先验分布的确定
第3章先验分布的确定
m(
x)
p( x
|
)
(
)d， 为连续时
p( x | ) ( )， 为离散时
(3.1)
当先验分布含有未知参数时，譬如π(θ)=π(θ|λ)，那么
边缘分布m(x)依赖于λ，可记为m(x|λ).
例 设总体X～N(, σ2) 其中σ2已知。
取另一正态分布N(μπ,τπ2)作为正态均值的先验分布 , 则可以算得X的边缘分布为N(μπ,τπ2+σ2)
2.若还有σ2 (θ)= σ2（与θ无关的常数 ），则
m2 2 2
其中
2
E
2
例3.14 设X
~
N
(
,1),的先验分布类为{N
(
,
2
)}
主观经验预测X的均值为1, 方差为3,即m
10和
2 m
3,
试确定其先验分布.
解 :已知m
1;
2 m
3,由X
~
N ( ,1)知 2
1,利用推论1,
( ) m 10
2.注意的问题
(1)所咨询专家应是声誉良好的和富有经验的
(2)这两个方法相比，决策者更愿意使用变分度法.
§3.3利用边缘分布m(x)确定先验密度
一、边缘分布m(x)
设总体X的密度函数为p(x|θ),它含有未知参数θ，若θ 的先验分布选用形式已知的密度函数π(θ)，则可算得 X的边缘分布(即无条件分布)
取
d
d
2
[ln
(
2
)]
2(
2
n
2
)
ns2
2(
2
2
)2
0
得
2
变分分布和先验分布
变分分布和先验分布概述变分分布和先验分布是贝叶斯推断中重要的概念。
变分分布是一种优化方法，它用于近似贝叶斯推断中的后验分布。
先验分布是在观测数据之前，对模型参数分布的一种知识或假设。
变分分布和先验分布可以帮助我们处理模型选择、泛化能力以及推断等问题。
变分分布变分分布是一种优化方法，它用于近似复杂的后验分布。
变分分布通过定义一类可分解的概率分布族来寻找后验分布的最优近似。
这些分布可以由一些参数控制，这些参数可以通过最小化一种度量来优化。
变分分布可以进一步分为均值场变分方法（mean-field variational inference）和全局变分方法（global variational inference）两种。
均值场变分方法假设后验分布可以被分解为一系列独立的分布的乘积。
这些分布通常称为因子分布，可以通过最小化一个变分下界来找到近似的后验分布。
全局变分方法中，不再需要假设后验分布具有可分解的因子分布。
相反，它假设后验分布可以通过各种非参数的方式表示。
这种方法通常需要更复杂的计算，但是可以获得更精确的近似结果。
先验分布先验分布是在观测数据之前，对模型参数分布的一种知识或假设。
先验分布可以用来约束模型参数的取值，以确保模型具有良好的泛化能力。
根据贝叶斯推断的定义，先验分布和后验分布的结合，会给出一个完整的贝叶斯模型。
先验分布可以分为共轭先验和非共轭先验两类。
共轭先验是指先验分布和似然函数满足同一种分布类型，这种先验分布可以简化贝叶斯推断的计算。
常见的共轭先验包括高斯分布、伽马分布和狄利克雷分布等。
非共轭先验没有和似然函数同种分布类型，这种先验分布通常比较复杂，需要使用其他的推断方法，如马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）等。
应用变分分布和先验分布可以应用于很多贝叶斯模型中。
对于混合模型（mixture models），我们通常需要选择模型的数量以及每个模型的参数。
可以使用具有狄利克雷分布先验的以分配法（dirichlet process）来自动选择模型数量。
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
它将先验概率和样本数据结合起来，得到后验概率，从而进行参数估计或者预测。
具体的计算过程包括以下几个步骤：
1. 确定先验分布。
先验分布是指在观测到任何数据之前对参数的概率分布的猜测。
通常选择一个合适的先验分布是非常重要的，因为它会对后续的推断结果产生影响。
2. 计算似然函数。
似然函数是指在给定参数值的情况下，观测到数据的概率。
它是样本数据的函数，它描述了数据与参数之间的关系。
3. 计算后验分布。
后验分布是指在观测到数据后，对参数的概率分布的更新。
根据贝叶斯定理，后验分布等于先验分布和似然函数的乘积再除以标准化常量。
4. 计算后验分布的期望值。
后验分布的期望值是对参数的估计值。
它可以用来进行预测或者进行决策。
贝叶斯估计在许多领域中被广泛应用，比如机器学习、生物统计学、金融学、医学等。
