111变化率问题112导数的概念
1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念
趋近于常数,我们把这个常数
称为t0时刻的瞬时速度
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
3 |平均变化率的几何意义
设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是曲线y= f(x)上任意不同的两点,平均变化率ΔΔyx = f (x2 )-f (x1) 为割线AB的⑦ 斜率 .
x2 -x1
Δx 0
2Δx
=2f'(x0)=8,
故选D.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
2 | 求函数在某一点处的导数的方法与技巧 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称:一差、二比、三极限.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
(★★☆)已知f(x)=x- a ,若 f'(1)=2,求a的值.
x
解析 ∴ Δy
=
∵Δy=(1+Δx)-
1 Δx aΔx
1 Δx =1+
a Δx
a
- 1,
a 1
=Δx+a-
1
a Δx
=Δx+a-
a(1 1
Δx)-aΔx Δx
=Δx+
aΔx 1 Δx
∴
f'(1)=
lim
Δx 0
Δy Δx
=
lim
Δx 0
1
1
a Δx
=1+a=2,
∴a=1.
Δy Δx
存在.
第1讲 描述运动第的一基章本概念导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.Δx趋近于0表示Δx=0. ( ✕ )
提示:Δx趋近于0,即Δx无限小,但不等于零,否则 ΔΔyx无意义.
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
111-112变化率问题导数的概念
－gt0.
例3 求函数y＝x42在x＝2处的导数． [分析] 通常以某一具体函数为载体，利用求导的 “三步曲”，进行计算．
[解] 解法一：(导数定义法)
∴f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨] 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基 本方法．
练 3 求函数y＝ x在x＝1处的导数． [解] 解法一：(导数定义法)
例4 设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的 值．
[分析] 给出某抽象函数在某点x0处可导的条件，求 另一抽象函数在某点x0处的导数，或求另一抽象函数在 某点x0处的极限．
[点拨] 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多 样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对 应的形式．利用函数f(x)在x＝x0处可导的条件，可以将
∴ΔΔyx＝211＝21；
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1 ＝0.02＋1.9＝1.92，
∴ΔΔyx＝10.9.12＝19.2；
(3)在(1)题中ΔΔyx＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(55)－ －f4(4)，它表示抛物
线上P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几 何意义．
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
2.1中，平均速度是
()
A．4
B．4.1
C．0.41
1.1.1变化率问题+1.1.2导数的概念
r (2) r (1) ≈ 0.16(dm),
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 问题 高台跳水
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度 h (单 单 单位: 位:m)与起跳后的时间 t (单位 s) 存在函数关系 与起跳后的时间 单位
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
h(t) = 4.9t 2 + 6.5t +10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
h v= t h(2 + t ) h(2) = = 13.1 4.9t t
令△x = x2 – x1 , △ y= f (x2) – f (x1) ,则 则
f (x2 ) f (x1) y = x2 x1 x
理解： 理解： 1，式子中△x 、△ y的值可正、可负，但的 的值可正、 ，式子中△ 的值可正 可负， 值不能为0， 的值可以为0 △x值不能为 ， △ y的值可以为 值不能为 的值可以为 2，若函数 (x)为常函数时， △ y =0 ，若函数f 为常函数时， 3, 变式
f (x0 + x) f (x0 ) y = lim lim x→0 x→0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ′(x0 )
或 y′ |x=x0 , 即
f (x0 + x) f (x0 ) f ′(x0 ) = lim . x→0 x
1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念
第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念基础过关练题组一 平均变化率1.(2019北师大附中高二期中)函数y=2x 在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为( )A.x 0+ΔxB.1+ΔxC.2+ΔxD.22.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考)若函数f(x)=x 2+x,则函数f(x)从x=-1到x=2的平均变化率为( ) A.0 B.2 C.3 D.63.(2019陕西黄陵中学高二期末)如图,函数y=f(x)在A,B 两点间的平均变化率等于( )A.-1B.1C.-2D.2题组二 瞬时变化率与导数 4.若函数f(x)在x 0处可导,则lim ℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ的结果( )A.与x 0,h 均无关B.仅与x 0有关,而与h 无关C.仅与h 有关,而与x 0无关D.与x 0,h 均有关5.(2019贵州铜仁一中高二期中)设函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=3,则limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =( )A.-1B.-3C.3D.1 6.已知f'(x)=√2x -12(1-12lnx )2x,则limΔx →0f (12)-f (12+Δx )Δx=( )A.-2-ln 2B.-2+ln 2C.2-ln 2D.2+ln 27.(2019吉林延边二中高二期末)设函数f(x)在x=1处存在导数,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=( )A.13f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.f'(3)题组三平均速度与瞬时速度8.