中考数学专题练习：与圆有关的位置关系 (含答案)
中考数学专项训练： 与圆有关的位置关系(含解析)
一、选择题9．（2019·福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°【答案】B【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠ACB ＝55°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝110°，∴∠APB ＝360° －110°－90°－90°＝70°．【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；11. （2019·泸州）如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是（ ）A ．3√1010B ．3√105C ．3√55D ．6√55【答案】D【解析】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，∵等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，OD ⊥AB ，BE ＝BD ，∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝3，在Rt △ABE 中，AE =√52−32=4，∵BD ＝BE ＝3，∴AD ＝2，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，AO ＝4﹣r ，在Rt △AOD 中，r 2+22＝（4﹣r ）2，解得r =32，PP (第9题)在Rt △BOE 中，OB =√32+(32)2=3√52， ∵BE ＝BD ，OE ＝OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH ＝EH ，OB ⊥DE ，∵12HE •OB =12OE •BE ，∴HE =OE⋅BE OB =3×323√62=3√55，∴DE ＝2EH =6√55．故选：D ．5．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．54 °B ．36°C ．32 °D ．27°（第5题）【答案】D 【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ． 1. （2019·无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ）A.20°B.25°C.40°D.50°【答案】B 【解析】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．x yO-6OO B CA A BE F2.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A .817 B. 717 C.49 D.59【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴OE AO =DH AD ，即OE 8=512，∴OE =103，∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG =BE·OA AB =143×88√2=7√23.在Rt △BGE 中，∠EBG =450，∴BG =EG =7√23，∴AG =AB -BG =17√23. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =EG AG =717.故选B.3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内5. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则¼BM 的长为3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM．【答案】①②④【解析】连接OM ，BMA∵PE 是⊙O 的切线，∴OM ⊥PE ．∵AC ⊥PE ，∴AC ∥OM ．∴∠CAM ＝∠AMO ．∵OA ＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAO ．∴∠CAM =∠MAO ．∴AM 平分∠CAB ．选项①正确；∵AB 为直径，∴∠AMB =90º=∠ACM ．∵∠CAM =∠MAO ，∴△AMC ∽△ABM ．∴AC AM AM AB=． ∴AM 2=AC ·AB ．选项②正确；∵∠P =30°，∴∠MOP =60°．∵AB =4，∴半径r =2．∴¼60221803BM l ππ⨯==．选项③错误； ∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ，∴CM =MD ．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°，∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM =∠BDM =90°，∴△ACM ∽△MDB ．∴AC CM DM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM ．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，e O 在△ABC 内自由移动，若e O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB =12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB •=4，∴PQ= ．故答案为：5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的e P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或【解析】半径为6的e P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:①当e P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;②当e P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当e P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或6.7.8.9.10.三、解答题23．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°．在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ．∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线；（2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝∴∆OBD 的面积为12×8×OAB 的面积为16×π×82＝323π， ∴阴影部分的面积为323π． 24．（2019·淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E.(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF 的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE与⊙O相切.理由如下：第24题答图1如图所示，连接OD，则OA=OD，∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠BAD.∴∠FAD=∠ODA，∴OD∥AF.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切.（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.第24题答图1∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°， ∴∠DFE=∠B=60°. ∵⊙O 的半径为2， ∴AB=4，∴3223430cos =⨯=︒⋅=AB AD ， ∴3213230sin =⨯=︒⋅=AB DE ， ∴13360tan ==︒=DE EF .22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 21．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积图6CBOEDCBA图1 图2 【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE =，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC（2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
中考数学总复习《与圆有关的位置关系》专项测试卷附答案
中考数学总复习《与圆有关的位置关系》专项测试卷附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20°,则∠AOB的度数为( )A.80°B.70°C.60°D.50°2.如图,点P为☉O外一点,过点P作☉O的切线P A,PB,记切点为A,B,点C为☉O 上一点,连接AC,BC.若∠ACB=62°,则∠APB等于( )A.68°B.64°C.58°D.56°⏜上.已知∠3.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在BDCA=50°,则∠D的度数是.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为.5.如图,以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆,圆心为O,过点A作AE⊥CD的延长线于点E,已知DA平分∠BDE.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)若AE=4,CD=6,求☉O的半径和AD的长.【B层·能力提升】6.(2024·包头中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD 内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为.7.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为.8.(2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.(1)求证:△ABC∽△ACD;(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.【C层·素养挑战】9.如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC于点M.(1)求证:直线DE是☉O的切线;(2)求证:AB=AM;(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.参考答案【A层·基础过关】1.如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20°,则∠AOB的度数为(B)A.80°B.70°C.60°D.50°2.如图,点P为☉O外一点,过点P作☉O的切线P A,PB,记切点为A,B,点C为☉O 上一点,连接AC,BC.若∠ACB=62°,则∠APB等于(D)A.68°B.64°C.58°D.56°⏜上.已知∠3.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在BDCA=50°,则∠D的度数是65°.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作.的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为2455.如图,以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆,圆心为O,过点A作AE⊥CD的延长线于点E,已知DA平分∠BDE.(1)求证:AE是☉O的切线;【解析】(1)如图,连接OA∵AE⊥CD∴∠DAE+∠ADE=90°.∵DA平分∠BDE∴∠ADE=∠ADO.又∵OA=OD∴∠OAD=∠ADO∴∠DAE+∠OAD=90°∴OA⊥AE∵OA是☉O的半径∴AE是☉O的切线.(2)若AE=4,CD=6,求☉O的半径和AD的长.【解析】(2)如图,取CD中点F,连接OF由题易得OF⊥CD于点F∴四边形AEFO是矩形.∵CD=6∴DF=FC=3.在Rt△OFD中,OF=AE=4∴OD=√OF2+DF2=√42+32=5,即☉O的半径为5.在Rt△AED中,AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2∴AD=√42+22=2√5.【B层·能力提升】6.(2024·包头中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD 内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为105°.7.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为2√7.8.(2024·盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的☉O 上,过点C 作☉O 的切线l ,过点A 作AD ⊥l ,垂足为D ,连接AC ,BC.(1)求证:△ABC ∽△ACD ; 【解析】(1)连接OC ∵l 是☉O 的切线,∴OC ⊥l∵AD ⊥l ,∴OC ∥AD ,∴∠CAD =∠ACO =∠CAB ,∵AB 为☉O 的直径 ∴∠ADC =∠ACB =90° ∴△ABC ∽△ACD ;(2)若AC =5,CD =4,求☉O 的半径. 【解析】(2)∵AC =5,CD =4,∠ADC =90° ∴AD =√AC 2-CD 2=3 ∵△ABC ∽△ACD ,∴AB AC =AC AD∴AB 5=53,∴AB =253,∴☉O 的半径为256.【C 层·素养挑战】9.如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC于点M.(1)求证:直线DE是☉O的切线;【解析】(1)连接OD,则OD=OA∴∠ODA=∠OAD∵AD平分∠CAB∴∠OAD=∠DAC∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC∵DE⊥AC,∴∠ODF=∠AED=90°∵OD是☉O的半径,且DE⊥OD∴直线DE是☉O的切线.(2)求证:AB=AM;【解析】(2)∵线段AB是☉O的直径∴∠ADB=90°,∴∠ADM=180°-∠ADB=90°∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°∵∠DAM=∠DAB,∴∠M=∠ABM∴AB=AM.(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.【解析】(3)∵∠AEF=90°,∠F=30°∴∠BAM=60°,∴△ABM是等边三角形∴∠M=60°,∵∠DEM=90°,ME=1∴∠EDM=30°,∴MD=2ME=2∴BD=MD=2,∵∠BDF=∠EDM=30°∴∠BDF=∠F∴BF=BD=2.。
中考数学专题练习：与圆有关的位置关系 (含答案)
中考数学专题练习：与圆有关的位置关系（含答案）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是( )A．点D在⊙A外B．点D在⊙A上C．点D在⊙A内D．无法确定2．如图，点F是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BFC＝( )A．100° B．115° C．130° D．135°3．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°4．（·宜宾)如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，则EG 的长是________．5．如图，在△ABC中，CB＝3，AB＝4，AC＝5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为__________．6．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝________度．7．（·宁夏)如图，点A、B、C均在6×6的正方形网格格点上，过A、B、C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为______．8．（·甘肃省卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°.(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；(要求：不写作法，保留作图痕迹)(2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．9．（·东营)如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．(1)求证：∠CAD＝∠BDC；(2)若BD ＝23AD ，AC ＝3，求CD 的长．参考答案1．A 2.B 3.D 4.5－1 5.2.4 6.45 7.58．解：(1)如解图，作出角平分线CO ；作出⊙O.(2)AC 与⊙O 相切．9．证明：(1)如解图，连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，又∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°，∠1＋∠ODB＝90°，∴∠1＝∠BDC，又∵OA＝OD，∴∠1＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BDC；(2)解：∵BD＝23 AD，∴BDAD＝23，∵∠CAD＝∠BDC，∴tan∠CAD＝tan∠CDB＝BDAD＝23，∵∠CAD＝∠BDC，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDB，∴CDCA＝BDAD＝23，∴CD＝23CA＝23×3＝2.。
中考数学复习《圆与圆的位置关系》练习题(含答案)