它的优点是可以处理不确定性，同时也可以将经验信息纳入到统计推断中，从而得到更准确的结果。
- 1 -。
先验分布的确定
先验分布的确定幻灯⽚67 其步骤如下：（1）写出样本的对数似然函数∑∏====ni i n i i x p x p x l 11)|(ln )|(ln )|(θθθ（2）求样本的信息阵pj i l E I j i x ,...,2,1,,)(2|=-=θθθθ2|2(),x l I Eθθθ=-??在单参数(p=1)场合,(3)Θ的⽆信息先验密度为2/1)]([det )(θθπI =1/2()[()]I πθθ=在单参数(p=1)场合,幻灯⽚682122(,,...,)(,),(,).n X x x x N Jeffreys µσθµσ==设是来⾃正态分布的⼀组样本试求的先验2211:()ln[]2i x ni l x e µσθπσ--==∑写出样本的对数似然函数22111(,)ln(2)ln ().22ni i l n x µσπσµσ=?=---∑22222222()()0:(,);20()()ll nE E Fisher I n ll E E µµσσµσσµσσ-- ??==?? -- ??其信息阵42),(det -=?σσµn I22,(,):(,)2.Jeffreys n µσπµσσσ--=∝所以的先验为幻灯⽚6911:,(),:()1;,()2,();,(,);nI I n σµπµσµσσπσσµσπµσσ---=∝=∝∝注当已知当已知当和独⽴幻灯⽚70 例3.22关于成功概率的⽆信息先验分布⾄今已有4种π1(θ)=1 ——正常π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 ——不正常π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正则化后可成为正常π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常注意：1.⼀般说来，⽆信息先验不是唯⼀的.但它们对贝叶斯统计推断的影响都很⼩，很少对结果产⽣较⼤的影响2.任何⽆信息先验都可以采⽤。
先验分布与后验分布
(
x1,
, xn )
h(x1, , m(x1,
xn , )
, xn )
p(x1, , xn ) ( ) p(x1, , xn ) ( )d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中 ( x1, , xn )
称为θ的后验密度函数，或后验分布。而 ：
m(x1, , xn ) p(x1, , xn ) ( )d
j
假如总体X也是离散的，则只须将p(x|θ)
换成P(X=x|θ)即可。
10
二、后验分布是三种信息的综合
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数
θ已有一个认识，这个认识就是先验分布π(θ)。通
过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结果
就是后验分布 ( x1, , xn) 。后验分布是三种信息的 综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前进一步，
P( 0.5/ x)
(n 2)
0.5
x
(1
)n
x
d
1.15 1042
( x 1)(n x 1) 0
故他断言男婴诞生的概率大于0.5。
13
注：1.伽玛分布与贝塔分布简介：
(s) xs1e xdx, s 0, (n 1) n! 0
B( p,q) 1 x p1(1 x)q1dx, p 0,q 0 0
26
例1.9 对例1.7中后验分布的均值和方差的解释。 分析：后验分布Be(α+x, β+n-x)的均值和方差可写为：
27
28
29
四、 常用的一些共轭先验分布
共轭先验分布选取的一般原则： 是由似然函数L(θ)=p(x|θ)中所含的因式所 决定的，即选与似然函数具有相同核的分布作 为先验分布。
贝叶斯统计3.4,3.5教材
27
例3.22
关于成功概率的无信息先验分布至今已有4种 π1(θ)=1 π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正常 ——不正常 ——正则化后可成为正常
π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常
注意：1.一般说来，无信息先验不是唯一的.
