【精品教案】高中数学人教A版选修2-3：+组合(5课时)
高中数学选修2-3精品教案5：2.2.2 事件的相互独立性教学设计
2．2.2 事件的相互独立性三维目标1.知识与技能(1)理解相互独立事件的定义及意义．(2)掌握相互独立事件概率的乘法公式．2．过程与方法通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互独立事件概率问题．3．情感、态度与价值观通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学习兴趣．重点、难点重点：相互独立事件的概率．难点：利用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．教学时引导学生结合学习过的互斥事件、对立事件，不断比较、分析理解相互独立事件．再通过例题与练习进一步理解P(AB)＝P(A)P(B)．教学建议在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念，初学者容易混淆，建议教师在教学中要让学生对这两个概念进行比较，让学生在比较中得到提高．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解相互独立事件的概率．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握事件独立性的判断．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求相互独立事件同时发生的概率．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握相互独立事件的实际应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1．理解相互独立事件的定义及意义．2．理解概率的乘法公式．3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.知识1相互独立事件的概念与性质【问题导思】甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．(1)事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？(2)试求P (A )，P (B )，P (AB )．(3)P (B |A )与P (B )相等吗？(4)P (AB )与P (A )P (B )相等吗？【提示】 (1)不影响；(2)P (A )＝35， P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310； (3)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12， ∴P (B |A )＝P (B )；(4)∵P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )， ∴P (AB )＝P (A )P (B )．1．相互独立的概念设A 、B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 类型1事件独立性的判断例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【思路探究】 利用相互独立事件的定义判断．解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16. ∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立．规律方法1．利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．2．判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．变式训练一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A ，B 事件的相互独立性与互斥性．(1)A ：取一个球为红球，B ：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A ：取出的两球为一白球一红球；B ：取出的两球中至少一个白球． 解 (1)由于取出的红球放回，故事件A 与B 的发生互不影响，∴A 与B 相互独立，A ，B 能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a ，b ，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a ，b }，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P (A )＝46＝23，P (B )＝56，P (AB )＝23， ∴P (AB )≠P (A )·P (B )．∴事件A ，B 不是相互独立事件，事件A ，B 能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件． 类型2 相互独立事件发生的概率例2 面对H7N9流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13. 求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【思路探究】 明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值解 令事件A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13. (1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 发生，故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160. (2)他们都失败即事件A B C 同时发生．故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)(1－14)(1－13) ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35. 规律方法在求事件概率时，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B ∪A B ∪A B .互动探究在例中条件不变，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率；(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率．解 (1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(A B C ∪A B C ∪A B C )，故所求事件的概率为P ＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝(1－P (A ))(1－P (B ))P (C )＋(1－P (A ))·P (B )(1－P (C ))＋P (A )(1－P (B ))(1－P (C ))＝(1－15)×(1－14)×13＋(1－15)×14×(1－13)＋15×(1－14)(1－13) ＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝15＋215＋110＝1330. (2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )发生，故所求事件的概率为P (A B C ∪A B C ∪A B C ∪A B C )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝45×34×23＋15×34×23＋45×14×23＋45×34×13＝25＋110＋215＋15＝56. 类型3 相互独立事件的实际应用例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【思路探究】 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值． 解 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D E F ，以上3个事件彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P 1＝P (D E F ＋D E F ＋D E F )＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F ，且P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P 2＝1－P 1－P (D E F )＝1－0.35－0.1＝0.55.规律方法1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．变式训练有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验，求恰有一件不合格的概率．解 设从三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C .P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95,则P (A )＝0.10，P (B )＝P (C )＝0.05.