P O 2O 1中考数学复习《圆与圆的位置关系》练习题（含答案）一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，DE ∥BC ，且AD =2CD ，则以D 为圆心DC 为半径的⊙D 和以E 为圆心EB 为半径的⊙E 的位置关系是 （ ）（A ）外离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）不能确定．2.已知半径分别为5cm 和8cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）A ．1cmB ．3cmC ．10cmD ．15cm3.已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为1，则两圆的位置关系是 （ ）Ａ．相交 Ｂ．内切 Ｃ．外切 Ｄ．内含 4.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A ．8d > B ． 2d > C ．02d ≤< D ． 8d >或02d ≤<5.已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）．A . 内含B . 内切C . 相交D . 外切6.如图，已知⊙01与⊙02关于y 轴对称，点01的坐标为（- 4，0）.两圆相交于A 、B ，且01A ⊥02A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π – 8B.8π – 16C. 16π – 16D.16π – 32二、填空题1.如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为2和3，连接O 1O 2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=7，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周，请写出⊙O 1与⊙O 2相切时的旋转时间为_______秒．2．已知⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为5， O 1O 2＝7，则⊙O 1、⊙O 2的位置关系是ABC ED (第1题图)3．已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为3cm 和5cm ，且它们内切，则12O O 等于 ▲ cm ．4.已知⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为5， O 1O 2＝7，则⊙O 1、⊙O 2的位置关系是 ▲ ．5.如图，在△ABC 中，∠A=90，分别以B 、C 为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为2cm ，则图中阴影部分的面积为 ．6.已知ABC △的三边分别是a b c ，，，两圆的半径12r a r b ==，，圆心距d c =，则这两 个圆的位置关系是 ．7.如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4cm 的⊙O 2内切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ cm ．【原创】8.要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆，该矩形纸片面积的最小值是 .第5题选择题1、C2、C3、B4、D5、B6、B填空题1、【答案】 3或6或92、答案：相交3、答案：24、答案：相交：5、答案: 2cm6、答案:相交7、答案：18、答案： 72.。
初中数学 圆的有关位置关系(共70题)-(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题25圆的有关位置关系（共70题）一、单选题OA=，1．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有O和点A，B，若O半径为2cm，线段3cm OB=，则直线AB与O的位置关系为（）2cmA．相离B．相交C．相切D．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵∵O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∵点A在∵O外．点B在∵O上，∵直线AB与∵O的位置关系为相交或相切，故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题中，假命题是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合=，则点B是线段AC的中点C．若AB BCD．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；D 、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；故选C ．【点睛】本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】 连接AD ，由切线性质可得∵ADB =∵ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得∵BAD =60°，易求得∵ADE =72°，由AD=AE 可求得∵DAE =36°，则∵GAC =96°，根据圆周角定理即可求得∵GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，∵BC 与圆A 相切于点D ，∵∵ADB =∵ADC =90°，在Rt∵ADB 中，AB =6，则cos∵BAD =AD AB =12， ∵∵BAD =60°，∵∵CDE =18°，∵∵ADE =90°﹣18°=72°，∵AD=AE ，∵∵ADE =∵AED =72°，∵∵DAE =180°﹣2×72°=36°，∵∵GAC =36°+60°=96°，∵∵GFE =12∵GAC =48°， 故选：B ．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∵BAD =60°是解答的关键．4．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定∵ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可．【详解】 解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ， ∵AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∵AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∵∵AOG ∵∵BOM ，∵∵CAB =∵CBA ，∵∵ACB =90°，∵∵CAB =∵CBA =45°，12OC AB ∴=， 2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C【分析】 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】 ABC 的外接圆如下图∵∵40A =︒∵280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 6．（2021·四川泸州市·）如图，∠O 的直径AB =8，AM ，BN 是它的两条切线，DE 与∠O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点，BD ，OC 相交于点F ，若CD =10，则BF 的长是A B C D【答案】A【分析】过点D作DG∵BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得6GC=，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明∵HAO∵∵BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt∵ABD中，根据勾股定理可得BD=∵DHF∵∵BCF，根据相似三角形的性质可得DH DFBC BF=，由此即可求得9BF=．【详解】过点D作DG∵BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与∵O相切于点E，∵AD=DE，BC=CE，∵DAB=∵ABC=90°，∵DG∵BC，∵四边形ABGD为矩形，∵AD=BG，AB=DG=8，在Rt∵DGC中，CD=10，∵6 GC=，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∵CD= DE+CE = AD+BC =10，∵AD+BG +GC=10，∵AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∵DAB=∵ABC=90°，∵AD∵BC，∵∵AHO=∵BCO，∵HAO=∵CBO，∵OA=OB，∵∵HAO∵∵BCO，∵AH=BC=8，∵AD=2，∵HD=AH+AD=10；在Rt∵ABD中，AD=2，AB=8，∵BD=∵AD∵BC，∵∵DHF∵∵BCF，∵DH DF BC BF=，∵108=，解得，BF=故选A．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，6AB=，60=︒∠DAC，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：∠BDE EFC ∠=∠；∠ED EC =；∠ADF ECF ∠=∠；∠点E 运动的路程是 ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠【答案】B【分析】 连接OE 并延长交DC 于点H ，先证∵ADO 为等边三角形，得出∵2=∵DAF =60°，再根据∵DEF 为等边三角形，得出∵正确；证出∵DOE ∵∵COE ，得到ED =EC ，得出∵正确；证出∵ADF =∵3，看得出∵正确；根据∵DOE ∵∵COE ，得出点E 在OH 上运动，可得∵正确．【详解】解：连接OE 并延长交DC 于点H ，∵矩形ABCD ，∵OA =OD =OC ，∵∵DAC =60°，∵∵A DO 为等边三角形，∵∵2=∵DAF =60°，∵∵DEF 为等边三角形，∵∵1=60°=∵5，∵∵1=∵2，∵D 、F 、O 、E 四点共圆，∵∵3=∵4，∵正确；∵∵5=∵6=60°，∵∵7=∵6=60°，∵OD =OC ，OE =OE ，∵∵DOE ∵∵COE ，∵∵3=∵8，∵∵CDE =∵DCE ，∵ED =EC ，∵正确；∵∵ADO =∵FDE =60°，∵∵ADF =∵3，∵∵ADF =∵8，即∵ADF =∵ECF ，∵正确；∵∵DOE ∵∵COE ，∵点E 在∵DOC 的角平分线上与CD 的交点为H ，即点E 在OH 上运动，∵OH =12BC ，∵OH ∵错误．故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．8．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，ABC 内接于,120,,O BAC AB AC BD ∠=︒=是O 的直径，若3AD =，则BC =（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】C【分析】首先过点O 作OF ∵BC 于F ，由垂径定理可得BF ＝CF ＝12BC ，然后由∵BAC ＝120°，AB ＝AC ，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∵C 与∵BAC 的度数，由BD 为∵O 的直径，即可求得∵BAD 与∵D 的度数，又由AD ＝3，即可求得BD 的长，继而求得BC 的长．【详解】解：过点O 作OF ∵BC 于F ，∵BF ＝CF ＝12BC ， ∵AB ＝AC ，∵BAC ＝120°，∵∵C ＝∵ABC ＝（180°−∵BAC ）÷2＝30°，∵∵C 与∵D 是同弧所对的圆周角，∵∵D ＝∵C ＝30°，∵BD 为∵O 的直径，∵∵BAD ＝90°，∵∵ABD ＝60°，∵∵OBC ＝∵ABD −∵ABC ＝30°，∵AD ＝3，∵BD ＝AD ÷cos30°＝∵OB ＝12BD∵BF ＝OB •cos30°32， ∵BC ＝3．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．9．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD BD AB+<B．AD一定经过ABC的重心C．BAD CAD∠=∠D．AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分∵BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：∵AD平分∵BAC，∵BAD CAD∠=∠，故C正确；在∵ABD中，由三角形三边关系可得AD BD AB+>，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过ABC的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．10．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】C【分析】由切线的性质得出∵OAP =∵OBP =90°，利用四边形内角和可求∵AOB =110°，再利用圆周角定理可求∵ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∵ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，∵AP 、BP 是切线，∵∵OAP =∵OBP =90°，∵∵AOB =360°-90°-90°-70°=110°，∵∵ADB =55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∵∵ACB =180°-∵ADB =180°-55°=125°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出∵AOB ．11．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 【答案】D【分析】 由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．【详解】解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形 ∴60ACP ∠=︒∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=13222APC S AP CP ∆∴=⨯==【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．12．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC 的中点O ，设AE 与∵O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，由题意可得OB =OC =OA =1，∵OF A =∵OFE =90°，由切线长定理可得AB =AF =2，CE =CF ，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与∵O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∵BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∵OB =OC =OF =1，∵OF A =∵OFE =90°，∵AB =AF =2，CE =CF ，∵OA =OA ，∵Rt ∵ABO ∵Rt ∵AFO （HL ），同理可证∵OCE ∵∵OFE ，∵,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∵90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∵COE BAO ∠=∠，∵ABO OCE ∽， ∵OC CE AB OB=， ∵12CE =， ∵15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】 本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．13．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，MN=，则AMN周长的最小值是（）若O的面积为2π，1A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，CN AN，过A点作CN的（1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C，连接CN，则=平行线AG，过C点作BD的平行线CG，两平行线相交于点G，AG与BD相交于点M．CN MG NM CG//,//,∴四边形CNMG是平行四边形∴MG CN =∴MG AN =则=1AMN C AN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N C AN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMN AM N C C <∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形∴CNM NMA ∠=∠四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥ 又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅∴ON OM =又AC BD∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 32AM ∴= 3=2+1=42AMN C ∴⨯ 故选：B ．【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到AMN 周长取最小值时M N 、的位置． 14．（2021·贵州贵阳市·中考真题）如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（ ）A ．144︒B ．130︒C ．129︒D ．108︒ 【答案】A【分析】根据切线的性质，可得∵OAE ＝90°，∵OCD ＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解： ∵A E 、CD 切∵O 于点A 、C ，∵∵OAE ＝90°，∵OCD ＝90°，∵正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：()521801085-⨯︒=︒ ， ∵∵AOC ＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A ．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．15．（2021·广东中考真题）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2y x 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ）A ．12B ．2C ．2D ．1【答案】A【分析】设A (a ，a ²)，B(b ，b ²)，求出AB 的解析式为1()1ya x a ，进而得到OD =1，由∵OCB=90°可知，C 点在以OD 的中点E 为圆心，以1122rOD 为半径的圆上运动，当CH 为圆E 半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C 点作y 轴垂线，垂足为H ，AB 与x 轴的交点为D ，设A (a ，a ²)，B(b ，b ²)，其中a ≠0，b ≠0，∵OA ∵OB ，∵1OA OB k k ⋅=-， ∵221a b a b ， 即1ab =-，221AB a b k a b a a b a ， 设AB 的解析式为：1()ya x m a ，代入A (a ，a ²)， 解得：1m =，∵1OD =， ∵OC AB ⊥，即90OCB ∠= ，∵C 点在以OD 的中点E 为圆心，以1122r OD 为半径的圆上运动， 当CH 为圆E 的半径时，此时CH 的长度最大，故CH 的最大值为12r =， 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB 与y 轴交点的纵坐标始终为1，结合90OCB ∠=，由此确定点E 的轨迹为圆进而求解．16．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A 沿x 轴移动，当∠A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，点A 的坐标为（ ）A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)±【答案】D 【分析】 当∵A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，则此时∵A 与直线5:12l y x =相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为B ，此时B 点同时在∵A 与直线5:12l y x =上，故可以表示出B 点坐标，过B 点作//BC OA ，则此时AOB OBC △∽△，利用相似三角形的性质算出OA 长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接AB ，过B 点作//BC OA ，此时B 点坐标可表示为512x,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵512OC x =，BC x =， 在Rt OBC中，1312OB x ===，又∵A 半径为5，∵5AB =，∵//BC OA ，∵AOB OBC △∽△， 则OA AB OB BO OC BC==， ∵51351212OA =x x ， ∵13OA=，∵左右两侧都有相切的可能，∵A 点坐标为(13,0)±，故选：D ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．