但它们对贝叶斯统计推断的影响都很小，很少对结 果产生较大的影响
2.任何无信息先验都可以采用。
28
总结
1. 掌握贝叶斯假设
2.掌握位置参数和尺度参数的无信息先验分布
3.会用Fisher信息阵确定无信息先验
29
§3.5 多层先验
一、多层先验 二、多层模型
30
一、多层先验
1.定义
当所给先验分布中超参数难于确定时，可以对超参数 再给出一个先验，第二个先验称为超先验。由先验和 超先验决定的一个新先验称为多层先验。
试求分布参数 与的无信息先验.
取为位置参数, 为尺度参数, 令 1, ln( ), w ln( x), 则有
p( w; , )
1
w
d * 由随机变量函数知, ( ) ( ) 1 , 2 ( ) 1 , d
浙江财经学院本科教学课程经济数学三概率统计精品文档贝叶斯统计34352第三章先验分布的确定31主观概率32利用先验信息确定先验分布33利用边缘分布mx确定先验密度34无信息先验分布35多层先验334无信息先验分布一贝叶斯假设二位置尺度参数族的无信息先验三用fisher信息阵确定无信息先验4所谓参数??的无信息先验分布是指除参数??的取值范围和??在总体分布中的地位之外再也不包含??的任何信息的先验分布
例3.23 设对某产品的不合格品率了解甚少，只知道 它比较小。现需要确定θ的先验分布。决策人经过 反复思考，最后把他引导到多层先验上去，他的思 路是这样的： (1)开始他用(0,1)上的均匀分布U(0,1)作为θ的先 验分布。
第三章 先验分布的确定
则称该分布族{p(x | , )} 为Cramer-Rao正则分布族,简称 C—R正则族。
在C—R正则族前提下，记分向量S (x) 的方差协方差阵
' 称为该分布族中参数 (1 ,..., p ) 的Fisher信息阵，简称θ 的信息阵。
二、Jeffreys先验 设总体密度函数为p(x | , ) ，又设参数θ 的无信息先验 ( ) ,由于一一 为π (θ )。若对参数θ 作一一对应变换； 对应变换不会增加或减少信息，故新参数η 的无信息先验 * ( ) 与 ( ) 在结构上应完全相同，即 ( ) * ( ) 。另一方 面，按随机变量函数的运算规则，θ 与η 的密度函数间应满 足如下关系式
假如混合样本 x (x1 , x 2 ,..., x n ) 所涉及的先验密度函数的形式 已知，未知的仅是其中的超参数，即先验密度函数族可表示 如下：
{ ( | ), }
ˆ 使得 这时寻求ML-II先验是较为简单的事,只要寻求这样的
这可用最大化似然函数方法来实现。
第一节 主观概率 第二节 利用先验信息确定先验分布 第三节 利用边际分布m(x) 确定先验密度 第四节 无信息先验分布 第五节 多层先验
3.1.1 主观概率 贝叶斯统计中要使用先验信息，而先验信息主要是指经验和 历史资料。因此如何用人们的经验和过去的历史资料确定概 率和先验分布是贝叶斯学派要研究的问题。 贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件 发生可能性所给出个人信念。这样给出的概率称为主观概率。
此外σ 的参数空间与η 的参数空间都为 R ，可见(X,σ )问题 ( ) 与(y,η )问题的统计结构完全相同,故σ 的无信息先验 与η 的无信息先验 * ( ) 应相同，即 ( ) * ( ) 另一方面，由变换 c 可以得η 的无信息先验
确定岩体力学参数先验分布的随机加权Bayes方法
文 章 编 号 ：６ ３一Ｏ ６ （ ０ ９ ０ ０ ０ ０ １７ Ｏ ２ ２ ０ ）４— ０ ９— ５
确 定 岩体 力学 参 数 先 验 分 布 的 随 机 加权 Ｂ ｙｓ 法 ａｅ 方
毕 忠伟 ， 丁德 馨
