主观概率与先验分布
先验分布的确定
3、定分度法与变分度法
基本概念: (1)定分度法:把参数可能取值的区间逐次分为长
度相等的小区间,每次在每个小区间上请专家 给出主观概率. (2)变分度法:该法是把参数可能取值的区间逐次 分为机会相等的两个小区间,这里的分点由专 家确定.
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三、 利用边缘分布m(x)确定先验密度
1、边缘分布m(x) 2、混合分布 3、先验选择的ML-II方法 4、先验选择的矩方法
n
则 被称为mⅡ(x型| 极ˆ) 大 s似up然i先1 m验(x，i |或)简称为ML-
Ⅱ先ˆ 验。 说明：这里将m(x)看成似然函数
24
25
26
4、先验选择的矩方法
在选择π∈Г时，可用矩方法代替极大似然方法。 矩方法应用于当Г有“已知函数形式”。即可利用先验 矩与边缘分布矩之间的关系寻求超参数的估计。这种方 法称为先验选择的矩方法。该方法的具体步骤是：
c c
c
若令π(1)=1，则π(σ)=1/σ，σ>0 它还是一个非正常先验。
例3.19(p101)
45
46
3、用Fisher信息阵确定无信息先验
1.确定无信息先验的更一般方法(Jeffreys(1961)): 设x=(x1,x2,…,xn)是来自密度函数p(x|θ)的一个样本，θ 为p维参数向量，则可用Fisher信息阵的平方根作为θ的无信 息
(
|
x)
exp ( x)2
exp (
/ 2 2 I (0,) ( x)2 / 2 2 d
)
若取后验均值作为0θ的估计，则:
42
ˆE
E( | x)
( | x)d
0
exp
(
x)2
/ 2 2
关于贝叶斯方法的若干研究论文
摘要贝叶斯方法近年来得到广泛应用，尤其在风险分析中发挥了巨大作用，与用传统方法估计风险相比，贝叶斯估计方法较大的提高了估计精度。
本文首先综合了参考的文献资料，了解了关于贝叶斯方法的基本发展过程和各个学派的不同观点，比789地学习，基较了他们的不同，对贝叶斯方法有了了解。
通过对《贝叶斯统计》[][][]本掌握了贝叶斯方法。
在文中详细的介绍了贝叶斯方法的基础理论和企业风险的有关理论，给出了贝叶斯估计方法的基本解题思路和步骤，再结合具体实例，对某纺织厂公司生产两种产品，花呢（A）和华达呢（B）具体生产的决策问题采用贝叶斯期望损益分析法，计算出两种方案的期望值，选取收益最大或损失最小的决策方案为最优决策方案，在不同的自然状态下，再计算其他的指标，例如敏感度分析，风险度。
通过比较，得出方案A 为最优方案，它的收益期望值最大，而风险度相对较小，是决策者的最优选择。
关键字：贝叶斯决策；企业风险；损益分析法；最优决策ABSTRACTBayes’method had been widely applied recent years, especially made great effect in risk analysis. Compared with the traditional method of estimate, Bayes’method had been much exactitude. In this paper, I first synthesis reference literature datum, and comprehend fundamental development process and distinct concepts of every school on Beyes’method. I have get their differences. By studying Bayesian statistics, I mastered Beyes’ method essentially .In this paper I introduce basic theory of Bayes’method and business risk. I give out the thought of essential solving steps, then combine with an instance, as a spinning mill which would produce two different manufactures, flower woolen cloth (A) and gabardine (B). I adopt Bayes’ expectation of loss method to analysis the two manufactures producing, then made a decision, figure out expectation value of the two schemes. Then select a plan which get best profit or least loss. I compute other indexes, for example, probabilities under different stations, tenderness analysis, risk degree of different plans, then compare those indexes, we make a decision. Plan A is the best one. The profit of plan A is the highest and the risk is the lowest. So plan A is the best choice t.Key Words: Bayes’ decision-making; business risk; loss analysis method; best decision目录1 绪论 (1)2 贝叶斯基本理论 (3)2.1贝叶斯公式 (3)2.2贝叶斯推断 (5)2.2.1 条件方法 (5)2.2.2 估计与区间估计 (6)2.2.3 假设检验与似然原理 (8)2.3先验分布的确定 (9)2.3.1 主观概率 (9)2.3.2 利用先验信息确定先验分布 (10)2.3.3 利用边缘分布确定先验密度 (11)2.3.4 无信息先验分布 (13)2.4 贝叶斯决策 (16)2.4.1 决策问题的三要素 (16)2.4.2 决策准则 (18)2.5本章小结 (20)3 贝叶斯在经营决策中的运用并举例论证 (21)3.1企业决策的几种方法 (21)3.2贝叶斯在企业决策的运用 (22)3.3本章小结 (24)4结论 (28)致谢 (29)参考文献 (30)附录1 外文原文 (31)附录2 中文翻译 (37)1 绪论贝叶斯统计起源于英国学者贝叶斯死后发表的一篇论文“论有关给予问题的求解”。
第3篇先验分布的确定
3.假如有历史数据，要尽量利用，帮助形成初步概念， 然后再做一些对比修正，再形成个人信念.
