业领域中，因式分解可以应用于利润分析、成本分析以及市场需求预测等方面。
通过将复杂的商业问题转化为因式分解的形式，我们可以更容易地理解和解决这些问题。
3.2 自然科学在自然科学中，因式分解也有广泛的应用。
例如，通过将复杂的物理方程因式分解，我们可以更好地理解和研究物理规律；通过将复杂的化学反应方程因式分解，我们可以更好地分析和预测化学反应的过程。
3.3 统计学在统计学中，因式分解可以帮助我们分析数据、发现规律以及预测趋势。
通过将复杂的统计模型因式分解，我们可以更好地理解和应用这些模型，从而提高数据分析的准确性和效果。
4. 总结因式分解是数学中一种重要的思维工具，它在数学、商业、科学以及统计学等领域都有着广泛的应用。
通过理解因式分解的概念和方法，我们可以更好地解决问题、分析函数性质以及预测趋势。
因此，掌握因式分解的应用是很有价值的，对于提升数学水平和解决实际问题都有重要意义。
因式分解教案_2
因式分解教案因式分解教案篇1教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重、难点与关键1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1．ma+mb+mc=（）（）；2．x2－4=（）（）；3．x2－2xy+y2=（）2．【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究【问题牵引】（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（x+1）（x－1）=x2－1；②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；③7x－7=7（x－1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）；②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2．四、随堂练习，巩固深化课本练习．【探研时空】计算：993－99能被100整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破选用补充作业．板书设计15.4.1 因式分解1、因式分解例：练习：15.4.2 提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重、难点与关键1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．•公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my；（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．问题：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y 中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法【教师提问】多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．解：－4x2yz－12xy2z+4xyz=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）=－4xyz（x+3y－1）【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2=－[（y－x）23a2（y－x）+4b2（y－x）2]=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2=（x－y）23a2（x－y）－4b2（x－y）2=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）【例3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：0.84×12+12×0.6－0.44×12=12×（0.84+0.6－0.44）=12×1=12．【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化课本P167练习第1、2、3题．【探研时空】利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本P170习题15．4第1、4（1）、6题．板书设计15.4.2 提公因式法1、提公因式法例：练习：15.4.3 公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重、难点与关键1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式．（1）（a+5）（a－5）；（2）（4m+3n）（4m－3n）．【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．【教师活动】引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）x2－9y2；（2）16x4－y4；（3）12a2x2－27b2y2；（4）（x+2y）2－（x－3y）2；（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．【学生活动】分四人小组，合作探究．解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x－y）；（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本P168练习第1、2题．【探研时空】1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本P171习题15．4第2、4（2）、11题．板书设计15.4.3 公式法（一）1、平方差公式：例：a2－b2=（a+b）（a－b）练习：15.4.3 公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重、难点与关键1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知【问题牵引】1．分解因式：（1）－9x2+4y2；（2）（x+3y）2－（x－3y）2；（3） x2－0.01y2．因式分解教案篇2教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
