初一数学组拓展性课程案例

分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想实践研究的反思教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。

数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。

而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。

《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。

对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。

基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。

而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。

数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。

而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。

“合理的联系”实践可表示为：课程目标一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。

二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。

三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。

课程实施第1讲分类讨论方法在绝对值中的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。

分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。

同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。

其中的关键是确定分类的标准。

例1、化简 a a + （a 为实数）。

分析：对于a 应分三种情况讨论： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a ， ， ， 解：原式⎪⎩⎪⎨⎧<=+-==+>=+=），（），（），（00000002a a a a a a a a例2、化简a +2 （a 为实数）。

解：分类：令02=+a ，则2-=a ,原式⎪⎩⎪⎨⎧-<--=+--=->+=），（），（），（22)2(2022a a a a a a例3、化简：12++-x x 。

分析：先求界点。

由02=-x ，得2=x ； 由01=+x ，得1-=x 。

借助数轴分类：解：原式⎪⎩⎪⎨⎧-<--=+---≤≤-=++-->-=++-=），（），（），（112)1()2(2131)2(2112x x x x x x x x x x例4、解关于x 的方程ax x 8121-=-。

分析：由a x x 82-=-得41=a ， 显然41=a 为界点。

解：（1）当41=a 时，原方程的解为2≠x 的一切实数； （2）当41≠a 时，原方程化为)8(2a x x -±=-， 由a x x 82-=-得41=a ，矛盾，舍去； 由)8(2a x x --=-得14+=a x ， 综上可见：41=a 时，原方程的解为2≠x 的一切实数；41≠a 时，原方程的解为14+=a x 。

反思：分类讨论方法是一种重要的数学方法，也是一种重要的解题策略，许多数学问题很难从整体上去解决，但只要将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个解决，分类讨论的思想实质上就是各个击破的策略。

其思维过程是：分析题意 确定分类 逐个解决 归纳总结作业：1、a 为实数，化简a a 2-。

2、x 为实数，化简52++-x x 。

3、解关于x 的方程6121-=-x a x （a 为实数）。

答案：1、 原式⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=），（），（），（03000a a a a a2、 界点：5-=x ，2=x 。

当2>x 时，原式3252+=++-=x x x ；当25≤≤-x 时，原式752=++-=x x ； 当5-<x 时，原式32)5(2--=+--=x x x 。

3、 由62-=-x a x 得3=a ， 显然3=a 为界点。

当3=a 时，原方程的解为6≠x 的一切实数；当3≠a 时，原方程转化为)6(2-±=-x a x ，由62-=-x a x 得3=a ，矛盾，舍去；由)6(2--=-x a x 得3-=a x 。

归纳可见：3=a 时，原方程的解为6≠x 的一切实数；3≠a 时，原方程的解为3-=a x 。

考察第一次讲授时分类讨论方法导入时简单例子较多，第二次讲授时作了提炼。

第一次讲授时例4为：化简3221-+--+x x x ，评课时大家认为初一学生在探究例4时要求太高，为此引用了解x 的方程ax x 8121-=-让学生在化简时学会运用分类方法，也学会运用分类方法去解方程中涉及到的问题，让学生亲身感受这一过程的变式是发展、提升运用数学方法的关键。

第71讲最后的反思再一次明确分类讨论方法思维的过程，可谓画龙点睛，实现了从具体简单到变式复杂，从抽象理论到实践运用，从具体实践到抽象理论之间的铺排。

第2讲 分类讨论方法在线段和角中的应用例1、如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA=20cm ，AB=60cm ，BC=10cm （如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当PA=2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的运动速度．（2）若点Q 运动速度为3cm/s ，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ．（3）当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点E 、F ，求的值．解：（1）①当P 在线段AB 上时，由PA=2PB 及AB=60，可求得PA=40，OP=60，故点P 运动时间为60秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q 的运动速度为50÷60=（cm/s ）； 若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q 的运动速度为30÷60=（cm/s ）．②点P 在线段AB 延长线上时，由PA=2PB 及AB=60，可求得PA=120，OP=140，故点P 运动时间为140秒．若AQ=时，BQ=40，CQ=50，点Q 的运动速度为50÷140=（cm/s ）； 若BQ=时，BQ=20，CQ=30，点Q 的运动速度为30÷140=（cm/s ）．（2）设运动时间为t秒，则t+3t=90±70，t=5或40，∵点Q运动到O点时停止运动，∴点Q最多运动了30秒，当点Q运动到点O时停止运动，故经过5秒两点相距70cm．（3）如图1，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，EF=OF-OE=（OA+AB）-OE=（20+30）-=50-，∴==2．如图2，设OP=xcm，点P在线段AB上，20≤x≤80，OB-AP=80-（x-20）=100-x，EF=OF-OE=（OA+AB）-OE=（20+30）-=50-，∴==2．分析：此题较为复杂，但仔细阅读，读懂题意根据速度公式就可求解．（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，不是静止的，当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40，PB=20．由速度公式就可求出它的运动时间，即是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，这里的三等分点是二个点，因此此题就有二种情况，分别是AQ=时，BQ=时，由此就可求出它的速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为t秒，按速度公式就可解了．（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形．点评：做这类题时学生一定要认真仔细地阅读，利用已知条件求出未知值．学生平时就要培养自己的思维能力．而且要图形结合，与生活实际联系起来，也可以把此题当成一道路程题来对待．例2：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_____秒(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．解：（1）已知∠AOC=60°，所以∠BOC=120°，又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°所以∠CON=∠COM+90°=150°（2）当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行，∴∠AOM=90°，由题意得，10t=90°∴t=9∵∠ONM=60°∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行∴∠NOM=270°由题意得，10t=270°∴t=27延长NO，∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴∠AOD=∠COD=30°，即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，由题意得，10t=300°∴t=30，当NO平分∠AOC，∴∠NOR=30°，即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，∴10t=120°，∴t=12，∴t=12或30；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°－∠AON∠NOC=60°－∠AON所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM－∠NOC=30°分析：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键作业：1、OA,OB,OC是从同一端点O引出的三条不同射线。