（． １清华 大学 水利水 电工程系 ， 京 １０ ８ ２ 南华 大学 城市建设学 院 ， 北 ００ ４；． 湖南 衡 阳 ４ １０ ） ２ ０ １
ＢＩ Ｚｈｏ ｎｇ— ｉ ． Ｉ ｗｅ Ｄ ＮＧ ． ｉ Ｄｅ ｘｎ２
（ ． ｅａｔ ｎ ｆ ｙ ｒｕｉ Ｅ ｇ ｅｒ ｇ Ｔｉｇ Ｈ ｎｖｒ ｔ， ｅ ｉｇ１０ ８ ， ｈｎ ； １ Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｄａ ｌ ｎｉ ｅｉ ，ｓ ｈ ａＵ ｉ ｓ ｙ Ｂ ｉｎ ０ ４ Ｃ ｉａ ｏＨ ｃ ｎ ｎ ｎ ｅｉ ｊ ０ ２ Ｓ ｈｏ ｆ ｒａ ｏ ｓ ｕｔ ｎ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ ｏ ｔ ｈｎ ， ｅ ｇａ ｇ Ｈｕ ａ ２ ０ １ Ｃ ｉａ ． ｃ ｏｌ ｂｎＣ ｎ ｔ ｃｉ ， ｎｖ ｓ ｙ ｆ ｕｈＣ ｉａ Ｈ ｎ ｙｎ ， ｎ ｎ４ １ ０ ， ｈｎ ） ｏＵ ｒ ｏ ｅ ｉ Ｓ
摘
要： 岩体 力学参 数在 进行 Ｂｙｓ 统计 时必 须利 用先 验 分布 ， 经 常 出现 先验 信 ａｅ 法 但
息 少 而不 能确 定先验 分 布 的情 况． 了解 决 小样本 条 件 下先验 分 布确 定 的 问题 ， 用 为 采
随机 加权 重 采样 技 术 ， 生岩 体 力 学参 数 再 生样本 来模 拟 先验 信 息 的总体 分 布 ， 而 产 从 获得 岩体 力学参 数 先验 信 息统 计分 布 的 均值 与 方差 ， 其 与 当前 样 本 分 布信 息代 入 将 贝叶 斯公 式 ， 而 实现 了对岩 体 力 学参 数 后 验 分 布 的确 定． 真 算例 证 明 ห้องสมุดไป่ตู้ 种 方 法 从 仿 这 在 进行 岩 体 力 学参 占 时 比经典 参数 估 计 方法 有更 高的精 确性 ． 计
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②若从混合分布抽取一个容量为n的样本 x1,x2,…,xn,则约有nπ(θ1)个来自F(x |θ1)，约 有nπ(θ2)个来自F(x |θ2)。 (3)实例分析:
25
26
三、先验选择的ML-Ⅱ方法 定义：设 { ( | ), } 为所考虑的先 验类，且x=(x1,x2,…,xn)是来自边缘分布 ˆ ) 满足（对观 ˆ ( 中的样本，若存在 n 测数据x）： ˆ ) sup m(x | m( xi | )
8
4.充分利用历史资料，考虑现有信息加以修正
9
注意事项：（1）不管按照什么方法确定的主 观概率必须满足概率的三条公理： ①非负性公理：对任意事件A，0≤P(A)≤1。 ②正则性公理：必然事件的概率为1 ③可列可加性公理：对可列个互不相容的事件A1， A2，…，有
P( Ai ) P( Ai )
5
2.利用专家意见确定主观概率
6
3.向多位专家咨询确定主观概率
7
在座人员根据自己的经验各写了两个数，经理 在计算了两个平均值后，稍加修改，提出自己看 法：在上述两种情况下，本公司新产品畅销率各 为0.9和0.4，这是经理在征求多位专家意见后所 获得的主观概率。另据本公司情报部门报告，外 厂正忙于另一项产品开发，很可能无暇顾及生产 此新产品。经理据此认为，外厂将生产此新产品 的概率为0.3，不生产此产品的概率为0.7. 利用上述四个主观概率，由全概率公式可得本 公司生产此新产品获畅销的概率为 0.9*0.7+0.4*0.3=0.75
41
二、位置-尺度参数族的无信息先验
