圆锥曲线综合练习
1、双曲线1822=-ky kx 的一个焦点坐标是（0,3），则k 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C. 8 D.-82、自圆122=+y x 外一动点P 作该圆的两条切线，切点分别为A ，B 。
若2π=∠APB ,则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．122=+y x B 。
1222=+y x C 。
1422=+y x D 。
222=+y x 3、若0≠ab，则0=+-b y ax 和ab ay bx =+22所表示的曲线只可能是图中的（ ）4、抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到该直线的距离为（ ）A ．233 B ．552 C ．1057 D ．2175、已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a ，被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4,1），则该双曲线的离心率的值是（ ）A ．2B ．26C 。
25D ．236、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离最小值是（ ） A ．34B ．57 C.58D ．3 7、若直线4=+ny mx 和圆4:22=+y x O 没有公共点，则过点),(n m 的直线与椭圆14522=+y x 的交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C 。
2 D ．不确定8、设21F 、F 分别是椭圆171622=+y x 的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且021=∙→→PF PF ，则=+→→||21PF PF _________ 9、直线2=x 与双曲线：1422=-y x 的渐近线交于21,E E 两点，记→→=11e OE ，→→=22e OE 。
任取双曲线上的点P ，若→→→+=21e b e a OP ，（),R b a ∈，则b a ,满足一个等式是________10、 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.811、 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点xxxABP .若2AP PB = ,则椭圆的离心率是2C.13 D.1212、椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F, 过焦点F 1的直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长是______;若2ABF ∆的内切圆的面积为π,A ,B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则21y y -的值为__________.13、 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点(D ,离心率12e =.过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ,与x 轴交于点A(不同于原点O ),点M 关于x 轴的对称点为N ,直线DN 交x 轴于点B .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求 OA OB⋅的值.14、 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12,且经过点3(1,)2M ,过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)是否存直线l ,满足2PA PB PM ⋅= ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.15、 已知椭圆C 22:14y x +=,过点M (0, 1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B . (Ⅰ)若l 与x 轴相交于点P ,且P 为AM 的中点,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点1(0,)2N ,求||NA NB + 的最大值.16、 如图，已知中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆C ，点A 、B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP EQ ⊥，求EP QP的最小值.17、 椭圆22221x y a b+=的焦点坐标为12(F F 短轴的一个端点为B,若12BF =. (1)求椭圆的方程.(2)①直线y=kx+2交椭圆于A 、B 两点,求k 的取值范围｡②当k=1时,求OA OB ⋅18、 一束光线从点1(1,0)F -出发,经直线:230l x y -+=上一点D 反射后,恰好穿过点2(1,0)F .(1)求以1F 、2F 为焦点且过点D 的椭圆C 的方程;(2)从椭圆C 上一点M 向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A 、B ,直线AB 与x 轴、y 轴分别交 于点P 、Q . 求||PQ 的最小值19、已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点(2,0)F -,且长轴长与短轴长的比是(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点)0,(m M 在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点. 当MPuuu r 最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.20、 已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点F ,且长轴长与短轴长的比是.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1,过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ,PB 分别交椭圆C 于另外两点A ,B ,求证:直线AB 的斜率为定值;(Ⅲ)求PAB ∆面积的最大值.21、 已知椭圆的中心在坐标原点O ,长轴长为离心率2e =,过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ,Q 两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当直线l 的斜率为1时,求POQ ∆的面积;(Ⅲ)若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l 的方程.1、B ；2、D ；3、C ；4、B ；5、 C ；6、A ；7、C ；8、6；9、14=ab 10、C ；11、D ；12、16,713、解:(Ⅰ)由已知,2,a b =. 所以椭圆方程为 22143x y += (Ⅱ)设直线l方程为y k x =.令y =,得A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由方程组223412y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 可得(223412x kx +=,即()22340k x ++=. 所以M x =, 所以M ⎛+ ⎝, N ⎛- ⎝. 所以34DNk k ==.直线DN 的方程为34y x k =+令0y =,得B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以 OA OB ⋅=4⋅=。
14、 解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩ 解得24a =,23b =,故椭圆C 的方程为22143x y += (Ⅱ)若存在直线l 满足条件,由题意可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+,由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=. 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ,设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->.整理得32(63)0k +>.解得12k >-.又1228(21)34k k x x k -+=+,21221616834k k x x k--=+, 且2PA PB PM ⋅= ,即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=,所以 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==. 即 212125[2()4](1)4x x x x k -+++=.所以 222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++,解得12k =±. 所以12k=.于是存在直线l 满足条件,其的方程为12y x = 15、 (Ⅰ)解:设A (x 1, y 1), 因为P 为AM 的中点,且P 的纵坐标为0,M 的纵坐标为1, 所以1102y +=,解得11y =-, 又因为点A (x 1, y 1)在椭圆C 上, 所以221114y x +=,即21114x +=,解得12x =±,则点A的坐标为1)-或(1)-, 所以直线l的方程为330y -+=,或330y +-=(Ⅱ)设A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),则112211(,),(,),22NA x y NB x y =-=-所以1212(,1)NA NB x x y y +=++- ,则||NA NB += 当直线AB 的斜率不存在时,其方程为0x =,(0,2),(0,2)A B -,此时||1NA NB +=;当直线AB 的斜率存在时,设其方程为1y kx =+, 由题设可得A 、B的坐标是方程组22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解, 消去y 得22(4)230k x kx ++-=，所以221222(2)12(4)0,4kk k x x k -∆=++>+=+, 则12y y +=12(1)(1)kx kx +++=284k +, 所以222222222812||()(1)1144(4)k k NA NB k k k --+=+-=+≤+++ ,当0k=时,等号成立, 即此时||NA NB +取得最大值1综上,当直线AB 的方程为0x =或1y =时,||NA NB +有最大值116、 （Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b +=，则有c a ∴a =6, b =3.∴椭圆C 的方程为22 1.369x y += （Ⅱ）22()||EP QP EP EP EQ EP EP =-==，设点00(,)P x y ，则2200436,x y += ∴22220003||(3)(4)64EP x y x =-+=-+ ，∵066x -≤≤，∴2||6EP ≥，∴2min||6,EP = ∴EP QP 的最小值为6. 17、 (1)由12c b a ==得 方程为22134x y '+=…… (2)①将2y kx =+代人得 ()224116120k x kx +++= ，由△>0得3k k '>< (3)当k=1时,1212OA OB x x y y ⋅=+ ()()12121212243212(2)22244555x x x x x x x x ⎛⎫=+++=+++=+-+= ⎪⎝⎭18、 设点1F 关于直线:230l x y -+=的对称点1(,)F m n ',则112123022n m m n ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪⋅-+=⎪⎩,解得9525m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴192(,)55F '-∵11||||PF PF '=,根据椭圆的定义,得2a =12||||PF PF '+=12||F F '=,∴a =1c =,1b ==. ∴椭圆C的方程为2212x y +=. (2)设00(,)M x y ,11(,)A x y ,22(,)B x y , 则220012x y +=,切线AM 、BM 方程分别为111x x y y +=,221x x y y +=, ∵切线AM 、BM 都经过点00(,)M x y ,∴10101x x y y +=,20201x x y y +=. ∴直线AB 方程为001x x y y +=,∴01(0,)P y 、01(,0)Q x, 2222220000222222000000111113||()()12222x x y PQ y x y x y y x =+=++=+++≥+=,当且仅当22x =时,上式等号成立. ∴||PQ 的最小值为22+19、 解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意222,:22.a b c a b c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得 216a =,212b =. 所以椭圆C 的方程为1121622=+y x (Ⅱ)设),(y x P 为椭圆上的动点,由于椭圆方程为1121622=+y x ,故44≤≤-x . 因为(),MP x m y =-uuu r , 所以22222()()12(1)16x MP x m y x m =-+=-+⨯-uuu r . 2222312)4(4112241m m x m mx x -+-=++-=因为当MP uuu r 最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,即当4=x时,2MP uuu r 取得最小值.而[]4,4x ∈-, 故有44≥m ,解得1≥m .又点M 在椭圆的长轴上,即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m20、 解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b ab+=>>.由题意222,:a b c a b c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 解得 24a =,22b =.所以椭圆C 的方程为22142y x += (Ⅱ)由题意知,两直线PA ,PB 的斜率必存在,设PB的斜率为k , 则PB 的直线方程为(1)yk x =-.由22(1),1.42y k x y x ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2))40k x k k x k +++-=设(,)A A A x y ,(,)B B B x y ,则1B B x x =⋅=, 同理可得A x =, 则A B x x -=,28(1)(1)2A B A Bk y y k x k x k -=----=+.所以直线AB的斜率A BABA By y k x x -==-(Ⅲ)设AB的直线方程为y m =+.由22,1.42y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22440x m ++-=.由22)16(4)0m ∆=-->,得28m <此时A B x x +=,244A B m x x -⋅=.P 到AB的距离为d =,AB ==则12PABS AB d ∆==2282m m -+=≤=因为24m=使判别式大于零, 所以当且仅当2m =±时取等号, 所以PAB ∆21、解:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>∵长轴长为离心率2e =,∴1,b c a ==所求椭圆方程为2212x y += (Ⅱ)因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F,且斜率为1,所以直线l 的方程为1y x =-.设()()1122,,,P x y Q x y , 由 2222,1,x y y x ⎧+=⎨=-⎩ 得 23210y y +-=,解得 1211,3y y =-=.∴ 1212112223POQS OF y y y y ∆=⋅-=-=(Ⅲ)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为1x =,此时POQ ∠小于90 ,,OP OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为()1y k x =-. 由()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220kx k x k +-+-=. ∴22121222422,1212k k x x x x k k -+==++. 11(1)y k x =- ,22(1)y k x =-212212k y y k -∴=+ 因为以,O P O Q为邻边的平行四边形是矩形OP OQ ⇔⋅=u u u r u u u r. 由221212222201212k k OP OQ x x y y k k--⋅=+=+=++uu u r uuu r 得22k =, k ∴=∴所求直线的方程为1)y x =-.。
圆锥曲线
圆锥曲线单元综合练习 2013.11.231．过点引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率 （ ）A ．B ．C ．D ．2 ．已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3 ．21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ．23D ．26 4 ．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = （ ）A ．1B ．32C ．2D ．35 ．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k=（） A ．12B C D ．27．已知抛物线1C :212y x p =(0)p>的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=9．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =10．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B ．1C ．6-D 11、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．（1，2）B ．（－1，2）C ．（2，+∞）D ．),2[+∞12、已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<-B ．)1(1822>=-x y xC ．1822=+y x （x > 0）D ．221(1)10y x x -=>13．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 4514.直线13=+by ax 与圆222=+y x 相交于B ,A 两点（R b ,a ∈），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点)b ,a (P 与点()10,之间距离的最大值是A ．417 B ．4 C ．2 D ．3715.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12(,)33 B.1(,1)2 C. 2(,1)3 D.111(,)(,1)32216.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD且2AB AD=，设DAB θ∠=，(0,)2πθ∈，以A 、B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以C 、D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则A. 当θ增大时，1e 增大，12e e ⋅为定值B. 当θ增大时，1e 减小，12e e ⋅为定值C. 当θ增大时，1e 增大，12e e ⋅增大D. 当θ增大时，1e 减小，12e e ⋅减小17.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A ．