若质点运动满足s(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为( )A.6.3B.36.3C.3.3D.9.39.若质点运动满足s=12gt2,则时间(单位:s)在区间(3,3+Δt)内的平均速度等于m/s.(g=10 m/s2)10.一物体的运动方程为s=7t2+8,则该物体在t= 时的瞬时速度为1.11.一辆汽车运动的速度为v(t)=t2-2,则该汽车在t=3时的加速度为.12.一个做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;(3)求t=0 s到t=2 s时的平均速度.题组四用定义求函数在某点处的导数13.若函数f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数是8,则x0= .14.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .15.函数y=2+1在x=0处的导数为.能力提升练一、选择题1.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)设f(x)是可导函数,且limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,则f'(x0)=( )A.2B.-1C.1D.-22.(2019重庆高二月考,★★☆)已知函数y=f(x)是可导函数,且f'(1)=2,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=( )A.12B.2C.1D.-13.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x0处的导数为k,则limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=( )A.kB.-kC.3kD.-3k二、填空题4.(2019陕西宝鸡高二期末,★★☆)设函数f(x)可导,若limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,则f'(1)= .5.(2019广东广州高二期末,★★☆)若f'(1)=a,则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx= .6.(★★☆)如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为;(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为.三、解答题7.(★★☆)某一运动物体,在x s时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=23x3+x2+2x.(1)求在第1 s内的平均速度;(2)求在1 s末的瞬时速度;(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s?8.(★★☆)求函数y=sin x在区间[0,π6]和[π3,π2]上的平均变化率,并比较它们的大小.9.(★★☆)在某赛车比赛中,赛车位移与比赛时间t存在函数关系s(t)=10t+5t2(s 的单位为m,t的单位为s).求:(1)t=20 s,Δt=0.1 s时的Δs与ΔsΔt;(2)t=20 s时的瞬时速度.10.(★★☆)若一物体运动方程如下: s={3t 2+2(t ≥3),29+3(t -3)2(0≤t <3),其中位移s 的单位:m,时间t 的单位:s.求: (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度;(3)物体在t=1时的瞬时速度.答案全解全析 基础过关练1.D 由题意,可得平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2(x 0+Δx )-2x 0Δx=2,故选D.2.B 函数f(x)=x 2+x 从x=-1到x=2的增量为Δy=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为Δy Δx =62-(-1)=2,故选B.3.A 易知f(1)=3, f(3)=1,因此平均变化率为f (3)-f (1)3-1=-1,故选A.4.B limℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ=f'(x 0),故结果仅与x 0有关,而与h 无关. 5.C lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =f'(1)=3,故选C.6.A lim Δx →0f(12)-f(12+Δx)Δx=-f'(12)=-2+ln22×12=-2-ln 2,故选A.7.A limΔx →0f (1+Δx )-f (1)3Δx=13·limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=13f'(1).8.A s(3)=12,s(3.3)=13.89,∴平均速度v =s (3.3)-s (3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.9.答案 (30+5Δt)解析 Δs=12g ×(3+Δt)2-12g ×32=12×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,则v =ΔsΔt=30+5Δt.10.答案114解析 设该物体在t 0时的瞬时速度为1,由题意可得Δs Δt=7(t 0+Δt )2+8-(7t 02+8)Δt =7Δt+14t 0,故limΔt →0ΔsΔt =lim Δt →0(7Δt+14t 0)=14t 0,令14t 0=1,可得t 0=114,即在t=114时的瞬时速度为1. 11.答案 6 解析Δv Δt=(3+Δt )2-2-(32-2)Δt=6+Δt,故limΔt →0ΔvΔt =lim Δt →0(6+Δt)=6,即该汽车在t=3时的加速度为6.12.解析 (1)s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt.当Δt →0时,s (Δt )-s (0)Δt→3,所以此物体的初速度为3 m/s. (2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. 当Δt →0时,s (2+Δt )-s (2)Δt→-1,所以t=2 s 时的瞬时速度为-1 m/s. (3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1(m/s).13.答案 1解析 根据导数的定义知, f'(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx →02(x 0+Δx )2+4(x 0+Δx )-(2x 02+4x 0)Δx=limΔx →04x 0·Δx+2(Δx )2+4ΔxΔx=lim Δx →0(4x 0+2Δx+4) =4x 0+4=8, 解得x 0=1. 14.答案 2解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=a Δx,ΔyΔx =a,∴limΔx →0ΔyΔx=a,∴f'(1)=a=2.15.答案 0解析 Δy=√(0+Δx )2+1-√0+1=(Δx)2√(Δx)2+1+1 =(Δx)2√(Δx)+1+1,∴ΔyΔx =√(Δx)2+1+1,∴y'x=0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0√(Δx)2+1+1=0.