定义：设密度函数中有两个参数μ与σ，且密度具有 下述形式： 1 x p( x； , ) f , (, ) , (0, ) 其中f(x)是一个完全确定的函数，它相应于μ=0， σ=1时的密度，μ称为位置参数，σ称为尺度参数， 这类分布族称为位置-尺度参数族。如正态分布、指 数分布、均匀分布等都属于这一类。 特别σ=1时称为位置参数族，而μ=0时称为尺度参 数族。
E x| ( x m ( )) 2 ( | )d
2 2 2 x| x| 2
E ( x m ( ))
E ( x ( ) ( ) m ( ))
2 x|
E ( x ( )) E ( ( ) m ( ))
40
2.应用贝叶斯假设时所出现的问题
(1)当θ的取值范围为无限区间时，就无法在Θ 上定义一个正常的均匀分布。 定义3.1 设总体X~f(x|θ)，θ∈Θ。若θ的先 验分布π(θ)满足下列条件： ①π(θ)≥0，且 ( )d ②由此决定的后验密度π(θ|x)是正常的密度函 数，则称π(θ)为θ的广义先验密度。 (2)贝叶斯假设不满足变换下的不变性。
计算其样本均值和样本方差，即： n 1 n 1 2 ˆ m x xi , ˆm ( xi x )2 n i 1 n i 1 再用样本矩代替边际分布的矩，列出如下方程
| ˆ m E [ ( )]
ˆ ( ) E [ ( )] E [ ( ) m ( )]
30
2.计算边缘密度m(x|λ) 的期望μm(λ) 2 和方差 m ( ) ，其中:
m ( ) E ( X ) xm( x | )dx
x| x
x p ( x | ) ( | )ddx
x
x
xp( x | )dx ( | )d
44
例3.18 设x是从正态总体N(θ,σ2)抽取的容量为 1的样本，其中σ2已知，θ未知，但知其为正， 试求参数θ的估计。 解：这是一种带约束条件的估计问题，用贝叶 斯方法解决这类问题比较容易。取参数θ的无 信息先验分布为（0，∞）上的均匀分布，即： π（θ）=I（0，∞）（θ） 由此可得后验密度：
ˆ 被称为Ⅱ型极大似然先验，或简称为ML则 Ⅱ先验。 说明：这里将m(x)看成似然函数
27
i 1
28
29
四、先验选择的矩方法
在选择π ∈Г 时，可用矩方法代替极大似然方法。 矩方法应用于当Г有“已知函数形式”。即可利用 先验矩与边缘分布矩之间的关系寻求超参数的估计。 这种方法称为先验选择的矩方法。该方法的具体步 骤是： 1.计算总体分布p(x|θ )的期望μ (θ )和方差σ 2(θ )， 即 μ (θ )=Ex|θ (X)， σ 2(θ )= Ex|θ [X-μ (θ )]2 Ex|θ 表示用θ 给定下的条件分布p(x|θ )求期望。
18
§3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度
一、边缘分布m(x)
二、混合分布 三、先验选择的ML-II方法
四、先验选择的矩方法
19
一、边缘分布m(x) 设总体X的密度函数为p(x|θ ),它含有未 知参数θ ，若θ 的先验分布选用形式已知的 密度函数π (θ ),则可算得X的边缘分布（即 无条件分布）： 当为连续时 p( x | ) ( )d , m( x) p ( x | ) ( ) ， 当 为离散时
i 1 i 1
（2）如果发现所确定的主观概率与上述三个公理 及其推出的性质相悖，必须立即修正。直到两者一 致为止。（例3.5）
10
11
§3.2 利用先验信息确定先验分布
一、直方图法 二、选定先验密度函数形式再估计其超参数 三、定分度法与变分度法
12
一、直方图法
基本步骤： 1.把参数空间分成一些小区间； 2.在每个小区间上决定主观概率或依据历史数 据确定其频率； 3.绘制频率直方图； 4.在直方图上作一条光滑曲线，此曲线即为先 验分布()。 例3.6 某药材店记录了吉林人参的每周销售量, 现要寻求每周平均销售量θ的概率分布。