3B ．2C ．332D ．2 18.若双曲线22221x y a b -=与椭圆22221x y m b +=（m>b>0 ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（D ）A 等腰三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 钝角三角形19.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ） AB.20.设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为( )A. 192B. 11C. 12D. 1621.已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的一点,若||||122PF PF 的值为a 8，则双曲线离心率的取值范围是(D )()+∞,1.A []3,2.B (]2,1.C (]3,1D22.已知双曲线左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其右支上一点，1260∠= F PF ，且12∆=F PF S ，若1PF ，21214F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的离心率为（A ） A ．3 B ． 32 C ． 2 D ． 2A BDC23.已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179xy -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 \24.过双曲线22221x y a b -=(0,0)ab >>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与A,B 两点，若2FA FB =，2()OB OA OB ∙= ,则双曲线的离心率为（ ）C. 2D.25.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|•|PF 2|=（ ）26. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为（ ） B.2 D. 1 27.已知抛物线y x 42=上有一条长为6的动弦AB ，则AB 中点到x 轴的最短距离为A. 43B.23C. 1D.228．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（ ）A 2B 4C 6D 829.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在30.12,F F 是双曲线C ：22221x y a b-=，（a>0,b>0）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D 31.直线l过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于BA ,两点，交其准线于C点,已知BF CB AF 3,4||==,则=p （ ）A ． 2B ． 34 38 D ． 432.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A1, A2, B1, B2，焦点分别为F1 ,F2，延长B1F2 与A2B2交于 P 点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为A. B. C D .33.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)xy C a b ab -=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为--3--34．已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ ),1[+∞_____.35．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,2________.36试题椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于1-______37.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于___1±_____. 38.过抛物线22y x=的焦点F作直线交抛物线于,A B两点，若25,,12AB AF BF =<则AF=5/6 。
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是（）2答案：52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。
答案：(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）。
答案：x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45，则ΔAF1F2的面积（）。
答案：75.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）。
答案：y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）。
答案：(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）。
答案：288.若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y=2x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF+MA取得最小值的M的坐标为（）。
答案：(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）。
答案：x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3，则它的长半轴长为_______________。
答案：√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为______________。
答案：x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3，焦点为(0,3)。
13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=____________。
答案：√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3，则k的值为____________。
答案：7/315.根据双曲线的定义，其焦点到准线的距离等于其焦距的一半，因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程，8kx-ky=8，将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8，解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中，得到交点为(2,8)和(-1,-5)。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练
专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练专题14圆锥曲线切线方程 微点3圆锥曲线切线方程综合训练 一、单选题 1．已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=（2022·全国·高三专题练习）2．已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ） A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线（2022·江苏·高二专题练习）3．设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D （2022·安徽·高二期末）4．已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π二、填空题（2022·广西·浦北中学高二期中）5．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为2213x y +=，P 为椭圆C 上的动点，直线的方程为：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为__________. （2022·广东揭阳·高三期末）6．如图所示，已知()00,P x y 是双曲线22:143x yC -=右支上任意一点，双曲线C 在点P 处的切线分别与两条渐近线y =交于,A B 两点，则OA OB ⋅=__________.（2022·四川资阳·高二期末）7．过点()2,1P -作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________.（2022·四川省资阳中学高二期末）8．已知抛物线2:8E x y =，点P 是E 的准线l 上一个动点，过点P 作E 的两条切线，切点分别为,A B .则直线AB 必然经过定点，该定点坐标为___________. （2022·四川省成都市新都一中高二期末）9．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，若1l 和2l 交于点P ，则2164PF AB+的最小值为______．（2022·河南·封丘一中高二期末）10．过点()30A -,作抛物线24y x =的切线，则切点的横坐标为______． （2022·青海·模拟预测）11．如图，平面直角坐标系中，0,Q ⎛ ⎝⎭，()3,0L -，圆Q 过坐标原点O 且与圆L 外切．若抛物线()220x py p =>与圆L ，圆Q 均恰有一个公共点，则p ＝______．三、双空题（2022·江苏苏州·高三阶段练习）12．极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆222x y r +=，与点()00,x y 对应的极线方程为200x x y y r +=，我们还知道如果点()00,x y 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点()00,x y 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆22221x y a b+=，与点()00,x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=.如上图，已知椭圆C ：22143x y +=，()4,P t -，过点P 作椭圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______；直线AB 与OP 交于点M ，则sin PMB ∠的最小值是______.四、解答题（2022·全国·高三专题练习）13．已知点()1,1A 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点12,F F 是椭圆的两焦点，且满足124AF AF +=． (1)求椭圆的标准方程；(2)求过()1,1A 与椭圆相切的直线方程．（2022·江苏盐城·高二期末）14．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点P 为椭圆上的动点，OP 的最小值为1，FP 的最大值为1 (1)求椭圆C 的方程；(2)直线:30l x -=上是否存在点Q ，使得过点Q 能作椭圆C 的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q ；若不存在，请说明理由． （2022·重庆市涪陵高级中学校模拟预测）15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C上任意两点，且11(0)PF QF λλ=<，若三角形2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 外切于矩形ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值. （2022·上海交大附中高三期中）16．设椭圆Γ：()22211x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ．直线l 若与椭圆Γ只有一个公共点P ，则称直线l 为椭圆Γ的切线，P 为切点． (1)若直线l ：2y x =+与椭圆相切，求椭圆的焦距12F F ； (2)求证：椭圆Γ上切点为()00,P x y 的切线方程为021xx yy a +=； (3)记1F 到直线l 的距离为1d ，2F 到直线l 的距离为2d ，判断“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由． （2022·全国·高二期末）17．已知椭圆22:154x y Γ+=的中心为O ，一个法向量为(),1n k =-的直线l 与Γ只有一个公共点M ．(1)若1k =且点M 在第二象限，求点M 的坐标；(2)若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离2d ≤． （2022·陕西·交大附中模拟预测）18．设A 、B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点，设()0,1M -是椭圆下顶点，直线MA 与MB 斜率之积为14-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若一动圆的圆心Q ．过原点O 作动圆Q 的两条切线，分别交椭圆于E 、F 两点，试证明22OE OF +为定值． （2022·全国·高二专题练习）19．设P 为椭圆22143x y +=上的一个动点，过点P 作椭圆的切线与圆O ：2212x y +=相交于M 、N 两点，圆O 在M 、N 两点处的切线相交于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)若P 是第一象限内的点，求OPQ 面积的最大值. （2022·陕西汉中·高二期中）20．已知椭圆221:1(04)4+=<<x y E m m 椭圆222:(01)4+=<<x y E t t m ，椭圆2E 的切线MN 交椭圆1E 于M 、N 两点，切点为Q . (1)求椭圆1E 的标准方程； (2)求证：点Q 是线段MN 的中点. （2022·全国·模拟预测）21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． （2022·全国·高二课时练习）22．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F ，一条渐近线方程为y bx =，且双曲线C 经过点D 1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点P 在直线(x m y m =≠±，01m <<，且m 为常数)上，过点P 作双曲线C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，求证：直线AB 过某一个定点．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）23．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为O 为坐标原点． (1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与x 轴正半轴相交于一点D ，与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，证明：△MON 的面积为定值，并求出该定值．（2022·青海·海东市教育研究室一模）24．如图，已知双曲线22:13x C y -=，过()1,1P 向双曲线C 作两条切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，且120,0x x <>.(1)证明：直线PA 的方程为1113x xy y -=. (2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：πAFP BFP ∠∠+=. （2022·贵州遵义·高二期末）25．抛物线()220x py p =>焦点为F ，过F 斜率为2的直线交抛物线于C ，D 两点，且6CD =(1)求抛物线的标准方程；(2)过直线1y =-上一点P 作抛物线两条切线，切点为,A B ，猜想直线AB 与直线PF 位置关系，并证明猜想. （2022·贵州遵义·高二期末）26．抛物线()220y px p =>焦点为F ，过F l 交抛物线于C ，D 两点，且6CD =．(1)求抛物线的标准方程；(2)过直线=1x -上一点P 作抛物线两条切线，切点为A ，B ．猜想直线AB 与直线PF 位置关系，并证明猜想．（2022·上海交大附中高二期末）27．如图，已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点，曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上，并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列，102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ，过P 作PH 垂直准线l ，垂足为H ，求证：BPH APF ∠∠=. （2022·江西上饶·高二期末）28．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QAB 重心G 的轨迹方程． （2022·全国·模拟预测）29．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是C 上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点M ，N 是y 轴上不同的两点，直线PM ，PN 分别交椭圆C 于另一点S ，T ，若PM PN =，证明：椭圆C 在点P 处的切线与PST 的外接圆相切． （2022·天津·一模）30．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其离心率为12，右焦点为F ，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为(1)求椭圆C的标准方程：(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M（M在第一象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线NF与直线OM交于点P且37OFP OFNS S△△，求直线l的斜率.参考答案：1．B【解析】根据题中所给的结论，求出过()3, 1A -的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过A 点且与直线l 垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A -的切线l 的方程为()31124y x -+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=--，即20x y +-=.故选：B【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题. 2．A【分析】由抛物线的定义可转化||||FA FB +等于A ,B 到准线距离的和，再由圆与准线相切及O 是AB的中点，可得||||2FA FB r +==.【详解】由题设知，抛物线焦点F 到定点A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和，等于AB 的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为2r =，所以||||||2FA FB AB +=>=，所以抛物线焦点的轨迹方程C 是以A 和B 为焦点的椭圆. 故选：A 3．D【分析】设()00,P x y ，则2020b x m a y =，00y n x =，则22221ln ln ln b a b a a b a m n f a b mn a b b a b ⎛⎫++++=+++= ⎪⎝⎭，令0a t b =>，则()212ln f t t t t t =++-，利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出. 