《因式分解的应用》教学PPT课件
的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现
利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某
些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）
=a2+3ab+2b2
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方
形，使其面积为（3a+b）（2a+2b），在下面虚框③中画
出图形，并根据图形回答（3a+b）（2a+2b）=
03
用于整除问题 用于代数式的求值问题
04 用于判断三角形的形状
二、探索新知
应用一：用于简便计算
例1：请用简便方法计算下列各式
(1)23 2.718 34 2.718 43 2.718
（2）（1
-
1 22
)
(1
1 32
)
(1
1 42
)
（1
-
1 52
)......(
1
1 10 2
一、复习回顾
1、因式分解的概念：
一般地，把一个多项式化成几个整式的 积的形式，叫做因式分解。
2、因式分解的主要方法：
（1）提公因式法 （2）公式法 （3）十字相乘法
先看有无公因式， 再看能否套公式， 十字相乘试一试， 分组分解要合适
（4）分组分解法等
因式分解的应用
01 用于简便运算
02
目录
CONTENTS
应用二：用于整除问题 例2： 利用因式分解说明 3200 - 4 3199 10 3198能被7整除
解：原式 319（8 32 - 43 10）
3198 7
3200 - 43199 10 3198能被7整除。
多项式的因式分解及其应用
多项式的因式分解及其应用多项式因式分解是代数学中的重要内容之一，它可以将一个复杂的多项式表达式分解为简单的乘积形式，从而使问题变得更易解决。
本文将介绍多项式因式分解的基本原理和方法，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、多项式的因式分解原理及方法多项式因式分解的原理是基于整式乘法运算的逆运算，即将一个多项式分解为几个较小的因式的乘积形式。
下面以一些常见的多项式类型为例，介绍常用的因式分解方法。
1. 一次多项式的因式分解一次多项式是指次数为1的多项式，形如ax+b。
对于一次多项式，我们只需找到它的一个根 r （满足 ar + b = 0），就可以将原多项式分解为(x - r)的形式。
2. 二次多项式的因式分解二次多项式是指次数为2的多项式，形如ax^2+bx+c。
对于二次多项式，最常用的因式分解方法是配方法，即找到一个常数m，使得ax^2+bx+c=a(x+m)^2+n，其中n是常数。
然后我们将得到的等式展开并进行整理，即可得到原多项式的因式分解形式。
3. 含有因式公因子的多项式因式分解如果一个多项式中存在一个公因子，并且其他部分没有其他公因子，那么我们可以将这个公因子提取出来，并对其余部分进行因式分解。
例如，对于多项式3x^3+9x^2，我们可以先提取公因子3x^2，得到3x^2(x+3)。
4. 完全平方差的多项式因式分解如果一个多项式是两项的平方差形式，即a^2 - b^2，可以根据差的平方公式将其因式分解为(a - b)(a + b)。
二、多项式因式分解的应用多项式因式分解广泛应用于数学和实际问题中，以下列举了几个常见的应用场景。
1. 解多项式方程通过将多项式进行因式分解，可以将原方程转化为多个简单的因式，从而更容易求解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，得到x=-2或x=-3。
2. 确定导函数的零点和极值点在微积分中，我们可以通过对多项式进行因式分解，来确定其导函数的零点和极值点。
因式分解的基本性质及应用
因式分解的基本性质及应用因式分解是将一个多项式分解成较简单的乘积形式的过程。
因素分解的基本性质和应用包括以下几个方面：1. 唯一性：一个多项式的因式分解不是唯一的，但是当我们考虑整数多项式时，因式分解是唯一的。
这是因为整数多项式的因子只能是整数常数或次数为1的一次多项式，而这些多项式已经是不可再分解的。
2. 分解定理：分解定理表明，如果一个多项式P(x)在x=a处取值为0，则P(x)可以被x-a整除。
这意味着x-a是P(x)的一个因子，或者等价地说，P(x)可以分解成(x-a)乘以另一个多项式Q(x)。
3. 公因式提取：公因式提取是一种将多项式的各项提取出一个公因子的方法。
例如，在多项式2x^3+4x^2中，可以提取出2x^2，然后得到2x^2(x+2)。
这个方法在简化多项式计算、化简分式等方面非常有效。
4. 因式分解定理：因式分解定理表明，一个多项式P(x)可以分解成多个一次或者二次的因子。
这个定理对于计算多项式的根和化简复杂的多项式表达式非常有用。
5. 最大公因式：最大公因式是多个多项式的最高次的公因式。
最大公因式的求解可以通过因式分解的方法进行。
最大公因式在多项式的约分、分式的化简等方面扮演着重要的角色。
6. 应用方面：因式分解在数学和物理等方面有着广泛的应用。
在数学中，因式分解可以用于求解多项式方程的根，化简复杂的表达式，计算多项式的导函数等。
在物理中，因式分解可以用于分解物体的运动方程，分析物理过程等。
除此之外，因式分解还有其他的一些应用。
例如在数论中，因式分解可以用于分析质数和合数的性质，判断一个数的因子等。
在代数几何中，因式分解可以用于分析曲线的结构和性质。
在概率论中，因式分解可以用于计算事件的概率等。
因式分解是数学中一个非常重要和基础的概念，在数学和其他学科中都有着广泛而重要的应用。
