计量学-ARMA模型的自相关函数(1)
ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数图谱
（1 > 0，1 > 0，2 >0） ARMA（2，2） k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦
0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 > 0，2 > 0） k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦 衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0） ARMA（1，2） xt = 1 xt-1+ ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减
若1 < 0，k=1 时有负峰值然后截尾 若1 < 0，负的平滑式指数衰减
0. 8
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若1 < 0，正负交替地指数衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若11 < 0，k=1 时有负峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
计量学-ARMA模型的自相关函数
计量学-ARMA模型的自相关函数简介自相关函数是计量学中用于分析时间序列数据的一种重要工具。
在时间序列分析中，自相关函数（Autocorrelation Function，简称ACF）用于衡量时间序列数据在不同时间点之间的相关性。
ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），是描述时间序列数据的一种有效方法。
自相关函数的定义自相关函数衡量的是时间序列数据在不同滞后阶数下的相关性。
它通过计算不同滞后阶数的样本自相关系数来反映时间序列数据之间的关联程度。
自相关函数的计算公式如下：ACF(k) = (Cov(X_t, X_{t-k})) / (Var(X_t))其中，k表示滞后阶数，X_t表示时间t的观测值，Cov表示协方差，Var表示方差。
ARMA模型ARMA模型是一种常用的时间序列模型，它是在自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的基础上进行组合的。
ARMA模型的一般形式如下：X_t = c + AR(p) + MA(q) + ε_t其中，X_t表示时间t的观测值，c是常数，AR(p)表示p阶自回归项，MA(q)表示q阶移动平均项，ε_t表示白噪声项。
AR(p)模型的表达式为：X_t = c + Σ(φ_i * X_{t-i}) + ε_t其中，φ_i为自回归系数，c为常数，ε_t为白噪声项。
MA(q)模型的表达式为：X_t = c + Σ(θ_i * ε_{t-i}) + ε_t其中，θ_i为移动平均系数，c为常数，ε_t为白噪声项。
ARMA模型的自相关函数ARMA模型的自相关函数可以通过模型参数进行计算。
假设ARMA模型的参数为(φ, θ)，其中φ表示自回归系数，θ表示移动平均系数，即ARMA(φ, θ)模型。
ARMA模型的自相关函数可以表示为AR和MA模型自相关函数的线性组合。
具体而言，可以通过以下公式计算ARMA模型的自相关函数：ACF(k) = Σ(φ^i * ACF_AR(k-i)) + Σ(θ^j * ACF_MA(k-j))其中，ACF_AR(k-i)表示AR模型在滞后阶数为k-i时的自相关函数，ACF_MA(k-j)表示MA模型在滞后阶数为k-j时的自相关函数，φi表示φ的i次方，θj表示θ的j次方。
MA和ARMA模型估计
*
对上式两端求逆z变换
左端 Z [ S x ( z ) A( z )] Rxx ( m ) * am ak Rxx ( m k )
k 0 p
2
1
右端 Z [ B( z ) H (1 / z )]
1 2 * *
Z [ B( z ) H ( z )]
1 2 1
得
p N (z) p ni z i / ai z i r ( k ) z k A( z ) i 0 i 0 k 0
上式中两端同乘以
i 0
p
ai z i
得：
17
i 0
p
ni z i a i z i r ( k ) z k
i 0 k 0
k 1
p
m 0,1,2...q m q 1
----ARMA模型参数与自相关函数之间的关系
4
当a0 1，且ak 0(k 1,2... p)时
Rxx (m )
2
k m
q
bk h( k m )
令 k-m=l l=k
qm 2
k 0
bk m h( k )
m 0,1,2...q m q 1
q
A( z ) A(1 / z ) ai z i a j z j
i 0 j 0 i 0
p
p
p
ai a j z j i
j 0
p
ck z k
p k q i 0
q
a a z R (l )z
j i j 0 i j
p
l
ARMA模型介绍知识分享
MA（q）的自相关函数（AC）
