1、赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答
微积分第1章习题解答(上)
第1章 习题参考解答习题1-11．确定下列函数的定义域： （1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x 所以定义域：),3()3,(+∞⋃--∞. （2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：要使函数有意义 则：21010x x -≥+≠且 即111-≠≤≤-x x 且. 所以定义域：(-1,1]. （4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：要使函数有意义 则：03202>-≠-x x 且即232>≠x x 且所以定义域：),2()2,23(+∞⋃.（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=； 解：要使函数有意义，则：0412112>-≤-≤-x x 且， 即2231<<-≤≤-x x 且 所以定义域：)2,1[-（6）xy πsin 1=. 解：要使函数有意义，则：0sin ≠x π即Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集) 所以定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域，并求2()f π和)0(f .解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时，01≠x ，故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f . 3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==; 解: 不同因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数. (2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R , 值域为[-1,1], 且)(cos 2sin 21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同.(4)0)(,)(x x g xxx f ==.解: 相同因为0()1(0),()1(0)xf x xg x x x x ==≠==≠定义域均为非零实数，在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(xx x x f x x f ∆+∆=-∆+.证明: 由三角函数的和差化积公式知:()()sin()sin f x x f x x x x +∆-=+∆-2sincos()22x x x ∆∆=+ 5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f 故2(1)(1)(1)5f x a x b x +=++++2(2)(5)ax a b x a b =+++++由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a 得:4,1a b ==-.6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数)1(22x x y -=是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数323x x y -=是非奇非偶函数.(3)2211xx y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-所以函数2211x x y +-=是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()()()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-. 所以函数)1)(1(+-=x x x y 是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞()sin()cos()1f x x x -=---+sin cos 1x x =--+则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数1cos sin +-=x x y 是非奇非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数2xx a a y -+=是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明：(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数;(2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数. 证明：由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) 1()()()F x f x f x =+-11()()()()F x f x f x F x ⇒-=-+= 故)(1x F 是偶函数. (2) 2()()()F x f x f x =--22()()()()F x f x f x F x ⇒-=--=- 故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数，由7题知)()()(1x f x f x F -+=为偶函数, )()()(2x f x f x F --=为奇函数.且)(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9.设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明：由题设知对于(,)x L L ∀∈-，有：)()(x f x f -=-不妨设12,x x ∀满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->-)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y解:cos(22)cos(2)x x π-+=- , 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ函数x y 4cos =是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=; 解:1sin 1sin(2)1sin (2)x x x ππππ+=++=++函数x y πsin 1+=是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: 21sin (1cos 2)2x x =- 11[1cos(22)][1cos 2()]22x x ππ=-+=-+ 函数x y 2sin =是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x ,)tan(tan π+=x x故原函数的周期为两函数sin 3,tan x x 周期π32和π的最小公倍数，即π2=T . 11.