4土中应力自重 地基附加应力解析
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土力学与地基基础4.土中应力计算
第四章地基土中的应力计算★概述★土中自重应力计算★基底压力的分布与计算★地基附加应力及有效应力原理第一节概述地基应力计算的目的：1. 计算土体变形，比如建筑物地基的沉降；2. 土体承载力与稳定性分析。
一、地基土中应力分类1.按引起的原因分为自重应力和附加应力自重应力——由土体自身重量所产生的应力。
附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力增量。
一、地基土中应力分类2.按作用原理或应力传递方式分为有效应力和孔隙应（压）力有效应力——土粒所传递的粒间应力，它是控制土的体积（或变形）和强度两者变化的土中应力。
孔隙应（压）力——由土孔隙中的水和气体所传递的应力。
二、基本假设视地基土体为连续体半无限的线弹性体均质各向同性体按《弹性力学》的方法进行计算。
三、土中一点的应力状态土中一点的应力状态：---土中一点在各个方向上应力的数值。
三、土中一点的应力状态土力学中，法向应力以压应力为正，拉应力为负。
剪应力的正负号规定是：当剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向一致，则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正，反之为负。
第二节自重应力的计算一、均质土体1.竖向自重应力2.水平向自重应力K 0-土的静止侧压力系数z FFz cz γγσ=•=二、成层土体地基为不同土层且无地下水ii h γσ∑=三、有地下水时的自重应力地下水位以下的砂土、粉土以及粘性土液性指数大于等于1时均取浮重度；粘性土液性指数小于等于0时取天然重度，在0～1之间时依最不利原则取其天然或浮重度。
例题4-1、4-2、4-3例题4-3两者相比较可以看出，当地下水位下降时，会引起有效自重应力的增加。
地下水位的升降，使地基土中自重应力也相应发生变化。
当地下水位长期下降时，地基中有效应力增加，从而引起地面大面积沉降；当地下水位长期上升时，会引起地基承载力减少、湿陷性土的塌陷等现象。
第三节基底压力和基底附加压力计算地基---建筑物影响范围内的有限土层。
土力学-第四章土中应力
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3 + γ′4h4 + γw(h3+h4)
天津城市建设学院土木系岩土教研室
4.2.2
成层土中自重应力
土力学
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算 一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示， 并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
天津城市建设学院土木系岩土教研室
天津城市建设学院土木系岩土教研室
4.2.4
土质堤坝自身的自重应力
土力学
为了实用方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝， 为了实用方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝，其自身任 意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有 意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有 效重度与土柱高度的乘积。 效重度与土柱高度的乘积。
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（ 土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（渗 地震等）的作用力下，均可产生土中应力。 流、地震等）的作用力下，均可产生土中应力。土中应力过大 会导致土体的强度破坏， 时，会导致土体的强度破坏，使土工建筑物发生土坡失稳或使 建筑物地基的承载力不足而发生失稳。 建筑物地基的承载力不足而发生失稳。 土中应力的分布规律和计算方法是土力学的基本内容之一 自重 应力
p0 = p − σ ch = p − γ m h
在沉降计算中，考虑基坑回弱和再压缩而增加沉降，改取p =p-(0～1)σ 在沉降计算中，考虑基坑回弱和再压缩而增加沉降，改取p0=p-(0～1)σch, 此式应保证坑底土质不发生泡水膨胀。 此式应保证坑底土质不发生泡水膨胀。
式中： 基底平均压力， Pa； σch—基底处土中自重应力，kPa； 基底处土中自重应力， 式中：p—基底平均压力，kPa； 基底平均压力 基底处土中自重应力 kPa； γm—基底标高以上天然土层的加权平均重度，水位以下的取浮重度，kN/m3； 基底标高以上天然土层的加权平均重度， 基底标高以上天然土层的加权平均重度 水位以下的取浮重度， h—从天然地面算起的基础埋深，m，h=h1+h2+…… 从天然地面算起的基础埋深， 从天然地面算起的基础埋深
4土中应力
§4 土中应力
§4.4 地基附加应力 4.4.3 线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力
1、线荷载作用时的地基附加应力－弗拉曼解
•由于线荷载沿y坐标无限延伸， 因此与y轴垂直，平行于xoz任 何平面上的应力状态完全相同。 这种情况属于弹性力学平面问 题。 •平面问题只有三个独立的应 力分量
§4 土中应力
Ph