因为事件A 、B 、C 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.故恰有一件不合格的概率为0.176.间接法在相互独立事件概率中的应用典例 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．【思路点拨】 本题可以从反面：甲、乙两人考试均不合格来考虑．【规范解答】 设甲、乙两人考试合格的事件分别为A ，B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415， 且事件A ，B 相互独立．甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－23)(1－1415)＝145.故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A ·B )＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445. 思维启迪求解此类问题的思路一般有两种：1．直接法，即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件，在此基础上求相应事件的概率，采用的是“各个击破”的方针．2．间接法，利用对立事件的知识求解，采用的是“正难则反”的解题原则．课堂小结1．“相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件 互斥事件 判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发 生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即AB ＝∅ 概率公式 A 与B 相互独立等价于P (AB )＝ P (A )·P (B ) 若A 与B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋ P (B )，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )·P (B )，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积． 当堂检测1．若事件A 与B 相互独立，则下列不相互独立的事件为( )A ．A 与B B.A 与BC ．B 与BD ．B 与A【解析】 由相互独立性质知A 与B ，A 与B ，B 与A 也相互独立．【答案】 C2．若事件E 、F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )＝( ) A ．0 B.116 C.14 D.12【解析】 ∵E 、F 相互独立，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116. 【答案】 B3．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为910，45，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________．【解析】 P ＝1－(1－910)(1－45)＝4950.【答案】49 504．制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中任取两件．(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件是正品的概率是多少？解分别用A、B表示从甲、乙机床的产品中抽得正品，C表示抽取的两件产品中恰有一件是正品，则C＝A B＋A B.由题意知，A、B是相互独立事件，A B、A B是互斥事件．(1)P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)P(C)＝P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝0.96×(1－0.95)＋(1－0.96)×0.95＝0.086.。
高中数学第一章《组合》教案2新人教A版选修2-3
1.2.2组合 （第二课时）教学目标：1掌握组合数的两个性质；2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：掌握组合数的两个性质 教学过程 一、复习引入：1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mmA ⋅． （2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C m n-=),,(n m N m n ≤∈*且 二、讲解新课：1 组合数的性质1：mn nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C mn n -=---=-又 )!(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -=说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mnC 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 3.例子1．（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边2．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-， ∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解3. 有同样大小的4个红球，6个白球。
高中数学全套教案新人教版选修2-3
高中数学全套教案新人教版选修2-31. 前言高中数学是中学教育的重要组成部分，为学生的未来发展打下了坚实的基础。
选修2-3是一门比较重要的数学学科，内容涵盖高中数学的多个领域。
本文将提供一份全套教案，以帮助教师和学生系统地学习和掌握数学知识。
2. 教案概述本教案共包含选修2-3的全部知识点，涉及多个模块。
教案采用新人教版教材，由资深数学教师编写。
教案内容既包含基础知识，也有重点难点。
通过本教案的学习，学生能够充分理解数学知识点所蕴含的思想，提高数学素养。
具体来说，本教案涵盖以下模块：•平面向量–平面向量的定义和性质–平面向量的基本运算–平面向量的数量积–平面向量的应用•空间向量–空间向量的概念及表示–空间向量的基本运算–空间向量的数量积–空间向量的应用•三角函数–角度的概念–弧度制–正弦、余弦和正切函数–三角函数的基本性质–三角函数的应用•导数与微分–导数的概念–导函数与微分–导数的运算法则–函数的局部性质–函数的极值与最值3. 教案优势相比其他教材，该教案具有以下优势：•全面性：该教案囊括了选修2-3学科全部的知识点，包括难度较大的内容。
•深度性：教案融入了大量的例题和习题，可以帮助学生更好地理解知识点。
•简明性：教案的知识点讲解精炼明了，便于教师使用，同时也方便学生掌握。
•实用性：教案内容实用性强，全面涉及各种应用问题。
4. 如何使用教案教师和学生可以按照以下步骤进行教案的使用：1.首先，教师可以先自行阅读教案内容，熟悉教材内容和难点；2.在课堂上，教师可以根据教案，结合教学实际情况，进行教学；3.学生可以通过教案，了解学科知识点的结构和体系，明确知识重点和难点，以及掌握应用技能；4.学生也可利用教案中的习题进行自我测试，帮助自己巩固知识点。
5. 结语本教案是一份高中数学选修2-3的全套教材，涵盖了该学科的全部知识点。
该教案内容全面、深入、简明、实用，能够帮助教师进行有效教学，帮助学生提高数学水平。
人教版高中数学选修2-3《排列组合问题的解题策略选讲》教案
(2)创设问题
在这一类问题中，我们以如下几个问题作为典例进行研究。
6．教学反思
一个策略的形成是螺旋式上升的，对策略的理解不仅是对结果的理解，更是对方法和过程的理解。本课题设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真。从四个问题，两个思考探究出发，设问解疑，引导学生进入本课题的中心。
4．教学过程
(1)复习回顾
在前面的几节课，我们已经对选修2-3的第一章《计数原理》进行系统地复习。
说明：打出第1张幻灯片。
图：第1张幻灯片片段
教学内容
说明：由于这些内容前面已经系统地复习了，所以简单扼要地叙述上面幻灯片的内容，主要是帮助学生回忆前几节课的内容。
虽然复习巩固了，但同学们反映还是有很多题目不会做或做错。为什么呢？
下面，我们同样通过一道例题进行融会贯通。
说明：打出第9张幻灯片，先打出例题。
图：第9张幻灯片片段
甲乙丙要相邻，我们可以先把甲乙丙排在一起（捆绑），然后把甲乙丙的排列当成一个
教学内容
元素再与其它的元素进行排列。
说明：引导学生进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。
解答完例题后，对捆绑策略进行总结：几个元素必须相邻时，先按照要求把它们捆绑成一个元素，再与其它的元素进行排列。
教学内容
策略1．插空策略
插空策略可以解决元素不相邻的问题。
说明：打出第5张幻灯片，先打出插空策略的说明。
人教版数学高二A版选修2-3教学设计组合
