线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件
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时线段的垂直平分线的性质与判定课件
如果一条直线上的点到线 段两个端点的距离相等， 那么这条直线是这条线段 的垂直平分线。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
学习垂直平分线的注意事项
理解定义
要深入理解垂直平分线的定义，掌握其几何意义 和性质。
掌握性质
要牢记垂直平分线的性质，并能够灵活运用。
培养能力
要通过练习培养自己的分析问题和解决问题的能力。
如何更好地掌握垂直平分线的知识
垂直平分线的定理
定理1
如果一条直线是线段AB的垂直平 分线，那么这条直线上的任意一 点到A和B的距离相等。
定理2
如果一条直线不是线段AB的垂直 平分线，那么这条直线上任意一 点到A和B的距离之差与到AB的距 离相等。
02 线段垂直平分线 的画法
利用尺规作图
确定线段中点
首先确定线段的中点，标记为C。
垂直平分线的数学表示
假设线段AB，点C是AB的中点，那么 AC和BC的垂直平分线就是直线CB。
垂直平分线的性质
性质1
垂直平分线上的任意一点到线段 两端点的距离相等。
性质2
线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质3
垂直平分线是线段最短的路径。即 在给定两点A和B的情况下，AC和 BC的垂直平分线是A和B之以线段的中点 C为起点，绘制直线。
确定垂直平分线
以中点C为圆心，以线段长度为 半径，画一个圆。与第一步绘制 的直线相交于两点A和B。连接这 两点，得到的直线即为线段的垂
直平分线。
利用计算机软件作图
选择绘图软件 绘制线段
选择一个具有绘图功能的计算机软件，如Microsoft Visio、 AutoCAD等。
在物理学中的应用
力学
在物理学中，垂直平分线被广泛应用于力学中。例如，在研究物体的运动时，垂 直平分线可以用于确定物体的重心和转动惯量。
16.2.1 线段垂直平分线的性质课件(共14张PPT) 冀教版数学八年级上册
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等！
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
探究新知
符号语言： ∵直线l 垂直平分AB，点P在l上 ∴ PA =PB 作用：该结论常用来证明两条线段相等.
探究新知
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P， 使得AP+BP最短.
探究新知
理由： 在l上另取一点M，连接MA,MB,MA' 由作图可知，l是AA'的中垂线 ∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等） ∴AP+BP=A'P+BP=A'B
AM+BM=A'M+BM 由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM 即AP+BP最短
巩固练习
探究新知
猜想： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等！
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
巩固练习回顾反思Fra bibliotek课后作业
1.课本P 114 A组2,3题，B组1,2题 2.完成相关的练习第16章 第2节 第1 课时
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
学习目标
1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 3.会作最短路径问题.
线段垂直平分线的性质及判定定理ppt课件
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?
驶向胜利 的彼岸
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
l
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
线段的垂直平分线的性质课件共17张PPT
A
P
O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
l
P 用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
课堂练习
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
P
O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？
两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
P
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
与一条线段两个端点距离相
等的点，在这条线段的垂直平分
线上．
A C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？
能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？
P
在线段AB 的垂直平分线l 上的
点与A，B 的距离都相等；反过来，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
l
P 用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等．
课堂练习
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等．
A
P3 P2