《初高中衔接教材数学》第四讲：分解因式
初高中衔接教材第四讲：分解因式一、分解因式的主要方法有：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、换元法、添项拆项法、配方法、待定系数法、求根法二、例题分析（一）、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)（二）、运用公式法.平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2b a ± 立方和公式： 33b a +=(a+b)( 2a -ab+2b )； 立方差公式：33b a - =(a-b)( 2a ab ++2b )； 两数和立方公式:3223333()a a b ab b a b +++=+；两数差立方公式:3223333()a a b ab b a b -+-=-．公式：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++例1、分解因式： (1) 38x +(2) 30.12527b -例2、分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -（三）、分组分解法1．分组后能提取公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-51022．分组后能直接运用公式例1、把22x y ax ay -++分解因式。
例2、把2222428x xy y z ++-分解因式。
（四）、十字相乘法1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例1、分解因式：652++x x 例2、分解因式：672+-x x练习：分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x例3、把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++2、二次项系数为1的齐次多项式例1、把下列各式因式分解：（1）2(1)x a x a -++ （2）2(2)2x a x a -++（3）2223x ax a -- （4）223()x a a x a -++练习:分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --3、二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例1、分解因式：101132+-x x练习:分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y4、二次项系数不为1的齐次多项式 例1、22672y xy x +- 例2、2322+-xy y x练习:1、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a (3) 22568x xy y +- （4）22151112y xy x --2、分解因式：（1）10)(3)(2-+-+y x y x （2）344)(2+--+b a b a（3）222265x y x y x -- （4）2634422++-+-n m n mn m（5）3424422---++y x y xy x例3、把下列各式因式分解： (1) 2(1)1ax a x -++ (2) 2(21)2ax a x -++ (3) 2(23)3ax a x a -+++练习：把下列各式因式分解： (1) 22(4)2ax a x -++(2) 22(1)21a x ax -++五、换元法。
七年级(上)数学培优班--第4讲 因式分解--(配方、拆添项、双十字、主元)---学生版
第四讲因式分解（拆添项、配方、双十字、主元）拆添项一、拆项与添项：拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.【铺垫1】 ★★☆☆☆分解因式：387x x -+【例题1】 ★★★☆☆分解因式：（1）32x x +-（2）414x x --（3）42201820172018x x x +++配方法二、配方法：（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为()()A B A B -+的形式．【铺垫2】 ★☆☆☆☆分解因式：421x x ++【例题2】 ★★☆☆☆分解因式：（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+【例题3】 ★★★☆☆4322321x x x x ++++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：51x x ++【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()444x y x y +++双十字相乘双十字相乘法：⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx+++++22的二次多项式进行因式分解.⑵条件：①21aaA=，21ccC=，21ffF=②Bcaca=+1221，Efcfc=+1221，Dfafa=+1221即：1a x1c y1f2a x2c y2f则=+++++FEyDxCyBxyAx22111222()()++++a x c y f a x c y f⑶步骤：①用十字相乘法分解二次三项式()()221122Ax Bxy Cy a x c y a x c y++=++，用十字交叉线表示（共两列）；②用十字相乘法分解二次三项式()()21122Cy Ey F c y f c y f++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.③用十字相乘法分解二次三项式2Ax Dx F++，检验是否等于()()1122a x f a x f++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.