上海大学插班生考试题及答案

上海大学2008～2009学年秋季学期试卷

课程名： 高等数学A （一） 课程号： 学分： 6

应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。

应试人 应试人学号 应试人所在院系

分）

1. 0x =是函数1

1()1x

f x e

=+的（ ）。

A ．连续点

B ．可去间断点

C ．跳跃间断点

D ．第二类间断点 2. 当0x →时，()sin f x x x =-是()sin g x x x =的( )。

A ．低阶无穷小

B ． 高阶无穷小

C ． 等价无穷小

D ． 同阶无穷小但非等价无穷小 3. 设0

lim ()0,lim ()0,()()0x x f x g x f x g x →→==≠，则成立( )。

A ．0

()

lim

1()

x f x g x →= B ．()

0lim ()

0g x x f x →=

C ．0

11lim 0()()x f x g x →⎛⎫

+= ⎪⎝⎭ D ．()0lim ()()0x f x g x →+= 4. 设()f x 满足条件()

02

0()()

lim

0x x f x f x A x x →-=>-，则0()f x 是( )。

A ．极小值

B ．极大值

C ．不是极值

D ．不能确定是否是极值 5. 设x e 是函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰( )。

A ．(1)x e x C -+

B ．(1)x e x

C ++ C ． (1)x e x C -+

D ．(1)x e x C

-++

二、 填空题：（每小题 3 分，共 15 分）

6. 已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数1

(

)1

f x -的定义域是 。 7. 为使函数ln(12)

,0(),0x x f x x

x a x +⎧>⎪

=⎨⎪+≥⎩在定义域内连续,则a = 。 8. 函数21

()f x x x

=-

的上凸区间是 。 9. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。 10. 曲线11x

y xe =+的铅直渐近线是 。

三、计算下例各题：（每小题5分，共40分）

11、0

)

lim cot x x

+

→

12、 (

)

1lim x

x

x x e

→+∞

+

13、如果函数()y x 由方程2xy e x y

=+所确定，求(0)y ''。

14、设2

1(sin ),y f x ⎡

⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中f 是可微函数，求()y x '。

15、⎰ 16、2

ln (1)

x

dx x -⎰

17、证明不等式：ln (0)x e x x ><<+∞ 。

18、已知()sin cos x f e x x '=+， 求()f x 。

19．在曲线21(1)2

y x =+（0x >）上任意点P 作切线，切线与x 轴交点是M ，

20、设函数()f x 满足：()0,()f a f a '≠存在，求极限 1()lim ()n

n f a n f a →∞

⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 21、设函数()f x 满足2()(())2f x f x x '''+=，讨论 0x = 是否是函数()f x 的极值

六、求解下列各题（每题6分，共12分）

22、设函数()(1)(),()f x x g x g x =-在[]1,2上有二阶导数，且(1)(2)0g g ==， 证明：在区间

()1,2内至少存在一个点ξ，使得()0f ξ''=

23、设函数()f x 是单调函数，且二阶可导，记()g x 是()f x 的反函数， 已知：(1)2,(1)(1)1f f f '''===，求：(1) 0(1)(1)lim 2x f x f x →--； (2) (2)g ''。

上海大学2008-2009学年度秋季学期 高等数学A （1） 考试试卷答案（A 卷）

一． 单项选择题：（每小题3分，共15分）

1.C

2. B

3.D ４.A ５.C

二． 填空题：（每小题3分，共15分）

6.(),0(2,)-∞⋃∞.

7. 2 .

8. ()0,1 .

9. ()2

112

x C --+ .10. 0x = 三、求解下列各题: (每小题5分,共40分)

11. 002

ln(arcsin )arcsin lim lim 1cot sin x x x x x x

++

→→=-（2分）20sin lim .1arcsin x x x +→=（2分）2

0lim 0x x x

+→==（1分）

12.()

1

lim x

x

x x e →+∞

+

解: ()

1ln(),ln ,x x

x

x e y x e y x

+=+=（2分）

1ln()lim ln lim lim lim 11

1x

x x x x x x x x e x e e x e y x e →+∞→+∞→+∞→+∞+++====+（2分） ()

1

lim x

x

x x e

e →+∞

+= （1分）

13.如果函数()y x 由方程2xy e x y =+所确定,求(0)y ''. 解:(0)1y = （1分） ()2,(0)1xy e y xy y y '''+=+=-（2分）

2()(2),(0)1xy xy e y xy e y xy y y ''''''''+++==-（2分）

14.设2

1(sin ),y f x ⎡⎤

=⎢⎥⎣

⎦其中f 是可微函数,求()y x '. 解:2

1

111

2(sin )(sin )cos ()y f f x x x x ''=- （5分）

15.⎰

解:21,2x t dx tdt =-= （1分）

cos 22sin t tdt td t ==⎰⎰⎰()2(sin sin )2sin cos t t tdt t t t C

=-=++⎰（2分）

C =+（2分）

16.2

ln (1)x

dx x -⎰

解; 2ln 1111

ln ln (1)111x dx xd x dx x x x x x

==-----⎰

⎰⎰（2分） 1111

ln ln (ln ln(1))111x dx x x x C x x x x

=

-+=---+---⎰（3分）

17.证明不等式:ln (0)x e x x ><<+∞.