【非常全面】实际问题与一元一次方程(十大题型总结)

第三章一元一次方程

3.4 实际问题与一元一次方程

＊用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：审、设、列、解、检、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚。

＊常见列方程解应用题的几种类型

题型一【和、差、倍、分问题】

常见以下四种题型：一般和差倍分问题、年龄问题、等积变形问题、比赛积分问题

1、一般和差倍分问题

【例题1】某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元?

解：设去年该单位捐款钱数为x。

25000=2x+1000

24000=2x

x=12000（元）

【例题2】旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25％，第二次旅程中用去剩余汽油的40％这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤?

解：设油箱里原有的汽油为x 升

x （1-25％）（1-40％）=25%x+x(1-25%)*40%-1

x=10

2、年龄问题

【例题3】兄弟二人今年分别为25岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍? 解：设x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x 年后兄的年龄是25+x ，弟的年龄是9+x ． 由题意，得2×（9+x ）=25+x ， ∴x=7

答：7年后兄的年龄是弟的年龄的2倍．

【例题4】三位同学甲乙丙，甲比乙大1岁，乙比丙大2岁，三人的年龄之和是41，求甲同学的年龄?

解：设甲得年龄是x,乙得年龄是x-1,丙得年龄是x-1-2

x+x-1+x-1-2=41 求解得 x=15 所以甲得年龄是15岁

3、等积变形问题

【例题5】现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根?

解：设可足够锻造圆柱形机轴x 根 π（0.8×1

2）2

×30=π（0.4×1

2）2

×3x

求解得 x=40

答：可足够锻造圆柱形机轴40根。

【例题6】在一只底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒一只底面直径为10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高?

解：设底面直径为10厘米的圆柱体容器内水的高度为h厘米

则依题意得π×（30÷2）2×8=π×（10÷2）2×h，

解得 h=72．

答：底面直径为10厘米的圆柱体容器内的水有72厘米高．

4、比赛积分问题

【例题7】某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定:每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了多少道题?

解：设这个人选错了x道题，则选对了50-5-x道题

3(50-5-x)-x=103

答：他选错了8道题．

【例题8】某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛?

解：设该班共胜了x场比赛，平了7-x场比赛

3x+（7-x）×1=17

x=5

答：该班共胜了5场比赛.

变式训练：

[变式1] 甲、乙、丙三种货物共有167吨，甲种货物比乙种货物的2倍少5吨，丙种货物比甲种货物的多3吨，求甲、乙、丙三种货物各多少吨?

[变式2] 小华的爸爸现在的年检比小华大25岁、8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄?

[变式3] 将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm，宽为5cm的长方体铁块，求长方体铁块的高度？

[变式4] 有一次数学竞赛共20题，规定做对一题得5分，做错或不做的题每题扣2分，小景得了86分，问小景对了几题？

[变式5] 100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚?

[变式6] 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只?

题型二【商品利润问题】

实际售价＝标价×打折率

利润＝实际售价－成本

×100%

利润率 = 利润

成本

注意：商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打八折出售，即按原标价的80%出售．即商品售价=商品标价×折扣率。

【例题 1】一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？

【解析】利润问题。探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 x 元。等量关系：利润=折扣后的售价—进价，标价为（1+40%）x ，又以八折出售，则折

扣后价格为（1+40%）x×0.8 =0.8(1+40%)x。

【答案】解：设进价为 x 元，由题意可得：

0.8×（1+40%)x—x=15

解得：x=125

答：这种服装每件的进价是 125 元

【例题 2】一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?

【解析】两件衣服共卖了120(＝60×2)元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱.如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.

【答案】本问题中，设盈利25％的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元.根据进价与利润的和等于售价，列出方程

x+0.25x=60

由此得 x=48

类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是一0.25y元，

列出方程 y-0.25y=60

由此得 y=80.

两件衣服的进价是x+y＝128元，而两件衣服的售价是60+60＝120元

进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元

【例题 3】某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品?

，利润为3000x-2000

【解析】利润率 = 利润

成本

【答案】解：设可最低可以打x折出售此商品

3000x?2000

=5%

2000

解得x=0.7,即7折

变式训练：

[变式1] 某商场出售某种文具，每件可盈利2元，为支援贫困山区的小朋友，按7折收给某山区学校，结果每件盈利0.20元。问该文具的进价是每件多少元?

[变式2] 某商品进价1500元，提高40％后标价，若打折销售，使其利润率为20％，则此商品是按几折销售的?

[变式3]某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竟争，商店按售价的九折再让利40元销售，此时仍可获利10％，此商品的进价是多少?

[变式4]某商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少元?

题型三【配套、调配、比例问题】

1、配套问题

这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。

【例1】某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天能生产螺钉1200个或2000个螺母，一个螺钉需要配两个螺母，为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

【解析】根据螺母的个数是螺钉的2倍，列出方程。

【答案】解：设应安排生产螺钉的工人x名，螺母的工人（22-x）名

2000（22-x）=2×1200x

x=10

【例2】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，オ能使每天加工的大小齿轮刚好配套?

【解析】根据小齿轮的个数是大齿轮的3

倍，列出方程。

2

【答案】解：设安排x名工人加工大齿轮，安排（85-x）名工人加工小齿轮

×16x

10(85-x) =3

2

解得x=25

答：25人加工大齿轮，60人加工小齿轮

2、调配问题

这类问题要搞清人数的变化

【例题3】某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间?

