高等代数(张禾瑞版)备课教案-第5章矩阵

第五章 矩 阵

教学目的：

1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。

2. 了解几种特殊矩阵的性质。 教学内容：

5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等

我们将在一个数域上来讨论。令F 是一个数域。用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵

A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛a a

a a

a a a a a mn m m n n

2

1

222

2111211 叫做F 上一个矩阵。A 也简记作（a ij ）。为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。

一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。

F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。

以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。

我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。 先引入前两种运算。

2 矩阵的线性运算

定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。 注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。 以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。

现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。

3 矩阵线性运输的规律

A+B=B+A ；

(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0； a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；

这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。

利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：

A —B=A+（—

B ）。

于是有

A+B=C ⇔A=C —B 。

由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4 乘法

定义 3 数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij ) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I 行第j 列（I=1,2,…，m; j=1,2, …p ） 的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和： c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。

注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子:

⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0512******** =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅+-⋅-⋅-+⋅+⋅⋅+⋅-+-⋅-⋅+⋅-+⋅0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--81570. 5 矩阵乘法的运算规律：

对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。 两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如：

00000002121111111=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 p ≠ m 时 A mn B np 有意义，但B np A mn 没有意义。其次，A mn B np 和B nm A mn 虽然有意义，但是当m ≠n 时，头一个乘积是m 阶矩阵而第二个是n 阶矩阵，它们不相等。最后，A nn B nn 和B nn A nn 虽然都是n 阶矩阵，但它们也未必相等。 例如

.5718

13321221⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ .7514122113

32

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛- 但是距阵乘法满足结合律:

(AB)C=A(BC)

事实上,可以假定

A=(a ij )mn ,B=(b ij )np , C=(c ij )pq ,

那么(AB)C 和A(BC)都是m*n 距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(u ij ), BC=V=(v ij ). 由距阵乘法知,

u

il

=

b

a kl

n

k ik

∑=1

,

c b v

lj p

l kl kj

∑==1

,

因此(AB)C=UC 的第I 行第j 列的元素是 (1)

c

b a

c u ij

ki

n

k ik

p

l lj

p l il

)(1

1

1

∑∑∑====

.11

c

b a lj

kl

p l n

k ik

∑∑===

另一方面, A(BC)=AV 的第I 行第 j 列的元素是 (2)

)(1

1

1

c b a v

a lj p

l kl n

k ik kj

n

k ik

∑∑∑====

.11

c

b a lj

kl

n k p

l ik

∑∑===

由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.

我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵

1 0… 0 0 1… 0 ………… 叫做n 阶单位距阵 ，记作I n ,有时简记作I. I n 显然有以下性质：

I n A np =A np ; A mn I n =A mn .

距阵的乘法和加法满足分配律：

A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;

这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。

距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律：

a(AB)=(aA)B=A(aB).

给了任意r 个距阵A 1,A 2,…… A r ,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积A 1A 2……A r 有完全确定的意义。特别，一个n 阶正方阵A 的r 次方（r 是正整数）有意义

个r r

A AA A

=

我们再约定

A 0=I

这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。 设

f(x)=a 0+a 1+……+a m x m