教学设计1．2.2组合整体设计教材分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A m n与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合的概念和组合数公式．教学难点：组合的概念和组合数公式．教学过程引入新课提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．5．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.7．排列数的另一个计算公式：A m n＝n！(n－m)！.设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问．活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．探索新知提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．活动设计：学生小组讨论，总结概念．活动成果：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．设计意图：培养学生的类比和概括能力．理解新知提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：小组交流，共同分析．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．活动成果：1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．2．联系：(1)都是从n 个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；(2)排列可以看成先组合再全排列．设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础．提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数C 34是多少吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34可以求得，故我们可以考察一下C 34和A 34的关系，如下：组合 排列abc→abc ，bac ，cab ，acb ，bca ，cbaabd→abd ，bad ，dab ，adb ，bda ，dbaacd→acd ，cad ，dac ，adc ，cda ，dcabcd→bcd ，cbd ，dbc ，bdc ，cdb ，dcb由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步乘法计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33. 设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．提出问题3：你能想出求C m n 的方法吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A m n ；②求每一个组合中m 个元素的全排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得：A m n ＝C m n ·A m m. 得到组合数的公式：C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C m n ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m ∈N ，且m≤n)． 规定：C 0n ＝1.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式．运用新知 类型一：组合数公式的应用1计算：(1)C 47； (2)C 710.解：(1)C 47＝7×6×5×44！＝35； (2)解法1：C 710＝10×9×8×7×6×5×47！＝120. 解法2：C 710＝10！7！3！＝10×9×83！＝120. 【巩固练习】求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 证明：∵C m n ＝n ！m ！(n －m)！， m ＋1n －m ·C m ＋1n ＝m ＋1n －m ·n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m)(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m)！， ∴C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n. 【变练演编】设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值． 解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7；当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.类型二：简单的组合问题例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法． 所以教练员做这件事情的方式种数为C 1117×C 111＝136 136. 【巩固练习】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为C 210＝10×91×2＝45. (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A 210＝10×9＝90. 【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为C 25－5＝5.(2)凸n 边形的n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n 边形的一条对角线或是一条边，所以，凸n 边形的对角线条数为C 2n －n ＝n(n －3)2. 【达标检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为()A．42B．21C．7D．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有() A．15对B．25对C．30对D．20对答案：1.(1)是组合问题(2)是排列问题 2.B 3.A课堂小结1．知识收获：组合概念、组合数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．A，B，C，D，E 5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2．空间有10个点，其中任何4点不共面，(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？4．写出从a，b，c，d，e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．答案：1.(1)10(2)20 2.(1)C310＝120(2)C410＝210 3.C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15.4．a，b，c，d a，b，c，e a，b，d，e a，c，d，e b，c，d，e.【拓展练习】5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，共有8C24＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．设计说明本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题．主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式．本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究．备课资料在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法．错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有：C38＝56种排法．(设计者：殷贺)第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：练习1：求证：C m n＝nm Cm－1n－1.(本式也可变形为：mC m n＝nC m－1n－1)练习2：计算：①C310和C710；②C37－C26与C36；③C411＋C511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120②20,20③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C m n 表示．2．组合数的公式：C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C m n ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m ∈N ，且m≤n)． 设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．活动成果：1．