(4) 特殊情况：形如432Ax Bx Cx Dx E++++一元四次五项式．即：21a x1c x1e22a x2c x2e其中，12A a a=，1221B a c a c=+，1221D c e c e=+，12E e e=，特别的，121221C c c a e a e=++．【铺垫3】★☆☆☆☆分解因式：22232543x xy y yz zx z+++++.模块三【例题4】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-【例题5】 ★★☆☆☆双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-【例题6】 ★★★☆☆双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-注：关于x 的四次五项式的因式分解方法很多，个人理解，一般以系数的特征来区分用法， 如43222533x x x x ++++，一二项系数相同，四五项系数也相同，而第三项系数等于前后系数之和的，直接选用拆中项分组分解，得()()4322222333x x x x x +++++；如4325251x x x x ++++，一三五可配方，选用分组分解，得()()4232155x x x x ++++；如4323266x x x x -++-，系数相加为0，选用试根法，根为1，具体在后面讲次会讲解； 再比如还有待定系数法解决一般的四次五项式，不过所有方法中，相对而言双十字相乘法会更加便捷的解决一般的四次五项式，建议在这着重练习.主元十字主元十字法实际上属于分组分解法中的一类，方法是以某个字母为主（看作主元），把这个多项式看成关于主元的二次三项式，再用十字相乘法进行因式分解.【铺垫4】 ★★☆☆☆分解因式：32221a b a b ab a ++++.【例题7】 ★★★☆☆用主元法分解因式：（1）222a bc ac acd abd cd d ++--- （2）2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-模块四【例题8】 ★★★☆☆分解因式：()()()2211221y y x x y y +++++..【悬赏题】 ★★★★☆分解因式：()()()()()2222221ab x y a b xy a b x y ---+-++【练习1】 分解因式：（1）332x x -+ （2）3212x x +- （3）3231x x -+【练习2】 分解因式：（1）32212x x x ---（2）32201820182017x x x +++ （3）42676x x x ---【练习3】 分解因式：（1）4414x y +（2）422416x x y y -+ （3）42204x x -+【练习4】 分解因式：224443x x y y --+-【练习5】 分解因式：4422222221x y x y x y +---+【练习6】 分解因式：43241x x x x +-++【练习7】 分解因式：（1）222332x xy y x y +++++ （2）22215196x xy y x y +-+-- （3）2220918183314x xy y x y +--+- （4）22xy y x y ++--【练习8】 分解因式：（1）432391112x x x x ++++ （2）432922x x x x --++11 【练习9】 ★★★☆☆分解因式：（1）432223816x x x x +--+ （2）4212312224x x x -+-【练习10】 分解因式：（1）322232b ab a b ac c ++++ （2）222324x y xy x xy y +++-- （3）23322222a x ax ax x ax +++--。
因式分解的基本原理与应用
因式分解的基本原理与应用因式分解是代数中的重要概念和技巧之一，它在数学的各个分支中都有广泛的应用。
本文将介绍因式分解的基本原理以及其在代数运算和方程求解中的应用。
一、因式分解的基本原理因式分解是将一个代数式表示为两个或多个因数相乘的形式。
它的基本原理是根据多项式的特定形式，找出它的因子，并将多项式写成因子相乘的形式。
以多项式的因式分解为例，多项式是由单项式相加或相减而成的。
我们可以通过提取公因子、配方法或者用特定的公式来进行因式分解。
其中，提取公因子是最基本也是最常用的方法，它的原理是找到多项式中的一个公共因子，并将其提取出来。
配方法是指将多项式表示为两个括号内各含一项的乘积。
通过寻找括号内两项的公共因子或者用特定的运算规则，可以将多项式转化为括号内的乘积形式。
公式法是通过将多项式表示为特定公式的形式，再根据公式的性质进行因式分解。
常见的公式包括二次差的平方公式、完全平方公式、差平方公式等。
二、因式分解的应用1. 简化表达式：因式分解可以将复杂的代数表达式简化为更简洁的形式。
这不仅有助于进一步的计算，还能提供更清晰的问题解决思路。
举例说明：将多项式3x^2 + 6x进行因式分解。
首先，我们可以发现3和6都能够被x整除，所以3x^2 + 6x可以写成3x(x + 2)的形式。
这样，原本复杂的表达式就变得简单了。
2. 方程求解：因式分解在方程求解中有着重要的应用。
通过对方程进行因式分解，可以将复杂的方程转化为更简单的形式，从而更容易找到方程的解。
举例说明：求解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
我们可以将方程进行因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0。
然后，根据“乘积为零则因数中至少有一个为零”的原理，可以得到x + 2 = 0或x + 3 = 0。
解方程可得x = -2或x = -3。
3. 分式的部分分解：在分式的运算中，我们常常需要将一个复杂的分式进行部分分解，以便于简化计算。
举例说明：对于分式(Ax + B)/(x^2 + Cx + D)，我们可以将其进行部分分解，得到(A1/(x + r1) + A2/(x + r2))的形式。