【解析】等量关系：根据第一车间人数是第二车间人数的一半。

【答案】解：设从第一车间调x人到第二车间，则第一车间的人数为64-x，第二车间的人数为56+x。

64-x=（56+x）×1

2

x=24

【例题4】有两个工程队，甲队有285人，乙队有183人，若要求乙队人数是甲队人数的三分之一，应从乙队调多少人到甲队?

【解析】等量关系：要求乙队人数是甲队人数的三分之一

【答案】解：设应从乙队调x人到甲队，此时乙队183-x，甲队的人数为285+x。

183-x=（285+x）×1

3

x=66

【例题5】甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍:如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

【解析】等量关系：从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍。

【答案】解：设原来甲车间的人数为x，乙车间的人数为x-200

x+100＝6（x-200-100)

x+100=6x-1800

5x＝1900

x＝380人

3、比例问题

比例分配闻题的一殷思略为:设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系:各部分之和＝总量。

【例题6】甲、乙、丙三位同学向贫困地区的希望小学捐赠图书，已知他们捐赠的图书数之比为7:5:8，且共捐书200本，问三位同学各捐书多少本?

【解析】等量关系：甲、乙、丙共捐书200本

【答案】解：设甲捐书7x本，则乙为5x，丙为8x

7x+5x+8x=200

x=10

则甲捐书70本，乙50本，丙80本。

变式训练：

[变式1] 红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套?共能生产多少套?

[变式2] 甲队人数是乙队入数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人?

[变式3] 甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4:3，乙、丙之比为6:5，入又知甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件?

[变式4] 现用 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或做 22 个盒底，一个盒 身与两个盒底正好配成一个完整的盒子，问用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做 盒底，可以做成一批完整的盒子？

【解析】配套问题。两个等量关系是：（1）做盒身的铁皮张数＋做盒底的铁皮 张数＝190；（2）盒身个数的 2 倍＝盒底个数。第（1）个等量关系不能用来列 方程，设做盒身的铁皮张数为 x ，那么做盒底的铁皮张数可以用含 x 的式子表示 出来，是 190－x ．用第（2）个等量关系列方程。

【答案】解：设用 x 张铁皮做盒身，则有（190－x ）张铁皮做盒底。

根据题意，得 2×8x ＝22×（190－x ）

解这个方程得 x ＝110 所以，190－x ＝80（张）

答：用 110 张铁皮做盒身，80 张铁皮做盒底可以做成一批完整的盒子。

题型四【工程问题】

这类问题中常常把总工作量看做“1”. 工作量=工作效率×工作时间 工作效率= 工作量工作时间

工作时间=

工作量

工作效率

【例题1】整理一批图书，由一个人做要40h 完成.现计划由一部分人先做

4h ，然后增加2人与他们一起做8h ，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作?

【解析】如果把总工作量设为1，则人均效率(一个人1h 完成的工作量)9 为1

40，x 人先做4h 完成的工作量4x

40，增加2人后再做8h 完成的工作量为8（x+2）

40

，这两个工

作量之和应等于总工作量。

【答案】解：设安排x 人先做4h

4x

40

+ 8（x+2）

40

=1

解方程得： x=2 答：应先安排2人工作.

【例题2】一项工作甲单独干要3天完成，乙单独干要6天完成，甲、乙先合作干了1天，余下的由乙单独干，还需几天可完成?(列出方程，并估计结果)

【解析】考察工程问题，设工作工作总量为“1”，甲的工作效率为1

3

，乙的工作效率为1

6

。

【答案】解：设还需x 天可完成。 （ 13+1

6

）1×2+1

6

x=1

x=3

【例题3】一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

解：设打开丙管后x 小时可注满水池，

由题意得，(＋)(x ＋2)－＝1

解这个方程：x ＝24

13

答：打开丙管后2小时可注满水池。

【例题4】食堂存煤若干吨,原来每天烧4吨,用去15吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了10天,求原存煤量.

【解析】工程问题。等量关系：改进后比原来多烧了10天。 【答案】

解：设原存煤量为x 吨，则原来可以烧x 4

天，改进后共烧了（154

+

x?15

2

）天

(154+

x?15

2

)-x

4=10 x=55

变式训练：

[变式1] 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？

[变式2] 一水池,单开进水管三小时可将水池注满,单开出水管四小时可将水池放完，现对空水池先打开进水管两小时，再打开出水管，问几个小时可以将水池注满？

[变式3] 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时 可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空， 若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水 池?

题型五【行程问题】

行程问题

相遇问题

路程＝速度×时间

相遇问题：甲和乙从两地同时出发,

相向而行，经过一段时间,必然会在

途中相遇，这类题型就把它称为相

遇问题。

甲行距+乙行距=相遇路程

（相遇路程＝速度和×相遇时间）

甲走的路程＋乙走的路程

＝两地距离追及问题

路程＝速度x时间

“快车”和“慢车”从两地同时出

发,同向而行，经过一段时间,“快”

追上“慢”，这类题型就把它称为

追及问题。

慢车行距+追及距离=快车行距

（追及距离＝速度差×追及时间）

同地不同时出发：前者走的

路程＝追者走的路程

同时不同地出发：前者走的

路程＋两地距离＝追者所

走的路程

顺逆流问题

（航行问题）

顺水(风)速度＝静水(风)速度+水

流(风)速度

逆水(风)速度＝静水(风)速度一水

流(风)速度

顺流的距离＝逆流的距离

1、一般行程问题(相遇追及问题)

【例题1】在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米。（1）两人同时同地相向起胞，多少分钟后俩人相遇

（2）如果同时同地同向起跑，多少分钟相週?

（1）解：设x分钟后俩人相遇

320x+280x=800

x=4

3

（2）解：设x分钟后俩人相遇

(320-280）x=800

x=20