P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB，
与A，B 的距离相等的点都在直线l
上，所以直线l 可以看成与两点A、 A
线段的垂直平分线的性质与判定PPT教学课件
图4
(1)这样的仓库唯一吗？ (2)请多画出几个仓库的位置，它们在一条直线上吗，如果 在，这条直线和 AB 有什么关系？ (3)若要求仓库到两城的距离为 15 千米，则仓库的位置唯一 吗？该如何确定？
答案：略
1．在运算线段垂直平分线的性质定理时，注意是两个条件： 垂线和中点．
2．“点”是指线段垂直平分线上的任意一点，即其上每一 点都到(被垂直平分)线段的两个端点的距离相等．
线粒体
双层膜。是细胞呼吸（有氧呼吸）和能量代谢 的中心。细胞生命活动所需能量的95%来自线 粒体。
叶绿体
双层膜（光合膜）。 是绿色植物细胞进行光合作用的场所。 是重要的有色质体。 是植物细胞和藻类细胞中一类特殊的 细胞器，只存在进行光合作用的细胞 中。
液泡
液泡膜 液泡
细胞液
单层膜。含有无机盐、糖类、蛋白质、色素等。
3．线段的垂直平分线
第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1．线段垂直平分线的性质定理及逆定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ___相__等___． 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的__垂__直__平__分__线___上．Leabharlann 2．用尺规作线段的垂直平分线
中心体
没有膜。与细胞的有丝分裂 有关。存在于动物细胞和 某些低等植物的细胞(团藻)。
细胞骨架
骨架结构由肌动蛋白构成的蛋白质纤维（微丝）或 微管组成。与细胞运动、分裂、分化以及物质运输、 能量交换、信息传递等生命活动密切相关。
细胞溶胶
细胞质中除细 胞器以外的液体 部分为细胞溶胶。 细胞骨架位于细 胞溶胶中。内有 多种酶，是多种 代谢活动的场所。
图2
线段垂直平分线性质定理的逆定理(难点) 3.如图 3，AC＝AD，BC＝BD，则( B )
(1)这样的仓库唯一吗？ (2)请多画出几个仓库的位置，它们在一条直线上吗，如果 在，这条直线和 AB 有什么关系？ (3)若要求仓库到两城的距离为 15 千米，则仓库的位置唯一 吗？该如何确定？
答案：略
1．在运算线段垂直平分线的性质定理时，注意是两个条件： 垂线和中点．
2．“点”是指线段垂直平分线上的任意一点，即其上每一 点都到(被垂直平分)线段的两个端点的距离相等．
线粒体
双层膜。是细胞呼吸（有氧呼吸）和能量代谢 的中心。细胞生命活动所需能量的95%来自线 粒体。
叶绿体
双层膜（光合膜）。 是绿色植物细胞进行光合作用的场所。 是重要的有色质体。 是植物细胞和藻类细胞中一类特殊的 细胞器，只存在进行光合作用的细胞 中。
液泡
液泡膜 液泡
细胞液
单层膜。含有无机盐、糖类、蛋白质、色素等。
3．线段的垂直平分线
第 1 课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1．线段垂直平分线的性质定理及逆定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ___相__等___． 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的__垂__直__平__分__线___上．Leabharlann 2．用尺规作线段的垂直平分线
中心体
没有膜。与细胞的有丝分裂 有关。存在于动物细胞和 某些低等植物的细胞(团藻)。
细胞骨架
骨架结构由肌动蛋白构成的蛋白质纤维（微丝）或 微管组成。与细胞运动、分裂、分化以及物质运输、 能量交换、信息传递等生命活动密切相关。
细胞溶胶
细胞质中除细 胞器以外的液体 部分为细胞溶胶。 细胞骨架位于细 胞溶胶中。内有 多种酶，是多种 代谢活动的场所。
图2
线段垂直平分线性质定理的逆定理(难点) 3.如图 3，AC＝AD，BC＝BD，则( B )
线段的垂直平分线课件
定理应用
在几何作图和证明中，垂直平分线是重要的工具之一。通过 垂直平分线，我们可以找到一个点到线段两端点距离相等的 点，从而解决一些几何问题。
在实际生活中，垂直平分线的应用也十分广泛。例如，在建 筑、道路规划、通信等领域中，常常需要用到垂直平分线的 性质来解决问题。
PART 03
线段垂直平分线的作法
垂直平分线的判定
判定1
若一条直线过线段中点且与线段 所在直线垂直，则该直线为线段
的垂直平分线。
判定2
若一条直线与线段上的两点距离相 等，且该直线与线段所在直线垂直 ，则该直线为线段的垂直平分线。
判定3
若一条直线与线段所在直线垂直， 且该直线上的点到线段两端点的连 线形成的角均为直角，则该直线为 线段的垂直平分线。
详细描述
首先，确定已知线段和该线段的垂直 平分线。然后，使用直尺或三角板， 将垂直平分线与线段的两个端点连接 。最后得到的直线即为所求的垂直平 分线。
PART 04
线段垂直平分线的性质在 生活中的应用
REPORTING
三角形中的垂直平分线
总结词
三角形中的垂直平分线有助于确定顶点的位置和三角形的形状。
详细描述
在三角形中，垂直平分线通过顶点将相对边等分，有助于确定顶点的位置和三角形的形状。在几何学中，垂直平 分线的性质常用于解决与三角形相关的问题。
地球上的经纬线
总结词
地球上的经纬线是垂直平分线的应用实例，用于确定地理位置和方向。
详细描述
经纬线是地球表面上的垂直平分线系统，用于确定地球上任意地点的地理位置和方向。经纬线交汇的 点称为经纬度，是地理坐标的基础。
总结词：操作简单，适合快 速作图。
01
第一步，将三角板的一条直
垂直平分线的性质ppt课件
解:
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线 段的两个端点的距离相等）
A D B
∵△BCE周长=CE+EB+BC 又∵AC=CE+EA=CE+EB
∴BC=△BCE周长-(CE+EB) =△BCE周长-AC =10cm
E C
21