注意：1.利用先验信息确定主观概率没有固定模式； 2.主观概率必须满足概率的3条公理.
总结 1.理解主观概率的定义 2.了解主观概率确定的常用方法
§3.2 利用先验信息确定先验分布 在贝叶斯统计方法中关键的一步是确定先验分布。1.
要进一步分析先验信息.先验信息很分散；柯西分布
先验信息较为集中：正态分布
3.两个先验分布都满足给定的先验信息。
（1）如果两个先验分布差别不大，对后验分布的影响 也不大，那可任选一个。
（2）假如面临两个差异较大的先验分布可供选择时， 应慎重选择。因不同的选择对后验分布的影响也会很大.
三、定分度法与变分度法 两种方法的共同点：通过咨询专家获得各种主观概 率，然后经过整理加工可得到累积概率分布曲线.
例3.12 设总体X～N(, σ2) 其中σ2已知。
取另一正态分布N(μπ,τπ2)作为正态均值的先验分布
则可以算得X的边缘分布为N(μπ,τπ2+σ2)
设X 在给定时条件分布为N ( ,
2 ),
(
)
~
N (
,
2
),
则边缘分布m( x
)
~
N (
,
2
2)
n
由 m( X ) m(xi )
i 1
第三章 先验分布的确定
§3.1 主观概率 §3.2 利用先验信息确定先验分布 §3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度 §3.4 无信息先验分布 §3.5 多层先验
概率的公理化定义
定义:设Ω 为一个样本空间， F为Ω的某些子集组成 的一个事件域，如果对任一事件A∈F，定义在F上 一个实值函数P(A)满足下列条件：
先验分布的确定
先验分布的确定幻灯⽚67 其步骤如下：（1）写出样本的对数似然函数∑∏====ni i n i i x p x p x l 11)|(ln )|(ln )|(θθθ（2）求样本的信息阵pj i l E I j i x ,...,2,1,,)(2|=-=θθθθ2|2(),x l I Eθθθ=-??在单参数(p=1)场合,(3)Θ的⽆信息先验密度为2/1)]([det )(θθπI =1/2()[()]I πθθ=在单参数(p=1)场合,幻灯⽚682122(,,...,)(,),(,).n X x x x N Jeffreys µσθµσ==设是来⾃正态分布的⼀组样本试求的先验2211:()ln[]2i x ni l x e µσθπσ--==∑写出样本的对数似然函数22111(,)ln(2)ln ().22ni i l n x µσπσµσ=?=---∑22222222()()0:(,);20()()ll nE E Fisher I n ll E E µµσσµσσµσσ-- ??==?? -- ??其信息阵42),(det -=?σσµn I22,(,):(,)2.Jeffreys n µσπµσσσ--=∝所以的先验为幻灯⽚6911:,(),:()1;,()2,();,(,);nI I n σµπµσµσσπσσµσπµσσ---=∝=∝∝注当已知当已知当和独⽴幻灯⽚70 例3.22关于成功概率的⽆信息先验分布⾄今已有4种π1(θ)=1 ——正常π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 ——不正常π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正则化后可成为正常π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常注意：1.⼀般说来，⽆信息先验不是唯⼀的.但它们对贝叶斯统计推断的影响都很⼩，很少对结果产⽣较⼤的影响2.任何⽆信息先验都可以采⽤。
贝叶斯统计3.4,3.5教材
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例3.22
关于成功概率的无信息先验分布至今已有4种 π1(θ)=1 π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正常 ——不正常 ——正则化后可成为正常
π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常
注意：1.一般说来，无信息先验不是唯一的.
