离散数学模拟习题与解析 (16)

一、 判断正误 20% （每小题 2分）1、设A ，B ， C 是任意三个集合。

（1）若A ∈B 且B ⊆C ，则A ∈C 。

（ ） （2）若A ⊆B 且B ∈C ，则A ∈C 。

（ ）（3）若A ∈B 且B ⊄C ，则A ∉C 。

（ ）（4）A )()()(C A B A C B ⋃⊕⋃=⊕⋃。

（ ） （5）(A ⊕B)⨯C=(A ⨯C) ⊕ (B ⨯C)。

（ ） 2、可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的。

（ ）３、若平面图共有v 个结点，e 条边和r 个面，则v-e+r=2。

（ ） ４、任何有向图中各结点入度之和等于边数。

（ ）５、代数系统中一个元素若有左逆元，则该元素一定也有右逆元。

（ ） ６、任何一个循环群必定是阿贝尔群。

（ ）二、 8%将谓词公式)()())()()()((y R y y Q y x P x ∀→∀∨∃化为前束析取范式与前束合取范式。

三、 8%设集合Ａ＝{a,b,c,d,e}上的关系Ｒ＝{<a,b>,<b,c>,<b,d>,<d,e>}写出它的关系矩阵和关系图，并用矩阵运算方法求出Ｒ的传递闭包。

四、10%设<G,*>是一个群，证明：若对任意的G b a ∈,，都有333)*(*b a b a =，444)*(*b a b a =,555)*(*b a b a =, 则<G,*>是一个阿贝尔群。

五、8%根据库拉托夫斯基定理，证明下图为非平面图，要求用两种证法。

法（1）是找出与K3，3在2度结点内同构的子图。

法（2）是找出与K 5在2度结点内同构的子图。

六、10%证明：每个结点的度数至少为2的图必包含一个回路。

七、12%用ＣＰ规则证明：１、Q S P PR R Q S ⌝→⇒⌝∨⌝→∧,,)(２、)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃→∃⇒→∀八、12%用推理规则证明下式：前提: )()(,)()(,))())()((()()(x Q x x P x x R x Q x P x x P x ∃∃→∨∀→∃ 结论：))()()()((y R x P y x ∧∃∃九、12%若集合Ｘ＝｛（0，2），（１，２），（2，4），（３，４），（５，６），……｝}|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<=1、 证明R 是X 上的等价关系。

2、 求出X 关于R 的商集。

一、填空 20%（每小题2分）二、8%前束合取范式前束析取范式))()(())()()(()()(())())()()(()()(()()())(()()(()()())(()()(()()())()(()()(()()())(()((()()())(()()(((z R y Q z R x P z y x z Ry Q x P z y x z R z y Q y x P x y R y y Q y x P x y R y y Q y x P x y R y y yQ x xP y R y y yQ x P x ∨⌝∧∨⌝∀∃∀⇔∨⌝∧⌝∀∃∀⇔∀∨⌝∃∧⌝∀⇔∀∨⌝∃∧⌝∀⇔∀∨∀⌝∧∃⌝⇔∀∨∀∨∃⌝⇔∀→∀∨∃三、8%关系矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000000000110000010RM关系图：传递闭包： 511)(=∞===i ii iRRR t⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0000000000000001000001100000001000000000011000001000000100000000001100000102RRRMMM⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00000000000000000000100000000010000000000110000010000000000000000100000110023RRRMMM534000000000000000000000000000100000000001100000100000000000000000010000RRRRM MMM=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++∴001000000000111001111054321RRRRRMMMMMt (R)={< a , b > , < a, c> , < a, d> , < a ,e > , < b , c > , < b , d > , < b , e > , < d , e > }。

四、10%证明：对<G ,*>中任意元素a 和b ab b a ba b b a b a b b a b b a b b a b a a b b a a b a b b a ba ab b a a b a b b a a b ba b a b a a b b a b a ba b a ba b b a abb a a b a b a ***)*()*(*)*(****)*(***)*()*(*)*(***)*()*(*)*()*(*)*(*)*(*)*(*:)*(**)*(**)*(*,)*(*333443333332244444334445553334442221311331333==================∴=----故由于即同样可得即因此可得由可得由同理，即所以<G ,*>是阿贝尔群五、8%法一：法二：六、10%证明:设L是图G中最长路的一条，设其长度为m，这条路的一个端点设为a，考察G 中与a关联的那些边，这些边中任何一条边的另一端必在L上，否则，将这个结点加进L中就得一条更长的路。

若G中每个结点度数至少为2，则a也要关联于一条不在L上的边e，若e是环，则e 本身就是回路，否则，边e的另一端点b（与a不同的点）在L上，而连通L中a到b的子路与边e组成一个回路。

七、12%（每小题6分） 1、 ①P ⌝ P ②P R ∨⌝ P ③R ⌝T ①②I ④R Q S →∧)( P⑤)(R S R ∧⌝→⌝ T ④E ⑥)(Q S ∧⌝ T ③⑤I ⑦Q S ⌝∨⌝ T ⑥E ⑧S P(附加前提) ⑨Q ⌝ T ⑦⑧I⑩Q S ⌝→ CP2、①)()(x P x ∃ P （ 附加前提） ②)(e PES ① ③))()()((x Q x P x →∀ P ④)()(e Q e P → US ③⑤)(e Q T ②④I ⑥)()(x Q x ∃EG ⑤ ⑦)()()()(x Q x x P x ∃→∃ CP八、12%⑪))())()()((()()(x R x Q x P x x P x →∨∀→∃ P ⑫)()(x P x ∃P ⑬))())()()(((x R x Q x P x →∨∀ T ⑪⑫I⑭)(e P ES ⑫ ⑮)()(x Q x ∃ P ⑯)(d QES ⑮ ⑰)())()((d R d Q d P →∨ US ⑬⑱)()(d P d Q ∨ T ⑯I ⑲)(d R T ⑰⑱I ⑳)()(d R e P ∧ T ⑭⑲I⑴))()()((y R e P y ∧∃ EG ⑳ ⑵))()()()((y R x P y x ∧∃∃ EG ⑴九、12%（1）自反性：R y x y x y x y x X y x >∈<+=+∈∀),(),,(,,),(故由于 (2) 对称性：时当R y x y x X y x y x >∈<∈∀),(),,(,),(),,(22112211 R y x y x y x y x y x y x >∈<+=++=+),(),,(112221121221有亦即（3）传递性：,),(),,(),,(332211X y x y x y x ∈∀时当R y x y x R y x y x >∈<>∈<),(),,(,),(),,(33222211R y x y x y x y x y x y x y x y x >∈<+=+⎩⎨⎧+=++=+),(),,(3311133123321221故相加化简得即由等价关系的定义知R 是X 上的等价关系。

2、X/R={[<0,2>]R ,[<1,2>]R }。