计量经济学-时间序列中的ARMA模型
第9章、ARMA模型和ARIMA模型
第9章、ARMA模型和ARIMA模型计量经济学的重点在于解释，而不是预测。
但是，对于某些具体的问题，人们对预测的兴趣仍然很大。
如对GDP、人口等宏观经济变量的预测：什么时候超英赶美。
常见的4种预测模型为：1.单方程回归模型2.联立方程回归模型3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）4.V AR模型（向量自回归模型）前面两种预测模型的特点：优点：经济学理论作为计量分析的基础。
缺点：Lucas批判（Lucas Critique）指出，使用历史数据估计的计量模型的参数依赖于历史的宏观经济政策。
如果宏观经济政策发生变动，这些参数也会变动。
据此而实施的预测必然误差很大，特别是长期预测。
例子：根据过去几年数据建立的IS－LM模型，难以预测中国宏观调控后和利率提高后的宏观经济。
后面两种预测模型的特点：优点：Box－Jenkins方法的重点不是寻找解释y的解释变量，而是使用滞后的y来构造生产y的动力系统。
所使用的y是平稳序列，即y的均值、方差和自协方差与时间的绝对水平无关，那么分布特征不变，可以适用不同经济环境。
短期预测能力较强。
缺点：为预测而预测。
是泛理论的（a－theoretic），缺乏经济理论基础，很难解释计量结果的经济含义。
当然可以整合这两类方法的优点。
ARMAX模型。
§1、ARIMA模型ARIMA模型(自回归积分移动平均模型，autoregressive integrated movingaverage) 推广了如下模型：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
1、AR 模型 （1）定义称平稳序列y t 服从AR(p)模型，如果可以表示为11...t t p t p t y y y μααε−−=++++其中t ε是白噪声（均值为0，同方差，无自相关）。
AR 模型的特点：除了滞后的y 之外，没有其他的解释变量。
（2）AR 模型的平稳条件记L 为滞后算子(lag operator)，Ly t ＝y t －1。
时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型（2008.11）
时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。
23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列，对于任何时间，都满足下列条件：t y t Ⅰ）均值；()t E y μ=∞ Ⅱ）方差，是与时间无关的常数；22()()t t Var y E y μσ=-=t Ⅲ）自协方差,是只与时期间隔有关，{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）k 与时间无关的常数。
t4则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：= ~该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。
t y t εt ε2(0,)iid σ 由于具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。
t y 例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：~，是一个白噪声。
1t t t y y ε-=+t ε2(0,)iid σ 容易判断该序列有相同的均值：，但是方差,即1()()t t E y E y -=2()t Var y t σ=的方差与时间t 有关而非常数，它是一非平稳序列。
初计量经济学之时间序列分析
初计量经济学之时间序列分析1. 引言时间序列分析是计量经济学中的一个重要领域，研究的是时间序列数据的性质、模式和预测方法。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，包括经济指标、股票价格、气象数据等。
时间序列分析可以帮助我们理解和预测经济现象的发展趋势，为政府和企业决策提供科学依据。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、方法和应用。
首先，我们将介绍时间序列分析的基本步骤和基本假设。