矩形基础:
条形基础:
§4 土中应力 §4.3 基底压力 4.3.3 基底附加压力
基底附加压（应）力是建筑物对基底下地 基产生的应力增量，是引起地基压缩变形 的应力，是计算地基中附加应力的依据。
p 0 p σ ch p γ m h
P——基底压力； σch——基底处土中自重应力，kPa； γm——基底标高以上天然土层的加权平均值；
※b—三角形分布荷载的一边为b。
※p—三角形分布荷载的最大值（基底附加应力）。
§4 土中应力
§4.4 地基附加应力 4.4.2 矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力
2. 矩形面积三角形分布荷载角点下的附加应力
对于矩形面积三角形分布荷载不在角点下 的附加应力计算：
（1）仍然要使用 “角点法”。 （2）对基础中心点下的附加应力，可分为相 等的四块，按均布荷载情况一次算出。 （3）对梯形荷载情况，按同样方法解决。
所以在不透水底面的上下可以有两个突变的自 重应力值。
§4 土中应力 §4.2 土中自重应力
4.2.3 地下水位升降时土中自重应力
§4 土中应力 §4.2 土中自重应力
4.2.4 土质堤坝自身的自重应力 (有限构筑物的自重应力)
计算 面
计算 面
土的自重应力基底压力和地基附加应力
正应力x、y、z ：
x
3P 2
x2z
R5
1 2 3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2(2R z)
R3
(R
z)2
y
3P 2
y2z R5
1 2 3
R2 Rz z 2 R3(R z)
y2 (2R z)
R
3
(
R
z
)
2
z
3P
2
z3 R5
3P
2R2
cos3
x、y、z — 分别平行于x、y、z座标轴的正应力；
基底平均附加压力 (kPa)按下式计算 ：
p0 p c p 0d
p — 基底平均压力设计值(kPa)
c — 土中基底处自重应力
§4.3 地基中的附加应力
附加应力是由于修建建筑物以后在地基内新增加 的应力。
附加应力是使地基发生变形，引起建筑物沉降。
§4.3 地基中的附加应力
假定地基土是连续、均质、各向同性的半无限空 间弹性体，在深度和水平方向上都是无限延伸的。
二、均布矩形荷载下的地基附加应力：
均布矩形荷载角点下
的附加应力z：
角点下的地基附加应力：
d z
3
2
x2
p0 z3 y2 z2
5/2
dxdy
z
d z
A
3 p0 z 3
2
lb 00
x2
1 y2
z2
5 2
dxdy
p0
lbz l 2 b2 2z2
arctan
lb
2 l2 z2 b2 z2 l2 b2 z2
中，竖向正应力z具有特别重要的意义，它是
，
土中应力计算课件
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P z3
பைடு நூலகம்
3P
cos3
2 R5 2R 2
R r2 z2
z
3P z3
2 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
3.3.3 矩形和圆形荷载下地基附加应力计 算——积分法
3.3 土中附加应力
3.3.1 基本概念
1、定义
附加应力是因为外荷载作用，在地基中产生旳应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性旳、均质旳线性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸旳。
3.3.2 竖向集中力作用时旳地基附加应 力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
x
R r2 z2
dz
z2
arctan
z
lb
]
(l 2 b2 z2 )
z c p0
c
1 2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
1
arctan n
m ]
(m2 n2 1)
c ——均布矩形荷载角点下旳竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表得到。
* 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下旳情况：
2z3 p
z b
b
d
0 [(x )2 z 2 ]2
z
p
[n(arctan
n m
arctan
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
4 土力学(stress)土中应力
基底标高以上天然土的 加权平均重度 (天然地面起）
桥台前后填土引起的基底附加应力计算
椎体也是填土
4-13 竖向附加应力系数 竖向附加应力系数 (p 94 表4-1)
p02 2 2 H 2
p01 1 1H1
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和 固体力学都有贡献。
基底 压力 合力 与总 荷载 相等
pmin 0
p max
p max
p max
2P 2P 3KL 3(B 2 e ' )L
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e’>B/6: 出现拉应力区
1)竖向静力平衡
F + G = 基底压力的反力合力Fa
F B Ke x L
K=B/2-e
2)基底压力重新调整后
3K y p min 0
e’ Fa
2(F G) 2(F G) 3KL 3(B 2 e ' )L
p max
注意：