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
22
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上
点P在线段BC的 垂直平分线上
A M
M’
P
PA=PB
PB=PC
B
PA=PB=PC
∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
C N N’
18
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90
度，DE是AB的垂直平分线，连
接AE，∠1：∠2=1：2，求∠B
的度数。
C
E
B
D
A
19
1题图
13
2、如图，在△ABC中，BC的
中垂线交斜边AB于D，图中相
等的线段有（ ）
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
1
2
14
《线段的垂直平分线》课件
详细描述
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
THANK YOU
《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
THANK YOU
《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
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A
M E
B F N
精品
7
2、如图线段MN被直线AB
√ 垂直平分，则ME=NE M
AE
B
N
精品
8
3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
精品
9
4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
解：∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点 D
和这条线段两个端点的距离相等）．
E
∵AC=8cm（已知）,
∴AE+EC=BE+EC=8cm （等式性质）.
又∵ BC=6cm（已知）
有垂直平B 分 线，就有等 腰三角形的
C
∴ C△BEC=BE+EC+BC
产生
=8+6=14cm
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
精品
4
定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等。
M
P
A
B
精品
N5
M P
A
B
N
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。 ）
精品
6
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF
相等的所有点的集合
两个端点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
精品
18
精品
19
精品
2
动起来！
已知直线l垂直平分线段AB，垂足为C；在l上
l
任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线
上的点与这条线段两个端点 A
的距离相等。
●P1
B
C
精品
3
猜测（命题）1：线段垂直平分线上的点与
这条线段理
精品
1
1. 理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判 定，并能利用它们来进行证明或计算。
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定 的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。
3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学 的能力。
1.掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2.运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是
否也可以得证?
精品
驶向胜利 的彼岸
11
逆定理
逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
同两个理端，点距离相等的点，在这条线段的垂
∵直点平P分在线B上C的）垂直平分线上
结∴论P：B=三PC角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三 角∴形P三A=个PB顶=P点C 的距离相等。
精品
16
今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
精品
17
角的平分线
A
D
C
P
线段的垂直平分线
M P
O
E
B
定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
A
B
N
定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相
的点，在这个角的平分线上。
等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离 线段的垂直平分线可以看作是和线段
A
M
B
C
精品
15
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平
A
分线交于点P。
（21）求点证P是：否PA也=在PB边=PACC。的垂直平分线
证上明呢:？由此你能得出什么结论？
P
解∵: 点P在AB的垂直平分线上
∴∵PPAA==PPCB（线段垂直平分线上的点与 B
C
这∴条点线P在段A的C的两垂个直端平点分的线距上离（相与等一）条线段
已知：如图，直线l⊥线段AB,垂足为C, 且AC=CB.