能力提升练一、选择题1.A limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=lim Δx→0f[x0+(-Δx)]-f(x0)-Δx=f'(x0)=2.2.C 由题意可得limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=1 2limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=12f'(1),因为f'(1)=2,所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=12×2=1.3.D 由题意,可得limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=lim ℎ→0[(-3)×f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ]=-3×limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ=-3f'(x0)=-3k,故选D.二、填空题4.答案 3解析因为limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,所以13limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=1,即13f'(1)=1,故f'(1)=3.5.答案 2a 解析 lim Δx →0f (1+2Δx )-f (1)Δx=2limΔx →0f (1+2Δx )-f (1)2Δx =2f'(1)=2a.6.答案 (1)12(2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.(2)由题中函数f(x)的图象知, f(x)={x+32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)-f (0)2-0=3-322=34.三、解答题7.解析 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 f (1)-f (0)1-0=113m/s.(2)Δy Δx=f (1+Δx )-f (1)Δx=23(1+Δx )3+(1+Δx )2+2(1+Δx )-113Δx=6+3Δx+23(Δx)2. 当Δx →0时,ΔyΔx →6,所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s. (3)设物体在x 0 s 时的速度为14 m/s, 则Δy Δx=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=23(x 0+Δx )3+(x 0+Δx )2+2(x 0+Δx )-(23x 03+x 02+2x 0)Δx=2x 02+2x 0+2+23(Δx)2+2x 0·Δx+Δx.当Δx →0时,ΔyΔx→2x 02+2x 0+2,令2x 02+2x 0+2=14,解得x 0=2(负值舍去),即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s. 8.解析 y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率为sin π6-sin0π6-0=3π,在[π3,π2]上的平均变化率为sin π2-sinπ3π2-π3=3(2-√3)π.因为2-√3<1,所以3π>3(2-√3)π,故函数y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率较大. 9.解析 (1)Δs=s(20+Δt)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m),Δs Δt=21.050.1=210.5(m/s).(2)Δs Δt=10(20+Δt )+5(20+Δt )2-(10×20+5×202)Δt=5(Δt )2+210ΔtΔt=5Δt+210,当Δt →0时,Δs Δt→210,即在t=20 s 时的瞬时速度为210 m/s.10.解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt=482=24(m/s).(2)求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为Δs Δt=s (0+Δt )-s (0)Δt=29+3[(0+Δt )-3]2-29-3×(0-3)2Δt=3Δt-18,∴物体在t=0时的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-18)=-18,即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率. ∵物体在t=1附近的平均变化率为Δs Δt =s(1+Δt)-s(1)Δt=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2Δt=3Δt-12,∴物体在t=1时的瞬时变化率为lim Δt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.。
高中数学1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即
������x →0
������������������
f (x 0 +������x )-f (x 0 ) ������x
= ������������������
记作 f′(x0)或 y′|x=x , 即 f′(x0) =
0
Δy lim Δ x →0 Δx
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
反思求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄 清自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy,求平均变化率的主要步 骤是:
题型一
题型二
题型三
题型一
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1.函数的变化率
定义 平 均 变 化 率 瞬 时 变 化 率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为
2.导数的概念
f(x0 +Δx)-f(x0 ) , 我们称它为函数 y Δx Δ x →0
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim lim
Δy Δ x →0 Δx
=
= f(x)在 x = x0 处的导数, =
f(x0 +Δx)-f(x0 ) lim . Δx Δ x →0
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x )从 瞬时 变化率
������x →0
x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即 ������������������
f (x 0 +������x )-f ( x 0 ) ������x
刻画函数值在 x0 点附近变化 的快慢
0
Δ������ ������(������0+Δ������)-������(������0) = lim . Δ������ Δ������ →0 Δ������ Δ������ →0
关于导数应注意以下几点 : ①Δx→0 是指 Δx 从 0 的左右两侧分别趋向于 0,但永远不会为 0. ②令 x=x0+Δx,得 Δx=x-x0,于是 f'(x0)= lim f'(x0)= lim
π 2
π 2
(1)比较平均变化率的大小,可按作差法或作商法的步骤进行,关 键是对差式进行合理的变形,以便探讨差的符号. (2)平均变化率的大小可说明函数图象的陡峭程度. (3)由于 Δx 可正可负,在比较大小时需分类讨论.