偏心荷载作用下（e>l/6）时，偏心距e’的确定： 错误：e = 力作用点距离中心线的距离 正确：由于e>l/6，因此基底压力重新分布，e’ = M/(F+G)
§4 土中应力
第一节
概述
土中的应力主要包括：土体本身的重量产生的自 重应力；建筑物荷载引起的附加应力；土中渗透 水流引起的渗透应力。本章将只介绍自重应力和 附加应力。
计算地基应力时，一般将地基看作是一个具有水 平界面，深度和广度都无限大的空间弹性体。
§4 土中应力
土中应力符号的规定
zx
桥台前后填土引起的基底附加应力计算
椎体也是填土
4-13 竖向附加应力系数 竖向附加应力系数 (p 94 表4-1)
p02 2 2 H 2
p01 1 1H1
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和 固体力学都有贡献。
基底 压力 合力 与总 荷载 相等
pmin 0
p max
p max
p max
2P 2P 3KL 3(B 2 e ' )L
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e’>B/6: 出现拉应力区
1)竖向静力平衡
F + G = 基底压力的反力合力Fa
F B Ke x L
K=B/2-e
2)基底压力重新调整后
3K y p min 0
e’ Fa
2(F G) 2(F G) 3KL 3(B 2 e ' )L
p max
注意：
偏心荷载作用下（e>l/6）时，偏心距e’的确定： 错误：e = 力作用点距离中心线的距离 正确：由于e>l/6，因此基底压力重新分布，e’ = M/(F+G)
§4 土中应力
第一节
概述
土中的应力主要包括：土体本身的重量产生的自 重应力；建筑物荷载引起的附加应力；土中渗透 水流引起的渗透应力。本章将只介绍自重应力和 附加应力。
计算地基应力时，一般将地基看作是一个具有水 平界面，深度和广度都无限大的空间弹性体。
§4 土中应力
土中应力符号的规定
zx
土中应力
w : 水的重度
（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有 结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即 采用饱和容重计算。
4.2.2 成层土中自重应力
cz
cz
1h1
1h1 2h2
1h1 2h2 3h3
wh3
2 (830 103.5) 3 0.861.5
482.4(kPa)
F+G
F=830kN
室内
M
0.6m
G
0.7m
e
pmax 3k=2.5m
b=1.5m l=3m
矩形基础在双向偏心荷载作 用下，若 pmin 0
则矩形基底边缘四个角点 处的压力可由下式计算
F+G y
My
x
Mx
b
l
pm pm
集中力时地基中任意点的应力和位移解
半空间表面
布辛奈斯克解
假设地基土为弹性半空间体
x
P
y
M(x、y、z）
z
4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
1. 布辛奈斯克解
p
o
αr
x y
x
M′
R θz
z
zx
y
M
xy
x
z
y yz
x y z xy yz
z
3p 2
z3 R5
3p 2z 2
(r 2
z5 z2)5/2
3 2
(r
/
1 z)2 1)
5/2
p z2
（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有 结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即 采用饱和容重计算。
4.2.2 成层土中自重应力
cz
cz
1h1
1h1 2h2
1h1 2h2 3h3
wh3
2 (830 103.5) 3 0.861.5
482.4(kPa)
F+G
F=830kN
室内
M
0.6m
G
0.7m
e
pmax 3k=2.5m
b=1.5m l=3m
矩形基础在双向偏心荷载作 用下，若 pmin 0
则矩形基底边缘四个角点 处的压力可由下式计算
F+G y
My
x
Mx
b
l
pm pm
集中力时地基中任意点的应力和位移解
半空间表面
布辛奈斯克解
假设地基土为弹性半空间体
x
P
y
M(x、y、z）
z
4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
1. 布辛奈斯克解
p
o
αr
x y
x
M′
R θz
z
zx
y
M
xy
x
z
y yz
x y z xy yz
z
3p 2
z3 R5
3p 2z 2
(r 2
z5 z2)5/2
3 2
(r
/
1 z)2 1)
5/2
p z2
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pmax e<l/6
pmin pmax
pmin= 0
pmax
pmin<0 基底压力重分布
pmax
e>l/6
e=l /6
pmin= 0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图
形的形心上
F
?
G?
1 2
pmax
?
3?? ?
l 2
?
e ??b ?
p max
?
2 ?F ? G ?
3
? ?
l
?
e
? ?
b
?2
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
§4–2 土中自重应力 一、概念
由土的自重引起的应力，称为自重应力。
二、假设条件
土体为连续、均质和各向同性的半无限弹性体
三、计算公式
三、计算公式
离地面深度Z处，土的自重 =土的体积×土的重度
土的体积： V ? A?Z
按应力的定义
? cz
?
A?Z ??