但它们对贝叶斯统计推断的影响都很小，很少对结 果产生较大的影响
2.任何无信息先验都可以采用。
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总结
1. 掌握贝叶斯假设
2.掌握位置参数和尺度参数的无信息先验分布
3.会用Fisher信息阵确定无信息先验
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§3.5 多层先验
一、多层先验 二、多层模型
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一、多层先验
1.定义
当所给先验分布中超参数难于确定时，可以对超参数 再给出一个先验，第二个先验称为超先验。由先验和 超先验决定的一个新先验称为多层先验。
试求分布参数 与的无信息先验.
取为位置参数, 为尺度参数, 令 1, ln( ), w ln( x), 则有
p( w; , )
1
w
d * 由随机变量函数知, ( ) ( ) 1 , 2 ( ) 1 , d
浙江财经学院本科教学课程经济数学三概率统计精品文档贝叶斯统计34352第三章先验分布的确定31主观概率32利用先验信息确定先验分布33利用边缘分布mx确定先验密度34无信息先验分布35多层先验334无信息先验分布一贝叶斯假设二位置尺度参数族的无信息先验三用fisher信息阵确定无信息先验4所谓参数??的无信息先验分布是指除参数??的取值范围和??在总体分布中的地位之外再也不包含??的任何信息的先验分布
例3.23 设对某产品的不合格品率了解甚少，只知道 它比较小。现需要确定θ的先验分布。决策人经过 反复思考，最后把他引导到多层先验上去，他的思 路是这样的： (1)开始他用(0,1)上的均匀分布U(0,1)作为θ的先 验分布。
决策分析方法和技术
3、数据透视表/图
• 所谓透视表，实际上就是一个三维数据表 格(Multi-dimension table)，让数据沿三个 不同的坐标轴排列，当试图研究不同数据 之间的关系时，透视表使用起来非常方便， 通过它可以从不同角度对数据进行分析， 从而为决策者提供浓缩信息作为参考。
• 熟练运用Excel的都知道它的透视表功能， 通过该功能，可以完成对数据的筛选、排 序和分类汇总等工作。
• 这时一般采用多目标决策方法。例如: ➢化多为少的方法 ➢分层序列法AHP ➢直接找所有非劣解的方法等。
⑤多人决策情况（群体决策）
• 在同一个方案内有多个决策者，他们的利 益不同，对方案结局的评价也不同。
• 这时采用对策论、冲突分析、群决策等方 法。
• 除上述各种方法外，还有对结局评价等有 模糊性时采用的模糊决策方法和决策分析 阶段序贯进行时所采用的序贯决策方法等。
• 贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主 观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先 估计一个值，然后根据推断结果不断修正。正是因为它的 主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。
• 贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间， 无法得到广泛应用。只有等到计算机诞生以后，它才获得 真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观 判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运 算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯 推断创造了条件，它的威力正在日益显现。
图2.8 Excel透视图
• § 2-0 简单的决策分析技术 • § 2-1 决策分析方法概述 • § 2-2 主观概率和先验分布 • § 2-3 效用、损失和风险 • § 2-4 确定型决策技术 • § 2-5不确定型的决策分析技术
贝叶斯讲义先验分布的确定解析
