2020届江苏省扬州市高三第四次模拟考试：数学模拟试卷(有答案)(加精)

Read x If x≤5 Then y←10x Else

y←2.5x +5 End If Print y

扬州市高三第四次模拟测试

数 学 试 题Ⅰ

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则A Z =I ▲ ． 2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2

,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ．

4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π

===，则边c 的长度为 ▲ ．

5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20， 则输入的x 值是 ▲ ．

6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．

7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥

P ABC -的体积为 ▲ ．

8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos2α= ▲ ．

9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．

10．已知等边ABC ∆中，若1()3

AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ AP t AB =+u u u

r u u u r u u u r ，且AP AQ ⊥u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ▲ ．

11．设双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF

∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．

12．设函数2log ()(0)()2

(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2

()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数

a 的取值范围为 ▲ ．

13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且21n n a S -=

n *∈Ν）

．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．

（第5题图）

14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线

2sin ([,])33

y x x x ππ

=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）

已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+r ，(1,cos())2b x ωϕ=+r (0,0)4

π

ωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r ．若

函数()y f x =的周期为4，且经过点1

(1,)2M ．

（1）求ω的值；

（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．

16．（本小题满分14分）

在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ． （1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；

（2）若平面PAD I 平面PBC l =，求证：//l BC ．

P

S

D

C

B

A

17．（本小题满分14分）

某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．

（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．

（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元？（精确到0.1元）

（第16题图）

18．（本小题满分16分）

已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的长轴长为4

，椭圆的离心率为2．设点M 是椭圆上不在坐标轴上

的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13

AM AB =u u u u r u u u r

．

（1）求证：线段AB 的长是一定值；

（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．

19．（本小题满分16分）

数列{}n a 是公差为d (0)d ≠

列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =．

（1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．

（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；

（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）