性质：(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 2．证明：(1)∵C n －m n ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！， 又C m n ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －m n . (2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C m n ＋1， ∴C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69；(2)求证：C n m ＋2＝C n m ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C n m ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C n m ＋1＋C n －1m ＋1＝C n m ＋2＝左边． 【巩固练习】求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n2n －1. 证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C n n， 其中C 1i C i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，则选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n－1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．【变练演编】求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C n n ＝n(n ＋1)2n －2. 证明：由于i 2C i n ＝C 1i C 1i C i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．若组长和副组长是同一个人，则有n2n－1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n －1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n－2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题 2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种． (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种． 解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．【巩固练习】1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C34，C24×C16，C14×C26种方法，所以，一共有C34＋C24×C16＋C14×C26＝100种方法．解法二：(间接法)C310－C36＝100.2．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C33C29＝36；(2)C03C59＝126；(3)C11C49＝126；(4)C13C49＝378；(5)方法一：(直接法)C03C59＋C13C49＋C23C39＝756，方法二：(间接法)C512－C33C29＝756；(6)方法一：(直接法)C13C49＋C23C39＋C33C29＝666，方法二：(间接法)C512－C03C59＝666.【变练演编】有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C45C44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C12C35C44＋C12C45C34＝60种；第三类：2名英、法语皆通的均选，有A22C35C34＋C25C44＋C45C24＝120种．根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的名单．【达标检测】1．计算：(1)C399＋C299；(2)2C38－C39＋C28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．答案：1.(1)161 700(2)56 2.9 3.30课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题．2．方法收获：化归的思想方法．3．思维收获：化归的思想方法．补充练习【基础练习】1．求证：(1)C m n＋1＝C m－1n ＋C m n－1＋C m－1n－1；(2)C m＋1n＋C m－1n＋2C m n＝C m＋1n＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？答案或解答：2.C38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．【拓展练习】现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1”所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有组．C m－1n＋m－1简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，则方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1.n＋m－1(设计者：殷贺)第三课时教学目标知识与技能理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．教学过程复习回顾提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？并求出下列问题的解．(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？活动设计：学生自主完成，教师提问．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．(1)A23＝6；(2)C211＝55；(3)A323＝10 626；(4)A210＝90；(5)C210＝45.1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！＝A n nA n－mn－m.3．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．。
组合教学设计 高二下学期数学人教A版选修2-3
人教A版选修2-3数学1.2.2 组合教学设计1.2.2组合（一）学习目标：1.正确理解组合的含义以及排列与组合之间的区别与联系2.熟记组合数公式以及排列与组合数之间的联系，会利用组合数以及组合数的两个性质来进行计算、化简与证明3.理解排列与组合的概念，能熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数和组合数计算公式及组合数的性质重难点：重点：组合的定义，组合数公式，组合数性质及它们的应用。
难点：应用组合的定义、组合数公式来解决一些简单的实际问题复习引入1.排列定义和排列数公式_________________________________________2.有红球、黄球、白球各一个，从这三个小球中，任意取出两个小球，放入甲乙两个盒子里，共有多少种不同的放法？讲解新课问题：有红球、黄球、白球各一个，从这三个小球中，任意取出两个小球，共有多少种不同的取法？上述问题中要完成的事可以抽象为：从3个不同元素中任意取2个元素，不管顺序并成一组，求一共可以组成多少组？组合问题和排列问题的不同之处是：1.组合的定义：一般地，的一个组合2.组合数的定义：3.组合数公式：4.组合数的两个性质 （1）（2）讲解例题例1计算（组合数应用）（1）3477C C + (2) 5010101010C C C ⋅-变式练习：例2 平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点的（1） 线段有多少条？（2） 有向线段有多少条？例3一个口袋里装有7个不同白球和1个红球，从口袋中任取5个球：（1）共有多少种不同的取法？（2）其中恰有有一个红球，共有多少种不同的取法？（3）其中不含红球，共有多少种不同的取法？归纳小结1.组合数与排列数之间的关系；2.组合数计算公式；3.组合数的两个性质。
高中数学选修2-3精品教案5：1.2.2 组合 第三课时教学设计