17．（2021·福建中考真题）如图，AB 为O 的直径，点P 在AB 的延长线上，,PC PD 与O 相切，切点分别为C ，D ．若6,4AB PC ==，则sin CAD ∠等于（ ）A．35B．25C．34D．45【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是∵O的切线，根据定理可知∵OCP＝90°，∵CAP＝∵P AD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∵CAD=∵COP，在Rt∵OCP中求出sin COP∠即可．【详解】解：连接OC，CP，DP是∵O的切线，则∵OCP＝90°，∵CAP＝∵P AD，∵∵CAD=2∵CAP，∵OA=OC∵∵OAC＝∵ACO，∵∵COP＝2∵CAO∵∵COP＝∵CAD∵6AB=∵OC=3在Rt∵COP中，OC=3，PC=4∵OP =5．∵sin CAD ∠=sin COP ∠=45 故选：D ．【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．18．（2021·山西中考真题）如图，在O 中，AB 切O 于点A ，连接OB 交O 于点C ，过点A 作//AD OB 交O 于点D ，连接CD ．若50B ∠=︒，则OCD ∠为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒【答案】B【分析】 连接OA ，根据AB 与O 相切易得90OAB ∠=︒，在Rt OAB 中，已知50B ∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC ∠的度数，最后根据//AD OB 可得OCD ADC ∠=∠．【详解】如下图，连接OA ，∵AB 切O 于点A ，∵90OAB ∠=︒，在Rt OAB 中，∵50B ∠=︒，∵40AOB ∠=︒，∵20ADC ∠=︒，又∵//AD OB ，∵=20OCD ADC ∠=∠︒．故选：B ．【点睛】本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键．19．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若35BAC ∠=︒，则ACB∠的大小为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒【答案】C【分析】 根据切线的性质，得∵ABC =90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，∵AB ∵BC ，即∵ABC =90°，∵35BAC ∠=︒，∵ACB ∠=90°-35°=55°，故选C ．【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．20．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（ ）A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】AB=，圆B的半径为1∵圆A与圆B内切，4∵圆A的半径为5AD=<5∵3∵点D在圆A内在Rt∵ABC中，5AC==∵点C在圆A上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题21．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，四边形ABCD是∠O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．【答案】140°．【详解】试题分析：∵∵BOD=80°，∵∵A=40°，∵四边形ABCD是∵O的内接四边形，∵∵BCD=180°-40°=140°，故答案为140°．考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理22．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4，C P为AB边上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ∵PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP∵AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC，∵PQ和圆C相切，∵CQ∵PQ，即∵CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，∵当CP最小时，PQ最小，∵∵ABC是等边三角形，∵当CP∵AB时，CP最小，此时CP∵AB，∵AB=BC=AC=4，∵AP=BP=2，∵CP=∵圆C的半径CQ∵PQ，故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC∵AB时，线段PQ最短是关键．OP=．若PT是23．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，已知O的半径为1，点P是O外一点，且2O的切线，T为切点，连接OT，则PT=_____．【分析】根据圆的切线的性质，得90OTP ∠=︒，根据圆的性质，得1OT =，再通过勾股定理计算，即可得到答案．【详解】∵PT 是O 的切线，T 为切点∵90OTP ∠=︒∵PT =∵O 的半径为1∵1OT =∵PT =【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解． 24．（2021·陕西中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为4，O 的半径为1．若O 在正方形ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为______．【答案】1【分析】由题意易得当O 与BC 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到O 上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC ，交O 于点E ，然后可得AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大，由题意易得4,45AB BC ACB ==∠=︒，则有∵OFC 是等腰直角三角形，AC =可得OC【详解】解：由题意得当O 与BC 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到O 上的点的距离取得最大，如图所示：90OFC ∠=︒连接AC ，OF ，AC 交O 于点E ，此时AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4，∵4,45AB BC ACB ==∠=︒，∵∵OFC 是等腰直角三角形，AC =∵O 的半径为1，∵1OF FC ==，∵OC =∵AO AC OC =-=∵1AE AO OE =+=，即点A 到O 上的点的距离的最大值为1；故答案为1．【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2021·青海中考真题）点P 是非圆上一点，若点P 到O 上的点的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则O 的半径是______．【答案】6.5cm 或2.5cm【分析】分点P 在O 外和O 内两种情况分析；设O 的半径为xcm ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设O 的半径为xcm当点P 在O 外时，根据题意得：429x += ∵ 2.5x cm =当点P 在O 内时，根据题意得：294x =+∵ 6.5x cm =故答案为：6.5cm 或2.5cm ．【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 26．（2021·北京中考真题）如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线，∵90∠=∠=︒PAO PBO ，∵由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒，∵50P ∠=︒，∵130AOB ∠=︒；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．27．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：∠AP PF =；∠DE BF EF +=；∠PB PD -=；∠AEF S 为定值；∠APG PEFG S S =四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】∵∵∵∵【分析】由题意易得∵APF =∵ABC =∵ADE =∵C =90°，AD =AB ，∵ABD =45°，对于∵：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得∵AFP =∵ABD =45°，则问题可判定；对于∵：把∵AED 绕点A 顺时针旋转90°得到∵ABH ，则有DE =BH ，∵DAE =∵BAH ，然后易得∵AEF ∵∵AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于∵：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证∵AOP ∵∵ABF ，进而问题可求解；对于∵：过点A 作AN ∵EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若∵AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于∵由∵可得2AP AF =进而可得∵APG ∵∵AFE ，然后可得相似比为2AP AF =最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，∵∵APF =∵ABC =∵ADE =∵C =90°，AD =AB ，∵ABD =45°，∵∵180ABC APF ∠+∠=︒，∵由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒，∵点A 、B 、F 、P 四点共圆，∵∵AFP =∵ABD =45°，∵∵APF 是等腰直角三角形，∵AP PF =，故∵正确；∵把∵AED 绕点A 顺时针旋转90°得到∵ABH ，如图所示：∵DE =BH ，∵DAE =∵BAH ，∵HAE =90°，AH =AE ，∵45HAF EAF ∠=∠=︒，∵AF =AF ，∵∵AEF ∵∵AHF （SAS ），∵HF =EF ，∵HF BH BF =+，∵DE BF EF +=，故∵正确；∵连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，如图所示：∵点O 是对角线BD 的中点，∵OB =OD ，BD AC ⊥，∵OP =OM ，∵AOB 是等腰直角三角形，∵AB =，由∵可得点A 、B 、F 、P 四点共圆，∵APO AFB ∠=∠，∵90ABF AOP ∠=∠=︒，∵∵AOP ∵∵ABF ，∵OP OA AP BF AB AF ===，∵OP BF =， ∵2BP DP BP BM PM OP -=-==，∵PB PD -=，故∵正确；∵过点A 作AN ∵EF 于点N ，如图所示：由∵可得∵AFB =∵AFN ，∵∵ABF =∵ANF =90°，AF =AF ，∵∵ABF ∵∵ANF （AAS ），∵AN =AB ，若∵AEF 的面积为定值，则EF 为定值，∵点P 在线段OD 上，∵EF 的长不可能为定值，故∵错误；∵由∵可得2AP AF = ∵∵AFB =∵AFN =∵APG ，∵F AE =∵P AG ，∵∵APG ∵∵AFE ，∵2GP AP EF AF ==，∵212AGP AEF SS ==⎝⎭， ∵12AGP AEF S S =，∵APG PEFG S S =四边形，故∵正确；综上所述：以上结论正确的有∵∵∵∵；故答案为∵∵∵∵．【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．28．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∵90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∵60COD ∠=︒，∵CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．29．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．【答案】85【分析】连结OO′，先证∵BOO′为等边三角形，求出∵AOB =∵OBO′=60°，由O 与OAB 的边AB 相切，可求∵CBO ==30°，利用三角形内角和公式即可求解．【详解】解：连结OO′，∵将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，∵BO′=BO =OO′，∵∵BOO′为等边三角形，∵∵OBO′=60°，∵O 与OAB 的边AB 相切，∵∵OBA =∵O′BA′=90°，∵∵CBO =90°-∵OBO′=90°-60°=30°，∵∵A′=25°∵∵A′O′B=90°-∵A′=90°-25°=65°∵∵AOB=∵A′O′B=65°，∵∵OCB=180°-∵COB-∵OBC=180°-65°-30°=85°．故答案为85．【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．30．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．∠该弧所在圆的半径长为___________；∠ABC面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ∠线段PB 长的最小值为_______；∠若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）∵2；2；（2）见解析；（3）；【分析】（1）∵设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到∵BOC =60°，证明∵OBC 是等边三角形，可得半径；∵过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，∵ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）∵根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；∵根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在∵ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ∵PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）∵设O 为圆心，连接BO ，CO ，∵∵BAC =30°，∵∵BOC =60°，又OB =OC ，∵∵OBC 是等边三角形，∵OB =OC =BC =2，即半径为2；∵∵∵ABC 以BC 为底边，BC =2，∵当点A 到BC 的距离最大时，∵ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，∵BE =CE =1，DO =BO =2，∵OE∵DE 2，∵∵ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，∵点D 在圆上，∵∵BDC =∵BAC ，∵∵BA ′C =∵BDC +∵A ′CD ，∵∵BA ′C ＞∵BDC ，∵∵BA ′C ＞∵BAC ，即∵BA ′C ＞30°；（3）∵如图，当点P 在BC 上，且PC =32时，∵∵PCD =90°，AB =CD =2，AD =BC =3，∵tan ∵DPC =CD PC =43，为定值，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，∵当点P在优弧CPD上时，tan∵DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE∵BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∵点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，∵BE=BC-CE=3-34=94，∵BQ∵PD 52，∵圆Q的半径为155 224⨯=，∵BP′=BQ-P′Q，即BP；∵∵AD=3，CD=2，23PCD PADS S=，则23 CDAD=，∵∵P AD中AD边上的高=∵PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∵ADC的平分线上，如图，过点C作CF∵PD，垂足为F，∵PD平分∵ADC，∵∵ADP=∵CDP=45°，∵∵CDF为等腰直角三角形，又CD=2，∵CF=DF。
中考数学专题复习34与圆有关的位置关系专题(全国通用解析版)