根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关， 这种现象称为截尾，因此，当k>q时，自相关 函数为零是MA（q）的一个特征。也就是说， 可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为 零来判断MA（q）模型的阶。
MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加， 呈现指数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系 数的拖尾性。
Quick → Estimate equation 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和
MA(q)，以ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
参考AC或PAC确定滞后期 根据回归结果选择适合的估计结果
模型结果的分析
ARMA模型估计对参数t检验其显著性水 平要求并不严格，更多的是考虑模型的 整体拟合效果。
调整可决系数、AIC和SC准则都是模型 选择的重要标准。
AIC准则和SC准则
赤池信息准则：AIC=-2L/n+2k/n，其中L 是对数似然值，n是观测值数目，k是被 估计的参数个数。AIC准则要求其取值 越小越好。
施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时 也要求SC值越小越好。
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
结束语
谢谢大家聆听！！！
17
Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYt p ut 1ut1 qutq
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
随机时间序列分析模型的识别
对于AR、MA、ARMA模型，在进行 参数估计之前，需要进行模型的识别。 识别的基本任务是找出ARMA（p,q）、 AR（p）、MA（q）模型的阶。识别 的方法是利用时间序列样本的自相关 函数和偏自相关函数。
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：1.ARMA 模型的概述2.ARMA 模型的数学表达式3.ARMA 模型的应用正文：一、ARMA 模型的概述自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列分析方法，主要用于拟合和预测具有线性趋势的时间序列数据。
ARMA 模型是由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）组合而成的，可以同时对时间序列数据中的长期依赖关系和短期依赖关系进行建模。
二、ARMA 模型的数学表达式ARMA 模型的数学表达式分为两个部分：自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）。
1.自回归部分（AR）自回归模型主要描述时间序列数据中的长期依赖关系，其数学表达式为：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + ε_t其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，c 为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp 为自回归系数，ε_t 为误差项。
2.滑动平均部分（MA）滑动平均模型主要描述时间序列数据中的短期依赖关系，其数学表达式为：X_t = μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，μ为常数项，θ1、θ2、...、θq 为滑动平均系数，ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
将自回归部分和滑动平均部分相结合，即可得到ARMA 模型的数学表达式：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，c、μ为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp、θ1、θ2、...、θq 分别为自回归系数和滑动平均系数，ε_t、ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
三、ARMA 模型的应用ARMA 模型广泛应用于金融、经济学、气象学等领域的时间序列数据分析和预测。
ARMA模型
2 kk
2 M
样本来自AR（
p
）模型 。
注：实际中，此判断方法比较粗糙，还不能定阶，目前流行的方法是H.Akaike 信息定阶准则（AIC）
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 自回归移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t ：