1 ( | , ) e , 0 ( ) 2 ˆ m 和方差 ˆm 现有混合样本的均值 ，试求超参数， 的矩估计。
解：
34
35
36
37
例3.14 设总体X~N(θ ，1)，其中参数θ的先验分 2 布取共轭先验 N ( , ) 。试估计两个参数的值。 解：
( ) ( | )d E | [ ( )]
31
2 m ( ) E x| [ X m ( )]2
( x m ( )) 2 p( x | ) ( | )ddx
x
其中： x|
x
2 ( x ( )) p( x | )dx ( | )d m
3
二、确定主观概率的方法
1.利用对立事件的比较确定主观概率(例3.1)； 2.利用专家意见确定主观概率(例3.2) ； 3.向多位专家咨询确定主观概率(例3.3) ； 4.充分利用历史资料，考虑现有信息加以修正,才 能得到比较切合实际的主观概率(例3.4) 。
4
1.利用对立事件的比较确定主观概率
14
15
16
Hale Waihona Puke 说明：如果有两个甚至多个先验分布都满足给定的先 验信息，则要看情况选择：假如这两个先验分布差异 不大，对后验分布影响也不大，则可任选一个；如果 我们面临着两个差异极大的先验分布可供选择时，一 17 定要根据实际情况慎重选择。
三、定分度法与变分度法
基本概念: (1)定分度法:把参数可能取值的区间逐次分 为长度相等的小区间,每次在每个小区间上 请专家给出主观概率. (2)变分度法:该法是把参数可能取值的区间 逐次分为机会相等的两个小区间,这里的分 点由专家确定. 例3.2.3(自学)
2 m 2
|
|
2
解此方程组，可得超参数 (1 , 2 ) 的估计 ˆ) ˆ ( ˆ , ˆ ) 从而获得先验分布 ( |
1 2
33
例3.13设总体X ~ Exp( )，其密度函数为 x p( x | ) e , x 0， 参数的先验分布取伽玛分布 Ga( , )，其密度函数
23
(2)混合样本的概念：从混合分布中抽出的样本称为
混合样本。 注：①从混合分布F(x)中抽取一个样品x1，相当于 如下的二次抽样： 第一次:从π(θ)中抽取一个样品θ。 第二次：若θ=θ1，则从F(x |θ1)中再抽一个样品， 这个样品就是x1； 若θ=θ2，则从F(x |θ2)中再抽一个样品，这个样品 就是x1
38
§3.4 无信息先验分布
一、贝叶斯假设 二、位置—尺度参数族的无信息先验
三、用Fisher信息阵确定无信息先验
39
一、贝叶斯假设
1.贝叶斯假设的基本含义 无信息先验分布应选取在θ(同等无知，无 偏爱）取值范围内的均匀分布，即： c, ( ) 0,
这种看法被称为贝叶斯假设。 说明：贝叶斯假设在很多情况下都是合理的。
当先验分布含有未知参数，譬如π(θ )= π(θ |λ )，那 么边缘分布m(x)依赖于λ，可记为m(x|λ )，这种边缘分 布在寻求后验分布时常遇到。
20
21
22
二、混合分布
(1)混合分布的概念：设随机变量X以概率π 在总体F1 中取值，以概率1-π 在总体F2中取值。若F(x|θ 1)和 F(x|θ 2)分别是这两个总体的分布函数，则X的分布 函数为：F(x)= π F(x |θ 1)+(1-π )F(x|θ 2) 或用密度函数（或概率密度）表示： p(x)= π p(x |θ 1)+ (1-π )p(x|θ 2) 这个分布F(x)称为F(x |θ 1)和F(x|θ 2)的混合分布。 这里的π 和1-π 可以看作一个新随机变量θ 的分布， 即： P(θ =θ 1)=π =π (θ 1)， P(θ =θ 2)=1-π =π (θ 2)
代入上式得：
2 m