与圆有关的位置关系考点1：点、直线和圆的位置关系1．（2021·陕西中考真题）如图.正方形ABCD 的边长为4.O 的半径为1．若O 在正方形ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切）.则点A 到O 上的点的距离的最大值为______．【答案】321【分析】由题意易得当O 与BC 、CD 相切时.切点分别为F 、G .点A 到O 上的点的距离取得最大.进而根据题意作图.则连接AC .交O 于点E .然后可得AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大.由题意易得4,45AB BC ACB ==∠=︒.则有△OFC 是等腰直角三角形.42AC =根据等腰直角三角形的性质可得2OC =最后问题可求解．【详解】解：由题意得当O 与BC 、CD 相切时.切点分别为F 、G .点A 到O 上的点的距离取得最大.如图所示：90OFC ∠=︒连接AC .OF .AC 交O 于点E .此时AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大.如图所示.△四边形ABCD 是正方形.且边长为4.△4,45AB BC ACB ==∠=︒.△△OFC 是等腰直角三角形.42AC =△O 的半径为1.△1OF FC ==. △2OC = △32AO AC OC =-= △321AE AO OE =+=.即点A 到O 上的点的距离的最大值为321； 故答案为321．考点2：切线的性质与判定2．（2021·福建中考真题）如图.AB 为O 的直径.点P 在AB 的延长线上.,PC PD 与O 相切.切点分别为C .D ．若6,4AB PC ==.则sin CAD ∠等于（ ）A ．35B ．25C ．34D ．45【答案】D【分析】连接OC .CP .DP 是△O 的切线.根据定理可知△OCP ＝90°.△CAP ＝△P AD .利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求△CAD=△COP .在Rt△OCP 中求出sin COP ∠即可．【详解】解：连接OC .CP .DP 是△O 的切线.则△OCP ＝90°.△CAP ＝△P AD .△△CAD=2△CAP .△OA =OC△△OAC ＝△ACO .△△COP ＝2△CAO△△COP ＝△CAD△6AB =△OC =3在Rt△COP 中.OC =3.PC =4△OP =5．△sin CAD ∠=sin COP ∠=45故选：D ．3．（2021·山西中考真题）如图.在O 中.AB 切O 于点A .连接OB 交O 于点C .过点A 作//AD OB 交O 于点D .连接CD ．若50B ∠=︒.则OCD ∠为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒【答案】B【分析】 连接OA .根据AB 与O 相切易得90OAB ∠=︒.在Rt OAB 中.已知50B ∠=︒.可以求出AOB ∠的度数.根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC ∠的度数.最后根据//AD OB 可得OCD ADC ∠=∠．【详解】如下图.连接OA .△AB 切O 于点A .△90OAB ∠=︒.在Rt OAB 中.△50B ∠=︒.△40AOB ∠=︒.△20ADC ∠=︒.又△//AD OB .△=20OCD ADC ∠=∠︒．故选：B ．4．（2021·北京中考真题）如图.,PA PB 是O 的切线.,A B 是切点．若50P ∠=︒.则AOB ∠=______________．【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO .然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：△,PA PB 是O 的切线.△90∠=∠=︒PAO PBO .△由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒.△50P ∠=︒.△130AOB ∠=︒；故答案为130°．5．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图.已知O 的半径为1.点P 是O 外一点.且2OP =．若PT 是O 的切线.T 为切点.连接OT .则PT =_____．3【分析】根据圆的切线的性质.得90OTP ∠=︒.根据圆的性质.得1OT =.再通过勾股定理计算.即可得到答案．【详解】△PT 是O 的切线.T 为切点△90OTP ∠=︒ △22PT OP OT -△O 的半径为1△1OT = △222=213PT OP OT --=36．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史.是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图.,AC BD 分别与O 相切于点C .D .延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒.O 的半径为6cm .则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD .利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒.根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒.再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD .△,AC BD 分别与O 相切于点C .D .△90OCP ODP ∠=∠=︒.△120P ∠=︒.360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒.△60COD ∠=︒.△CD 的长=6062180（cm ）.故答案为：2π．．7．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.在C Rt AB 中.90C ∠=︒.AE 平分BAC ∠交BC 于点E .点D 在AB 上. DE AE ⊥．O 是Rt ADE △的外接圆.交AC 于点F ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为5.8AC =.求ADE S． 【答案】（1）见解析；（2）20【分析】（1）连接OE .由OA =OE .利用等边对等角得到一对角相等.再由AE 为角平分线得到一对角相等.等量代换得到一对内错角相等.利用内错角相等两直线平行.得到AC 与OE 平行.再根据两直线平行同位角相等及△C 为直角.得到OE 与BC 垂直.可得出BC 为圆O 的切线；（2）过E 作EG 垂直于OD .利用AAS 得出△ACE △△AGE .得到AC =AG =8.从而可得OG .利用勾股定理求出EG .再利用三角形面积公式可得结果．【详解】解：（1）证明：连接OE .△OA =OE .△△1=△3.△AE 平分△BAC .△△1=△2.△△2=△3.△OE △AC .△△OEB =△C =90°.则BC 为圆O 的切线；（2）过E 作EG △AB 于点G .在△ACE 和△AGE 中.21C AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.△△ACE △△AGE （AAS ）.△AC =AG =8.△圆O 的半径为5.△AD =OA +OD =10.△OG =3.△EG 22OE OG -△△ADE 的面积=1110422AD EG ⨯⨯=⨯⨯=20． 8．（2021·四川资阳市·中考真题）如图.在ABC 中.AB AC =.以AB 为直径的O 交BC 于点D .DE AC ⊥交BA 的延长线于点E .交AC 于点F ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若tan 36,4AC E ==.求AF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）65AF =【分析】（1）要证明DE 是O 的切线.只要证明90ODE ∠=即可．连接OD .根据条件证明//OD AC .则可推导出90ODE ∠=．（2）根据条件.在Rt ODE △中.求出OE 的长.然后证明AFE ODE △△.从而根据相似比求解即可．【详解】（1）证明：如下图.连接OD .△AB AC =,OB OD =.△B C ∠=∠,B ODB ∠=∠.△ODB C ∠=∠.△//OD AC .△ODE CFD ∠=∠.又△DE AC ⊥.△90CFD =∠.△90ODE ∠=.△DE 是O 的切线．（2）解：△AC=6. △11322OD OB AB AC ====. 在Rt ODE △中.3tan 4OD E ED ==. △4ED =.2222345OE OD ED =+=+=.△532AE OE OB =-=-=.又△,90AEF OED AFE ODE ∠=∠∠=∠=.△AFE ODE △△. △AE AF OE OD = ,即2=53AF . △65AF =． 9．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图.在O 中.AB 是直径.弦CD AB ⊥.垂足为H .E 为BC 上一点.F 为弦DC 延长线上一点.连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G .连接AE 交CD 于点P .若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8.3sin 5F =.求BG 的长． 【答案】（1）见解析；（2）=2BG【分析】（1）连接OE .证明OE △EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =.运用正弦的概念可得结论． 【详解】解：（1）证明：连接OE .如图.△OA =OE△△OAE =△OEA ．△EF =PF .△△EPF =△PEF△△APH =△EPF .△△APH =△EPF .△△AEF =△APH ．△CD △AB .△△AHC =90°．△△OAE +△APH =90°． △△OEA +△AEF =90°△△OEF =90°△OE △EF ．△OE 是O 的半径△EF 是圆的切线.（2）△CD △AB△FHG ∆是直角三角形 △3sin 5F = △35GH FG = 设3GH x =.则5FG x = 由勾股定理得.4FH x =由（1）得.OEG ∆是直角三角形 △4sin 5OE FH x G OG FG x === △45OE OG =.即45OE OE BG =+ △8OE = △8485BG =+ 解得.2BG =考点3：三角形的内心和外心 10．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图.在ABC 中.以A 为圆心.任意长为半径画弧.分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心.大于12MN 的长为半径画弧.两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心 【答案】C【分析】根据题意易得AD 平分△BAC .然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：△AD 平分△BAC .△BAD CAD ∠=∠.故C 正确；在△ABD 中.由三角形三边关系可得AD BD AB +>.故A 错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点.所以AD 不一定经过ABC 的重心.故B 选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点.所以AD 不一定经过ABC 的外心.故D 选项错误；故选C ．11．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图.ABC 是O 的内接三角形.23AB =60ACB ∠=︒.连接OA .OB .则AB 的长是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 【答案】D【分析】过点O 作⊥OD AB 于D .根据垂径定理求出AD .根据圆周角定理求出AOB ∠.根据正弦的定义求出OA .根据弧长公式计算求解．【详解】解：过点O 作⊥OD AB 于D .则132AD DB AB == 由圆周角定理得：2120AOB ACB ∠=∠=︒.60AOD ∴=︒∠.32sin 3AD OA AOD ∴===∠. ∴AB l 120241803ππ⨯==. 故选：D ．12．（2021·西藏·中考真题）如图.△BCD 内接于△O .△D ＝70°.OA △BC 交△O 于点A .连接AC .则△OAC 的度数为（ ）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°【答案】B【分析】 连接OB .OC .根据圆周角定理得到△BOC ＝2△D ＝140°.根据垂径定理得到△COA 1702BOC =∠=︒.根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接OB .OC .△△D ＝70°.△△BOC ＝2△D ＝140°.△OA △BC .△△COA 1702BOC =∠=︒.△OA ＝OC .△△OAC ＝△OCA 12=（180°﹣70°）＝55°. 故选：B ．。
2023年九年级中考数学二轮复习专题 与圆有关的位置关系 练习卷(含答案)
中考数学二轮复习专题《与圆有关的位置关系》练习卷一、选择题1.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以点A为圆心，AC长为半径作圆.则下列结论正确的是( )A.点B在圆内B.点B在圆上C.点B在圆外D.点B和圆的位置关系不确定2.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2﹣6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是( )A.点A在⊙O内部B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外部D.点A不在⊙O上3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝( )A.35°B.70°C.110°D.140°4.下列说法正确的是( )A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D.过四点A、B、C、D的圆不存在5.在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆直径为( )A.5B.10C.5或4D.10或86.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )A.r＜6B.r＝6C.r＞6D.r≥67.如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于点E，DE的最小值是( )A.1B. 2C. 3D.28.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值( )A.5B.4 2C.4.75D.4.8二、填空题9.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝ (填度数).10.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何.”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该问题的答案是________步.11.已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2﹣2x＋d＝0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是______________.12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过点A、D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为.13.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y＝x被⊙P截得的弦AB的长为43，则点P的坐标为.14.如图，直线y＝﹣0.75x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C(0，﹣1)为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是.三、解答题15.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长.16.如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD 内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积.17.在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点.(1)如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝27°，求∠P 的大小；(2)如图②，D 为AC ︵上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝10°，求∠P 的大小.18.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DA ＝DC ，以点D 为圆心，DA 的长为半径的⊙D 与AB 相切于点A ，与BC 交于点F ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E.(1)求证：四边形ABED 为矩形；(2)若AB ＝4，AD BC ＝34，求CF 的长.19.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点(不与A 、C 重合)，过点P 作PE⊥AB ，垂足为点E ，射线EP 交AC ︵ 于点F ，交过点C 的切线于点D.(1)求证：DC ＝DP ；(2)若∠CAB ＝30°，当F 是AC ︵ 的中点时，判断以A 、O 、C 、F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由.20.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 点F ，连接BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝43，AB＝14，求线段PC的长.参考答案1.C.2.D.3.D4.B.5.D6.C.7.B.8.D.9.答案为：130°.10.答案为：611.答案为：点P在⊙O外12.答案为：254.13.答案为：P(4，4＋22).14.答案为：.15.解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠ACB＝60°.∴△ABC是等边三角形.(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2 3.∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°.∴BD＝AB＝2 3.∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，∴∠PBC＝∠PBD＝90°.在Rt△PBD中，PD＝4.16.解：设DE＝x cm，则CE＝(4－x)cm.∵CD，AE，AB均为⊙O的切线，∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝AB＝4 cm，∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3.∴S△ADE ＝12AD·DE＝12×4×3＝6(cm2).17.解：(1)连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°.在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝12∠AOD＝40°.∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.18.解：(1)略(2)设AD＝3k(k＞0)，则BC＝4k，∴BE＝3k，EC＝BC－BE＝k，DC＝AD＝3k，又DE2＋EC2＝DC2，∴42＋k2＝(3k)2，∴k 2＝2，∵k ＞0，∴CF ＝2EC ＝2 219.证明：(1)连结OC.∵∠OAC ＝∠ACO ，PE ⊥OE ，OC ⊥CD ，∴∠APE ＝∠PCD.∵∠APE ＝∠DPC ，∴∠DPC ＝∠PCD ，∴DC ＝DP.(2)解：以A 、O 、C 、F 为顶点的四边形是菱形.理由：连结BC 、OF 、AF.∵∠CAB ＝30°∴∠B ＝60°，∴△OBC 为等边三角形，∴∠AOC ＝120°.∵F 是AC ︵ 的中点，∴∠AOF ＝∠COF ＝60°，∴△AOF 与△COF 均为等边三角形，∴AF ＝AO ＝OC ＝CF ，∴四边形AOCF 为菱形.20. (1)证明：∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PD ，又∵AD ⊥PD ，∴OC ∥AD ，∴∠ACO ＝∠DAC.∵OC ＝OA ，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；(2)证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠PCB＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB.又∵∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；(3)解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴.又∵tan∠ABC＝43，∴，∴，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k＋7，OC＝7，∵PC2＋OC2＝OP2，∴(4k)2＋72＝(3k＋7)2，∴k＝6 (k＝0不合题意，舍去). ∴PC＝4k＝4×6＝24.。
2025年湖南省中考数学一轮复习 第六单元 第二十四讲 与圆有关的位置关系(含答案)