然后，我们将介绍时间序列模型的常用类型，包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）和自回归滑动平均模型（ARMA）。
最后，我们将介绍时间序列的应用领域，包括经济预测、金融风险管理和气象预测。
2. 时间序列分析的基本步骤时间序列分析的基本步骤包括数据的收集和准备、数据的探索性分析、模型的选择和估计、模型的诊断和预测。
下面将对每个步骤进行详细介绍。
2.1 数据的收集和准备数据的收集和准备是时间序列分析的第一步。
我们需要收集时间序列数据，并进行数据清洗和预处理。
数据清洗包括删除缺失值、处理异常值和去除趋势。
数据预处理包括对数据进行平滑处理、差分和变换。
2.2 数据的探索性分析数据的探索性分析是时间序列分析的第二步。
我们需要对时间序列数据进行可视化和统计分析，以了解数据的基本性质和模式。
可视化方法包括绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图。
统计分析方法包括计算统计指标、分析趋势、季节性和周期性。
2.3 模型的选择和估计模型的选择和估计是时间序列分析的第三步。
我们需要选择合适的时间序列模型，并进行参数估计。
常用的时间序列模型包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）、自回归滑动平均模型（ARMA）和季节性模型。
2.4 模型的诊断和预测模型的诊断和预测是时间序列分析的最后一步。
我们需要对模型进行诊断，检验模型的拟合程度和残差的平稳性、独立性和正态性。
然后，我们可以使用模型进行未来值的预测。
3. 时间序列模型时间序列模型是描述和预测时间序列数据的数学模型。
计量经济学试题时间序列模型与ARIMA模型
计量经济学试题时间序列模型与ARIMA模型时间序列是指按照时间顺序排列的一组数据。
在计量经济学中，时间序列分析是一种重要的研究方法，它可以帮助我们理解和预测经济现象的发展趋势。
本文将介绍时间序列模型以及其中的一种常用模型——自回归滑动平均移动平均自回归(ARIMA)模型。
一、时间序列模型的基本概念时间序列模型是根据时间序列数据的特点建立的数学模型。
它假设时间序列的变动是由多个因素引起的，这些因素可以是趋势、季节性、周期性等。
时间序列模型可以帮助我们从数据中分离出这些因素，以便更好地理解和预测未来的变动。
二、自回归滑动平均移动平均自回归(ARIMA)模型ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析的模型，它结合了自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型和差分运算的方法。
ARIMA模型可以描述时间序列的自相关性、滞后差分的影响以及移动平均误差的影响。
ARIMA模型可以从以下三个方面描述一个时间序列：1. 自回归(AR)部分：用于描述过去时间点的观测值对当前值的影响，通过延迟观测值来预测当前值。
2. 差分(I)部分：通过对时间序列进行差分运算，可以消除其非平稳性，提高模型的拟合度和预测准确性。
3. 滑动平均(MA)部分：用于描述序列中随机波动的影响，通过滞后误差预测当前值。
ARIMA模型的表示方式为ARIMA(p, d, q)，其中p表示自回归阶数，d表示差分阶数，q表示滑动平均阶数。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数估计，从而进行未来值的预测。
三、ARIMA模型的应用ARIMA模型在经济领域有广泛的应用，其中包括销售预测、股票价格预测、宏观经济指标预测等。
它通过分析历史数据中的规律性和趋势性，将其应用于未来的预测中。
ARIMA模型的建立和应用过程可以分为以下几个步骤：1. 数据收集和准备：收集相关的时间序列数据，并对其进行清洗和格式化，以便于后续的分析和建模。
2. 模型选择和拟合：通过计算模型选择准则(AIC、BIC等)来确定模型的阶数，并使用最小二乘法或极大似然法对模型进行参数估计。
第三讲 ARMA模型
3
2
1 55 60 65 70 75 80 85 90 95
12
（1）数据量不大时，如70或80数据，取M=[n/4]。 （2）数据量较大时，如300个数据，可取M=[n/10]。 （3）数据量很大时，如成千上万，可取M=根号n 此例有45个数据，最大滞后期取12即可。可得相关图如下：
从偏自相关函数来看，相邻两项的相关性很强（指的是滞后一期）。 13 而自相关函数则不同。
35
以下是常见的AR和MA模型的ACF和PACF的表现形式：