【详解】设()00,P x y ，则双曲线C 在P 点处的切线方程为：00221x y x y a b-=，则2020b x m a y =，y n x =， 22002200·b x y b mn a y x a ∴==，1ln ln b a m n a b mn ∴++++ 2222ln b a a b a b b a =+++ a f b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令0a t b=>，则()212ln f t t t t t =++-，()()()22221112'12t t f t t t t t +-=-++-=，∴当01t <<时，()'0f t <，当1t >时，()'0f t >，所以()f t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 得1t =时，()f t 取最小值， 1a b∴=，即a b =时，1ln ln b a m n a b mn ++++取最小值，c e a ∴== 故选：D. 4．D【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得cos BFBAF AB=∠，当AB FB取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角. 【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，cos cos BF BMABM BAF AB AB==∠=∠， 当AB FB取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，联立2123x yy kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，因此，直线AB 的倾斜角为4π或34π. 故选：D.5【分析】设椭圆切线x y k +=，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值.【详解】令x y k +=与椭圆2213x y +=相切，消去x 整理得：224230y ky k -+-=，所以222416(3)4(123)0k k k ∆=--=-=，可得2k =±，显然4x y +=与椭圆无交点，当2k =-，切线为2x y +=-，与4x y +==当2k =，切线为2x y +=，与4x y +==；所以点P 到直线的距离d .6．1【分析】根据切线方程及渐近线方程计算出关于点,A B 的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解.【详解】如下图所示，设双曲线渐近线上的点()12A t，点()22,B t ， 当00y =时，过点()00,P x y 的切线方程为2x =，当00y ≠时，设过点()00,P x y 的切线方程为()00y y k x x -=-，即()00y k x x y =-+，代入双曲线方程化简为()()()2222220000003484230k x k x ky x k x y kx y -+--+-+=，则k ≠()2220000484230x k x y k y ⎡⎤∆=--++=⎣⎦， 因为2200143x y -=，所以2220000432034y x k x y k -+=，所以0034x k y =， ∴在点()00，y P x 处的切线方程为00:143x x y yl -=，当00y =也符合；且点A ，B 又在切线l 上01021212x t x t ⎧⎛=⎪ ⎪⎝∴⎨⎛⎪= ⎪⎝⎩，220012143⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭x y t t 121t t ∴=()124=13⋅∴=-OA OB t t故答案为：17．210x y -+=【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出. 【详解】抛物线2:2C x y =可写成：2=2x y 且=y x '设1122(,),(,)A x y B x y ，则两条切线的斜率分别为1122,k x k x ==两条切线的方程为： 111()y y x x x -=- 111()y y x x x -=-又两条切线过点()2,1P -，所以 1111(2)y x x --=- 1111(2)y x x --=-所以直线AB 的方程为：1(2)y x x --=-又22x y =，所以直线AB 的方程为：210x y -+=. 故答案为：210x y -+=. 8．(0,2)【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,2)P t -，运用导数的几何意义，求得抛物线在A ，B 处的切线的方程，再由两点确定一条直线，可得AB 的方程，进而得到恒过定点. 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,2)P t -，由28x y =，即218y x =，可得14y x '=，所以抛物线28x y =在A 处的切线PA 的方程为111()4x y y x x -=-， 即2111144x y x x y =-+，因为2118x y =，可得114xy x y =-， 因为P 在切线AP 上，可得1124x t y -=-，①， 同理可得2224x t y -=-，① 综合①①可得A ，B 的坐标满足24x t y -=-， 即直线AB 恒过抛物线的焦点(0,2)F ， 故答案为：(0,2) 9．4【分析】设直线l ：1x my =+，利用韦达定理求得AB ，设()()111:0l y y k x x k -=-≠，利用判别式求得直线的方程，进而得到P 的坐标，从而可得2221644164444PF m AB m ++=++，再利用基本不等式即得.【详解】由题可知(1,0)F ，设直线l ：1x my =+， 直线l :1x my =+与24y x =联立消x ，得2440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-，①()212122444AB x x m y y m =++=++=+，设()()111:0l y y k x x k -=-≠，由()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，可得2114440y y y x k k -+-=，①21144440y x k k ⎛⎫⎛⎫∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2114y x =，①12k y =， ①()11112:l y y x x y -=-，即1122y y x x =+， 同理可得2:l 2222=+y y x x ， 所以可得()1212111,242P P x y y y y y m ==-=+=，即()1,2P m -，①PF = ①2222216441641444441PF m m AB m m ++=+=++≥++，当且仅当22411m m +=+，即1m =±取等号. 故答案为：4. 10．3【分析】设切线方程为3x ty =-，再联立直线于抛物线的方程，令判别式为0求解即可 【详解】设切线方程为3x ty =-，与抛物线方程联立可得24120y ty -+=，由216480t ∆=-=，解得t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩代入3x ty =-得3x =．故答案为：3 11．12##0.5【分析】由两圆关系确定圆L 的方程，根据抛物线与圆L 恰有一个公共点(,)A m n 且30m -<<，利用导数几何意义写出该点处曲线的公切线方程，结合直线AL 与公切线垂直关系、L 与公切线的距离列方程组求m 值，进而可求p . 【详解】由题设，圆Q为224(5x y +=，显然与()220x py p =>有一个公共点(0,0)，而||QL ==，由圆Q 与圆L 外切，则圆L所以圆L 为22(3)5x y ++=，要使()220x py p =>与圆L 恰有一个公共点(,)A m n 且30m -<<，抛物线可得：xy p'=，故过(,)A m n 的公切线方程为()m y n x m p -=-，所以20mx py np m -+-=，而22m pn =，则202m mx py --=， 由3ALn p k m m==-+，即223m p p m m=-+①，又L2|3|m m --=， 联立①①并整理得：2322(156248)(1)(6)(8)0m m m m m m m m +++=+++=， 易知：1m =-，则12p =. 故答案为：12 12． 103ty x -+-=（或330x ty -+=）；. 【分析】（1）根据已知直接写出直线AB 的方程； （2）求出cos ,OP n →→〈〉=sin PMB ∠=利用基本不等式求解.【详解】解：（1）由题得AB ：4143x ty-+=，即103ty x -+-=，（2）()4,OP t →=-，3k AB t→=，①AB →的方向向量(),3n t =，所以cos ,OP nOP n OP n→→→→→→⋅〈〉==sin PMB ∠=即()min sin PMB ∠=. 故答案为：103ty x -+-=13．(1)椭圆的标准方程为223144x y +=(2)直线方程为340x y +-=【分析】（1）根据椭圆的定义得出基本量的值，得出椭圆方程；（2）椭圆是封闭图形，利用相切只有一个交点，将直线方程与椭圆方程联立有一个实数解可解得. （1）①椭圆上的点A 满足124AF AF +=． ①24a =，解得2a =，①椭圆的方程为22214x y b+=，把()1,1代入得．21114b+=，解得243b =， ①椭圆方程的标准方程为223144x y +=．（2）解法1：过A 与x 轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．设过()1,1A 的直线方程()11y k x -=-，由()22113144y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得关于x 的方程：()()22231613610kx k k x k k +--+--=．令()()()22223614313610kk k k k ∆=--+--=，解得13k =-，故所求的切线方程为：340x y +-=．解法2：改写直线的方程为一般式22103144kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，224,,,1,431a b A k B C k ====-=-，相切时： 222220a A b B C +-=，得到224(143)0k k +--=，化简得2110,33k k ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，故所求的切线方程为： 340x y +-=． 14．(1)2212x y +=(2)存在；(Q【分析】（1）根据椭圆的几何性质可知：1a c +=1b =，即可求解1,1a b c ==； （2）联立切线方程与椭圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于1-，进而得点Q 在圆223x y +=上，又点Q在:30l x -=，联立即可求解. （1）设点00(,)P x y ，则222222222000221x c OP x y x b x b a a⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭，当00x =时，OP 取得最小值为1b =， ．222222200002()()(1)()x cFP x c y x c b x a a a =++=++-=+，则当0x a =时，FP取得最大值1a c +=解得1,1a b c ===，则椭圆方程为2212x y +=．（2）设点()00,Q x y当0xQ 作椭圆的两条切线并不垂直， 故可设过点Q 的椭圆的切线方程为y kx m =+，联立方程组2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消元可得222(21)4220k x kmx m +++-= 由2222164(21)(22)0k m k m ∆=-+-=可得2221k m +=，又直线y kx m =+过点()00,Q x y ，则00m y kx =-﹐于是2220021()k m y kx +==-化简可得2220000(2)210x k x y k y -++-=，由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积2122112y k k x -==-- 则22003x y +=，即点Q 在圆223x y +=上，由22330x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(Q 满足题意，15．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）三角形2PQF 的周长为8，得到2a =，再由122==PF F Sbc ，可得答案；（2）分矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行、矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行，这时设直线AB 的方程为；y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--，与椭圆方程联立，分别求得矩形ABCD 的边长AD ，AB 求解. （1）由11(0)PF QF λλ=<得1、、P F Q 三点共线， 因为三角形2PQF 的周长为8， 所以48a =，则2a =，当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △面积的最大， 即121222=⨯⨯==PF F Sc b bc ， 由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行， 矩形ABCD的两条边长分别为矩形24,2==a b此时4ABCD S =⨯=，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为；y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-.AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k=--.由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令Δ0=得2242m k =+，同理得2242n k=+，矩形ABCD的边长分别为AD =AB①241ABCD mnkS k ==+，12=≤=， 当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12. 综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12. 16．(1)(2)见解析 (3)见解析【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，消元，根据题意可得Δ0=，求得2a 即可得解；（2）00y =和00y ≠两种情况讨论，当00y ≠时，联立22200211x y axx yy a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，证明Δ0=即可；（3）先说明必要性，根据（2）分别求出12,d d ，再证明121d d =即可；再说明充分性，分a ≥和1a <<. （1）解：联立22212x y a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 整理得()22221430a x a x a +++=，因为直线l ：2y x =+与椭圆相切，所以()422161210a a a ∆=-+=，解得2232a c =⇒=，所以椭圆的焦距12F F = （2）证明：当00y =时，0x a =±， 直线0x a =±与椭圆相切； 当00y ≠时，联立22200211x y a xx yy a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得2222220000220x y x x x a a y a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，又220021x y a+=，则220021x y a =-，所以2220202201x a a x a x x ⎛⎫-+ ⎝-⎪⎭-=，所以()200x x -=，及直线l 与椭圆Γ只有一个公共点()00,P x y ，直线l 与椭圆Γ相切， 综上所述椭圆Γ上切点为()00,P x y 的切线方程为0021xx yy a+=； （3）解：由（2）知，切线l ：0201xx yy a +-=，())12,F F ，则12d d =，故()()()()222222000444122222220000044241111111111x a x a x a a a a d d x x x x a y aa aa ------====-++--，反之，当a ≥0x ty +=， 使得2122111d a t d =+=-，显然此时直线与椭圆不相切， 当1a << 因为121d d =，可设直线l ：y kx n =+，此时121d d =⇒()222211n k a k --=+，则2221n a k =+，将直线y kx n =+代入椭圆方程得()()2222221210a k x a knx a n +++-=，则()()()422222222224411410a k n a n a k a a k n ∆=--+=+-=，所以直线l 与椭圆Γ相切，综上所述，当1a <<“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的充要条件； 当a ≥“121d d =”是“直线l 与椭圆Γ相切”的必要不充分条件.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，主要是椭圆的切线，还考查了充分条件和必要条件，综合性比较强，考查了逻辑推理能力和数据分析能力及分类讨论思想，有一定的难度. 17．(1)54,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程为y x m =+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，由Δ0=以及切点所在象限可求得m 的值，然后将m 的值回代二次方程，可求得切点的坐标；（2）根据题意可得，直线1l 的方程为0x ky +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由已知条件可得出2254m k =+，求出点M 的坐标，利用点到直线的距离公式结合基本不等式可证得结论成立 （1）解：设直线l 的方程为y x m =+，联立224520y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得()22910540x mx m ++-=，①， ()()224954010m m ∆⨯⨯-==-，解得29m =，因为M 在第二象限，故3m =，代入①得2930250x x ++=，解得53x =-，进而43y =，故54,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）解：根据题意可得，直线1l 的方程为0x ky +=，设直线l 的方程为y kx m =+，联立224520y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得()()2224510540k x kmx m +++-=， ()()()22210204540km k m '=+⋅-∆-=，解得22540k m -+=，即2254m k =+，且2554km x k -=+，2454m y k =+，故2254,5454kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 点M 到直线1l的距离d ===①当0k =时，0d =； ①当0k ≠时，2d ==≤===，当且仅当k = 综合①①可得，点M 到直线1l 距离2d ≤．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 18．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得出1b =，根据已知条件求出a 的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，两条切线中至少有一条切线的斜率存在，设直线OE 的斜率存在，对切线OE 的斜率是否为零进行分类讨论，在切线OE 的斜率为零时，直接求出22OE OF +；在直线OE 的斜率不为零时，分析可知两切线的斜率为关于k 的方程2220000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭的两根，利用韦达定理结合弦长公式可求得22OE OF +，即可证得结论成立. （1）解：由题意可知，1b =，(),0A a -，(),0B a ，由1114MA MB k k a a ⋅=-⋅=-，即24a =，又0a >，所以2a =，椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）解：设点Q 坐标为()00,x y ，即220014x y +=． 