2025年湖南省中考数学一轮复习第二十四讲 与圆有关的位置关系学生版知识要点对点练习1.点与圆的位置关系(1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:点P在圆外⇔;点P在圆上⇔;点P在圆内⇔.(2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定圆.(3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的的交点. 1.(1)平面直角坐标系内的三个点A(1,0),B(0,-3),C(2,-3)确定一个圆(填“能”或“不能”). (2)已知☉O的半径为5,当线段OA=6时,则点A与☉O的位置关系是( ) A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定2.直线与圆的位置关系(1)设圆O的半径为r,圆心到直线的距离为OP=d.则:直线与圆相离⇔;直线与圆相切⇔;直线与圆相交⇔;(2)切线的定义、性质与判定:①定义:和圆有公共点的直线.②性质:圆的切线过切点的直2.(1)(教材再开发·湘教九下P65练习T1改编)已知☉O的半径r=5,圆心O到直线l的距离d=3,则直线l与☉O的位置关系为( ) A.相交B.相切C.相离D.相交或相切(2)如图,PA,PB切☉O于点A,B,直线FG切☉O于点E,交PA于F,交PB径.③判定:经过半径的外端,并且 于这条半径的直线是圆的切线.(3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.于点G ,若PA =8 cm,则△PFG 的周长是()A .8 cmB .12 cmC .16 cmD .20 cm3.三角形的内切圆(1)定义:与三角形各边都的圆.(2)三角形的内心:三角形 的圆心,是三角形三条的交点.(3)性质:三角形的内心到三角形的 的距离相等. (4)半径:r =2S △ABC a +b +c.特别地,直角三角形内切圆的半径为r =a +b -c2.3.两直角边分别为6,8,那么Rt △ABC 的内切圆的半径为.考点1 点、线与圆的位置关系【例1】如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AC =3 cm,BC =4 cm .O 为AB 的中点.问题1 以C 为圆心,2.5 cm 为半径作☉C ,则O 与☉C 的位置关系为()A.O在☉C内B.O在☉C上C.O在☉C外D.无法确定问题2 以B为圆心,R为半径作圆,使得点C在圆内,点A在圆外,则R的值可以是( )A.4B.4.6C.5D.5.6问题3 以C为圆心,2 cm为半径作☉C,直线AB与☉C位置关系是. 问题4 以C为圆心,以r为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点,则r的取值范围为12.5【方法技巧】“一找二求三比”定位置关系第一步,找到半径;第二步,求出距离(圆心到点的距离或圆心到线的距离);第三步,比较大小得结论.提醒:直线与圆交点的个数对应直线与圆的位置关系.【变式训练】1.已知☉O的半径是4,OA=3,则点A与☉O的位置关系是 ( )A.点A在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.无法确定2.已知☉O的半径等于5,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与☉O公共交点的个数是( )A.0B.1C.2D.无法确定考点2 切线的性质【例2】(2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.(1)求证:△ABC∽△ACD;(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.【方法技巧】见切线,连半径题目中如果出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,再根据直角三角形和等腰三角形的结论,利用勾股定理、锐角三角函数等求出边长和角的度数.【变式训练】(2024·临夏州中考)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE ⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.(1)求证:AD平分∠CAE;(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.考点3 切线的判定【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上的点,以AD为直径作☉O,连接BD并延长交☉O于点E,连接CE,CE=BC.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若CD=2,BC=4,求AC的长.切线判定的两种方法1.直线与圆有公共点时,连半径,证垂直.常用的方法有:(1)利用等角转换证垂直;(2)利用三角形全等证垂直;(3)利用平行证垂直.2.没有给出直线与圆的公共点,作垂直,证半径.常用的方法有:(1)当有角平分线时,可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径;(2)当存在线段相等、角相等等条件时,通过构造直角三角形,利用全等三角形的性质,来证明所作垂线等于半径.【变式训练】(2024·内江中考)如图,AB是☉O的直径,C是BD的中点,过点C作AD的垂线,垂足为点E.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)求证:CE是☉O的切线;(3)若AD=2CE,OA=2,求阴影部分的面积.【例4】(教材原题·湘教版九年级下册·P74例6)如图2-51,☉O是△ABC的内切圆,∠A=70°,求∠BOC的度数.【思路点拨】由O是内心,可得角平分线,再利用三角形内角和定理即可解得.【方法技巧】三角形内切圆有关性质1.三角形的内心是三条角平分线的交点;2.如图1:∠BOC=90°+1∠A,2S△ABC=1(a+b+c)r;2(a+b-c).3.如图2:r=12【变式训练】1.(2024·长沙模拟)如图,△ABC的内切圆☉O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为( )A.18B.17C.16D.152.(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是( )A.d=a+b-cB.d=2aba+b+cC.d=2(c-a)(c-b)D.d=|(a-b)(c-b)|3.《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步.问勾中容圆,径几何?”译文:现在有一个直角三角形,短直角边的长为8步,长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆的直径是多少?书中给出的算法译文如下:如图,根据短直角边的长和长直角边的长,求得斜边的长.用直角三角形三条边的长相加作为除数,用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数,计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法,求得该直径等于步.(注:“步”为长度单位)1.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为.2.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为24.53.(2023·常德中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB是直径,C是BD的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.4.(2024·湖南中考)【问题背景】已知点A是半径为r的☉O上的定点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到OE,连接AE,过点A作☉O的切线l,在直线l上取点C,使得∠CAE 为锐角.【初步感知】(1)如图1,当α=60°时,∠CAE = °;【问题探究】(2)以线段AC 为对角线作矩形ABCD ,使得边AD 过点E ,连接CE ,对角线AC ,BD 相交于点F.①如图2,当AC =2r 时,求证:无论α在给定的范围内如何变化,BC =CD +ED 总成立:②如图3,当AC =43r ,CE OE =23时,请补全图形,并求tan α及ABBC 的值.5.(2024·长沙中考)对于凸四边形,根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切),可分为四种类型,我们不妨约定:既无外接圆,又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形;只有外接圆,而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形;只有内切圆,而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形;既有外接圆,又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.请你根据该约定,解答下列问题:(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“×”).①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形;( )②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形;( )③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合,外接圆半径为R,内切圆半径为r,则有R=2r.( )(2)如图1,已知四边形ABCD内接于☉O,四条边长满足:AB+CD≠BC+AD.①该四边形ABCD是“”四边形(从约定的四种类型中选一种填入);②若∠BAD的平分线AE交☉O于点E,∠BCD的平分线CF交☉O于点F,连接EF.求证:EF是☉O的直径.(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,它的内切圆☉O与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H.①如图2,连接EG,FH交于点P.求证:EG⊥FH;②如图3,连接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求内切圆☉O的半径r及OD 的长.第二十四讲 与圆有关的位置关系教师版知识要点对点练习1.点与圆的位置关系(1)设圆O 的半径为r ,点P 到圆心的距离为OP =d.则:点P 在圆外⇔ d >r ;点P 在圆上⇔ d =r ;点P 在圆内⇔ d <r .(2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定 一个 圆.(3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的 垂直平分线 的交点. 1.(1)平面直角坐标系内的三个点A (1,0),B (0,-3),C (2,-3) 能 确定一个圆(填“能”或“不能”). (2)已知☉O 的半径为5,当线段OA =6时,则点A 与☉O 的位置关系是(B) A .在圆上B .在圆外C .在圆内D .不能确定2.直线与圆的位置关系(1)设圆O 的半径为r ,圆心到直线的距离为OP =d.则:直线与圆相离⇔ d >r ;直线与圆相切⇔ d =r ;直线与圆相交⇔ d <r ;(2)切线的定义、性质与判定:①定义:和圆有 一个 公共点的直线.②性质:圆的切线 垂直于 过切点的直径.③判定:经过半径的外端,并且 垂直 于 2.(1)(教材再开发·湘教九下P65练习T1改编)已知☉O 的半径r =5,圆心O 到直线l 的距离d =3,则直线l 与☉O 的位置关系为(A) A .相交B .相切C .相离D .相交或相切(2)如图,PA ,PB 切☉O 于点A ,B ,直线FG 切☉O 于点E ,交PA 于F ,交PB 于点G ,若PA =8 cm,则△PFG 的周长是(C)这条半径的直线是圆的切线.(3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 相等 ,这一点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角. A .8 cmB .12 cm C .16 cmD .20 cm3.三角形的内切圆(1)定义:与三角形各边都 相切 的圆. (2)三角形的内心:三角形 内切圆 的圆心,是三角形三条 角平分线 的交点.(3)性质:三角形的内心到三角形的 三边 的距离相等.(4)半径:r = 2S △ABCa +b +c .特别地,直角三角形内切圆的半径为r =a +b -c2 .3.两直角边分别为6,8,那么Rt △ABC 的内切圆的半径为 2 . 考点1 点、线与圆的位置关系【例1】如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AC =3 cm,BC =4 cm .O 为AB 的中点.问题1 以C 为圆心,2.5 cm 为半径作☉C ,则O 与☉C 的位置关系为(B)A .O 在☉C 内B .O 在☉C 上C .O 在☉C 外D .无法确定问题2 以B 为圆心,R 为半径作圆,使得点C 在圆内,点A 在圆外,则R 的值可以是(B)A.4B.4.6C.5D.5.6问题3 以C为圆心,2 cm为半径作☉C,直线AB与☉C位置关系是 相离 . 问题4 以C为圆心,以r为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点,则r的取值范围为 3 cm<r≤4 cm或r=12cm .5【方法技巧】“一找二求三比”定位置关系第一步,找到半径;第二步,求出距离(圆心到点的距离或圆心到线的距离);第三步,比较大小得结论.提醒:直线与圆交点的个数对应直线与圆的位置关系.【变式训练】1.已知☉O的半径是4,OA=3,则点A与☉O的位置关系是 (A)A.点A在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.无法确定2.已知☉O的半径等于5,圆心O到直线l的距离是3,则直线l与☉O公共交点的个数是(C)A.0B.1C.2D.无法确定考点2 切线的性质【例2】(2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.(1)求证:△ABC ∽△ACD ;(2)若AC =5,CD =4,求☉O 的半径.【自主解答】(1)连接OC ,∵l 是☉O 的切线,∴OC ⊥l ,∵AD ⊥l ,∴OC ∥AD ,∴∠CAD =∠ACO =∠CAB ,∵∠D =∠ACB =90°,∴△ABC ∽△ACD ;(2)∵AC =5,CD =4,∠D =90°,∴AD =AC 2-CD 2=3,∵△ABC ∽△ACD ,∴AB AC =ACAD ,∴AB 5=53,∴AB =253,∴☉O 半径为256.【方法技巧】见切线,连半径题目中如果出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,再根据直角三角形和等腰三角形的结论,利用勾股定理、锐角三角函数等求出边长和角的度数.【变式训练】(2024·临夏州中考)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE ⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.(1)求证:AD平分∠CAE;(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.【解析】(1)连接OD,如图,∵直线l与☉O相切于点D,∴OD⊥CE,∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠EAD,∴AD平分∠CAE;(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,∴r2+32=(r+1)2,解得r=4,即☉O的半径为4.考点3 切线的判定【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为边AC上的点,以AD为直径作☉O,连接BD并延长交☉O于点E,连接CE,CE=BC.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若CD=2,BC=4,求AC的长.【自主解答】(1)连接OE,∵∠ACB=90°,∴∠DBC+∠BDC=90°,∵CE=BC,∴∠DBC=∠BEC,∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,∵∠ODE=∠BDC,∴∠OED=∠BDC,∴∠OED+∠BEC=90°,即∠OEC=90°,∴OE⊥CE,∵OE是☉O的半径,∴CE是☉O的切线.(2)∵BC=CE,BC=4,∴CE=4,设☉O的半径为r,则OD=OE=r,OC=r+2,∵∠OEC=90°,∴OE2+CE2=OC2,∴r2+42=(r+2)2,解得r=3,∴AD=6,∴AC=AD+CD=6+2=8.【方法技巧】切线判定的两种方法1.直线与圆有公共点时,连半径,证垂直.常用的方法有:(1)利用等角转换证垂直;(2)利用三角形全等证垂直;(3)利用平行证垂直.2.没有给出直线与圆的公共点,作垂直,证半径.常用的方法有:(1)当有角平分线时,可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径;(2)当存在线段相等、角相等等条件时,通过构造直角三角形,利用全等三角形的性质,来证明所作垂线等于半径.【变式训练】(2024·内江中考)如图,AB是☉O的直径,C是BD的中点,过点C作AD的垂线,垂足为点E.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)求证:CE是☉O的切线;(3)若AD=2CE,OA=2,求阴影部分的面积.【解析】(1)∵C是BD的中点,∴CD=BC,∴∠EAC=∠BAC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ACB,∴△ACE∽△ABC;(2)连接OC,如图,∴∠OAC=∠OCA,由(1)知:∠EAC=∠BAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵CE⊥AE,∴OC⊥CE.∵OC为☉O的半径,∴CE是☉O的切线;(3)连接OD,过点O作OF⊥AD于点F,如图,则AF=FD=1AD,2∵AD=2CE,∴AF=CE.∵OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE,∴四边形EFOC为矩形,∴OF=CE,∴OF=AF,则△AFO为等腰直角三角形,OA=1.∴∠FAO=45°,AF=FO=22∴∠ODA=∠FAO=45°,∴∠AOD=90°.∴S△OAD=12OA·OD=12×2×2=1,S扇形OAD=90π×(2)2360=π2 ,∴阴影部分的面积为S扇形OAD-S△OAD=π2-1.考点4 三角形的外接圆与内切圆【例4】(教材原题·湘教版九年级下册·P74例6)如图2-51,☉O是△ABC的内切圆,∠A=70°,求∠BOC的度数.【思路点拨】由O是内心,可得角平分线,再利用三角形内角和定理即可解得.【自主解答】∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.∵☉O是△ABC的内切圆,∴BO,CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线,即∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB.∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12×110°=125°.【方法技巧】三角形内切圆有关性质1.三角形的内心是三条角平分线的交点;2.如图1:∠BOC=90°+12∠A,S△ABC=1(a+b+c)r;23.如图2:r=1(a+b-c).2【变式训练】1.(2024·长沙模拟)如图,△ABC的内切圆☉O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为(A)A.18B.17C.16D.152.(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是(D)A.d=a+b-cB.d=2aba+b+cC.d=2(c-a)(c-b)D.d=|(a-b)(c-b)|3.《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步.问勾中容圆,径几何?”译文:现在有一个直角三角形,短直角边的长为8步,长直角边的长为15步.问这个直角三角形内切圆的直径是多少?书中给出的算法译文如下:如图,根据短直角边的长和长直角边的长,求得斜边的长.