图 9.2.2 ACF 模型 1： ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式 PACF
X t 0.7 X t 1 t
0.8
0.8
ACF1
0.6
0.6
PACF 1
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
20
注意：用自相关研究时间序列季节性时，得先消除趋势性。 对于季节性，也可采用差分，此时叫季节差分。 对于季度数据，就用genr sy=y-y(-4)，对月度数据，就用genr iy=yy(-12) 第三，对逐期差分后的数据iy再做一阶季节差分 输入：genr sy=iy-iy(-4)， SY 先看sy的图形： 400
)2
2 = 1- 2
可见，只要|α|<1，则yt方差保持恒定不变。
25
为了对AR(1)的均值和方差有更感性的认识，可模拟 AR(1)数据生成过程，使用的AR(1)过程为
yt 1 0.5 yt t , t ~N (0, 2 ), 2 =0.5
分别生成两组观测值，容量n=30和n=1000，二序列 （模拟图如下）均值和方差分别为：
计量模型公式
计量模型公式计量模型公式是指数学模型中所使用的数学公式。
计量模型是指用数学方法对经济现象进行描述、分析和预测的方法。
计量模型公式是计量模型中最基本的部分，它为计量模型提供了数学基础。
计量模型公式主要包括线性回归模型公式、时间序列模型公式、面板数据模型公式等。
这些公式是计量经济学的基础，也是计量经济学的核心内容。
一、线性回归模型公式线性回归模型是计量经济学中最常用的模型之一，它可以用来描述两个或多个变量之间的关系。
线性回归模型的一般形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + ε其中，y表示被解释变量，x1，x2，…，xk表示解释变量，β0，β1，β2，…，βk表示系数，ε表示误差项。
线性回归模型的公式包括估计系数的公式和误差项的公式。
估计系数的公式为：β = (XTX)-1XTY其中，β表示系数向量，X表示自变量矩阵，Y表示因变量向量，T表示矩阵的转置，-1表示矩阵的逆。
误差项的公式为：ε = Y - Xβ其中，ε表示误差向量，Y表示因变量向量，X表示自变量矩阵，β表示系数向量。
二、时间序列模型公式时间序列模型是计量经济学中用来描述时间序列数据的模型。
时间序列数据是指一组按时间顺序排列的数据。
时间序列模型的一般形式为：Yt = f(Yt-1, Yt-2, …, Yt-p) + εt其中，Yt表示t时刻的观测值，f表示时间序列的函数形式，p 表示滞后期数，εt表示误差项。
时间序列模型的公式包括自回归模型的公式、移动平均模型的公式和ARMA模型的公式等。
自回归模型的公式为：Yt = α + β1Yt-1 + β2Yt-2 + … + βpYt-p + εt 其中，α表示常数项，β1，β2，…，βp表示系数，εt表示误差项。
移动平均模型的公式为：Yt = α + εt + θ1εt-1 + θ2εt-2 + … + θqεt-q 其中，θ1，θ2，…，θq表示移动平均系数，εt表示误差项。
02-10.3AR模型
的根在单位圆外，MA(q)满足可逆条件。 满足可逆条件的时候，MA(q)模型的偏 自相关函数几何速度衰减到零。
简称PACF)，用kk表示，是指扣除中间的k-1 项后，即yt-k+1,yt-k+2,…yt-1的影响后， yt与yt-k的 相关性。
B 在滞后一阶时，自相关与偏自相关是相同的，
因为没有中间项需要剔除。
11 = 1
C AR(p)模型的偏自相关系数在大于p阶之后都
等于0。
可逆条件
MA(q)模型的特征方程
例 yt=c+yt-1+t 满足平稳条件，需要 1-z=0
可以分解为 z=1/
|z|>1时满足平稳条件，因此需要||<1， 且0。
例
j=j-1 0=1 1= 0= 2=1=2 … j=j
因 为 ||<1 ， 所 以 自相关函数几何速度 衰减到零。
偏自相关函数
A 偏自相关函数(Partial AutoCorrelation Function,
对外经济贸易大学
计量经济学
Introd论
时间序列分析: ARMA模型
AR模型
自回归模型
满足下面表达式的模型 yt=c+1yt-1 +2yt-2+…+pyt-p+t 其中，t是白噪声扰动项，该模型 称为P阶自回归模型，记为AR(p)。
用滞后算子表示为 yt=c+1Lyt +2L2yt+…+pLpyt+t (1- 1L- 2L2-…- pLp)yt =c+ t
可以分解为 (1-z)(1-1.5z)(1-0.5z)=0 得到根为1,2/3,2。因此不满足平稳条件。
