第2讲 数学教育的基本理论——弗赖登塔尔

实数学教育思想的理论体系；具体探讨了如何按现实数学
教育的观点设计数学课程、编写数学教材等方面的问 题．他的许多结论都是在中、小学课堂上经过长期实践之 后得出的．他的工作奠定了现实数学教育的理论和实践基 础，明确了现代数学教育改革的目标和方向．
一、弗赖登塔尔的数学观 二、弗赖登塔尔的数学教育目的观 三、弗赖登塔尔的数学教育观
2. 数学化
• 弗赖登塔尔的“数学化”的概念：人们在观察、
认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想 和方法来研究客观世界的种种现象并加以整理和 组织的过程，就叫做“数学化”。一句话，数学 地组织现实世界的过程就是“数学化”。
• 数学化是一个由浅入深，具有不同层次，不断发
展的过程。一般来讲，数学化的对象有两种，一 是数学本身，二是现实世界的客观事物。对数学 本身的数学化，就是深化数学知识，或者使数学 知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体 系。对客观世界的数学化，形成了数学概念、运 算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构 造的数学模型。
弗赖登塔尔
• 介绍：汉斯.弗赖登塔尔（Hans Freudenthal,1905-1990）为国际上享有盛名的数 学教育权威，荷兰数学家和数学教育家。出生于 德国，1930年获柏林大学数学博士学位，自1946 年起任荷兰乌德勒支大学教授，1951年起为荷兰 皇家科学院院士，1971—1976任数学教育研究所 所长，他还曾获得柏林大学、爱尔朗根大学、布 鲁塞尔大学、多伦多大学及阿姆斯丹大学的荣誉 博士称号。
（2）数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现
象抽象而成的量化的模式。而现实世界事物、现 象之间又充满各种各样的联系，从而，数学教育 的内容就包括数学与外部的联系以及数学内部的 内在联系。
（3）社会需要的人才是多方面的，不同层次，不同
专业的人才所需的专业知识不尽相同，因而数学 教育应为不同的人提供不同层次的数学知识。
三、弗赖登塔尔的数学教育观
数学教育有5个主要特征：
• 情境问题是教学的平台 • 数学化是数学教育的目标 • 学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部 分 • “互动”是主要的学习方式 • 学科交叉是数学教育内容的呈现方式
现实、数学化、再创造
1.现实
• 数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，
• 在运用“现实的数学”进行教学时，必须 明确认识以下几点：
（1）初等数学的概念、运算法则、命题等，归根结
底都是来自于现实世界的需要，是现实世界的抽
象反映和人类经验的总结。因此，数学教育的内
容应来自于现实世界，把那些最能反应现代生产
和社会生活需要的最基本 、最核心的数学知识和
技能作为数学教育的内容。
• 从符号到概念的数学化的基本流程： （1）用数学公式表示关系； （2）对有关规则作出证明；
（3）尝试建立和使用不同的数学模型；
（4）对得出的数学模型进行调整和加工； （5）综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；
（6）用已知的数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概 念和新方法；
（7）作一般化的处理、推广。
• 实际问题转化为数学问题的基本流程: （1）确定一个具体问题中包含的数学成分； （2）建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间 的关系； （3）通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化 和公式化。 （4）找出蕴含其中的关系和规则； （5）考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的 体现； （6）作出形式化的表述。
1．掌握数学的整个体系 2．学会数学的实际应用 3．数学作为思维的训练 4．数学作为筛选的工具 5．培养解决问题的能力
1．掌握数学的整个体系
• 根据数学内在的体系出发，希望通过数学教育能 够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符 合数学体系的要求，能够紧密地组合成一个整体， 彼此联系密切。
2．学会数学的实际应用
一、弗赖登塔尔的数学观：
• 数学是系统化了的常识。这些常识是可靠的。如 3+2=5，矩形的面积等于长乘宽等。所以数学比 其他任何自然科学都易于创造！ • 常识 要成为数学，必须要经过提炼和组织，凝聚 成一定的法则。这些法则在高层次里又成为常识， 再一次被提炼和组织，而凝聚成新的则，¨¨¨
二、弗赖登塔尔的数学教育目的观
5．培养解决问题的能力
• 人们往往对数学给以高度评价，因为它可以解决许多问
题，从日常生活中常常遇见的数值计算，各种神秘的魔术 与游戏，一直到高精尖的领域，从计算机直到火箭发射， 都可以发挥与施展数学的魔力。数学可以训练语言的表达， 以最精确、简洁的语言来描述现象，数学可以使问题简化， 又能将问题推广，使之一般化，这样数学就从多个侧面， 给人们提供了解决各种问题的手段、背景，以至思维的方 法，这就为综合地分析各种因素，顺利地解决各种实际问 题，创造了条件，培养了能力。
•
(1)诗人中最伟大的画家与画家中最伟大的诗人，是否 同一个人? • (2)诗人中最老的画家与画家中最老的诗人，是否同一 个人? • (3)如果诗人中只有一个画家，那么画家中是否只有一 个诗人，他们是否同一个人?