用直角三角形三条边的长相加作为除数,用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数,计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法,求得该直径等于 6 步.(注:“步”为长度单位)1.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为 50° .2.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为 .半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为2453.(2023·常德中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB是直径,C是BD的中点,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长.【解析】(1)如图,连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵点C是BD的中点,∴∠OAC=∠CAE,∴∠CAE=∠OCA,∴OC∥AE,∵AE⊥CE,∴OC⊥CE,∵OC是☉O的半径,∴CE是☉O的切线;(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵BC=6,AC=8,∴AB=BC2+AC2=10,又∵∠BAC=∠CAE,∠AEC=∠ACB=90°,∴△AEC∽△ACB,∴ECCB =AC AB,即EC6=8 10,∴EC=245,∵点C是BD的中点,即BC=CD,∴CD=BC=6,∴DE=62-(245) 2=185.4.(2024·湖南中考)【问题背景】已知点A是半径为r的☉O上的定点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到OE,连接AE,过点A作☉O的切线l,在直线l上取点C,使得∠CAE为锐角.【初步感知】(1)如图1,当α=60°时,∠CAE= °;【问题探究】(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD 相交于点F.①如图2,当AC =2r 时,求证:无论α在给定的范围内如何变化,BC =CD +ED 总成立:②如图3,当AC =43r ,CE OE =23时,请补全图形,并求tan α及AB BC 的值.【解析】(1)∵α=60°,OA =OE ,∴∠OAE =∠OEA =α=60°,∵AC 与圆相切,∴∠OAC =90°,∴∠CAE =30°.答案:30(2)①∵四边形ABCD 是矩形,AC =2r ,∴OA =OE =CF =DF =r ,∵∠OAC =∠ADC =90°,∴∠OAE +∠CAD =∠ACD +∠CAD ,∴∠OAE =∠ACD ,∵OA =OE ,CF =DF ,∴∠OAE =∠OEA =∠ACD =∠CDF ,在△OAE 和△FCD 中,{∠OEA =∠FDC ∠OAE =∠FCD OA =FC ,∴△OAE ≌△FCD (AAS),∴AE =CD ,∵AD =AE +ED ,∴BC =CD +ED.即无论α在给定的范围内如何变化,BC =CD +ED 总成立.②补全图形如图,∵AC 是切线,∴∠OAC =90°,∵AC =43r ,∴tan α=AC OA =43.设OA =3m ,则AC =43r =4m ,OC =5m ,∵CE OE =23,OE =OA =3m ,∴CE =2m ,OE +CE =OC =5m ,即点E 在线段OC 上,如图,过O 作OH ⊥AE ,垂足为H ,则AH =EH ,∵∠OHE =∠D =90°,∠OEH =∠CED ,∴△OEH ∽△CED ,∴EH ED =OE CE =32,设EH =AH =3a ,则DE =2a ,∴AD =AH +EH +ED =8a ,在Rt △ACD 中,CD 2=AC 2-AD 2=16m 2-64a 2,在Rt △CED 中,CD 2=CE 2-ED 2=4m 2-4a 2,∴16m 2-64a 2=4m 2-4a 2,解得a =55m ,∴CB =AD =855m ,CD =AB =CE 2-DE 2=455m ,∴AB BC =455m 855m =12.5.(2024·长沙中考)对于凸四边形,根据它有无外接圆(四个顶点都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切),可分为四种类型,我们不妨约定:既无外接圆,又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形;只有外接圆,而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形;只有内切圆,而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形;既有外接圆,又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形.请你根据该约定,解答下列问题:(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“×”).①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形;( )②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形;( )③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合,外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,则有R =2r.( )(2)如图1,已知四边形ABCD 内接于☉O ,四条边长满足:AB +CD ≠BC +AD.①该四边形ABCD 是“ ”四边形(从约定的四种类型中选一种填入); ②若∠BAD 的平分线AE 交☉O 于点E ,∠BCD 的平分线CF 交☉O 于点F ,连接EF.求证:EF 是☉O 的直径.(3)已知四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形,它的内切圆☉O 与AB ,BC ,CD ,AD 分别相切于点E ,F ,G ,H.①如图2,连接EG,FH交于点P.求证:EG⊥FH;②如图3,连接OA,OB,OC,OD,若OA=2,OB=6,OC=3,求内切圆☉O的半径r及OD 的长.【解析】(1)①∵平行四边形对角不互补,∴平行四边形无外接圆.∵平行四边形对边之和也不相等,∴平行四边形无内切圆.∴平行四边形是“平凡型无圆”四边形,故①错误;②∵内角不等于90°的菱形对角不互补,但是对边之和相等,∴菱形是“内切型单圆”四边形,故②正确;③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形,如图,此时OM=r,ON=R,∵△OMN是等腰直角三角形,∴ON=2OM,∴R=2r,故③正确.答案:①× ②√ ③√(2)①该四边形ABCD 是“外接型单圆”四边形;理由:∵AB +CD ≠BC +AD ,∴四边形ABCD 无内切圆.∴四边形ABCD 是“外接型单圆”四边形;答案:外接型单圆②方法1:如图1,∵AE 平分∠BAD ,CF 平分∠BCD ,∴BE =DE ,BF =DF ,∴BE +BF =DE +DF ,即⌒EBF =⌒EDF ,∴⌒EBF 与⌒EDF 均为半圆,∴EF 是☉O 的直径.方法2:如图1,连接AF.∵四边形ABCD 内接于☉O ,∴∠BAD +∠BCD =180°,∵AE 平分∠BAD ,CF 平分∠BCD ,∴∠1=12∠BAD ,∠2=12∠BCD ,∴∠1+∠2=90°,由同弧所对的圆周角相等可得∠2=∠FAD ,∴∠1+∠FAD =90°,即∠EAF =90°.∴EF 是☉O 的直径.方法3:如图2,连接FD ,ED.∵四边形ABCD 内接于☉O ,∴∠BAD +∠BCD =180°,由题意,得∠1=12∠BAD ,∠2=12∠BCD ,∵由同弧所对的圆周角相等可得:∠EFD =∠1,∠FED =∠2,∴∠EFD +∠FED =12(∠BAD +∠BCD )=90°,∴∠FDE =90°.∴EF 是☉O 的直径.(3)①如图3,连接OE ,OF ,OG ,OH ,HG.∵☉O 是四边形ABCD 的内切圆,∴OE ⊥AB ,OF ⊥BC ,OG ⊥CD ,OH ⊥AD.∴∠OEA =∠OHA =90°.∴在四边形EAHO 中,∠A +∠EOH =360°-90°-90°=180°.同理可证∠FOG +∠C =180°,∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形,∴四边形ABCD 有外接圆,∴∠A+∠C=180°,∴∠EOH=∠C.∴∠FOG+∠EOH=180°又∵∠FHG=12∠FOG,∠EGH=12∠EOH,∴∠FHG+∠EGH=90°.∴∠HPG=90°,即EG⊥FH.②如图4,连接OE,OF,OG,OH,HG.∵四边形ABCD是“完美型双圆”四边形,∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF=180°.∵☉O与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G,H,∴∠OAH=∠OAE,∠OCG=∠OCF.∴∠OAH+∠OCG=90°.∵∠COG+∠OCG=90°,∴∠OAH=∠COG.∵∠AHO=∠OGC=90°,∴△AOH∽△OCG.∴AOOC =OHCG,即23=rCG,解得CG=32r,在Rt△OGC中,有OG2+CG2=OC2,即r2+(32r)2=32,解得r=61313,在Rt△OBE中,BE=OB2-r2=62-3613=123913,同理可证△BEO∽△OHD,所以BEOH =OBDO,即12391361313=6OD,解得OD=3.。
中考数学真题《圆的有关位置关系》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《圆的有关位置关系》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（45题）一、单选题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，AB 切O 于点B 连接OA 交O 于点C BD OA ∥交O 于点D 连接CD 若25OCD ∠=︒则，A ∠的度数为（ ）A ．25︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AC 是O 的切线 B 为切点 连接OA OC ，．若30A ∠=︒ 23AB = 3BC =则，OC 的长度是（ ）A ．3B ．3C 13D ．63．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径 直线CD 与O 相切于点C 连接AC若50ACD ∠=︒则，BAC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,AB CD AD AB ⊥∥ 以D 为圆心 AD 为半径的弧恰好与BC 相切 切点为E ．若13AB CD =则，sin C 的值是（ ）A ．23 B 5C ．34 D 75．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 在斜边AB 上 以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E 与AC 相交于点F 连接DE ．若8AC = 6BC =则，DE 的长是（ ）A 410B 810C ．8027D ．83二 填空题6．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点A 是O 外一点 AB AC 分别与O 相切于点B C 点D 在BDC 上 已知50A ∠=︒则，D ∠的度数是___________．7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 PA 切O 于点A PO 交O 于点C 连接BC 若28B ∠=︒则，P ∠=__________︒．8．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径 AB 是O 的弦 BC 与O 相切于点B 连接OB 若65ABC ∠=︒则，BOD ∠的大小为__________．9．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点 且56APB ∠=︒．若点C 是O 上异于点,A B 的一点则，ACB ∠的大小为___________．10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ E 为AB 边上一点 以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D 连接AD 3,35BE BD ==P 是AB 边上的动点 当ADP △为等腰三角形时 AP 的长为_____________．11．（2023·河南·统考中考真题）如图，PA 与O 相切于点A PO 交O 于点B 点C 在PA 上 且CB CA =．若5OA = 12PA =则，CA 的长为______．12．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在ABC 中 70ACB ABC ∠=︒，△的内切圆O 与AB BC ，分别相切于点D E 连接DE AO ，的延长线交DE 于点F 则，AFD ∠=_________．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,8,6ACB AC BC ∠=︒==．以点C 为圆心 r 为半径作圆 当所作的圆与斜边AB 所在的直线相切时 r 的值为________．14．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径 点C 在函数(0,0)ky k x x =>>的图象上 D 为y 轴上一点 ACD 的面积为6则，k 的值为________．15．（2023·四川·统考中考真题）如图，45ACB ∠=︒ 半径为2的O 与角的两边相切 点P 是⊙O 上任意一点 过点P 向角的两边作垂线 垂足分别为E F 设2t PE PF =则，t 的取值范围是 _____．16．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在O 中 AB 为直径 BD 为弦 点C 为BD 的中点 以点C 为切点的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）若30,6A AB ∠=︒=则，BD 的长是_________（结果保留π）（2）若13CF AF =则，CE AE =_________．17．（2023·上海·统考中考真题）在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒ 点D 在边AC 上 点E 在CA 延长线上 且CD DE = 如果B 过点A E 过点D 若B 与E 有公共点 那么E 半径r 的取值范围是________．三 解答题18．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 C 是O 上一点 过点C 作O 的切线CD 交AB 的延长线于点D 过点A 作AE CD ⊥于点E ．(1)若25EAC ∠=︒ 求ACD ∠的度数．(2)若2,1OB BD == 求CE 的长．19．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆 AD 是O 的直径F 是AD 延长线上一点 连接CD CF ， 且DCF CAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线(2)若直径310,cos 5AD B == 求FD 的长．20．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABC 中 464AB C =∠=︒， 以AB 为直径的O 与AC 相交于点D E 为ABD 上一点 且40ADE ∠=︒．(1)求BE 的长(2)若76EAD ∠=︒ 求证：CB 为O 的切线．21．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交边AC 于点D 连接BD 过点C 作CE AB ∥．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B 作O 的切线 交CE 于点F （不写作法 保留作图痕迹 标明字母）(2)在（1）的条件下 求证：BD BF =．22．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB是O的直径点C E，在O上2CAB EAB∠=∠点F在线段AB的延长线上且AFE ABC∠=∠．(1)求证：EF与O相切(2)若41sin5BF AFE=∠=，求BC的长．23．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在ABC中AB AC=以AB为直径的O交BC于点D DE AC⊥垂足为E．(1)求证：DE是O的切线(2)若30C∠=︒23CD=求BD的长．24．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 C 是O 上一点过点C 作CD AB ⊥于点E 交O 于点D 点F 是AB 延长线上一点 连接CF AD 2FCD DAF ∠=∠．(1)求证：CF 是O 切线(2)若10AF2sin 3F = 求CD 的长．25．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形 AB 是直径 C 是BD 的中点 过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线(2)若6BC = 8AC = 求,CE DE 的长．26．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径 D E 是O 上的两点 延长AB 至点C 连接CD BDC A∠=∠．(1)求证：ACD DCB∽(2)求证：CD是O的切线(3)若3tan,105E AC==求O的半径．27．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中点O A B均在格点上3OA= 2AB=以O为圆心OA为半径画圆请按下列步骤完成作图并回答问题：⊙过点A作切线AC且4AC=（点C在A的上方）⊙连接OC交O于点D⊙连接BD与AC交于点E．(1)求证：BD为O的切线(2)求AE的长度．28．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知：点P是O外一点．(1)尺规作图：如图，过点P 作出O 的两条切线PE PF 切点分别为点E 点F ．（保留作图痕迹 不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下 若点D 在O 上（点D 不与E F 两点重合） 且30EPF ∠=︒．求EDF ∠的度数．29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90B AD 平分BAC ∠交BC 于点D 点E 是斜边AC 上一点 以AE 为直径的O 经过点D 交AB 于点F 连接DF ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)若5BD = tan 3ADB ∠= 求图中阴影部分的面积（结果保留π）．30．（2023·福建·统考中考真题）如图，已知ABC 内接于,O CO 的延长线交AB 于点D 交O 于点E 交O 的切线AF 于点F 且AF BC ∥．(1)求证：AO BE ∥(2)求证：AO 平分BAC ∠．31．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 DH AB ⊥于H 以DH 为直径的O 分别交AD BD 于点E F 连接EF ．(1)求证：⊙CD 是O 的切线⊙DEF DBA ∽(2)若5AB = 6DB = 求sin DFE ∠．32．（2023·广西·统考中考真题）如图，PO 平分APD ∠ PA 与O 相切于点A 延长AO 交PD 于点C 过⊥垂足为B．点O作OB PD(1)求证：PB是O的切线(2)若O的半径为4 5OC=求PA的长．33．