1.2.2 组合第三课时知识与技能理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．教学过程典型例题类型一：排数字问题例1.(1)用0,1,2,3,4能组成多少个无重复数字的四位数？(2)这四位数中能被3整除的数有多少个？思路分析：可以从特殊元素或特殊位置入手直接分析，也可以从对立面间接排除．解：(1)直接分类法：①特殊元素分析法：分两类：选0，有A13A34＝72个；不选0，有A44＝24个．根据分类加法计数原理可得共有72＋24＝96个．②特殊位置分析法：先考虑首位，可以从1,2,3,4四个数字中任取一个，共A14种方法，再考虑其他三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个，即A34种方法．根据分步乘法计数原理共有A14A34＝96种方法，即96个无重复数字的四位数．③间接排除法：先从五个数字中任取四个排成四位数：A45，再排除不符合要求的四位数，即0在首位的四位数：A34.则共有A45－A34＝96个．(2)能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数的数．分析：因为不含0时，1＋2＋3＋4＝10,10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0,1,2,3或0,2,3,4，共有2(A 44－A 33)＝36个．点评：对于有特殊元素和特殊位置的问题，往往有三种方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接排除法．巩固练习1.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列．(1)第49个数是多少？(2)23 140是第几个数？解：(1)首位是1,2,3,4组成的五位数各24个．所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30 124.(2)首位为1组成A 44＝24个数；首位为2，第二位为0,1共组成2A 33＝12个数．首位为2，第二位为3，第三位为0的数共A 22＝2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23 104.由分类加法计数原理得：A 44＋2A 33＋A 22＋1＝39.按照从小到大的顺序排列，23 104后面的五位数就是23 140，所以23 140是第40个数． 类型二：分组分配问题例2.(1)6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法：①分给甲、乙、丙三人，每人两本；②分成三份，每份两本；③分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；④分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；⑤分给5个人，每人至少一本；(2)6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？思路分析：可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列数和组合数来解决这类问题．解：(1)①分成三个步骤：第一步，选2本书分配给甲，有C 26种方法；第二步，从剩下的4本书中选2本书分配给乙，有C 24种方法；第三步，将剩下的2本书分配给丙，有C 22种方法．根据分步乘法计数原理，共有C 26C 24C 22＝90种方法．②在①的基础上去掉顺序即可，有C 26C 24C 22A 33＝15种方法． ③分成三个步骤：第一步，选1本书成为一组，有C 16种方法；第二步，从剩下的5本书中选2本书成为一组，有C25种方法；第三步，剩下的3本书成为一组，有C33种方法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种方法．④在③的基础上，把三组书分配给三个人即可，有C16C25C33A33＝360种方法．⑤分成两个步骤：第一步，分成5组，有C26种方法；第二步，将5组分配给5个人，有A55种方法．根据分步乘法计数原理，共有C26A55＝1 800种方法．(2)分成两个步骤：第一步，分成3组，有C25种方法；第二步，将3组分配给3个人，有A33种方法．根据分步乘法计数原理，共有C25A33＝60种方法．点评：在解决问题时，要先考虑分类还是分步完成，然后考虑是否有顺序，再确定方法．巩固练习2.①今有10件不同奖品，从中选6件分成三份，其中两份各1件，另一份4件，有多少种分法？②今有10件不同奖品，从中选6件分给甲乙丙三人，每人二件，有多少种分法？【答案】①.C610C46＝3 150②C610C26C24C22＝18 900.达标检测1．把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有____________种．2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________________．3．要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为____________．(用排列数和组合数表示) 【答案】1.9 2.9 3.C38C27＋C28C37课堂小结1．知识收获：进一步复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列、组合的概念．2．方法收获：(1)注意区别“恰好”与“至少”；(2)特殊元素(或位置)优先安排；(3)“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；(4)混合问题，先“组”后“排”．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习基础练习1．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______个(用数字作答)．2．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有______种．3．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是______．【答案】1.576 2.96 3.8 424拓展练习4．某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同的派遣方案？解：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方案；③若乙参加而甲不参加，同理也有3A38种方案；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有A28种，共有7A28种方法．所以共有不同的派遣方案总数为A48＋3A38＋3A38＋7A28＝4 088.设计说明本节课是排列组合复习课，目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三，达到灵活掌握的程度．备课资料相同元素的分配问题隔板法：1.把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？解：向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C216＝120种．2.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C69＝84种．3.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？解：(1)先从4个盒子中选三个放置小球有C34种方法．(2)注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法．为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空档中分别插入两个板．各有C23、C24、C25种方法．(3)由分步乘法计数原理可得C34C23C24C25＝720种．。
人教A版高中数学选修2-3课件教学组合5
１.10名演员,其中5名能歌,8名善舞,从中选5人, 使这5人能演出一个一人独唱四人伴舞的节目, 共有多少种选法
练得２件，乙得３件，丙得４件， 有多少种分法 （２）一人得２件，一人得３件，一人得４件， 有多少种分法 （３）平均分成３堆，有多少种分法 （４)每人３件有多少种分法 （５）分为２，２，２，３四堆，有多少种分法
C C C C A
2 5 1 3 1 2 3 3
1 1
C5
2
将12个人分成2，2，2，3，3的5 个组，则分组的种数是多少？
C C C C C 2 A A2
2 12 2 10 3 3 2 8 3 6
3 3
三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方 案共有 Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．４５ Ｄ．９０ 有７名同学排成一排，甲身高最高，排在中间， 其他６名同学身高不等，甲的左边和右边以身 高为准，由高到低排列，共有排法种数是 Ａ．１０ Ｂ．２０ Ｃ．３０ Ｄ．４０
C C
m1 n
m2 nm1
C
m3 nm1 m2
C (种)
mk mk
（3）如果m1，m2，m3， mk中有i个相等，
则不同的分法为：
Cn Cn m Cn m m Cm
1 1 2
m1
m2
m3
mk
k
Ai
分配问题必须遵循先组合后排列的原则
i
（种）
将5个人分成4个组，每组至少1 人，则分组的种数是多少？
1.从４台甲型和５台乙型电视机中任意取出３台， 其中至少要有甲型与乙型电视机各一台 则不同的取法共有 Ａ.140 种 B.84种 C.70种 D.35种
2.10名演员,其中5名能歌,8名善舞,从中选5人, 使这5人能演出一个一人独唱四人伴舞的节目, 共有多少种选法
高中数学选修2-3精品教案3：1.2.2 组合 ( 1 )教学设计