基于ARMA模型的我国国内生产总值的预测研究
基于ARMA模型的我国国内生产总值的预测研究摘要：国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）是衡量一个国家经济总量和增长的重要指标。
本文基于ARMA模型，对我国GDP进行预测研究。
首先，通过对我国GDP的时间序列数据进行平稳性检验，确定其是否需要进行差分操作。
其次，在确定了差分次数后，使用自相关图和偏自相关图选择ARMA模型的阶数，并通过最小二乘法估计模型参数。
最后，使用选定的ARMA模型对未来几年的GDP进行预测，并对模型的拟合精度进行评估。
关键词：ARMA模型；国内生产总值；预测1.引言国内生产总值是一个国家经济发展的核心指标，对于制定经济政策和监测经济状况具有重要意义。
因此，对GDP的准确预测对于国家和企业的决策非常重要。
自上世纪80年代以来，时间序列分析作为一种主要的预测方法被广泛应用于经济领域。
ARMA模型是一种常用的时间序列预测模型，结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），能够较好地拟合和预测时间序列数据。
2.数据描述3.平稳性检验在进行时间序列预测之前，需要对数据进行平稳性检验。
平稳性检验的目的是判断时间序列中是否存在趋势或季节性等非平稳性因素。
本研究使用ADF单位根检验对GDP数据进行平稳性检验。
4.差分操作如果平稳性检验中发现数据存在非平稳性，需要对数据进行差分操作。
差分操作的目的是消除数据中的趋势或季节性等非平稳性因素。
采用一阶差分的方式进行处理。
5.模型选择使用自相关图和偏自相关图帮助选择ARMA模型的阶数。
自相关图展示了时间序列与其延迟值之间的相关性，偏自相关图展示了时间序列与其延迟值之间的纯粹相关性。
通过观察图示，可以初步确定ARMA模型的p和q的值。
6.参数估计与模型拟合通过最小二乘法对ARMA模型的参数进行估计。
利用已知的GDP数据拟合ARMA模型，并计算模型的拟合精度。
一般使用残差的均方根误差（RMSE）作为评估模型拟合精度的指标。
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? 平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的， 所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对 MA过程而言的。
12
二、Box-Jenkins方法论
? 建立回归模型时，应遵循节俭性 (parsimony)的原则
? 博克斯和詹金斯(Box and Jenkins)提出了 在节俭性原则下建立ARMA模型的系统 方法论,即Box-Jenkins方法论
? E(v t) =0， Yt、Yt-1、Yt-2、...Yt-p
件期望是相等的，若设为 u，则得到 :
c
u= 1 ? (? 1 ? ? 2 ? ... ? ? p)
的无条
7
ARIMA模型的概念
Yt-u=? 1(Yt-1-u)+? 2(Yt-2-u)+...+? p(Yt-p-u)+vt
?0=?1?1+? 2?2+...+?p?p+? 2
17
ARMA模型的识别
2. MA 、AR、ARMA 过程自相关函数及偏自相关函数 的特点
? ⑴MA(q)过程的自相关函数
2
ARIMA模型的概念
一. 移动平均过程
1. 移动平均（ MA）过程的表示：
Y t=u+ ? t+? 1? t-1 +? 2? t-2+...+ ? q? t-q
? 其中u为常数项，为白噪音过程 ? 引入滞后算子L，原式可以写成:
q
? Y t=u+
? iL i? t+ ? t 或者 Y t=u+ ? (L) ? t
? 其中 ? (L)=1- ? 1 L- ? 2L2 -...- ? pLp
? (L)=1+ ? 1L+ ? 2L2 ? ... ? ? qLq
9
ARIMA模型的概念
2. ARMA过程平稳性的条件
? ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。 ? 当满足条件：
1- ? 1Z- ? 2Z 2 -...- ? pZ p ? 0
自相关函数记为 ACF(j) 。 ②偏自相关函数
? 偏自相关系数 ? * j度量了消除中间滞后项影响
后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数 记为PACF(j)
16
ARMA模型的识别