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，ABC中以AB为直径的O交BC于点D DE是O的切线⊥垂足为E延长CA交O于点F．且DE AC=(1)求证：AB AC(2)若3,6AE DE==求AF的长．34．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在O中AB是直径点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D 连接CD 使BCD A ∠=∠．(1)求证：直线CD 是O 的切线(2)若120ACD ∠=︒ 3CD = 求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．35．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,C AC BC ∠=︒= 点O 在AB 上 以O 为圆心 OA 为半径的半圆分别交,AC BC AB 于点,,D E F 且点E 是弧DF 的中点．(1)求证：BC 是O 的切线(2)若2CE 求图中阴影部分的面积（结果保留π）．36．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，以线段AB 为直径作O 交射线AC 于点C AD 平分CAB ∠交O 于点D 过点D 作直线DE AC ⊥ 交AC 的延长线于点E 交AB 的延长线于点F ．连接BD 并延长交AC的延长线于点M．(1)求证：直线DE是O的切线(2)当30F∠=︒时判断ABM的形状并说明理由(3)在（2）的条件下1ME=连接BC交AD于点P求AP的长．37．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，AB是O的直径点E C在O上点C是BE的中点AE 垂直于过C点的直线DC垂足为D AB的延长线交直线DC于点F．(1)求证：DC是O的切线(2)若2AE=1sin3AFD∠=⊙求O的半径⊙求线段DE的长．38．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，AB为O的直径点C是AD的中点过点C做射线BD的垂线垂足为E．(1)求证：CE 是O 切线(2)若34BE AB ==， 求BC 的长(3)在（2）的条件下 求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．39．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆 BD 是O 的直径 ,AB AC AE BC =∥ E 为BD 的延长线与AE 的交点．(1)求证：AE 是O 的切线(2)若75,2ABC BC ∠=︒= 求CD 的长．40．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，以AB 为直径的O 是ABC 的外接圆 延长BC 到点D ．使得BAC BDA ∠=∠ 点E 在DA 的延长线上 点AM 在线段AC 上 CE 交BM 于N CE 交AB 于G ．(1)求证：ED 是O 的切线(2)若,65,AC BD AC CD ==> 求BC 的长(3)若DE AM AC AD ⋅=⋅ 求证：BM CE ⊥．41．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点 交对角线AC 于点F 连接OF 交AD 于点G 且AG GD =．(1)求证：AB 是O 的切线(2)已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8 求tan ADB ∠的值．42．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90ACB ∠=︒ 点D 是AB 上一点 且12BCD A ∠=∠ 点O 在BC 上 以点O 为圆心的圆经过C D 两点．(1)试判断直线AB 与O 的位置关系 并说明理由(2)若3sin ,5B O =的半径为3 求AC 的长．43．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知O 是Rt ABC △的外接圆 90ACB ∠=︒ D 是圆上一点 E 是DC 延长线上一点 连结AD AE ， 且AD AE CA CE ==，．(1)求证：直线AE 是O 是的切线(2)若2sin 3E =O 的半径为3 求AD 的长．44．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O AB 是O 的直径 BC BD = DE AC ⊥于点E DE 交BF 于点F 交AB 于点G 2BOD F ∠=∠ 连接BD ．(1)求证：BF是O的切线(2)判断DGB的形状并说明理由(3)当2BD=时求FG的长．=BD是边AC上的中线过点C作45．（2023·湖北·统考中考真题）如图，等腰ABC内接于O AB ACAE FC．AB的平行线交BD的延长线于点E BE交O于点F连接,(1)求证：AE为O的切线BC=求FC的长．(2)若O的半径为56参考答案一单选题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，AB切O于点B连接OA交O于点C BD OA∥交O于点∠的度数为（）D连接CD若25OCD∠=︒则，AA ．25︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【答案】C 【分析】如图，连接OB 证明90∠=︒ABO 25CDB ∠=︒ 可得250BOC BDC ∠=∠=︒ 从而可得40A ∠=︒．【详解】解：如图，连接OB⊙AB 切O 于点B⊙90∠=︒ABO⊙BD OA ∥ 25OCD ∠=︒⊙25CDB ∠=︒⊙250BOC BDC ∠=∠=︒⊙40A ∠=︒故选：C.【点睛】本题考查的是切线的性质 圆周角定理的应用 三角形的内角和定理的应用 掌握基本图形的性质是解本题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AC 是O 的切线 B 为切点 连接OA OC ，．若30A ∠=︒ 23AB = 3BC =则，OC 的长度是（ ）A ．3B ．3C 13D ．6【答案】C 【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB = 再根据勾股定理得到13OC =【详解】解：连接OB⊙AC 是O 的切线 B 为切点⊙OB AC ⊥⊙30A ∠=︒ 23AB =⊙在Rt OAB 中 3tan 232OB AB A =⋅∠== ⊙3BC =⊙在Rt OBC 中 2213OC OB BC +故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质 锐角三角函数 勾股定理 掌握切线的性质是解题的关键．3．（2023·重庆·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径 直线CD 与O 相切于点C 连接AC 若50ACD ∠=︒则，BAC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B 【分析】连接OC 先根据圆的切线的性质可得90OCD ∠=︒ 从而可得40OCA ∠=︒ 再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC直线CD 与O 相切OC CD ∴⊥90OCD ∴∠=︒50ACD ∠=︒40OCA ∴∠=︒OA OC =40BAC OCA ∴∠=∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质 等腰三角形的性质 熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,AB CD AD AB ⊥∥ 以D 为圆心 AD 为半径的弧恰好与BC 相切 切点为E ．若13AB CD =则，sin C 的值是（ ）A ．23B 5C ．34D 7【答案】B 【分析】作CF AB ⊥延长线于F 点 连接DE 根据圆的基本性质以及切线的性质 分别利用勾股定理求解在Rt DEC △和Rt BFC △ 最终得到DE 即可根据正弦函数的定义求解．【详解】解：如图所示 作CF AB ⊥延长线于F 点 连接DE⊙AD AB ⊥ AB CD ∥⊙90FAD ADC F ∠=∠=∠=︒⊙四边形ADCF 为矩形 AF DC = AD FC =⊙AB 为D 的切线由题意 BE 为D 的切线⊙DE BC ⊥ AB BE = ⊙13AB CD = ⊙设AB BE a 3CD a = CE x =则2BF AF AB CD AB a =-=-= BC BE CE a x =+=+在Rt DEC △中 222229DE CD CE a x =-=-在Rt BFC △中 ()()222222FC BC BF a x a =-=+-⊙DE DA FC ==⊙()()222292a x a x a -=+-解得：2x a =或3x a =-（不合题意 舍去）⊙2CE a = ⊙2222945DE CD CE a a a --= ⊙55sin DE a C DC === 故选：B ．【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质 解直角三角形 以及正弦函数的定义等 综合性较强 熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．5．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 在斜边AB 上 以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E 与AC 相交于点F 连接DE ．若8AC = 6BC =则，DE 的长是（ ）A 410B 810C ．8027 D ．83【答案】B【分析】连接OE AE 首先根据勾股定理求出2210AB AC BC + 然后证明出BCA BEO ∽利用相似三角形的性质得到409OE = 103BE = 证明出DBE EBA ∽ 利用相似三角形的性质求出810DE =【详解】如图所示 连接OE AE⊙90C ∠=︒ 8AC = 6BC = ⊙2210AB AC BC +⊙以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E⊙OE BC ⊥⊙90C ∠=︒⊙90C OEB ︒∠=∠=⊙AC OE ∥⊙A EOB ∠=∠⊙BCA BEO ∽ ⊙6OE OB BE AC AB == 即108106OE OEBE-== ⊙409OE = 103BE = ⊙108633CE CB BE =-=-=⊙228103AE AC CE =+=⊙90OEB ∠=︒ ⊙90OED DEB ∠+∠=︒⊙90ODE EAD ∠+∠=︒ ODE OED ∠=∠⊙EAD DEB ∠=∠又⊙B B ∠=∠⊙DBE EBA ∽ ⊙DE BE AE AB = 即103810103DE = ⊙解得810DE =故选：B ．【点睛】此题考查了圆与三角形综合题 切线的性质定理 相似三角形的性质和判定 勾股定理等知识 解题的关键是熟练掌握以上知识点．二 填空题6．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点A 是O 外一点 AB AC 分别与O 相切于点B C 点D 在BDC 上 已知50A ∠=︒则，D ∠的度数是___________．【答案】65︒【分析】连接,CO BO 根据切线的性质得出90ACO ABO ∠=∠=︒ 根据四边形内角和得出130COB ∠=︒ 根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图,CO BO⊙AB AC 分别与O 相切于点B C⊙90ACO ABO ∠=∠=︒⊙50A ∠=︒⊙360909050130COB ∠=︒-︒-︒-︒=︒⊙BC BC = ⊙1652D BOC ∠=∠=︒ 故答案为：65︒．【点睛】本题考查了切线的性质 圆周角定理 求得130COB ∠=︒是解题的关键．7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 PA 切O 于点A PO 交O 于点C 连接BC 若28B ∠=︒则，P ∠=__________︒．【答案】34【分析】首先根据等边对等角得到28B OCB ∠=∠=︒ 然后利用外角的性质得到56AOC B OCB ∠=∠+∠=︒ 利用切线的性质得到90OAP ∠=︒ 最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：⊙28B ∠=︒ OB OC =⊙28B OCB ∠=∠=︒⊙56AOC B OCB ∠=∠+∠=︒⊙PA 切O 于点A⊙90OAP ∠=︒⊙18034P OAP AOP ∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：34．【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质 三角形内角和定理等知识 解题的关键是熟练掌握以上知识点．8．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AD 是O 的直径 AB 是O 的弦 BC 与O 相切于点B 连接OB 若65ABC ∠=︒则，BOD ∠的大小为__________．【答案】50︒【分析】证明90OBC ∠=︒ 可得906525OBD ∠=︒-︒=︒ 结合OB OA = 证明25A OBA ∠=∠=︒ 再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：⊙BC 与O 相切于点B⊙90OBC ∠=︒⊙65ABC ∠=︒⊙906525OBD ∠=︒-︒=︒⊙OB OA =⊙25A OBA ∠=∠=︒⊙22550BOD ∠=⨯︒=︒故答案为：50︒【点睛】本题考查的是圆的切线的性质 等腰三角形的性质 三角形的外角的性质 熟记基本图形的性质是解本题的关键．9．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点 且56APB ∠=︒．若点C 是O 上异于点,A B 的一点则，ACB ∠的大小为___________．【答案】62︒或118︒【分析】根据切线的性质得到90∠=∠=︒PAO PBO 根据四边形内角和为360︒ 得出AOB ∠ 然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图所示 连接,AC BC 当点C 在优弧AB 上时⊙,PA PB 分别与O 相切于,A B 两点⊙90∠=∠=︒PAO PBO⊙56APB ∠=︒．⊙360909056124AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒⊙AB AB = ⊙1622ACB AOB ∠=∠=︒ 当点C '在AB 上时⊙四边形AC BC '是圆内接四边形⊙180118C C '∠=︒-∠=︒故答案为：62︒或118︒．【点睛】本题考查了切线的性质 圆周角定理 多边形内角和 熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ E 为AB 边上一点 以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D 连接AD 3,35BE BD ==P 是AB 边上的动点 当ADP △为等腰三角形时 AP 的长为_____________．【答案】2306【分析】连接OD 勾股定理求出半径 平行线分线段成比例 求出CD 的长 勾股定理求出AC 和AD 的长 分AP AD =和AP PD =两种情况进行求解即可．【详解】解：连接OD⊙以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D⊙OD BC ⊥ OA OE OD ==⊙90ODB ∠=︒设OA OE OD r ===则，3OB OE BE r =+=+在Rt ODB △中：222OD BD OB += 即：(()222353r r +=+ 解得：6r =⊙6OA OE OD ===⊙9OB = 15AB = 12AE =⊙90C ODB ∠=∠=︒⊙OD AC ∥ ⊙9362OB DB OA DC === ⊙35DB = ⊙5CD = ⊙5BC DB CD =+= ⊙2210AC AB BC -= ⊙22230AD AC CD +=⊙ADP △为等腰三角形当AD AP =时 30AP =当PA PD =时⊙OA OD =⊙点P 与点O 重合⊙6AP OA ==不存在PD AD =的情况综上：AP 的长为306． 故答案为：2306．【点睛】本题考查切线的性质 平行线分线段成比例 勾股定理 等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质 等腰三角形的定义 确定点P 的位置 是解题的关键．11．（2023·河南·统考中考真题）如图，PA 与O 相切于点A PO 交O 于点B 点C 在PA 上 且CB CA =．若5OA = 12PA =则，CA 的长为______．【答案】103【分析】连接OC 证明OAC OBC ≌ 设CB CA x ==则，12PC PA CA x =-=- 再证明PAO PBC ∽ 列出比例式计算即可．【详解】如图，连接OC⊙PA 与O 相切于点A⊙90OAC ∠=︒⊙OA OB CA CB OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ⊙OAC OBC ≌⊙90OAC OBC ∠=∠=︒⊙90PAO PBC ∠=∠=︒⊙P P ∠=∠⊙PAO PBC ∽ ⊙PO AO PC BC= ⊙5OA = 12PA = ⊙2251213PO +设CB CA x ==则，12PC PA CA x =-=- ⊙13512x x=- 解得103x =故CA 的长为103故答案为：103． 【点睛】本题考查了切线的性质 三角形全等的判定和性质 勾股定理 三角形相似的判断和性质 熟练掌握性质是解题的关键．12．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在ABC 中 70ACB ABC ∠=︒，△的内切圆O 与AB BC ，分别相切于点D E 连接DE AO ，的延长线交DE 于点F 则，AFD ∠=_________．【答案】35︒【分析】如图所示 连接OE OD OB ，， 设OB DE 、交于H 由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出125AOB ∠=︒ 再由切线长定理得到BD BE = 进而推出OB 是DE 的垂直平分线 即90OHF ∠=︒则，35AFD AOH OHF =-=︒∠∠∠．【详解】解：如图所示 连接OE OD OB ，， 设OB DE 、交于H⊙O 是ABC 的内切圆⊙OA OB 、分别是CAB CBA ∠、∠的角平分线 ⊙1122OAB CAB OBA CBA ==∠∠，∠∠ ⊙70ACB ∠=︒⊙180110CAB CBA ACB +=︒-=︒∠∠∠ ⊙115522OAB OBA CBA CAB +=+=︒∠∠∠∠ ⊙180125AOB OAB OBA =︒--=︒∠∠∠⊙O 与AB BC ，分别相切于点D E⊙BD BE =又⊙OD OE =⊙OB 是DE 的垂直平分线⊙OB DE ⊥ 即90OHF ∠=︒⊙35AFD AOH OHF =-=︒∠∠∠故答案为：35︒．【点睛】本题主要考查了三角形内切圆 切线长定理 三角形内角和定理 线段垂直平分线的判定 三角形外角的性质 正确作出辅助线是解题的关键．13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90,8,6ACB AC BC ∠=︒==．以点C 为圆心 r 为半径作圆 当所作的圆与斜边AB 所在的直线相切时 r 的值为________．【答案】245【分析】根据勾股定理 得228610AB =+= 根据切线的性质 得到圆的半径等于AB 边上的高 根据直角三角形的面积不变性计算即可．【详解】⊙90,8,6ACB AC BC ∠=︒== ⊙228610AB +=根据切线的性质 得到圆的半径等于AB 边上的高 ⊙1122AB r AC BC ⨯=⨯, ⊙8624105AC BCr AB ⨯⨯=== 故答案为：245．【点睛】本题考查了勾股定理 切线的性质 熟练掌握勾股定理 切线的性质是解题的关键． 14．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径点C 在函数(0,0)ky k x x =>>的图象上 D 为y 轴上一点 ACD 的面积为6则，k 的值为________．