平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

突破点(一) 平面向量的有关概念

知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量

平面向量的有关概念

[典例] (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使

a

|a|

＝

b

|b|

成立的充分条件是( )

A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

[解析] (1)因为向量

a

|a|

的方向与向量a相同，向量

b

|b|

的方向与

向量b相同，且

a

|a|

＝

b

|b|

，所以向量a与向量b方向相同，故可排除

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选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |

成立的充分条件．

(2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

[答案] (1)C (2)D

[易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

突破点(二) 平面向量的线性运算

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1．向量的线性运算：加法、减法、数乘

2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .

平面向量的线

性运算

[例1] (1)在△中，AB ＝，AC ＝.若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )

A.13b ＋23c

B.53c －23b

C.23b －13c

D.23b ＋13

c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12

NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋29

AC ，则实数m 的值是________． [解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝

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23BC ＝23(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13

c ，故选D. (2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29

AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13

. [答案] (1)D (2)13

[方法技巧]

1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．

平面向量共线定

理的应用

[例2] 设两个非零向量a和b不共线．

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D 三点共线．

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[解] (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线．

又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．

(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a ＋kb)，

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即⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线．

[方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用

(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

突破点(三) 平面向量基本定理

平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向

量的一组基底．

基底的

概念

[例1] 如果e12

向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2

D．e1＋3e2与6e2＋2e1

[解析] 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则

⎩⎪

⎨

⎪⎧1＝λ，

1＝0

无解；选项B

中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则

⎩⎪

⎨

⎪⎧1＝λ，

－2＝2λ

无解；选项C中，设e1

＋e2＝λ(e1－e2)，则

⎩⎪

⎨

⎪⎧1＝λ，

1＝－λ

无解；选项D中，e1＋3e2＝

1

2

(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] D

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