������(������0+Δ������)-������(������0) 意义相同. Δ������ Δ������ →0 ������(������)-������(������0) ,与概念中的 ������- ������0 ������ →������ 0
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目标引航
自主预习
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典型考题
随堂练习
【做一做 2 】 设函数 y=f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx) (a,b 为常数),则 f'(x0)=
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平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1)
表示.
x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是相对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代替 x2同样Δy=f(x2)-f(x1)
y f (x2 ) f ( x1)
此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 v
趋近于确定值– 13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时
速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 t的0 瞬时速
度为 lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
探究: 运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 这段时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ] 这段时间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t=–0.01时, v 13.051
当△t=0.01时, v 13.149
当△t=–0.001时, v 13.0951
当△t=0.001时, v 13.104 9
例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程 问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问 题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关， 更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。
你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比 赛的瞬间.已知起跳 ts后, 运动员相对于水面的高
度 h 单位 : m 可用函数
x
x2 x1
观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
直线AB的斜率
A
x概念
在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员 在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
当△t=–0.000 1时, v 13.099 51 当△t=0.000 1时,v 13.100 49
当△t=–0.000 01时, v 13.099 951 当△t=0.000 01时,v 13.100 049
当△t=0.000 001时,
当△t=–0.000 001时,v 13.099 995 1 v 13.100 004 9
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解： v h t
h(2 t) h(2) 13.1 4.9t t
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
o
t
思考：
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
并思考下面的问题:
49
h( 65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有
什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在
这段时间里的运动状态.
现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越
来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数
关系是 V (r) 4 r3
3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么
r(V
)
3
3V
4
我们来分析一下:
3V r(V ) 3
4
当V从0增加到1L时,气球半径增加了r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场 的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了 科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。
背景介绍
微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别 从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现， 此后，微积分得到了广泛应用。
h t 4.9t 2 6.5t 10表
示.如何求他在某时刻的 速 度 ?他 距水面的最大 高度是多少?
1.了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵. 2.导数概念的实际背景，导数的思想及其 内涵.（重点）
探究点1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发
1 0
当V从1L增加到2L时,气球半径增加了r(2) r(1) 0.16(dm)
气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
21
显然 0.62>0.16
思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
解析： r(V2 ) r(V1)
V2 V1
问题2 高台跳水
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
v h 13.1 4.9t t
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于 一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,
平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的
高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：
秒）存在函数关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间
段内的平均速度粗略地
描述其运动状态?
o
t
请计算0 t 0.5和1 t 2时间里的平均速度v :
解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 h