③自相关函数和偏自相关函数的联系
? *1= ? 1
? * 2=( ? 2-? 21) (1? ? 21)
? 2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复 杂，这里不再给出。
对于任意的，MA(q)是平稳的。
4
ARIMA模型的概念
二. 自回归（ AR）过程 1.自回归（ AR）过程表示为 ：
Y t=c+ ? 1Y t-1 + ? 2Y t-2 +...+ ? pY t-p +v t
? 其中为?vt?为白噪音过程
? 引入滞后算子，则原式可写成
? (L)Y t=c+v t 其中
ARMA模型的概念和构造
1
一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA 模型的概念 ? 自回归移动平均模型（autoregressive
moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。 ? 包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
? (L)=1- ? 1 L- ? 2 L 2 -...- ? p L p
5
ARIMA模型的概念
2. AR(p)过程平稳的条件
如果特征方程：
1- ? 1 Z- ? 2 Z 2 -...- ? p Z p ? 0
的根全部落在单位圆之外，则该 AR(p)过程是 平稳的
6
ARIMA模型的概念
3. AR(p)过程的特征 ? E(Y t)=c+ ? 1E(Y t-1)+ ? 2E(Y t-2)+...+ ? pE(Yt-p)+E(vt)
? 偏自相关函数 (partial autocorrelation function, 简 记为PACF)
? 以及它们各自的相关图（即 ACF、PACF相对于
滞后长度描图 ）。
15
ARMA模型的识别
2. 自相关函数和偏自相关函数的概念
①自相关函数
? 过程?Yt?的第j阶自相关系数即 ? j ? ? j ? 0 ，
特征方程的根全部落在单位圆以外时， ARMA(p,q) 是一个平稳过程。
10
ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征
?
1）E(Y
t)=
1?
(? 1
?
c
?2
?
...
?
?
p)
? 2）ARMA(p, q) 过程的方差和协方差
11
ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化
? 结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化
? 1= ? 1? 0+ ? 2? 1+...+ ? p? p-1
……
? p=? 1? p-1 +? 2? p-2 +...+ ? p? 0
? 将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程 组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程 的方差及各级协方差。
8
ARIMA模型的概念
i=1
? (L)=1+ ? 1 L+ ? 2 L 2 ? ... ? ? q L q
3
ARIMA模型的概念
2.MA （q）过程的特征
? 1. E(Y t )=u
? 2.
var(Yt) ?
(1
?
?
2
1?ຫໍສະໝຸດ ?22?
... ? ? q 2 )?
2
? 3.自协方差
①当k>q时 ?k ＝0
②当k<q时 ? k =(? k ? ? 1? k+1 ? ? 2? k+2 ? ... ? ? q? q-k)? 2
三. 自回归移动平均（ARMA ）过程
1. ARMA 过程的形式
Yt=c+?1Yt-1+? 2Yt-2+...+? pYt-p+? 1? t-1+? 2? t-2+...+? q? t-q+? t
? ? ? 其中 ?t 为白噪音过程。
? 若引入滞后算子，可以写成
? (L)Y t=c+ ? (L) ? t
13
Box-Jenkins方法论
Box-Jenkins方法论 的步骤：
? 步骤1：模型识别 ? 步骤2：模型估计 ? 步骤3：模型的诊断检验 ? 步骤4：模型预测
14
三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA 模型的识别 1. 识别ARMA 模型的两个工具：
? 自相关函数(autocorrelation function, 简记为 ACF）；