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说明：如果有两个甚至多个先验分布都满足给定的先 验信息，则要看情况选择：假如这两个先验分布差异 不大，对后验分布影响也不大，则可任选一个；如果 我们面临着两个差异极大的先验分布可供选择时，一 16 定要根据实际情况慎重选择。
三、定分度法与变分度法
基本概念: (1)定分度法:把参数可能取值的区间逐次分 为长度相等的小区间,每次在每个小区间上 请专家给出主观概率. (2)变分度法:该法是把参数可能取值的区间 逐次分为机会相等的两个小区间,这里的分 点由专家确定. 例3.9(自学)
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§3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度
一、边缘分布m(x)
二、混合分布 三、先验选择的ML-II方法
四、先验选择的矩方法
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一、边缘分布m(x) 设总体X的密度函数为p(x|θ ),它含有未 知参数θ ，若θ 的先验分布选用形式已知的 密度函数π (θ ),则可算得X的边缘分布（即 无条件分布）： 当为连续时 p( x | ) ( )d , m( x) p ( x | ) ( ) ， 当 为离散时
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
（2）如果发现所确定的主观概率与上述三个公理 及其推出的性质相悖，必须立即修正。直到两者一 致为止。（例3.5）
9
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§3.2 利用先验信息确定先验分布
一、直方图法 二、选定先验密度函数形式再估计其超参数 三、定分度法与变分度法
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一、直方图法
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三、先验选择的ML-Ⅱ方法
定义：设 { ( | ), } 为所考虑的先 验类，且x=(x1,x2,…,xn)是来自Г 中某一 ˆ ) 满足（对 ˆ ( 分布的样本，若存在 n 观测数据x）： ˆ ) sup m(x | m( xi | )
《贝叶斯统计》课程教学大纲
《贝叶斯统计》课程教学大纲（2004年制定，2006年修订）课程编号：060046英文名：Bayesian Statistics课程类别：统计学专业选修课前置课：微积分、概率论与数理统计后置课：学分：3学分课时：54课时主讲教师：陈耀辉等选定教材：茆诗松，贝叶斯统计，北京：中国统计出版社，1999课程概述：贝叶斯学派是数理统计中一个重要的学派，它有鲜明的特点和独到的处理方法，在国际上贝叶斯学派与非贝叶斯学派的争论是很多的。
本课程重点介绍贝叶斯统计推断的理论、方法及其基本观点，同时对贝叶斯方法和经典方法在历史上的重大分歧也适当地予以介绍。
通过本课程的学习能系统地掌握贝叶斯统计的基本理论、方法和应用，特别是贝叶斯统计中所具特色的一些处理方法及相应的理论。
主要内容有：先验分布与后验分布的基本概念、后验分布的计算方法、估计及假设检验、贝叶斯统计决策方法等。
教学目的：通过该门课程的学习，使学生能了解贝叶斯学派的基本观点和基本思想，了解贝叶斯学派和频率学派联系和区别，了解贝叶斯统计的最新研究进展，能够系统地掌握贝叶斯统计的基本理论、基本方法，更重要的是掌握贝叶斯统计具有特色的一些处理方法以及相应的理论，用以分析问题、解决问题。
教学方法：根据该门课程的特点，在利用传统的教学方法讲授理论的同时，注重案例教学，特别是要适当地运用研讨性教学方法，而且要适时运用创新教学方法，即教师应依据教材对教学内容作合理的安排，讲透重点难点，注意本学科研究的最新成果和前沿知识，既要教学生学习知识，又要培养学生的能力，特别是要培养学生的创新意识和创新能力，争取开展一些第二课堂活动。
各章教学要求及教学要点第一章引论课时分配：2课时教学要求：通过本章的学习，要求学生掌握贝叶斯统计理论的基本观点，了解贝叶斯统计学派和经典统计学派之间的重大分歧，了解现代贝叶斯统计理论的研究现状及贝叶斯统计理论的应用，重点掌握贝叶斯统计的基本思想，深刻理解“概率”、“统计”的不同的哲学解释，学习他们各自的优点来分析问题、解决问题。