1.2.2 组合（1）教学目的：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别.3．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.举一反三、融会贯通.教学重点：组合的概念和组合数公式.教学难点：组合的概念和组合数公式.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪情境设置一、问题1（1）、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、问题2有6本不同的书：（1）取出3本分给三个同学每人1本，有几种不同的分法？（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？三、温故而知新什么叫做排列？排列的特征是什么？一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.新知探究一、组合定义1、一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2、排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．3、排列与组合，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．4、什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？二、组合数1、从n 个不同元素中取出m （m ≤n ））个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记为即时体验例1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个?（组合问题）（2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?（组合问题）(3)从4个风景点中选出2个去游览,有多少种不同的方法?（组合问题）四、计算组合数1、引入：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的组合数是多少？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． 2、求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,可看作以下2个步骤得到:第1步,从这n 个不同元素中取出m 个元素,共有种不同的取法; 第2步,将取出的m 个元素做全排列,共有种不同的排法. m nC mn C mm A根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．3、组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 即时体验例2．计算：（1）47C ；（2）710C ； （1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 例3．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C 巩固练习：1．（1）从9名同学中选两名同学担任正副班长，共有多少种不同的选法.（2）若选出两名代表参加一个会议，共有多少种不同的选法.（1）72种（2）36种2．(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?（1）45条（2）90条3．在10件产品中,有8件合格品,2件次品.从这10件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?（1）310C(2)1228C C ( 3) 310C -38C课堂小结：①主要学习了组合、组合数的概念.②利用组合和排列的关系得到了组合数公式. 板书设计：（略）教学反思：。
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
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1．2．2组合第一课时一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n Nm m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mnA 表示 5．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：mnA =!()!n n m -8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．． 二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 例2．用计算器计算710C ． 解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 第二课时3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下： 组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mnA ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ； ② 求每一个组合中m 个元素全排列数m mA ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n Cm n-=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01nC =.三、讲解范例：例4．求证：11+⋅-+=m n m nC mn m C．证明：∵)!(!!m n m n Cm n-=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n m nC mn m C例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤，∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x=时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．第三课时例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯（条）.(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） . 解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 解：90222426=⋅⋅C C C ．（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2类：第一类 2名男生和2名女生参加，有225460C C =中选法； 第二类 3名男生和1名女生参加，有315440C C =中选法依据分类计数原理，共有100种选法错解：211546240C C C =种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅， 所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C第四课时组合数的性质1：mn nmnC C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn nmn C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C mn n-=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=，∴m n n m n C C -=说明：①规定：10=nC ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；④y n x nC C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：mn C 1+＝mn C +1-m nC ．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴mn C 1+＝mn C +1-m nC ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ． 例12．（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：nm C 2+＝nm C +12-n m C +2-n m C ．解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===； 证明：（2）右边1121112()()nn n n n n nmm m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边例13．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-， ∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x=是原方程的解第五课时例14．证明：pn p m p m p n nmC C C C --⋅=⋅。