• (4)二个小镇上有许多房子，房子里有许多桌子， 对任意n＝1，2，3，…，下列断言成立：如果一 座房子中有n条腿的桌子，那里就没有多于n条腿 的桌子。问以下命题是否成立：对n＝l，2，3…， 如果一座房子中有n条腿的桌子，那里就没有少于 n条腿的桌子。 • (5)一个篮子里有各种不同颜色和不同形状的物体， 试问篮子里是否一定有两件物体，它们的颜色和 形状都不相同?
• 从过去、现在一直到未来，教数学的教室不可能 浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会 的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该是 数学教育的首要目的,也就是必须学会数学在解决 实际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实。
3．数学作为思维的训练
• 自古以来就将数学作为“智力的磨刀石”，认为 对所有的人而言，数学都是一种不可缺少的思维 训练，甚至还强调数学可以训练人们的逻辑思维。 从18世纪拿破仑的军事胜利，到20世纪苏联的卫 星上天，似乎都证明了这个结论。
• 弗赖登塔尔在数学方面的主要工作领域是拓扑学和李群， 同时也涉及其他数学分支以及哲学与科学史领域，早在50 年代起就开始进行数学教育方面的研究工作，共发表有关
著作140余种，其著名的三本著作：
• 《作为教育任务的数学》、《播种和除草》、《数学结构 的教学现象》．在这些著作中，弗赖登塔尔详细论述了为 什么必须对传统数学教育进行改革的原因：系统阐述了现
• “数学教学必须通过数学化来进行”
• 数学化是一个过程，是一个从问题开始，由实际
进一步应用的教育全过程，而不是方 程、函数等具体的素材。 • 现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实 际问题转化为数学问题的数学化；二是从符号到 概念的数学化。
而且每个学生有各自不同的现实，而且是学生从 客观现实中抽象、整理出来的数学知识及其现实 背景的总和。 • 数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实， 并在此基础上发展他们的数学现实。
• 因此，在教学过程中，教师应该充分利用 学生的认知规律、已有的生活经验和数学 的实际，灵活处理教材，根据实际需要对 原材料进行优化组合。这也就是弗赖登塔 尔经常说的“数学教育即是现实的数学教 育”。 • 我们现在经常见到的“情境教育”即是弗 赖登塔尔的这一教育理论应用于数学教育 的案例。（青岛版的情境串）
第二讲 数学教育的基本理论
——弗赖登塔尔
青岛大学师范学院 数学系 杨慧娟
2015年4月16日星期四
• 你觉得一位优秀的数学教师要具备哪些素 质？
弗赖登塔尔的数学教育理论
对于数学教育，在20世纪 上半叶是克莱因作出了不 朽的功绩，在下半叶则是 弗赖登塔尔作出了卓越的 成就。他是20世纪下半叶 数学教育事业的带头人。
3. 再创造
• 学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”。也
就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创 造出来。教师的任务是引导和帮助学生完成这种 “再创造”，而不是把现成的知识灌输给学生， 这是一种最自然、最有效的方法。
• 自然是因为生物学上的“个体发展过程是群体发 展过程的重现”这条原理在数学上同样适用，即 数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合 人的认知规律。
• 有效是因为只有通过自己的再创造获得的知识才 是真正被掌握的和可以灵活应用的。更因为数学 是一种活动，（象游泳）必须在做数学中学习数 学，在创造数学中学习数学。
• 学生的“再创造”数学学习的过程实际上就是一
个“做数学”（do mathematics）的过程，学生 学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调 以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要 性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做 数学是学生理解数学的重要条件。
• 一个现实情境所提供的信息是现实数学教育的基
础。而情境问题与数学化又是结合在一起的，在 “一浪接一浪”的数学化进程中，学习者经历了 一个又一个由现实的情境问题到数学问题，由不 那么严格的数学体验要严格的数学系统，由数学 的“再发现”到数学的具体应用。
教一个活动的最好方法是演示 ——夸美纽斯 学一个活动的最好方法是做 ——弗莱登塔尔
4．数学作为筛选的工具
•
长久以来，在各种领域内，都将数学作为一种选择方法， 不仅是科学、技术、医学的学生，要通过这个考验，甚至 对大多数人文学科的学生，也有一定的数学要求；于是数 学教育的目的，就是在数学教学的基础上挑选学生，因为 人们认为数学适宜于作为一种方法，以测定学生的智力与 才能，它比其他学科，甚至比智力测验更可信，更容易使 用。
• 弗莱登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数学例
子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣 数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、 “数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等特 有的概念。他的著作多数根据自己研究的体会， 以及观察儿童学习数学的经历写成的，思辨性的 论述比较多。