【答案】24 【分析】设,k C a a ⎛⎫⎪⎝⎭则，,k OB a AC a ==则，122kAC BC a == 根据三角形的面积公式得出162ACD S AC OB =⋅= 列出方程求解即可． 【详解】解：设,k C a a ⎛⎫⎪⎝⎭⊙A 与x 轴相切于点B⊙BC x ⊥轴 ⊙,kOB a AC a ==则，点D 到BC 的距离为a⊙CB 为A 的直径⊙122k AC BC a == ⊙16224ACD k k S a a =⋅⋅== 解得：24k =故答案为：24．【点睛】本题主要考查了切线的性质 反比例函数的图象和性质 解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 以及反比例函数图象上点的坐标特征．15．（2023·四川·统考中考真题）如图，45ACB ∠=︒ 半径为2的O 与角的两边相切 点P 是⊙O 上任意一点 过点P 向角的两边作垂线 垂足分别为E F 设2t PE PF =则，t 的取值范围是 _____．【答案】22224t ≤ 【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得222CD DH == 再求得t PE PQ EQ =+= 分两种情况讨论 画出图形 利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设O 与ACB ∠两边的切点分别为D G 连接OG OD 、 延长DO 交CB 于点H由90OGC ODC OGH ∠=∠=∠=︒⊙45ACB ∠=︒⊙45OHC ∠=︒ ⊙222OH OG == ⊙222CD DH ==如图，延长EP 交CB 于点Q同理2PQ PF = ⊙2t PE PF =⊙t PE PQ EQ =+=当EQ 与O 相切时 EQ 有最大或最小值连接OP⊙D E 都是切点⊙90ODE DEP OPE ∠=∠=∠=︒⊙四边形ODEP 是矩形⊙OD OP =⊙四边形ODEP 是正方形⊙t 的最大值为24EQ CE CD DE ==+=如图，同理 t 的最小值为2EQ CE CD DE ==-=综上 t 的取值范围是22224t ≤≤． 故答案为：22224t ≤．【点睛】本题考查了切线的性质 等腰直角三角形的性质 勾股定理 求得t EQ =是解题的关键． 16．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在O 中 AB 为直径 BD 为弦 点C 为BD 的中点 以点C 为切点的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）若30,6A AB ∠=︒=则，BD 的长是_________（结果保留π）（2）若13CF AF =则，CE AE =_________． 【答案】2π12 【分析】（1）连接,OC OD 根据点C 为BD 的中点 根据已知条件得出120BOD ∠=︒ 然后根据弧长公式即可求解（2）连接OC 根据垂径定理的推论得出OC BD ⊥ EC 是O 的切线则，OC EC ⊥,得出EC BD ∥ 根据平行线分线段成比例得出13EB AB = 设2EB a =则，6AB a = 勾股定理求得EC ,J 进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接,OC OD⊙点C 为BD 的中点⊙BC CD =又⊙30A ∠=︒⊙260BOC COD A ∠=∠=∠=︒⊙120BOD ∠=︒⊙6AB = ⊙132OB AB == ⊙120π32π180BD l =⨯⨯= 故答案为：2π．（2）解：如图，连接OC⊙点C 为BD 的中点⊙BC CD =⊙OC BD ⊥⊙EC 是O 的切线⊙OC EC ⊥,⊙EC BD ∥ ⊙CF EB AF AB = ⊙13CF AF = ⊙13EB AB = 设2EB a =则，6AB a = 3,5BO a EO EB BO a ==+= ⊙2222534EC EO CO a a --= 268AE a a a =+= ⊙4182CE a AE a ==． 故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理 圆周角定理 切线的性质 弧长公式 平行线分线段成比例定理等知识 综合性较强 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．17．（2023·上海·统考中考真题）在ABC 中7,3,90AB BC C ==∠=︒ 点D 在边AC 上 点E 在CA 延长线上 且CD DE = 如果B 过点A E 过点D 若B 与E 有公共点 那么E 半径r 的取值范围是________． 1010r ≤【分析】先画出图形 连接BE 利用勾股定理可得294BE r + 210AC = 10210r <≤ 再根据B 与E 有公共点可得一个关于r 的不等式组 然后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：由题意画出图形如下：连接BEB 过点A 且7AB =B ∴的半径为7 E 过点D 它的半径为r 且CD DE =2CE CD DE r ∴=+=3,90BC C =∠=︒22294BE BC CE r ∴++ 22210AC AB BC - D 在边AC 上 点E 在CA 延长线上CD AC CE AC ≤⎧∴⎨>⎩ 即2102210r r ⎧≤⎪⎨>⎪⎩10210r <≤ B 与E 有公共点AB DE BE AB DE ∴-≤≤+ 即22947794r r r r ++-≤+⎪⎩①②不等式⊙可化为2314400r r --≤解方程2314400r r --=得：2r =-或203r = 画出函数231440y r r =--的大致图象如下：由函数图象可知 当0y ≤时 2023r -≤≤即不等式⊙的解集为2023r -≤≤ 同理可得：不等式⊙的解集为2r ≥或203r ≤-则不等式组的解集为2023r ≤≤又10210r <≤ 半径r 1010r ≤ 1010r ≤．【点睛】本题考查了勾股定理 圆与圆的位置关系 二次函数与不等式 根据圆与圆的位置关系正确建立不等式组是解题关键．三 解答题18．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 C 是O 上一点 过点C 作O 的切线CD 交AB 的延长线于点D 过点A 作AE CD ⊥于点E ．(1)若25EAC ∠=︒ 求ACD ∠的度数．(2)若2,1OB BD == 求CE 的长．【答案】(1)115︒ (2)253CE = 【分析】（1）根据三角形的外角的性质 ACD AEC EAC ∠=∠+∠即可求解．（2）根据CD 是O 的切线 可得90OCD ∠=︒ 在Rt OCD △中 勾股定理求得5CD 根据OC AE ∥ 可得CDODCE OA = 进而即可求解．【详解】（1）解：⊙AE CD ⊥于点E⊙90AEC ∠=︒⊙9025115ACD AEC EAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）⊙CD 是O 的切线 OC 是O 的半径⊙90OCD ∠=︒．在Rt OCD △中⊙2,3OC OB OD OB BD ===+= ⊙225CD OD OC -⊙90OCD AEC ∠=∠=︒⊙OC AE ∥ ⊙CD OD CE OA = 532= ⊙253CE =．【点睛】本题考查了三角形外角的性质 切线的性质 勾股定理 平行线分线段成比例熟练掌握以上知识是解题的关键．19．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆 AD 是O 的直径 F 是AD 延长线上一点 连接CD CF ， 且DCF CAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线(2)若直径310,cos 5AD B == 求FD 的长． 【答案】(1)详见解析 (2)907【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角 余角的性质即可求得结论(2)根据已知条件可知FCD FAC ∽ 再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段FD 的长度．【详解】（1）证明：连接OC⊙AD 是O 的直径⊙90ACD ∠=︒⊙90ADC CAD ∠+∠=︒又⊙OC OD =⊙ADC OCD ∠=∠又⊙DCF CAD ∠=∠⊙90DCF OCD ∠+∠=︒即OC FC ⊥⊙FC 是O 的切线（2）解：⊙3,cos 5B ADC B ∠=∠=⊙3cos 5ADC ∠= ⊙在Rt ACD 中 3cos ,10,5CD ADC AD AD∠=== ⊙3cos 106,5CD AD ADC =⋅∠=⨯= ⊙228AC AD CD - ⊙34CD AC = ⊙FCD FAC F F ∠=∠∠=∠，⊙FCD FAC ∽ ⊙34CD FC FD AC FA FC === 设3FD x =则，4310FC x AF x ==+，又⊙2FC FD FA =⋅即2(4)3(310)x x x =+ 解得307x =（取正值） ⊙9037FD x ==【点睛】本题考查了圆周角的性质 切线的判定定理 正切的定义 相似三角形的性质和判定 找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．20．（2023·江西·统考中考真题）如图，在ABC 中 464AB C =∠=︒， 以AB 为直径的O 与AC 相交于点D E 为ABD 上一点 且40ADE ∠=︒．(1)求BE 的长(2)若76EAD ∠=︒ 求证：CB 为O 的切线．【答案】(1)109π (2)见解析【分析】（1）如图所示 连接OE 先求出2OE OB OA === 再由圆周角定理得到280AOE ADE ==︒∠∠进而求出100∠=︒BOE 再根据弧长公式进行求解即可（2）如图所示 连接BD 先由三角形内角和定理得到64AED ∠=︒则，由圆周角定理可得64ABD AED ==︒∠∠ 再由AB 是O 的直径 得到90ADB ∠=︒ 进而求出26BAC ∠=︒ 进一步推出90ABC ∠=︒ 由此即可证明BC 是O 的切线．【详解】（1）解：如图所示 连接OE⊙AB 是O 的直径 且4AB =⊙2OE OB OA ===⊙E 为ABD 上一点 且40ADE ∠=︒⊙280AOE ADE ==︒∠∠⊙180100BOE AOE ∠=︒-=︒∠⊙BE 的长1002101809ππ⨯⨯==（2）证明：如图所示 连接BD⊙76EAD ∠=︒ 40ADE ∠=︒⊙18064AED EAD ADE =︒--=︒∠∠∠⊙64ABD AED ==︒∠∠⊙AB 是O 的直径⊙90ADB ∠=︒⊙9026BAC ABD =︒-=︒∠∠⊙64C ∠=︒⊙18090ABC C BAC =︒--=︒∠∠∠ 即AB BC ⊥⊙OB 是O 的半径⊙BC 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了切线的判定 求弧长 圆周角定理 三角形内角和定理等等 正确作出辅助线是解题的关键．21．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交边AC 于点D 连接BD 过点C 作CE AB ∥．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B 作O 的切线 交CE 于点F （不写作法 保留作图痕迹 标明字母）(2)在（1）的条件下 求证：BD BF =．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作图 过点B 作AB 的垂线 交CE 于点F 即可求解（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角 证明BDC BFC ∠=∠ 根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出BCD BCF =∠ 进而证明()AAS BCD BCF ≌ 即可得证．【详解】（1）解：方法不唯一 如图所示．（2）⊙AB AC =⊙A ABC CB =∠∠．又⊙CE AB ∥⊙ABC BCF ∠=∠⊙BCF ACB =∠∠．⊙点D 在以AB 为直径的圆上⊙90ADB ∠=︒⊙=90BDC ∠︒．又⊙BF 为O 的切线⊙90ABF ∠=︒．⊙CE AB ∥⊙180BFC ABF ∠+∠=︒⊙90BFC ∠=︒⊙BDC BFC ∠=∠．⊙在BCD △和BCF △中,,,BCD BCF BDC BFC BC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙()AAS BCD BCF ≌．⊙BD BF =．【点睛】本题考查了作圆的切线 切线的性质 直径所对的圆周角是直角 全等三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键．22．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 点C E ，在O 上 2CAB EAB ∠=∠ 点F 在线段AB 的延长线上 且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O 相切(2)若41sin 5BF AFE =∠=， 求BC 的长．【答案】(1)见解析 (2)245BC = 【分析】（1）利用圆周角定理得到2EOB EAB ∠=∠ 结合已知推出CAB EOB ∠=∠ 再证明OFE ABC ∽△△ 推出90OEF C ∠=∠=︒ 即可证明结论成立（2）设O 半径为x 则，1=+OF x 在Rt OEF △中 利用正弦函数求得半径的长 再在Rt ABC △中 解直角三角形即可求解．【详解】（1）证明：连接OE⊙=BE BE ⊙2EOB EAB ∠=∠⊙2CAB EAB ∠=∠⊙CAB EOB ∠=∠⊙AB 是O 的直径⊙90C ∠=︒⊙AFE ABC ∠=∠⊙OFE ABC ∽△△⊙90OEF C ∠=∠=︒⊙OE 为O 半径⊙EF 与O 相切（2）解：设O 半径为x 则，1=+OF x⊙AFE ABC ∠=∠ 4sin 5AFE ∠=⊙4sin 5ABC ∠= 在Rt OEF △中 90OEF ∠=︒ 4sin 5AFE ∠=⊙45OE OF = 即415x x =+ 解得4x =经检验 4x =是所列方程的解⊙O 半径为4则，8AB =在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 4sin 5ABC ∠=8AB = ⊙32sin 5A AB C AB C ∠==⋅ ⊙22245BC AB AC =-=． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定 圆周角定理 解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识 熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D DE AC ⊥ 垂足为E ．(1)求证：DE 是O 的切线(2)若30C ∠=︒ 23CD = 求BD 的长．【答案】(1)见解析 (2)43π 【分析】（1）如图：OD 然后根据等边对等角可得B ODB ∠=∠ B C ∠=∠即ODB C ∠=∠ 再根据OD AC ∥可得ODE DEC ∠=∠ 进而得到90ODE ∠=︒即可证明结论（2）如图：连接AD 有圆周角定理可得AD BC ⊥ 再解直角三角形可得4AC = 进而得到11222OB AB AC === 然后说明120BOD ∠=︒ 最后根据弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接OD⊙OB OD =⊙B ODB ∠=∠,⊙AB AC =⊙B C ∠=∠,⊙ODB C ∠=∠,⊙OD AC ∥,⊙ODE DEC ∠=∠。
2024年中考数学复习(全国版)第27讲 与圆有关的位置关系(练习)(解析版)
题型 13 利用切线的性质定理证明 题型 14 切线的性质与判定的综合运 用 题型 15 作圆的切线 题型 16 应用切线长定理求解 题型 17 应用切线长定理求证 题型 18 判断三角形外接圆圆心位置 题型 19 求外心坐标 题型 20 求特殊三角形外接圆的半径 题型 21 由三角形的内切圆求长度 题型 22 由三角形的内切圆求角度 题型 23 由三角形的内切圆求周长、面 积 题型 24 求三角形的内切圆半径 题型 25 直角三角形周长、面积和内切 圆半径的关系 题型 26 三角形内心有关的应用 题型 27 三角形外接圆与内切圆综合
第 27 讲 与圆有关的位置关系
目录
题型 01 判断点和圆的位置关系 题型 02 根据点和圆的位置关系求半 径 题型 03 判断直线与圆的位置关系 题型 04 根据直线与圆的位置关系求 半径 题型 05 根据直线与圆的位置关系求 点到直线的距离 题型 06 求圆平移到与直线相切时圆 心坐标 题型 07 求圆平移到与直线相切时运 动距离 题型 08 圆和圆的位置关系 题型 09 判断或补全使直线成为切线 的条件 题型 10 利用切线的性质求线段长 题型 11 利用切线的性质求角度 题型 12 证明某条直线时圆的切线
A．⊙ �的内部
B．⊙ �的外部
C．⊙ �上或⊙ �的内部
D．⊙ �上或⊙ �的外部
【答案】A
【分析】先解一元二次方程，得到 d 值，再比较 d 与半径 8 的大小，若� > 8，则点 P 在⊙ �的外部，若� < 8，
则点 P 在⊙ �的内部，若� = 8，则点 P 在⊙ �上，即可解答． 【详解】解：解方程�2 − 4� − 5 = 0 可得，�1 = 5，�2 =− 1， ∵点 P 到圆心 O 的距离 d 为方程�2 − 4� − 5 = 0 的一个根，
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中考数学专题练习：与圆有关的位置关系（含答案）
1．在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝2,BC＝4,如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,那么斜边中点D与⊙A的位置关系是( )
A．点D在⊙A外
B．点D在⊙A上
C．点D在⊙A内
D．无法确定
2．如图,点F是△ABC的内心,∠A＝50°,则∠BFC＝( )
A．100° B．115° C．130° D．135°
3．如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,BC交⊙O于点D,若∠C＝70°,则∠AOD的度数为( )
A．70° B．35° C．20° D．40°
4．（·宜宾)如图,⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G,AE＝2,则EG的长是________．
5．如图,在△ABC中,CB＝3,AB＝4,AC＝5,以点B为圆心的圆与AC相切于点D,则⊙B的半径为__________．
6．如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C＝________度．
7．（·宁夏)如图,点A、B、C均在6×6的正方形网格格点上,过A、B、C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为______．
8．（·甘肃省卷)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°.
(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O；(要求：不写作法,保留作图痕迹)
(2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果．
9．（·东营)如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上．
(1)求证：∠CAD＝∠BDC；
(2)若BD ＝2
3AD,AC ＝3,求CD 的长．
参考答案
1．A 2.B 3.D 4.5－1 5.2.4 6.45 7.5
8．解：(1)如解图,作出角平分线CO ；作出⊙O.
(2)AC 与⊙O 相切．
9．证明：(1)如解图,连接OD,
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB＝90°,
又∵CD 是⊙O 的切线,
∴∠ODC＝90°,
∴∠BDC＋∠ODB＝90°,∠1＋∠ODB＝90°, ∴∠1＝∠BDC,
又∵OA＝OD,∴∠1＝∠CAD,
∴∠CAD＝∠BDC；
(2)解：∵BD＝2
3 AD,
∴BD
AD
＝
2
3
,
∵∠CAD＝∠BDC,
∴tan∠CAD＝tan∠CDB＝BD
AD
＝
2
3
,
∵∠CAD＝∠BDC,∠C＝∠C, ∴△CAD∽△CDB,
∴CD
CA
＝
BD
AD
＝
2
3
,
∴CD＝2
3
CA＝
2
3
×3＝2.。