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第二章主观概率和先验分布Subjective Probability and Prior Distribution本章主要参考文献：60，52，上帝怎样掷骰子§2-1 基本概念一、概率（probability）1. 频率f n(A)==N a/NP (A)==limf n(A)…古典概率的定义n2. Laplace在《概率的理论分析》(1812)中的定义P(A)==k/N式中，k为A所含基本事件数，N为基本事件总数适用条件 1.基本事件有限2.每个基本事件等可能3.公理化定义E是随机试验,S是E的样本空间,对E的每一事件A,对应有确定实数P(A),若满足:①非负性：0≤P(A)≤1②规范性：P(S)=1③可列可加性：对两两不相容事件A k (k=1,2…) (A i∩A j=φ)P(∪A k)=∑P(A k)则称P(A)为事件A发生的概率二、主观概率(subjective probability, likelihood)1. 为什么引入主观概率。
有的自然状态无法重复试验如：明天是否下雨新产品销路如何明年国民经济增长率如何能否考上博士生。
试验费用过于昂贵、代价过大例：洲导弹命中率战争中对敌方下一步行动的估计2.主观概率定义：合理的信念的测度某人对特定事件会发生的可能的度量。
即他相信(认为)事件将会发生的可能性大小的程度。
这种相信的程度是一种信念，是主观的，但又是根据经验、各方而后知识，对客观情况的了解进行分析、推理、综合判断而设定(Assignment)的，与主观臆测不同。
例：考博士生、掷硬币、抛图钉三、概率的数学定义对非空集Ω，元素ω，即Ω=｛ω｝，F是Ω的子集A所构成的σ-域(即Ω∈F；若A∈F则A∈F；若A i∈F i=1,2,…则∪A i∈F)若P(A)是定在F上的实值集函数，它满足①非负性P(A)≥0②规范性P(Ω)=1③可列可加性则称P(A)为直的(主以或客观)概率测度，简称概率ω为基本事件A为事件三元总体(Ω，F，P)称为概率空间注意：主观概率和客观概率（objective probability）有相同的定义四、主客观概率的比较(一) 基本属性：O：系统的固有的客观性质，在相同条件下重复试验时频经的极限S：概率是观察者而非系统的性质，是观察者对对系统处于某状态的信任程度(二)抛硬币：正面向上概率为１／２O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率就是１／２，这是简单的定义。
S：这确是定义，DMer认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，１／２是个主观的量。
(三)下次抛硬币出现正面的概率是１／２O：这种说法不对，不重复试验就谈不上概率S：对DMer来说，下次出现正、反是等可能的。
但是他不是说硬币本身是公正的，它可能会有偏差，就他现有知识而言，没有理由预言一面出现的可能会大于另一面，但多次抛掷的观察结果可以改变他的信念。
O、S：下次抛硬币出现正面还是反面不能确定，但知道：要么是正面，要么是反面。
§2-2 先验分布(Prior distribution)及其设定在决策分析中，尚未通过试验收集状态信息时所具有的信息叫先验信息，由先验信息所确定的概率分布叫先验分布。
设定先验分布是Bayesean分析的需要.一、设定先验分布时的几点假设1.连通性(Connectivity)，又称可比性即事件A和B发生的似然性likelihood是可以比较的：A ＞L B或A ~L B或B ＞L A 必有一种也仅有一种成立.** A ＞L B读作A 发生的似然性大于B 发生的似然性,A ~LB 读作A 发生的似然性与B 发生的似然性相当。
2.传递性(Transitivity)若对事件A，B，C , A ＞L B，B ＞L C 则A ＞L C3. 部分小于全体：若A B则B L A例：设定明年国民经济增长率时：①A：8～11% B：12～15% C：15～20%若A ＞L B，B ＞L C ，则A ＞L C②A：8～11% D：8～10% 必有D ＞L A二、离散型随机变量先验分布的设定1.对各事件加以比较确定相对似然率例1. 考博士生E：考取E：考不取若P(E)=2P(E) 则P(E)=2/3 P(E)=1/3例2。