A
? cz ? ? ?Z
基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
p 0 max p 0 min
?
p max p min
? ?0d
注意
?因为基础具有一定的埋深，弹性力学解答具有近似性。 ? 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降 计算中，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩增加沉降，取
p0 ? p ? ?? cd
?保证坑底土质不发生浸水膨胀条件
第4章 土中应力 Stress in soils
§4–1 概述 §4–2 土中自重应力 §4–3 基底压力（接触应力） §4–4 地基附加应力
§4–1 概述
F
G
持力层（受力层） 下卧层
自重应力(overburden stress)
附加应力(additional stress) 有效应力：(effective stress) 孔隙应力(pore stress)
2.学习研究的意义
是确定地基强度条件的前提
二、基底压力的分布
1. 基底压力的分布与基础的刚度有关
柔性基础
基础
刚性基础
柔性基础
特点 基础随地基 一起变形， 基底压力为均匀分布
（a）理想柔性基础 （b）路堤下地基反力分布
刚性基础
特点
基础本身无变形，基底 压力为非均匀分布
影响基底压力的其它因素
基础埋深 地基土的性质
? cz ? ? ?Z
2.成层地基土的自重应力 当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为?i，则在深度z处 土的自重应力计算公式为：
式中n为从天然地面到深度z处的 土层数。
3.地下水的影响
? 计算点在地下水位下时，由于 水对土体有浮力作用，则下部 分柱体取有效重度，即
? cz ? (? ? ? w)z ? ? ' z
土力学中应力符号的规定
?z
地基：半无限空间
∞
o
∞
x
? zx
? xy
?x
? y ?yz
y ∞ z
? ij =
? x ?xy ?xz ?yx ? y ?yz
?zx ?zy ? z
一. 土力学中应力符号的规定
- ?zx
?z
+
材料力学
??xzx?z- ?zx +
土力学
?
?
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
?
三、基底附加压力
? 基底附加压力： 作用于地基表面，由于建造建筑物而
新增加的压力称为基底附加压力，即导致地基中产生附 加应力的那部分基底压力
F
实际情况
F
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
d
p0 ? p ? ?0 d
基底附加压力
p0 ? p ? ?0 d
自重应力
有效应力：(effective stress)土粒所传递的粒间应力，它是控制 土的体积和强度 两者变化的土中应力。
孔隙应力(pore stress)：土中水和土中气所传递的应力。
土的变形具有明显的非线性特征。但考虑到一般建筑物荷 载作用下地基中应力的变化范围不大时，可以把土看成是一个 线性变形体，从而简化计算。
自重应力(overburden stress)：
土体变形或地基变形的主要 原因，是导致土体强度破坏 和失稳的重要原因。
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
附加应力(additional stress)：
建筑物修建以后，建筑物重量等 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。
有了基底附加压力，可把它作为作用于弹性半空间表面上的 局部荷载，根据弹性力学计算地基中的附加应力
自重应力的分布规律 自重应力与水平应力的关系
土的水平向自重应力? cx, ? cy可用下式计算
? cx ? ? cy ? K0? cz
式中K0为侧压力系数，也称静止 土压力系数；土体无侧向变形和 剪切变形，故
? xy ? ? yz ? ? zx ? 0
四、公式的应用
1.均质地基土的自重应力stress in homogeneous soil
2. 基底的简化计算
中心荷载作用时
偏心荷载作用时
中心荷载作用时
若是条形基础， F, G取单位长度 基底面积计算
取室内外平 均埋深计算
G=? GAd
p? F?G A
偏心荷载作用时 F+G
pmax
作用于基础底面 形心上的力矩 M=( F+G ) ?e
p max ? F ? G ? M
p min
A
W
? 当地下水位下降，地基中有效自重应力增加，从而引起地面 大面积沉降的严重后果
? 当地下水位上升时，水位上升引起地基承载力的减小，湿陷 性土的陷塌
1 1'
原地下水位
1'
1
原地下水位
2 2'
2' 2
4.不透水层的影响 ?不透水层层面的自重应力按上覆土层的水土总重计算
5.自重应力图的绘制
① 建立直角坐标系 ② 确立特征点并编号 （地面、层面、
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmin
pmax ? F ? G ??1 ? 6e ??
p min
bl ? l ?
讨论：
p max ? F ? G ??1 ? 6 e ??
p min
bl ? l ?
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
地下水位面、不透水层层面） ③ 计算各点的竖向自重应力 ④ 按比例绘出特征点自重应力的位置 ⑤ 用直线连接各点 ⑥ 校核 （地下水位处，不透水层处）
§4.3 基底压力 Contact pressure
一、概述
1.概念 基底压力是建筑物荷载通过基础传递给地基的单位面积压力。 作用于地基上的是基底压力 作用于基础上的是地基反力 基底压力为接触压力