当直线OE 的斜率为0，此时0y =，0x =，则直线OF 的斜率不存在， 此时22225OE OF a b +=+=；当直线OE 的斜率存在且斜率不为0时，设直线OE 的方程为1y k x =，直线OF 的方程为2y k x =，设点()11,E x y 、()22,F x y ，联立2244y kx x y =⎧⎨+=⎩，可得()22414k x +=， 则2121441x k =+，2222441x k =+，又圆Q 与直线OE 、OF=， 整理可得2220000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，则1k 、2k 为关于k 的方程2220000442055x k kx y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭的两根，所以，2200122200441154544455x y k k x x ---===---， 所以，()()()()2222122222112222124141114141k k OE OF kx k xk k +++=+++=+++()()22221111222111211414141161615141414114k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭=+=+=++++. 综上：22OE OF +为定值5．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．(1)2213648x y +=【分析】（1）设()00,P x y ，()11,Q x y ，根据P 在椭圆22143x y +=上，得到2200143x y +=；再由MN 即为椭圆在()00,P x y 处的切线方程也为圆O ：2212x y +=切点弦所在直线方程求解. （2）过P 作P A ①x 轴，过Q 作QB ①x 轴，得到()0,0A x ，()003,4Q x y ，()03,0B x ，再由0012=--=OPQOBQ OPA PABQ SSS S x y ，利用基本不等式求解. （1）解：设()00,P x y ，()11,Q x y .①P 在椭圆22143x y +=上，①2200143x y +=①；椭圆在()00,P x y 处的切线方程为：00143x x y y+=①；又QM 、QN 为过点Q 所引的圆O ：2212x y +=的两条切线， 所以切点弦MN 所在直线方程为：1112x x y y +=①.其中①①表示同一条直线方程，则001113412y x x y ==，得103xx =，104y y =代入①，得221113648x y +=， 故点Q 的轨迹方程为2213648x y +=.（2）过P 作P A ①x 轴，过Q 作QB ①x 轴， 则()0,0A x ，()003,4Q x y ，()03,0B x ， 所以0012=--=OPQOBQOPAPABQ SSSS x y ，又2200143x y =+≥①00x y ≤00x y ==. ①OPQS20．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由椭圆1Em ，即可得到椭圆1E 的标准方程；（2）可设椭圆222:(01)4+=<<x E y t t ，分类讨论：当直线MN 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q 是线段MN 的中点.当直线MN 斜率存在时，设直线:MN y kx n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，利用“设而不求法”得到M 、N 、Q 三点的关系，即可证明.（1）椭圆221:1(04)4+=<<x y E m m=，解得1m =.∴椭圆1E 的标准方程为2214x y +=. （2）由（1）知，椭圆222:(01)4+=<<x E y t t ， 当直线MN 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知点Q 是线段MN 的中点.当直线MN 斜率存在时，设直线:MN y kx n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ， 联立22,,4y kx n x y t =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440+++-=k x knx n t . ()()22222(8)441446416160∴∆=-+-=-+=kn k n t tk n t ，即224+=tk t n .02441-∴=+knx k . 当01t <<时，直线MN 与椭圆1E 交于,M N ， 所以有122841kn x x k -+=+，即1224241+-=+x x knk . 1202x x x +∴=，又点M 、N 、Q 在一条直线上， 1202+∴=y y y ，即MN 的中点坐标为()00,x y . ∴点Q 是线段MN 的中点.21．(1)221124x y +=(2)是过定点，定点为121,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合已知条件，即可求解；（2）将过点P 做椭圆C 的两条切线问题转化为两切线交点为P ，设出M ，N ，P 三点坐标及切线PM 的方程，将切线PM 与椭圆C 联立，得到切点坐标与切线PM 方程的关系，再根据PM 与PN 相交于点P ，即点P 满足PM ，PN 方程，得到直线MN 方程，即可求解定点． 【详解】（1）由题意得2221222,c a b c a b ⎧=⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y，1x ≠±2x ≠±，(),420P d d -+，切线PM 的方程为y kx m =+．联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2221363120k x kmx m +++-=．因为直线PM 与椭圆C 相切，故()()2222364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，1223312134km km kx m k m --===-+，2221112124k m k y kx m m m m m-=+=-+==， 所以14m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=，同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．当椭圆C的切线斜率不存在时，切点()或()-，当切点为()时，切线为x =3012y +⨯⨯=；当切点为()-时，切线为x =-3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ， 故()()1122342012,342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩ 由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=， 联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,51,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故直线MN 过定点121,55⎛⎫⎪⎝⎭．22．(1)x 2﹣y 2＝1； (2)证明见解析.【分析】(1)依题意，建立关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可求得双曲线的方程； (2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线11:()PA y y k x x -=-，将其与双曲线方程联立，由相切可得Δ0=，化简可得11x k y =，由此表示直线PA 方程，同理可得直线PB 方程，进而得到直线AB 方程，由此可得证． （1）依题意，22211bb aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴C ：221x y -=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线11:()PA y y k x x -=-，由1122()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩得，2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=， 直线PA 与双曲线相切，∴2222111124()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=且210k -≠， ∴22114()4(1)0y kx k -+-=，∴22221111210k x kx y y k -++-=，即2221111(1)210x k kx y y --++=，又22111x y -=，∴222211111,1x y y x -=+=，∴22221111112()0y k kx y x y k x -+=-=，1110y k x ∴-=，则11x k y =， ∴直线1111:()x PA y y x x y -=-，即111y y x x =-， 同理，切线PB 的方程为221y y x x =-，0(,)P m y 在切线PA 、PB 上，∴01102211y y mx y y mx =-⎧⎨=-⎩，A ∴、B 满足直线方程01y y mx =-，而两点确定唯一一条直线，∴直线0:1AB y y mx =-，则当10x m y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，无论0y 取何值，等式均成立，∴点1(,0)m 恒在直线AB 上，故无论点P 在何处，直线AB 恒过定点1(,0)m ．23．(1)2218y x -=；(2)证明见解析，【分析】(1)由双曲线C 的一个焦点坐标为(3,0)可求c ，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为ba，结合a 、b 、c 的关系求解a 、b 得到双曲线方程；(2)设直线l的方程为(y kx m k =+≠±0)m ≠，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k 与m 的关系．联立l 与渐近线方程求出M 和N 的坐标，通过12MON MOD NOD M N S S S OD y y =+=⋅⋅-△△△，化简即可．【详解】（1）由题可知2223c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得2218a b ⎧=⎨=⎩，则C ：2218y x -=；（2）由于直线l 与双曲线C 右支相切(切点不为右顶点)，则直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为(y kx m k =+≠±0)m ≠， 令0y =，则mx k=-，则m OD k =．联立2218y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(8)280k x kmx m ----=，则222244(8)(8)0k m k m ∆=----=，即228m k =-．双曲线两条渐近线方程为y =±，联立y y kx m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得，M ，联立y y kx m⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得，N ，1122MON MO N D NOD M N M m S S S OD y y x x k=+=⋅⋅-=⋅⋅-△△△1122m m k k =⋅=⋅= 故MON △的面积为定值24．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式进行表达出A 的横坐标与纵坐标，进而表达出直线PA 的方程，化简即为结果；（2）再第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明出结论. （1）显然直线PA 的斜率存在，设直线PA 的方程为()11y k x -=-，联立()221,311,x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩得()()22231613(1)30k x k k x k ---+-+=，则()()2222Δ36(1)4313220k k k k k =---⨯-+=，化简得210k k +-=.因为方程有两个相等实根，故切点A 的横坐标()()2122613331231k k k k x k k ---=-=--，得12131k y k -=-，则113x k y =， 故()1111:3x l y x x y y =-+，则22111133xx x yy y =-+，即1113x x y y -=. （2） 同理可得22:13PB xx l yy -=，又PA l 与PB l 均过()1,1P ， 所以12121,133x xy y -=-=. 故():1,2,03AB xl y F -=-，()()11113,12,36FP FA x y x y ⋅=⋅+=++，()()22223,12,36FP FB x y x y ⋅=⋅+=++， 又因为120,0x x <>，所以123,3x x -，则1103cos ,x FP FA ⎛⎫+ ⎪===2103cos ,x FP FB ⎛⎫+ ⎪===， 故cos ,cos ,FP FA FP FB =-，故πAFP BFP ∠∠+=.【点睛】圆锥曲线中证明角度相关的问题，往往需要转化为斜率或向量进行求解. 25．(1)24x y =(2)直线AB 与直线PF 垂直；证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程为22py x =+，与抛物线交于()11,C x y ，()22,D x y ，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得12x x +，再结抛物线的定义可求出p ，从而可得抛物线的方程，（2）根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，从而可得直线AB 的方程，再求出直线PF 的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论【详解】（1）由题意知抛物线()220x py p =>焦点为(0)2p F ，，设直线l的方程为2py x =+，与抛物线交于()11,C x y ，()22,D x y ，联立抛物线方程222,022p y x x p x py ⎧=+⎪∴-=⎨⎪=⎩，2Δ60p =>，所以12x x +，所以1212)22y y x x p p +=++=， 又由抛物线的定义知126MN y y p =++=，即36p =， 即2p =，所以抛物线的方程为24x y =； （2）直线AB 与直线PF 垂直，理由如下： 由（1）得()24x y f x ==，()12f x x '=，设()33,A x y ，()44,B x y ，(),1P m -， 所以直线PA 方程为：()33312y y x x x -=-， 又因为点A 在抛物线24x y =上，即有2334x y =，得到直线PA 方程为3312xx y y =+；同理可得PB 方程为：4412yy x x =+，PA ，PB 经过点P ，则34431,11221mx y mx y =-+=-+，由AB 两点可确定一条直线，所以AB 所在直线方程为：112mx y =-，当0m =时，直线AB 与直线PF 垂直，显然成立， 当0m ≠时，直线AB 斜率112k m =，(,1),(0,1)P m F -， PF 直线所在斜率21(1)02k m m--==--， 则121k k =-，综上，直线AB 与直线PF 垂直.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的直线垂直问题，综合性较强，计算量大，解答时要注意利用导数的几何意义表示切线方程，关键在于利用方程思想表示出直线AB 的方程. 26．(1)24y x =；(2)直线AB 与直线PF 垂直；证明见解析.【分析】（1）利用直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线的定义即得； （2）设()33,A x y ，()44,B x y ，()1,P m -，利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得直线AB 的方程，然后分类讨论即得. （1）设直线l的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线交于()11,M x y ，()22,N x y ，联立抛物线方程222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，可得22204p x px -+=， ①230p ∆=>，122x x p +=，又由抛物线的定义知126MN x x p =++=， 即2p =，所以抛物线的方程为24y x =； （2）直线AB 与直线PF 垂直，理由如下： 由（1）得()y f x ==±()f x '= 设()33,A x y ，()44,B x y ，()1,P m -， 所以直线P A方程为：)33y y x x =--， 又因为点A 在抛物线24y x =上，联立2334y x =，得到直线P A 方程为()332yy x x =+， 同理可得PB 方程为：()442yy x x =+，由AB 两点可以确定一条直线，P A ，PB 经过点P ， 所以AB 所在直线方程为：()21my x =-， 当0m =时，显然成立，。
数学圆锥曲线综合问题(二) 课后练习一及详解