l 1
q
M 的68.3%或95.5%。
如果当1 k q0 时， k 明显地异于0，而 q0 1 ,, q0 M 近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例， 则可近似地认为 k 在 0 步截尾
q
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）
kk 的截尾性判断
N
时间序列分析模型时间序列分析模型armaarma模型模型简介简介三模型的识别与建立三模型的识别与建立在需要对一个时间序列运用bj方法建模时应运用序列的自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别确定适以及消除季节趋势性后的平稳序列11自相关函数与偏自相关函数自相关函数与偏自相关函数1ma的自相关与偏自相关函数自协方差函数时间序列分析模型时间序列分析模型armaarma模型模型简介简介样本自相关函数ma序列的自相关函数这种性质称为自相关函数的步截尾性
X t ut 1ut 1 2ut 2 qut q
【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1 ,2 ,,q 为移动平均系数，是待估参数
计量经济学-第四部分时间序列中的ARMA模型
Yt=c+1Yt-1+ 2Yt-2+...+pYt-p+vt
其中为 vt 为白噪音过程
引入滞后算子，则原式可写成
(L)Yt=c+vt 其中
(L)=1-1L- 2L2 -...- pLp
5
ARIMA模型的概念
2. AR(p)过程平稳的条件
将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程 组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程 的方差及各级协方差。
8
ARIMA模型的概念
三. 自回归移动平均（ARMA）过程
1. ARMA过程的形式
Yt=c+1Yt-1+ 2Yt-2+...+pYt-p+1 t-1+ 2 t-2+...+ q t-q+ t
四. 信息准则(information criteria) Akaike 信息准则 AIC=log(ˆ 2 ) 2k
T
Schwarz 信息准则 SC=log(ˆ 2 ) k log T
T Hannan-Quinn 信息准则 HQIC=log(ˆ 2 ) 2k log(log T)
T
其中 ˆ 2 为残差平方， k=p+q+1是所有估计参数
ARMA模型的概念和构造
1
一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA模型的概念 自回归移动平均模型（autoregressive
moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。 包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
计量学-ARMA模型的自相关函数(1)
平方和为
n
n
S et2 (Yt ˆ1Yt 1 ˆpYt p )2
根据最小t p二1 乘原t p理1 ，利用一阶条件求上
述最小二乘函数最小化的参数值ˆ1,,ˆp ， 即为最小二乘估计。
25
（二）利用样本自协方差方程的矩估计
对于一般的平稳AR(p)模型，有关于自相
p
ˆiˆj jik
i, j0
i, j0
可以利用原时间序列的自协方差和前面 得协到方的差自，回进归 而系 计数 算估 出计 自， 相计关算系出数。Y~t 的自
18
q=1时的参数估计
方法一：直接利用一阶自相关函数进行参 数估计
1
1 1 12
112 1 1 0
1
1
1
21
4 12
19
由于可逆性条件要求1的绝对值小于1，
因此只有
1
1
1
21
412
满足要求。
把样本自相关系数 ˆ1作为 1 的估计代入
14
第三节 自回归移动平均模型的 估计
ARMA模型的参数估计常用的方法是利用 均值（期望）、自相关函数，包括YuleWalker方程的矩估计方法。这些矩估计 方法是一致估计，但未必有效。
充分有效的估计方法是最大似然法，但 最大似然法比较复杂。
在样本容量较大时矩估计与最大似然估 计是接近的。
1
12
2 q
0
k 1,,q k q
16
首先利用样本数据计算出 n
k
的估计值
(Yt Y )(Ytk Y )
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（1）AR(p)模型的自相关函数是拖尾的，即会按
指数衰减，或正弦振荡衰减，偏自相关函数是
截尾的，截尾处为自回归阶数p； （2）MA(q)模型的自相关函数是截尾的，截尾处
对应移动平均阶数q。偏自相关函数则是拖尾
的；
11
（3）ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏自
相关函数都是拖尾的，自相关函数是 q p 步拖尾，偏自相关函数是 p q 步拖尾。
12
2、样本自相关函数和样本偏自相关函数
假设有一组观测样本 Y1,,Yn ，一般认为 近似自相关函数最好的样本自相关函数
为：
ˆk
ˆk ˆ0