某地气候状况：正常年景θ1，旱θ2，涝θ3正常与灾年之比：3∶ 2 则P（θ1)=0.6水旱灾之比1∶ 1 P(θ2)=P(θ3)=0.2该法适用于状态数较少的场合2.打赌法设 事件E 发生时收入P ，（0 ＜P ＜1） 且 E ＼c ＝(1—P)调整P ，使决策人感到两者无差异为止, 则：P(E)=P三、连续型RV 的先验分布的设定1.直方图法·该法适用于θ取值是实轴的的某个区间的情况·步骤：①,将区间划分子区间θi …离散化②设定每个子区间的似然率π(θi)…赋值③变换成概率密度曲线例如：明年国民经济的增长率0.050.10.150.22%3%4%5%6%7%8%9%10%11%12%13%14%15%·缺点：①子区间的划分没有标准②赋值不易③尾部误差过大2.相对似然率法·适用范围：同1步骤：①离散化②赋值：给出各区间似然的相对比值③规范化：例如：同1A. 相对似然率R 似然率π(A)子区间8～9% 10 10／ΣR7～8 9 9／ΣR9～10 7.5 7.5／ΣRB. 决策者给出每二个状态似然率的比例关系a ij = p i /p j (1)应有a ij = 1/a ji (2)a ij =a ik .a kj (3)在(3)式不满足时，可用最小二乘法估计决策人心目中真正的主观概率分布Pi i=1,…，n 即求规划问题min{∑∑(a ij p j - p i )}s.t. ∑p i = 1 , p i ≥0*用拉格朗日乘数法,构造拉格朗日函数L ＝()()ap p ij j n i n i i i n ===∑∑∑-+-112121λ上式对p i ，i=1,2…n 求偏导数，并令其为0，得：()()ap p a a p p il i n l i il lj j n j l ==∑∑---+=110λl=1,2,…,n.与 p i ∑=1 联列，构成n+1阶齐次方程组，求得P i, i=1,…，n3.区间对分法·适用范围：可以是开区间·步骤：①求中位②确定上、下四分位点(quartile fractile)③由于误差积累,最多确定八分位点(Eighth fractile)例：产品销售量(预计明年)·缺点：精度差4.与给定形式的分布函数相匹配这是最常用，且常常被滥用的方法·步骤：①选择一个与先验信息匹配得最好的函数如正态，泊松，β，e-Cauchy 分布等例：a)在单位时间以恒常的平均比率入出现，则在T 单位长度时间内该事件出现的次数服从Poisson 分布2-4b)若影响某一随机变量的因素很多而每一因素的作用均不显著，则该变量服从正态分布。
例如，测量误差，弹落点，人的生理特征的度量，农作物产量等均服从正态分布。
c)事件A 出现的概率为P ，n 次独立试验出现r 次A 的概率b(p,r,n)= C p p n r r n r ()1-- .即服从二项分布。
②参数估计：A.矩法：N(μ,σ) Be(α，β)·缺点：尾部估计不准，但对矩的影响却很大B.分位数：利用几个分位点和现成的概率密度函数分位数表，估计参数并检验。
5. 概率盘法(dart)用园盘中的扇形区表示抽奖事件, 透用于西方管理人员·注意：状态的概率或概率分布不是也不应富由决策分析人员来设定，而应当由决策人和有关问题专家提供基本信息。
理由：§2-3 无信息先验分布一、为什么要研究无信息先验·Bayesean法需要有先验分布，贝叶斯法的简明性使人在无信息时也想用它。
二、如何设定无信息先验分布1.位置参数随机变量X的概率密度函数形如f(x-θ)时θ∈称为位置参数其无信息先验π(θ)必为一常数2.标度参数X的密度函数为1/σf(x/σ)σ＞称为标度密度σ称为标度参数其无信息先验π(σ)=1/σ§2.4 利用过去的数据设定先验分布一、有θ的统计数据为能获得θ的观察值θi i=1,…,n的数据，则可：①通过直方图勾划出先验分布②选取可能的函数形式作为先验分布，再定参数③求频率(离散RV)二、状态θ不能直接观察时若直接观察的只是与θi 有关的x i (通常都是如此)则要从x i 中获取θi 的先验信息很困难：x i 的分布是随边缘分布m(.)而定的：m(x)=f x d (|)()θπθθΘ⎰ 或m(x)=p x (|)()θπθΘ∑ X 、Θ的联合密度是h(x,θ)=f(x ｜θ)μ(θ) 由x i 估计m(x)不难，但即使f(x ｜θ)已知，由此估计μ(θ)就难得多。