圆锥曲线综合问题(二)题一：设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-则抛物线的方程是( )A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =-D ．24y x = 题二：已知抛物线24x y =上一点p 到焦点F 的距离是5，则点p 的横坐标是 .题三：已知抛物线C ：212xy =，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点. (1)求证：OA OB ⋅－－－→→为定值；(2)设M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.题四：已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点.(1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.题五：已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =．(1)求椭圆的标准方程；(2)设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值．题六：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过31,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求椭圆C 的方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．圆锥曲线综合问题(二)课后练习参考答案题一：答案：A详解：抛物线的准线方程为2x =-，∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为22y px =，则其准线方程为2p x =-∴22p -=-解得4p = ∴抛物线的标准方程为28yx =.故选A.题二：答案：±4 详解：根据抛物线的定义可知p 到焦点的距离为5，则其到准线距离也为5． 又∵抛物线的准线为1y=-，∴p 点的纵坐标为514-=． 将4y = 代入抛物线方程得：244x ⨯=，解得4x =±，故答案为：4±． 题三：答案：(1)364-；(2)见详解 详解：(1)设直线l 的方程为：18y kx =+，()()1122,,,A x y B x y . 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2110264x kx --=， ∴ 12164x x =- ∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x =+=+=-－－－→→为定值 (2)由(1)得：点M 的横坐标为4k ，∴点N 的横坐标为 4k ∵4y x '= ∴4|k x y k ='=，∴平行另解：设()00,N x y ，则12024x x k x +==，220028k y x == 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由228412k k y m x x y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得：2202816m mk k x x -+-= ∴22404816m mk k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭△，解得：m k =，∴平行 题四：答案：(1)x y 42=；(2)14ABO MNO S S ∆∆= 详解：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知12p =，所以2=p 所以抛物线C 的方程为x y 42= (2)当直线l 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似， 所以21()24ABO MNO OF S S ∆∆==，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =- 设(2,)M M y -，(2,)N N y -，11(,)A x y ，22(,)B x y ，解 2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 整理得 2222(42)0k x k x k -++=，所以121x x ⋅= 121sin 121224sin 2ABO MNOAO BO AOB S AO BO x x S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠， 综上 14ABO MNO S S ∆∆= 题五：答案：(1)2212x y +=；(2)ON = 详解：(1)∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a +=．∴2212a c c c+==， 即1c =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=． (2) F (1，0)，右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ，则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00CN y k x =， ∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)2,x M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴直线MN 的斜率为()0000212MN x y y k x -+=-． ∵MN ⊥ON ，∴1MN CN k k =-， ∴()0000002112x y y y x x -+=--， ∴()()200002120y x x x +-+-=，即22002x y +=．∴ON =题六：答案：(1)22143x y +=.；(2)内切 详解： (1)∵椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 221914a b+=，且22214a b a -=∴224,3a b ==， ∴椭圆C 的方程为22143xy += (2)∵224,3a b ==，∴1c ==， ∴椭圆C 的左焦点F 的坐标为()1,0-．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为224xy +=，圆心坐标是()0,0 ，半径为2. 以PF 为直径的圆的方程为22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，圆心坐标是30,4⎛⎫⎪⎝⎭，半径为54. 35244==-，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切。
【2023届新高考必刷】 圆锥曲线大题综合 学生版
【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点.2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQ⊥x轴时，PA=10，△PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p>0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k≥6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D6,0，求ABCD的最大值．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=10<a10,b的右顶点为A，左焦点F-c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为13的直线l1交双曲线C于A，B两点，且AB=8103．(1)求双曲线C的方程；(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N 两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为⊙O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得MN= MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆Cλ是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆Cλ的左､右顶点.点Q是Cλ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求AB+DE的值.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN ，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为-1,△OFM 的面积为1．(1)求C 的方程；(2)过点F 作一条直线l ，交C 于A ,B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，且经过点P-3,12．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值．15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.16.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为32的椭圆x2a2+y2 b2=1a>b>0的一个焦点F．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F的直线l交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设a=AC，b=μCD，c=DB．①当μ=2时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l，使得a，b，c成等差数列，求μ的范围．17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F和抛物线C2:y2=2px p>0的焦点重合，且C1和C2的一个公共点是23,263．(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线C2于P，Q，是否存在常数λ，使1AB-λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x24+y2=1的左､右顶点分别为A,B，点C是椭圆上异于A,B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P,Q，点P,C,M在x轴的上方.(1)当AC=5时，求cos∠POM；(2)求PQ⋅MN的最大值.19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F3,0，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点(其中A在第一象限)，交直线x=53于点M，(i)求|AF|⋅|BM||AM|⋅|BF|的值；(ii)过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：MP=PQ.20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.(2023春·浙江·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点M(-2,0)，F 1,F 2为椭圆C 的左右焦点，Q x 0,y 0 为平面内一个动点，其中y 0>0，记直线QF 1与椭圆C 在x 轴上方的交点为A x 1,y 1 ，直线QF 2与椭圆C 在x 轴上方的交点为B x 2,y 2 ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①若AF 2∥BF 1，证明：1y 1+1y 2=1y 0；②若QF 1 +QF 2 =3，探究y 0,y 1,y 2之间关系．22.(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)如图，椭圆x 24+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P x 0,y 0 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，F 1，F 2的圆与y 轴正半轴交于点A 0,y 1 ，经过点B (3,0)且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：y 0y 1=1．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．23.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A 2,0 ，直线l 过点P 4,0 ，当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，点A 到直线l 的距离为255.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与双曲线E 交于M ,N 两点，且x 轴上存在一点Q t ,0 ，使得∠MQP =∠NQP 恒成立，求t .24.(2023·广东梅州·统考一模)已知动圆M经过定点F1-3,0，且与圆F2：x-32+y2=16内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B，点P为轨迹C上异于A,B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP､AQ的斜率分别为k AP､k AQ.(i)求证：k AP⋅k AQ为定值；(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.25.(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线E：x24-y2=1与直线l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．26.(2023·山东·日照一中校考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，斜率为-3的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，点M (4,-22)在双曲线C 上，且MF 1 ⋅MF 2 =24.(1)求△MF 1F 2的面积；(2)若OB +OB=0(O 为坐标原点)，点N 3,1 ，记直线NA ,NB 的斜率分别为k 1,k 2，问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.27.(2023秋·山东泰安·高三统考期末)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过A 1,62 ，B 3,22两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知Q 4,0 ，过P 1,0 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP NP=MQ NQ．28.(2023·浙江·模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，且经过点M(8,33)．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D(不同于A，B)．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．29.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为B，O为坐标原点，P-a2,0为椭圆C的长轴上的一点，若∠BPO=45°，且△OPB的面积为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k AM，k AN，且k AM⋅k AN=-112，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN面积的最大值．30.(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12.且经过点1,32 ，P ，Q 是椭圆C 上的两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP 与OQ 的斜率之积为-34(O 为坐标原点)，点D 为射线OP 上一点，且OP =PD ，若线段DQ 与椭圆C 交于点E ，设QE =λED(λ>0).(i )求λ值；(ii )求四边形OPEQ 的面积.。
圆锥曲线专题20题练习含答案
1．如图，曲线22:1(0,0)x y E m n m n+=>>与正方形L（1）求m n +的值； （2）设直线:l y x b =+交曲线E 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在这AB 成等差数列？若存在，求出实数b样的曲线E ，使得CA ，的取值范围；若不存在，请说明理由．2.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．3．已知圆22:4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若()11,A x y ，()22,B x y 为曲线C ，且⊥m n ，试问AOB △的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．4.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ= ，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.5．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=.（1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围.6. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.2:4E x y =F (),0P a x（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.7.设点A 为圆C ：224x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =，动点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为k （0k ≠），l 与E 交于另一点为P ，若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围．8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点()3,04M m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭作斜率不为0的直线，交椭圆E 于,A B 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PB ⋅ 为定值．（1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值．9．已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从1C ，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：12（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆1C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数的取值范围． 10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程；0a ≠P l E l P 1l 2l 1l 2l E A B C D FAB ∆FCD ∆a(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.11. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值.12. 如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =CD =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．13.(本小题满分12分）已知椭圆C: 12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22，过右焦点F 且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，0为坐标原点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设经过点M(0,2)作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值及相应的直线l 的方程.1．【答案】（1）16m n +=；（2【解析】（1，得()28160n m x mx m mn +-+-=，有()()2644160m m n m mn ∆=-+-=，···········2分 化简的()4640mn m n mn +-=．又0m >，0n >，所以0mn >从而有16m n +=；···········4分 （2）由2AB CA BD =+，AB =···········5分 ，得()2220n m x bmx mb mn +++-=， 由2224440nmb n m m n ∆=-++>可得216b m n <+=，且122bmx x n m-+=+，212mb mn x x n m -=+，···········7分···········8分 323=，···········10分符合216b m n <+=，故当实数b 时，存在直线和曲线E ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列．···········12分 2.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=--1(,)2PF x y =-- ，(,2)PH PF x y +=-- ，()0HF PH PF += ，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+ MA MB ⊥ ，0MA MB ∴= ，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=． 法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为012y x x =+， 过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x -点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MAB S AB d x ==⨯+= 01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+．