求证：PA=PB
l
证明：∵ l⊥AB 于点C （已知）, ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°（垂直的定义） P
在 △PAC和△PBC中，
AC=BC（已知）,
∠PCA= ∠PCB（已证）,
PC=PC（公共边）
∴ △PAC ≌△ PBC（SAS）.
AC B
驶向胜利
的彼岸
精品
12
M P
A
B
N
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
精品
13
1、如图PA=PB，则直线MN 是线段AB的垂直平分线。
M
P
A
B
N
精品
14
2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是
线段BC的垂直平分线吗？
精品
10
进步的标志
析思
你能写出定理 “线段垂直平分线上 考
的点与这条线段两个端点距离相等” 分
的逆命题吗? 逆命题 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线
M E
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2、如图线段MN被直线AB
√ 垂直平分，则ME=NE M
AE
B
N
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3、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直 平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？ AB+BD 与DE有什么关系？
A
AB=AC=CE
AB+BD=DE B D C
E
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4 、已知:如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线 交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长A
解：∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点 D
和这条线段两个端点的距离相等）．
E
∵AC=8cm（已知）,
∴AE+EC=BE+EC=8cm （等式性质）.
又∵ BC=6cm（已知）
有垂直平B 分 线，就有等 腰三角形的
C
∴ C△BEC=BE+EC+BC
产生
=8+6=14cm
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
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定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等。
M
P
A
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M P
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∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。 ）
精品
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1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF
相等的所有点的集合
两个端点距离相等的所有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
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动起来！
已知直线l垂直平分线段AB，垂足为C；在l上
l
任取一点P，连结PA、PB；
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB
P1A=P1B
……
P
由此你能得到什么规律？
命题：线段垂直平分线
上的点与这条线段两个端点 A
的距离相等。
●P1
B
C
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猜测（命题）1：线段垂直平分线上的点与
这条线段理
精品
1
1. 理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判 定，并能利用它们来进行证明或计算。
2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定 的证明过程，体验逻辑推理的数学方法。
3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学 的能力。
1.掌握线段垂直平分线的性质和判定。
2.运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。
上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB
的中点,),然后证明另一个结论正确.
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是
否也可以得证?
精品
驶向胜利 的彼岸
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逆定理
逆定理 与一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
同两个理端，点距离相等的点，在这条线段的垂
∵直点平P分在线B上C的）垂直平分线上
结∴论P：B=三PC角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三 角∴形P三A=个PB顶=P点C 的距离相等。
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今天学习了线段的中垂线的性质、 及逆定理，你能由此联想到前面学过的 什么知识与此类似吗？
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角的平分线
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D
C
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线段的垂直平分线
M P
O
E
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定理1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
A
B
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定 理 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等 逆定理 和一条线段两个端点距离相
的点，在这个角的平分线上。
等的点，在这条线段的垂直平分线上。
角的平分线是到角的两边距离 线段的垂直平分线可以看作是和线段
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如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平
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分线交于点P。
（21）求点证P是：否PA也=在PB边=PACC。的垂直平分线
证上明呢:？由此你能得出什么结论？
P
解∵: 点P在AB的垂直平分线上
∴∵PPAA==PPCB（线段垂直平分线上的点与 B
C
这∴条点线P在段A的C的两垂个直端平点分的线距上离（相与等一）条线段
已知：如图，直线l⊥线段AB,垂足为C, 且AC=CB.
求证：PA=PB
l
证明：∵ l⊥AB 于点C （已知）, ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°（垂直的定义） P
在 △PAC和△PBC中，
AC=BC（已知）,
∠PCA= ∠PCB（已证）,
PC=PC（公共边）
∴ △PAC ≌△ PBC（SAS）.
AC B
驶向胜利
的彼岸
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∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
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1、如图PA=PB，则直线MN 是线段AB的垂直平分线。
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A
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2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是
线段BC的垂直平分线吗？
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进步的标志
析思
你能写出定理 “线段垂直平分线上 考
的点与这条线段两个端点距离相等” 分
的逆命题吗? 逆命题 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
P
′ 如果是.请你证明它.
已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线