其中
n
(Yt Y )2
n
(Yt Y )(Ytk Y )
ˆ0 t1 n
, ˆk t 1
n
13
计算样本偏自相关函数（SPACF）的方法： 直接把样本自相关值代入尤勒——沃克方 程进行计算，或者用公式
若q p 0 ，就会有 q p 1 个初始值 0, 1,, q p 不遵从一般的衰减变化形式。
ARMA(p,q)的自相关函数是 q p 步拖尾
的。这一事实在识别ARMA模型时也非常 有用。
2
ARMA(1,1)过程 Yt 1Yt1 t 1t1
1
(1 11)(1 1) 1 12 211
程的联立方程组。
17
如果可以从这个方程组解出 ˆ1,ˆq和 ，
就是ˆ2我们要求的参数估计值。 也可以先解出真实参数与自协方差、自
相关的关系，再代入样本估计值。 因为 k是时间序列过程的二阶矩，上述
估计量是通过q+1个样本矩方程求出的， 所以是矩估计量，具有一致估计的性质。
18
q=1时的参数估计
回归的方法Yˆ计t 算。k1Yt 1 kkYt k
14
第三节 自回归移动平均模型的 估计
ARMA模型的参数估计常用的方法是利用 均值（期望）、自相关函数，包括YuleWalker方程的矩估计方法。这些矩估计 方法是一致估计，但未必有效。
充分有效的估计方法是最大似然法，但 最大似然法比较复杂。
1 1 2
33
2
1
1 1
3 2
1 1
1 1 1
2 1 1
7
由于AR(p)模型意味着 Yt 与Yt p以后的滞
后项不相关，因此大于p阶的偏自相关系 数必然都等于0。
这意味着AR(p)模型的偏自相关函数有在
k p 处截尾的特征。 这也是识别自回归模型及其自回归阶数
的重要依据。
8
（二）MA(q)和ARMA模型的偏自相关函数
j k1 j1 kk jk
该方程组也可以认为是利用的协方差和自相关 函数导出。尤勒——沃克方程如下
1
1 k 1 k1 1
1
1
k 2
k
2
2
k
1
k 2
1
kk
k
6
分别求解，得到偏自相关系数：
11 1，
1 1 1
1
22
1
1
1
2 1
2 12 ， 1 12
16
首先利用样本数据计算出 n
k
的估计值
(Yt Y )(Ytk Y )
ˆk t 1
n
把这q+1个样本自协方差代自协方差函数
中的 k ，或者根据这些 ˆk 再计算出 k 的估计 ˆk 代入自相关函数，并用 ˆ1,ˆq
和 ˆ2 分别代自协方差或自相关函数中的
待定参数
1,q
和
2
，可得到q+1个方
偏自相关函数定义为 kk corr(Yt ,Ytk Yt1, ,Ytk1)
计算方法 把Yt 对 Yt1,,Ytk 回归，得到回归方程
Yˆt k1Yt 1 kkYt k 其中最后一项的回归系数就是要求的偏自相关系
数 kk 。
5
根据线性回归法计算偏自相关函数，运用最小 二乘法进行参数估计，得到正规方程组
由自回归过程和移动平均过程两部分组 成，因此它们的偏自相关函数也是无限 延伸的，其特征就像纯移动平均过程的 偏自相关函数。
混合过程的偏自相关函数被复合的衰减 指数和（或）衰减正弦波所控制。衰减 特性主要由移动平均过程的阶数和具体 参数决定。
10
三、模型识别方法 1、基本ARMA模型自相关和偏自相关函数的基本
k 11k1 ， k 2
3
二、偏自相关函数（partial autocorrelation function，PACF）
时间序列过程的偏自相关函数就是时间 序列在两个时间随机变量之间，排除了 其间各个时间随机变量影响的相关系数。
4
（一）AR(p)模型的偏自相关函数 AR(p)的模型 Yt 1Yt1 pYt p t
MA(1)的偏自相关函数
该拖函尾数性k。k 1k，kk且被(1衰12减(112指(k数11)2))控制，因此具有
可逆的MA()过程等价于无限阶的AR过程，因此 它们的偏自相关函数会无限延伸，被指数衰减 和（或）正弦波衰减所控制。总之都具有拖尾 的特征。
9
自回归移动平均混合过程ARMA(p,q)，是
MA(1)模型有
0
1
2
(1
12 21
)
求解上述方程组，并利用 1 1 / 0 ，可解得
1
1
21 1 412
（三）ARMA模型的自相关函数
由ARMA(p,q)的自协方差公式可以看出，
只有k q 的q个自相关 1,, q的值同时 依赖于1,,p 和 1,,q ；
当k q时，具有与AR(p)模型相同的自相
关函数差分公式
k 1k 1 2k 2 p k p
或者
(L)k 0
1
若 q p 0 ，自相关函数 k , k 1,2, 是指数或正弦波衰减的，具体由多项式 (L)和初始值决定。
方法一：直接利用一阶自相关函数进行参 数估计
1
1 12
112 1 1 0
1
1
1
2 1
4 12
19
由于可逆性条件要求1的绝对值小于1，
因此只有
1
1
1
21
412
满足要求。
把样本自相关系数 ˆ1作为 1 的估计代入
上式，就可以解得模型参数的估计量
ˆ1
1
1
2ˆ1
4ˆ12
20
方法二：利用自协方差函数 进行估计
在样本容量较大时矩估计与最大似然估 计是接近的。
15
一、移动平均模型参数估计
MA(q)模型的自协方差函数为
k
2
2
(1
12
(k 1k
1
2 q
)
q
k q
)
当k 0 当1 k q
0
当k q
自相关函数为
k
k 0
k
k 1 1 qqk
1
12
2 q
0
k 1,, q k q