3．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ， ∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴1x =1y =∴11112122AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分 当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=， 则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=， 整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分 ∴2224m k =+，12m21m==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分5.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a ac b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵Q F P F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(kk ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616kk -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得，=2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 6.解：（1）设切点为则. ∴点处的切线方程为. ∵过点，∴，解得或. 当时，切线的方程为或. （2）设直线的方程为，代入得， ①，得， ②由题意得，直线的方程为， 同理可得，即， ③ ②×③得，∴.④设，，则，.∴.点到的距离为，200,3x Q x ⎛⎫⎪⎝⎭002x x l x yk ===Q ()200042x x y x x -=-l P ()200042x x a x -=-02x a =00x =0a ≠l 0y =20ax y a --=1l ()y k x a =-24x y =2440x kx ka -+=216160k ka ∆=->()0k k a ->2l ()y k x a =--()0k k a --->()0k k a +>()2220k k a ->22a k <()11,A x y ()22,B x y 224x x k +=224x x ka=AB =FAB d =∴的面积为同理的面积为由已知得，化简得， ⑤欲使⑤有解：则，∴.又，得，∴. 综上，的取值范围为或或.7.解：（1）设点(,)M x y ，由2MQ AQ =，得(,2)A x y ，由于点A 在圆C ：224x y +=上，则2244x y +=，即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=． （2）由（1）知，E的方程为2214x y +=， 因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ，所以(0,1)B ，所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)80k x kx ++=， 设11(,)B x y ，22(,)P x y ，因此10x =，22814kx k =-+，12|||BP x x =-=由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ，T ，满足||||BP BP =，此时直线BP 斜率0k >，FAB ∆41S =+FCD ∆41S =-4141+=-()2221a k -=22a <a <22212a k k=-<21k ≠21a ≠a 1a <<-11a -<<1a <<设直线BT 的斜率为1k ，且10k >，1k k ≠，则||BT ==10-=，即221(14(14k k +=+所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=， 由于12k k ≠，因此222211180k k k k ++-=，故22122111198188(81)k k k k +==+--． 因为20k >，所以21810k ->，因此22119188(81)8k k =+>-，又因为0k >，所以k >， 又因为1k k ≠，所以2222180k k k k ++-≠，所以428210k k --≠，又因为0k >，解得2k ≠，所以)k ∈+∞ ， 综上所述，k的取值范围为(,()-∞+∞ ．8．（本小题满分12分）【答案】（1）2212x y +=；（2）． 【解析】（1）设1(,0)F c ，∵抛物线24y x =﹣的焦点坐标为(1,0)-，且椭圆E 的左焦点1F 与抛物线24y x =﹣的焦点重合，∴1c =，···········2分 又椭圆Ea =···········3分 于是有2221b ac ==﹣．故椭圆E 的标准方程为：2212x y +=．···········4分 （2）设11,A x y （），22,B x y （），直线的方程为：x ty m =+， 由2222x ty m x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222220t y tmy m +++=（）﹣ 12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+，···········6分 115(,)4PA x y =- ，225(,)4PB x y =- ， 121255()()44PA PB x x y y ⋅=--+ 2212125525(1)()()4216t y y tm t y y m m =++-++-+222225(2)(2)5722216m m t m m m t -+-+-=+--+．···········8分 要使PA PB ⋅ 为定值，则22522212m m m -+--=，解得1m =或23m =（舍）， ···········9分当1m =时，2122|)2t AB y y t +==+﹣，···········10分点O 到直线AB的距离d =，···········11分OAB △面积1s ==． ∴当0t =，OAB △··········12分 9．【答案】（1）1C ：22143x y +=．22:4C y x =；（2）,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】（1）设抛物线()22:20C y px p =≠，则有()220y p x x =≠，据此验证4个点知(3,-，()4,4-在抛物线上，易求22:4C y x =．·········2分 设()2222:10x y C a b a b +=>>，把点()2,0-，⎭代入得： 222412614⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩=a ab ，解得2243==⎧⎨⎩a b ，所以1C 的方程为22143x y +=．·········5分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()22284344120km k m ∆=-+->，即2243m k <+．① 由根与系数关系得122834km x x k+=-+，则122634m y y k +=+，·········7分 所以线段MN 的中点P 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．·········8分 又线段MN 的垂直平分线的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········9 由点P 在直线上，得22314134348m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 即24830k km ++=，所以()21438m k k =-+，·········10分 由①得()2222434364k k k +<+，所以2120k >，即k <或k >，所以实数的取值范围是,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分 10.(1)依题意： PF 1 + PF 2 − F 1F 2 2=r ,则 PF 1 + PF 2 − F 1F 2 =4−2 3，即2a −2c =4−2 3又c a = 32,联立解得：a =2,c = 3，故b =1，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1 (2)设, 联立直线和椭圆的方程得：, 当时有： 由得：,即, 整理得：,所以, 化简整理得：，代入得：, 解之得：或, 点到直线的距离, 设，易得或，则, 当时；当时，, 若，则；若，则，当时， 综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.11.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-.（2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716. 12.解：（Ⅰ）当1l 与x 轴重合时，1230k k k k +=+=，即34k k =-2l ∴垂直于x轴，得2AB a ==，223b CD a ==得a b =，∴椭圆E 的方程为：22132x y +=． （Ⅱ）焦点12,F F 坐标分别为()()1,0,1,0-当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0当直线1l 、2l 斜率存在时，设斜率分别为12,m m ，设()()1122,,,A x y B x y ， 由()2211321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2222111236360m x m x m +++-= 由求根公式并化简得：211221623m x x m +=-+或2112213623m x x m -⋅=+ 121212112112121212111422y y x x x x m k k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 同理：2342242m k k m +=--．1234k k k k +=+ ，()()1212212212442022m m m m m m m m -=-⇒⋅+-=--，由题意知：210m m -≠，1220m m ∴⋅+=． 设(),P x y ，则+2=01+1y y x x ⋅-，即()22112y x x +=≠± 当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0，也满足此方程，所以点P 在椭圆()22112y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ，使得PM PN +为定值，定值为。
圆锥曲线的综合问题-练习
6.已知抛物线 y＝2px2(p>0)的焦点为 F，点 P1，14在抛物线上，过点 P 作 PQ 垂 直于抛物线的准线，垂足为点 Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点 M，则四 13 边形 PQMF 的面积为___8_____. 解析 由 P1，14在抛物线上，得 p＝18，故抛物线的标准方程为 x2＝4y，焦点 F(0，1)，准线为 y＝－1， ∴FM＝2，PQ＝1＋41＝54，MQ＝1， 则直角梯形 PQMF 的面积为21×45＋2×1＝183.
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3.已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22－y2＝1 上的一点，F1，F2 分别是 C 的左、右两 →→
个焦点，若MF1·MF2<0，则 y0 的取值范围是( A )
A.－
33，
3 3
B.－
63，
3 6
C.－2
3
2，2
3
2
D.－2
3
3，2
3
3
解析 因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x220－y20＝1， →→
设圆心到直线 l 的距离为 d，
则 L＝2 4－d2≥455，
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解得 d2≤156.又因为 d＝ 1＋2 k2， 所以1＋1 k2≤45， 于是 e2＝ac22＝b2＋c2 c2＝1＋1 k2， 所以 0＜e2≤45，解得 0＜e≤255.故选 ABC.
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5.(多选)已知直线 l：y＝kx＋2 过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的上顶点 B 和左焦点 F，
且被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长为 L，若 L≥455，则椭圆离心率 e 的取值可能是
2【高中数学习题精选】 圆锥曲线综合练习题
高中数学组卷圆锥曲线练习一．解答题（共50小题）1．（2017秋•仙游县期末）设椭圆+=1（a＞2）的离心率为，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与x轴相交于点G，且=，求k的值；（3）设点A为椭圆的下顶点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k AC•k AD=﹣2．2．（2018•河南模拟）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l 与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．3．（2018•株洲一模）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．4．（2018•河南模拟）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l 与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．5．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N 两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．6．（2018•黄浦区一模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．7．（2018•玉溪模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．8．（2018•淮南一模）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．9．（2018•杨浦区一模）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．10．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．11．（2018•重庆一模）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C 上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：；（2）若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．12．（2018•榆林一模）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．13．（2018•南充模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．14．（2018•闵行区一模）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．15．（2018•恩施州一模）设直线l的方程为x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．16．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．17．（2018•东莞市模拟）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．18．（2018•化州市二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．19．（2018•遂宁模拟）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（2018•张掖一模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（2018•浙江模拟）已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．（2018•松江区一模）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．23．（2018•全国I模拟）设O为坐标原点，椭圆C：+=1，斜率为k的动直线l（l不经过O）与C交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．（1）设直线OM的斜率为k1，求k1k的值；（2）若l经过点（0，），求k的取值范围，并求△OPQ的面积的最大值．24．（2018•佛山一模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．25．（2018•一模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．26．（2018•顺德区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．27．（2018•武侯区校级模拟）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．28．（2018•沈阳一模）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．29．（2018•曲靖一模）如图，已知椭圆的左焦点为F（﹣1，0），过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．30．（2018•一模拟）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．31．（2018•茂名一模）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．32．（2018•拉萨一模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若△OAB的顶点A、B在椭圆上，OA所在的直线斜率为k1，OB所在的直线斜率为k2，若，求的最大值．33．（2018•玉溪模拟）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y﹣12=0的距离最小．34．（2018•沈阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．35．（2018•佛山一模）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．36．（2018•甘肃一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．37．（2018•淮南一模）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．38．（2018•安阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．39．（2018•淮北一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．40．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N 两点，求证：直线MN的斜率为定值．41．（2018•浙江模拟）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．42．（2018•江苏一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．43．（2018•南充模拟）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．44．（2018•茂名一模）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．45．（2018•化州市二模）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x 轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．46．（2018•徐汇区一模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（）在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N 分别是弦AB，CD的中点（1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN过定点R（，0）（3）求△MNF2面积的最大值．47．（2018•普陀区一模）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．48．（2018•历城区校级一模）已知抛物线y2=4x，直线l：x+2y﹣2b=0与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．49．（2018•崇明县一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．50．（2018•玉溪模拟）已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点5 圆锥曲线焦点弦问题综合训练
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点5 圆锥曲线焦点弦问题综合训练专题16 圆锥曲线焦点弦微点5 圆锥曲线焦点弦问题综合训练 一、单选题：（2022·四川广安·模拟预测（文））1．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --=C ．390x y --=D ．330x y --=2．抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）3．如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x ya bb >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D（2022·湖南师大附中高二阶段练习）4．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭二、多选题：（多选题）（2022江苏南京市第二十九中学）5．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 相交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点.若PQ 的最小值为6，则（ ） A ．抛物线C 的方程为26y x =B ．PQ 的中点到准线l 的距离的最小值为3C ．1236y y =-D ．当直线PQ 的倾斜角为60时，F 为PQ 的一个四等分点 （多选题）（2022广东韶关）6．已知()1,3M -，过抛物线C ：24y x =焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，P 为C 上任意一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A ．过M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线有两条 B ．PM 与P 到抛物线C 的准线距离之和的最小值为3 C ．若AF ，OM ，BF 成等比数列，则10AB = D ．抛物线C 在A 、B 两点处的切线互相垂直 （多选题）（2022山东师范大学附中）7．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线12x =-相交 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，9||2AB =D ．||AB 的最小值为4（多选题）（2022双峰县第一中学）8．抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点Q （－2，0），过焦点的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．p ＝2B ．||8ABC ．直线AQ 与BQ 的斜率之和为0D ．准线l 上存在点M ，若△MAB 为等边三角形，可得直线AB 的斜率为±三、填空题9．设椭圆221259x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF △的内切圆的面积为4π.设A ，B 的两点坐标分别为()11,,A x y ()22,B x y ，则12y y -值为________.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，过左焦点F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A B ，两点，则AOB (其中O 为原点)的形状为________.12．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A B ，两点，且2ABF △的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是_________ 四、解答题13．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若190∠=F AB ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且222AF F B =，求椭圆的方程.14．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆O ：222x y a +=，12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α（0,2πα⎛∈⎤⎥⎝⎦）的动直线l 交椭圆C 于,A B两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）.当4πα=时，弦PQ（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若22,,AF BF AB 依次成等差数列，求直线PQ 的方程.15．已知1F ，2F 分别是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，1B ，2B 分别为上、下顶点，且四边形1122B F B F （1）求C 的方程；（2）过点1F 的直线l 与C 交于P 、Q 两点，若12PF F △的面积是12QF F 的面积的3倍，求2PQF 的面积．（2022·全国·高三专题练习）16．12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左右焦点，过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 不为长轴，1ABF 的周长为8，椭圆C 的离心率为12.（1）求此椭圆C 的方程；（2）2A 为其右顶点，求证：直线2A A ，2A B 两直线的斜率之积为定值，并求出此定值. （2022上海·上外浦东附中高三阶段练习）17．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在12,l l 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y +=．（1）求椭圆段的方程；（2）已知直线l 过点1F 与“椭圆帽”的交于两点为M ，N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程；（3）已知P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l 经过点1F ，与“椭圆帽”交于两点为M ，N ，若10F P MN ⋅=，求PM PN ⋅的取值范围． （2022·浙江·效实中学模拟预测）18．已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，长轴长为12,B B分别为椭圆的上、下顶点，且四边形1122F B F B 的面积为 (1)求椭圆E 的方程；(2)若椭圆E 过点1F 的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，设AB 的中点为M ，C D 、两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且0()CO OM λλ>=，求四边形ACBD 面积的取值范围.19．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A 、B （不与左右顶点重合），连结2F A 、2F B ，已知2ABF △周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，求AOB 的面积； （3）设2122F F F A F B λμ→→→=+，且1192λμ+=，求直线l 的方程. 20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>离心率为12，点1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.过点2F 任作一条不与y 轴垂直的直线与椭圆C交于M ，N 两点，1△MNF 的周长为8.（1）求椭圆C 的方程.（2）若直线1A M ，2A N 交于点D ，试判断点D 是否存在某条定直线x t =上.若是，求出t 的值；若不是，请说明理由.（2022·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（理））21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为 （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，若椭圆E 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围.（2022·宁夏·平罗中学三模（理））22．已知椭圆C ：()222210x x a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 恰好是双曲线2218x x -=的左右顶点，椭圆C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 上是否存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程求得F ，写出直线l 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义求得k ，由此求得直线l 的方程.【详解】椭圆2212516x y +=，3c =，所以3,0F （），3,2122pp ==，所以抛物线C :212y x =. 设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为(3)(0)y k x k =->.联立2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩ 消去y ，化简整理得()222261290k x k x k -++=， 则12122126,9x x x x k +=+=. ()1212||3||,333,36AF BF x x x x =+=+∴-=212121222212936,6,, ?9,3x x x x x x k k k k+=+∴=+==∴=又0,k k >∴=因此直线l 0y --=. 故选：A. 2．A【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦11AF x =+，21BF x =+，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解. 【详解】抛物线的焦点()1,0F ，准线x ＝－1，设()1y k x =-，把它代入24y x =得()2222220k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121=x x ，由抛物线定义可得11AF x =+，21BF x =+， △()()()1212112m n x x x x +=+++=++，()()()()121212121112mn x x x x x x x x =++=+++=++， △m ＋n ＝mn ． 故选:A 3．C【分析】不妨令3AB =，24BF =，25AF =，根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=，再利用勾股定理可求得2452c =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF +=，290ABF ∠∴=，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，c ∴=∴双曲线的离心率ce a=故选;C 4．B【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN △x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ△(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， △122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan ()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， △233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>△1tan θ<<10tan θ≠，△443||||0,tan 3⎛⎫⎛⎫-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ， 综上所述，4||||tan ⎛-=∈ ⎝⎭ME NE θ. 故选：B. 5．ABD【分析】A 选项：考虑直线PQ 的斜率不存在与斜率存在两种情况，分别用含p 的式子表达出PQ ，利用PQ 的最小值为6求出p 的值，B 选项结合A 选项求出的p 的值即可判断当斜率不存在的时候，PQ 的中点到准线l 的距离的最小值为3；C 选项利用韦达定理求出12y y 的值，作出判断；D 选项，求出当直线PQ 的倾斜角为60时的PF 与QF 的值，进行判断. 【详解】当直线PQ 的斜率不存在时，因为直线PQ 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，所以PQ 的方程为：2px =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩ 可得y p =±，此时2PQ p =，当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,P x y ，()22,Q x y ，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：()22222204k p k x k p p x -++=， 所以2122222k p p px x p k k++==+，22212244k p p x x k ==， 所以12222222p px x p p p p p k k PQ ++=+++>==， 对于A ：由以上证明可知：当直线PQ 的斜率不存在时，min 26PQ p ==，可得3p =， 所以抛物线C 的方程为26y x =，故选项A 正确；对于B ：当直线PQ 的斜率不存在时，PQ 的中点到准线l 的距离为322p pp +==， 当直线PQ 的斜率存在时，PQ 的中点横坐标为122222x x p p pk +=+>，此时PQ 的中点到准线l 的距离22p pd p >+=，故选项B 正确； 对于C ：当直线PQ 的斜率不存在时，,2p Q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2129y y p =-=-，故选项C 不正确；对于D ：当直线PQ 的倾斜角为60时，直线PQ的方程为：32y x ⎫=-⎪⎭，由2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得：242090x x -+=，即()()21290x x --=， 不妨设12P x =，92Q x =， 所以132222P p PF x =+=+=，936222Q p QF x =+=+=， 所以13PFQF =，所以F 为PQ 的一个四等分点，故选项D 正确；故选：ABD 6．BCD【分析】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系逐项验证即可.【详解】解：设过M 的直线方程为：()31x m y =++，又 抛物线C 的方程为：24y x =，联立方程可得：()2314x m y y x⎧=++⎨=⎩化简得： 241240y my m ---=()()()22441241631m m m m ∴∆=++=++0∆=时，解得m =. 又=3y -时，94x =，所以直线=3y -与抛物线24y x =有一个交点 ∴过M 与抛物线C 相交且有一个公共点的直线有三条，选项A 错误；()1,0F ，PM 与P 到抛物线C 的准线距离之和等于PM PF +，又3PM PF MF +=≥，选项B 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，直线BA 的方程为1x ny =+， 代入抛物线的方程可得2440y ny --=，所以124y y =-，221212116y y x x ==，因为()()212121212111210AF BF x x x x x x x x OM =+==+++=++==， 所以12210AB AF BF x x =+=++=，选项C 正确； 不妨设210y y <<，由y ='y =y =-'y = 所以抛物线C 在A，在B处的切线的斜率为，1⎛⎫==-⎝，所以两条切线相互垂直，选项D正确．故选：BCD．7．ACD【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B，M在准线上的射影为A'，B'，M'，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A；当直线AB的斜率不存在时，显然成立；当直线AB的斜率存在时，设为1，求得A，B，M 的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断B；以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cosρθ=-，设1(Aρ，)θ，2(Bρ，)πθ+，求得||AF，||FB，可判断C；考虑直线AB垂直于x轴，取得最小值，可判断D．【详解】解：24y x=的焦点(1,0)F，准线方程为=1x-，设A，B，M在准线上的射影为A'，B'，M'，由||||AF AA'=，||||BF BB'=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB'''=+=+=，可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线12x=-相交，故A对；当直线AB的斜率不存在时，显然以线段BM为直径的圆与y轴相切；当直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为y kx k=-，联立24y x=，可得2222(24)0k x k x k-++=，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，可得12242x xk+=+，121=x x，设13x=+23x=-可得M的横坐标为221k+，MB的中点的横坐标为2212(1)2xk++，222||1|BM xk--，当1k=时，MB的中点的横坐标为521||22MB=，显然以线段BM为直径的圆与y轴相交，故B错；以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cosρθ=-，设1(Aρ，)θ，2(Bρ，)πθ+，可得121cosρθ=-，2221cos()1cosρπθθ==-++，可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故C 正确； 显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确． 故选：ACD ．8．BCD【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A ，由准线l 交x 轴于点Q （－2，0）， 所以22p-=-，4p =，故A 错误， 对B ，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于x 轴时， 令2x =，可得4y =±，||8AB =， 所以||8AB ，故B 正确；对C ，设直线m 的方程为2x ny =+， 代入抛物线方程可得：28160y ny --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有：12128,16y y n y y +==-， 所以12211122121222+22(2)(2)AQ BQ y y x y y x y y k k x x x x +++=+=++++ 1212121224()32320(2)(2)(2)(2)ny y y y n nx x x x ++-+===++++，故C 正确；对D ，若△MAB 为等边三角形，设A ，B 中点为(,)N a b ， 则21212()44222x x n y y a n +++===+，1242y y b n +==，设(2,)M t -，所以2444n tn n -=-+，所以348t n n =+，则3(2,48)M n n -+，则点3(2,48)M n n -+到直线m 的距离d =而21212()4488AB x x p n y y n =++=+++=+，由d =28)n =+，n =此时AB 的斜率为D 正确. 故选：BCD 9．5【分析】由已知求出椭圆的焦点分别为()14,0F -，()14,0F ，根据2ABF △的内切圆的面积，得到2ABF △的面积，再根据21212124ABF AF F BF F SSSy y =+=-，从而得到12y y -的值.【详解】因为椭圆221259x y +=中，4=c ， 所以焦点为()14,0F -，()14,0F ， 设2ABF △的内切圆的半径为r ， 所以24S r ππ==，得2r =，根据椭圆的定义()()221212420AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==， 所以()222112022022ABF SAB AF BF r =++⋅=⨯⨯=， 又因为21212ABF AF F BF F SSS=+1122121212111222y F F y F F y y F F =⋅+⋅=-⋅ 124y y =-所以12420y y -=，即125y y -=. 故答案为：5.【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆中的三角形的面积问题，三角形内切圆的性质，属于中档题.10【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1x y k =， 联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为2222163c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a-=， 设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1x y k =，与双曲线222231131x y a a x y k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立得22213169303y a k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()22121221693133a k y y y y k +=⋅=-，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()22222216943133a k y y k ==-，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以k =11．钝角三角形【分析】由椭圆的离心率可求得2223a b =，从而可表示出椭圆方程，求出右焦点坐标，则可表示出直线l 的方程，代入椭圆方程中，消去y 整理利用根与系数的关系，再表示出12y y ，然后求出OA OB ⋅，由其正负可判断出三角形的形状=2223a b =， 则椭圆的方程为2222123x y a a +=，椭圆的右焦点为0F ⎫⎪⎪⎝⎭，，由直线l的方程为12y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由222212312x y a a y x ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩可得221170x a --=， 设()()1122 A x y B x y ，，，，由韦达定理得21212711a x x x x -+==，，则121214y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2121211()43x x x x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦221714113a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2433a =-则2121225033OA OB x x y y a ⋅=+=-<， 所以AOB ∠一定为钝角，所以AOB (其中O 为原点)的形状为钝角三角形， 故答案为：钝角三角形 12．⎣ 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ,利用三角形内切圆面积计算可得12114222a r c y y ⨯⨯=⨯⨯-，化简得1222a y y c e -==，由离心率范围求得12843y y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，再利用弦长公式即可求得答案. 【详解】如图示，由椭圆定义可得1212||+||=2,||+||=2AF AF a BF BF a ,则2ABF △的周长为4a ,设1122(,),(,)A x y B x y ，设2ABF △内切圆半径为r ，2ABF △的内切圆的周长是2π， 故2π=2π,1r r ∴= ，由题意得12114222a r c y y ⨯⨯=⨯⨯- ，得1222a y y c e -==，由于13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故128,43y y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以由121,2AB y k =-=可得12AB y =-∈⎣，故答案为：⎣ 13．（1（2）22132x y +=.【解析】（1）根据190∠=F AB 得到b c =，a =，可得c e a = （2）设(),B x y ，根据222AF F B =得到32x =，2b y =-，代入22221x y a b+=，解得23a =，可得222312b a c =-=-=，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若190F AB ∠=︒，则12F AF 和2AOF △为等腰直角三角形．所以有2OA OF =，即b c =．所以a =，c e a ==． （2）由题知()0,A b ，()21,0F ，设(),B x y ， 由222AF F B =，得()()1,21,b x y -=-，所以 32x =，2by =-． 代入22221x ya b+=，得2229441b a b +=． 即291144a +=，解得23a =．所以222312b ac =-=-=，所以椭圆方程为221 32x y+=．【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.14．（1）椭圆C的方程为：22143x y+=，O：224x y+=；（2）直线PQ的方程为：y=【详解】试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求,a b的值，而,a b本身满足2221a b c-==，只要再建立一个关于,a b的等式即可求出,a b的值，这可从直线被圆截得的,a b等式；（2）求直线PQ的方程，因为直线PQ已经经过1(1,0)F-，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为22,,AF BF AB成等差数列，结合椭圆的定义，可求得2BF的长，从而可求得B的坐标，最终可求得直线PQ的方程.试题解析：（1）取PQ的中点D，连,OD OP，由4πα=，1c=，知OD14PQ=22244PQOQ OD∴=+=，即24a=，从而23b=，∴椭圆C的方程为：22143x y+=，O：224x y+=.（2）设22,AF s BF t==，121224,24AF AF a BF BF a+==+==，又22,,AF BF AB的长成等差数列，28t s s t∴=+--，83t∴=设00(,)B x y，由2200220064(1)9{143x yx y-+=+=解得004,3x y=-=4,3B⎛-⎝⎭，k∴=∴PQ：y=考点：直线与圆、直线与椭圆.15．（1）2212x y +=；（2）43.【分析】（1）根据四边形1122B F B F,a b 即可．（2）设直线l 的方程为1x ty =-，与椭圆方程联立，由12PF F △的面积等于12QF F 的面积的3倍，得到123y y =-，由韦达定理求得点P ,Q 的坐标，然后由以21212PQF PF F PF F S S S =+△△△求解. 【详解】（1）由四边形1122B F B F得a =1b c ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()22221221012x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 则12222t y y t +=+，12212y y t =+ 由12PF F △的面积等于12QF F 的面积的3倍， 不妨令10y >，20y <，得123y y =-， 代入上式，得22222t y t -=+，222132y t -=-+， 即222t y t -=+，222132y t =+， 消去2y ，解得21t =，1t =±． 所以21212122214244223PQF PF F PF F t S S S c y y y t -=+=⋅⋅-==⋅=+△△△． 故2PQF 的面积为43．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．（1）22143x y +=；（2）94-．【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆的离心率可求得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,A B x y x y ，，直线2AF 的方程为+1x my =，与椭圆的方程联立，得出根与系数的关系，表示2A A ，2A B 两直线的斜率，代入可求得其之积为定值.【详解】（1）由椭圆的定义得1212+2,+2,AF AF a BF BF a ==又1ABF 的周长为8，所以111122+++++2+28AF BF AB AF BF AF BF a a ===， 所以2a =，又12c a =，所以1c b ==， 所以此椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()()222010A F ，，，，设()()1122,,A B x y x y ，，直线2AF 的方程为+1x my =， 联立22+1143x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()223+4+690my m y -=，则12122269+,3+43+4m y y y y m m =-=-，直线221212121222+12+12A B A A y y y y k k x x my my ⋅=⋅=⋅---- ()22221212122993+496++14+13+43+4y y m y y m y y m m m m m m -===--⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2A A ，2A B 两直线的斜率之积为定值，此定值为94-.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式.17．（1）221,42x y x +=≤（2）y x =+y x =-（3）⎡⎤-⎣⎦ 【分析】（1）设椭圆方程，根据))22,F A ，即可求得方程；（2）根据11F N =， 12F M =，设点(),,M x y x M 坐标即可得到直线方程；（3）根据题意11PM PN F M ⋅=-，转化为求1FM 的范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22222221,0,x y a b a b c a b+=>>=+，由图可得))22,F A ，所以21b c a ==，所以2,a b c ===椭圆段的方程：221,42x y x +=≤（2）由题11F N =，所以12F M =，设(),,M x y x(22221424x y x y ⎧+==⎪⎨⎪+⎩，解得：0x =或x =所以(M或(0,M ，所以直线l的方程：y x =+y x =- （3）若10F P MN ⋅=，()()2111111111PM PN PF F N PF F M PF F M F N F M ⋅=+⋅+=+⋅=-， 当M 点在右侧圆弧上时，13,1F M ⎡∈+⎣，当M 点在左椭圆弧上时，[]11,3F M ∈， 所以PM PN ⎡⎤⋅∈-⎣⎦ 18．(1)22132x y +=或2213x y +=(2)4,⎡⎣【分析】（1）根据题意利用待定系数法列出方程组即可求得a b 、的值，进而得到椭圆E 的方程；（2）设出直线AB 的方程并与椭圆E 的方程联立，利用设而不求的方法求得C D 、两点坐标，进而得到四边形ACBD 面积的表达式，从而求得该四边形面积的取值范围. （1）由2a =a =1222c b ⋅⋅=bc =由223b c bc ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩则椭圆E 的方程为22132x y +=或2213x y +=.（2）由椭圆E的离心率e =E 的方程为22132x y +=当直线AB 斜率k 存在时，设直线():1AB y k x =+，0k ≠ 代入22132x y +=，整理得()2222236360k x k x k +++-=则()()2224423336484806k k k k --=++>，22121222636,,2323k k x x x x k k --+==++ 则22232,,2323k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线2:3OM y x k =- 代入22132x y +=，整理得222932k x k =+，取C ⎛⎫，则D ⎛⎫C AB d -∴==D AB d -=)22123k AB k +=+())221112223ACBDC ABD AB k S AB d d k --+∴=⋅+=⋅⋅+==22233k +>，则21130223k <<+，则4<4ACBD S <<当直线AB 斜率k 不存在时，AB 的方程为=1x -，AB =此时()0,1,M-)C，()D，CD =11422ACBD S AB CD =⋅=⨯=， 综上，四边形ACBD面积的取值范围为4,⎡⎣.19．（1）22143x y +=；（2）7；（3）550x ++=或550x -+=【分析】（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义，可得a ，c ，再由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线l 的方程，联立椭圆方程，消去x ，运用韦达定理，结合AOB 的面积为1121||||2S OF y y =-，计算可得所求值； （3）设直线l 的方程为1x ty =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，运用韦达定理，由2122F F F A F B λμ→→→=+，得出1λμ+=，结合1192λμ+=，设λμ<，所以13λ=，23μ=，运用韦达定理可求出t ，进而得到所求直线l 方程． 【详解】（1）解：由题可知，2ABF △周长为8， 由椭圆的定义，可知2ABF △的周长等于4a ， 则48a =，所以2a =， 又12c e a ==，所以1c =，b 因此椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）解：依题意，直线l 的方程为1x y =-，与椭圆方程联立221431x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：27690y y --=， 由韦达定理：1267y y +=，1297y y ⋅=-，11212ABC S OF y y =-△= （3）解：设直线l 的方程为1x ty =-，()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理得：()2234690t y ty +--=，由韦达定理：122634ty y t +=+△，122934y y t ⋅=-+△， 因为2122F F F A F B λμ→→→=+，所以()()()11221,1,2,0x y x y λμ-+--=，即121220x x y y λλμμλμ-=-+-⎧⎨=+⎩，由111x ty =-，221x ty =-，得：()()()12122112()ty ty t y y λλμμλμλμ-=--+--=+-+， 所以1λμ+=， 又1192λμ+=，不妨设λμ<，所以13λ=，23μ=， 代入120y y λμ+=，所以122y y =-，所以211252y y y y +=-，整理得()2121212y y y y +=-， 代入△△22261349234t t t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=--+，计算得t = 所以直线l的方程为550x ++=或550x -+=.【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程和简单几何性质，考查运用直线和椭圆的位置关系求三角形面积，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查三点共线的向量表示，突出考查化简运算能力，属于中档题． 20．（1）22143x y +=；（2）存在；4t =.【解析】（1）根据题设条件和椭圆的定义，得到48a =，求得2a =，再由12c e a ==，求得23b =，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线:1MN x y λ=+，联立方程组，根据根与系数的关系，得到1212,y y y y +⋅，在由由直线1,A M AN 的方程联立，得到()()122121*********y x y x y y x y x y x y y ++-⎡⎤⎣⎦=-++，将1212,y y y y +⋅代入求得4x =，即可得到结论.【详解】（1）由题意知1△MNF 的周长为8，根据椭圆的定义得()()11121248MN MF NF MF MF NF NF a ++=+++==，解得2a =，又由离心率12c e a ==，可得2234b a =，所以23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）设直线:1MN x y λ=+()R λ∈，联立方程组221431x y x y λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690y y λλ++-=， 可得122634y y λλ+=-+，122934y y λ⋅=-+，由直线()111:22y A M y x x =++与()222:22yA N y x x =--， 联立得()()122121*********y x y x y y x y x y x y y ++-⎡⎤⎣⎦=-++， 将111x y λ=+，221x y λ=+代入，可得()()1212212212112242846232y y y y y y y y y x y y y y y λλ-+++-==+++.即()()()()()2222492683446234y x y λλλλλ---++==-++，即直线1A M 与2A N 的交点D 的横坐标为4，故点D 在直线4x =上，所以4t =.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。