下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =; 解: 构成复合函数t y 3sin = 定义域: ),(+∞-∞. (2) u a y =,2x u =; 解: 构成复合函数2x a y =定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ; 解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y = 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u . 解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a 定义域: (,)-∞+∞ .12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 321)1(++=x y 是由3u y =，21u v =+，1u x =+复合而成的(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: 2)1(ln 3+=x y 是由u y 3=, 2v u =,1ln +=x v 复合而成的(3) )13(sin 3+=x y ;解: )13(sin 3+=x y 是由3u y =, v u sin =,13+=x v .复合而成的(4) 32cos log x y a =.解: 32cos log x y a =是由3u y =,v u a log =, 2w v =, x w cos =复合而成的 13.求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x解: 原函数的定义域:[,]22ππ-, 值域:]2,2[-.反解: 2arcsin y x =，得反函数:2arcsin xy =.反函数的定义域：]2,2[-，值域: [,]22ππ-(2) )2(log 1++=x y a ; 解: 原函数的定义域:),2(+∞- 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域:),(+∞-∞值域:),2(+∞-(3) 122+=x xy .解: 221111212121x x x x x y +-===-+++由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域：（0, 1）, 值域：),(+∞-∞. 14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元; 当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形.解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=; 当5020≤<x 时,43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时,2.520 2.3(5020)2(50)y x =⨯+⨯-+- 219x =+ 当100>x 时,398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15.设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-== 总利润( 1.5)L p Q =-( 1.5)(804)p p =--+2486120p p =-+ 16.用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡). 解: 当1000>Q 时1000500007)(>-==p p D Q则价格120<p .达到损益平衡, 则C pQ = 即：(700050)2000025p p Q -=+2000025(700050)p =+-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积:3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==.定义域: )2,0(r18.已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.（1）写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;（2）画出该函数的图形;（3）摄氏20℃相当于华氏几度? 解：（1）由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数由题知：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系：328.1+=x y(其中x 的度量单位是℃，y 的度量单位是F)（2）函数图形(略)（3）摄氏20℃时 y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1-2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．根据极限定义证明（1）1)11(lim =+∞→n n证明：0>∀ε，要使1111n nε+-=< 即ε1>n ，只须取1[]10N ε=+> 则当N n >时，有111n ε+-<因此 1)11(lim =+∞→nn 。
微积分第一章详细答案
第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解 当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证 狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解 设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解 设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解 由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解 当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。
赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答
赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答课本P.11 练习1.1 习题解答1、求下列函数的定义域（1）5+=x y （2）)4ln(x y -= 解：05≥+x 解：04>-x5-≥x 4<x定义域： ),5[+∞- 定义域：)4,(-∞ （3）1412-+-=x x y （4）24)1lg(1x x y -+-= 解：⎩⎨⎧>-≠-01042x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠->-040)1(1012x x g x⎩⎨⎧>≠-≠122x x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠<2201x x x 定义域： 定义域：),2()2,1(+∞⋃ )1,0()0,2[⋃-2、已知11)(-+=x x x f ，求)0(f ，)2(f ，)1(-x f ，)1(xf ，))((x f f 解：1)0(-=f3)2(=f21)1(1)1()1(-=--+-=-x xx x x fx xxx x f -+=-+=111111)1( x xx x x x x x x x x f x f x f f ==--+-++=--++-+=-+=22)1()1()1()1(1111111)(1)())((3、已知函数⎩⎨⎧<<-≤<-+=93,531,13)(2x x x x x f求：)(x f 的定义域，及函数值)0(f ，)1(f ，)4(f ，))1((f f解：)(x f 的定义域为：)9,1(-110)0(=+=f 413)1(=+=f 145)4(=-=f 1)4())1((==f f f4、判别下列函数的奇偶性：（1）242x x y -= （2）x x y sin =解：∵24)(2)()(x x x y ---=- 解：∵)sin()()(x x x y --=-y x x =-=242 y x x ==s i n∴242x x y -=是偶函数 ∴x x y sin =是偶函数（3）2xx e e y --= （4）13-=x y解：∵2)()(x x e e x y ----=- 解：1)()(3--=-x x y2xx e e -=- 13--=xy e e xx -=--=-2∵y x y y x y -≠-≠-)()(且 ∴2xx e e y --=是奇函数 ∴13-=x y 是非奇非偶函数5、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成？（1）43-=x y xy 1s i n)2(2= 解：u y = 解：2u y =，v u sin =43-=x u xv 1=（3）)1cos(lg 2+=x y （4）xy tan2=解：u y lg =，v u cos =，12+=x v 解：u y 2=，v u tan =，x v =课本P.20 练习1.2 习题解答1、判断下列数列是否收敛（1）13，24，35，┅，nn 2+，┅解：∵12lim=+∞→nn n ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 2是收敛的（2）1，4，9，16，┅，2n ，┅ 解：∵+∞=∞→2lim n n ，不是一个常数∴数列{}2n 是发散的2、分析下列函数的变化趋势，并求极限（1）)(12∞→=x x y （2）)0(21-→=x y x解：01lim 2=∞→x x 解：02lim 1=-→x x （3）)0(cos →=x x y 解：1cos lim 0=→x x3、设函数xx x f =)(，求)(x f 在0=x 处的左、右极限，并讨论)(x f 在0=x 处是否有极限存在解：左极限：1)1(lim lim lim )(lim 00-=-=-==----→→→→x x x x xxx x x f 右极限：11lim lim lim )(lim 00====++++→→→→x x x x xxxx x f 因为)(x f 在0=x 处的左、右极限不相等 所以)(x f 在0=x 处的极限不存在4、当0→x 时，下列变量中哪些是无穷小量：x 3，x 100000，xx 5cos 答：x 100000和xx 5cos当0→x 时是无穷小量5、计算下列极限（1）)56(lim 22-+→x x x （2）232lim 220+--+→x x x x x解：)56(lim 22-+→x x x 解：232lim 220+--+→x x x x x115124=-+= 122-=-=（3）659lim 223++--→x x x x （4）232lim 222+---→x x x x x解：659lim 223++--→x x x x 解：232lim 222+---→x x x x x)3)(2()3)(3(lim 3++-+=-→x x x x x )2)(1()2)(1(lim 2---+=-x x x x x23lim3+-=-→x x x 11lim 2-+=→x x x616=--= 313== （5）x x x 11lim--→ （6）x x x --→39lim 9解：x x x 11lim--→ 解：x x x --→39lim 9)11()11)(11(lim+-+---=→x x x x x )3)(3()3)(9(lim9x x x x x +-+-=→)11(lim+--=→x x x x xx x x -+-=→9)3)(9(lim921111lim-=+--=→x x 633)3(lim 9=+=+=→x x6、计算下列极限（1）x x x 5sin 4tan lim 0→ （2）)2tan 1sin (lim 0xxx x x +→ 解：x x x 5sin 4tan lim 0→x x xx 5sin 4cos 4sin lim 0→= 解：)2tan 1sin (lim 0x xx x x +→xx x x x x x x 55sin lim44sin lim4cos 1lim 54000→→→⋅= x x xx x x x 2cos sin lim 1sin lim 00→→+= 54= 21cos 1lim sin lim2100=⋅=→→x x x x x （3）xx x 2sin 11lim-+→ （4）6)3sin(lim 23---→x x x x解：xx x 2sin 11lim-+→ )3)(2()3sin(lim 3-+-=→x x x x)11(2sin )11)(11(lim++⋅++-+=→x x x x x 21lim )3()3sin(lim33+⋅--=→→x x x x x)11(2sin lim0++⋅=→x x xx 511⨯=111lim 2sin 2lim 2100++⋅=→→x x x x x 51=4121121=⨯⨯=课本P.24 练习1.3 习题解答1、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 001sin )(x x x x ax b x x x f ，问：（1）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续？解：b b b x x b x x x x x =+=+=+---→→→0lim 1sin lim )1sin (lim 00011sin lim 0=+→xxx a f =)0(（1）若 )(x f 在0=x 处有极限存在则 =+-→)1sin (lim 0b x x x xxx sin lim 0+→所以 1=b所以当1=b ，且a 为任意值时，)(x f 在0=x 处有极限存在（2）若 )(x f 在0=x 处连续则 =+-→)1sin (lim 0b x x x xx x sin lim 0+→)0(f = 所以 1==b a 所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续 2、求下列函数的连续区间和间断点：（1）112)(2-+-=x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=22224)(2x x x x x f 解：间断点 1=x 解：∵24lim )(lim 222--=→→x x x f x x连续区间： 2)2)(2(lim2--+=→x x x x),1()1,(+∞⋃-∞ )2(4)2(lim 2f x x ≠=+=→∴间断点为 2=x 连续区间),2()2,(+∞⋃-∞。
微积分初步函数极限与连续习题解答
微积分初步第1章函数、极限与连续习题解答课本P.25 习题1 习题解答1、求下列函数的定义域（1）212-=x y （2）212x x y --=解：022≠-x 解：⎩⎨⎧≥-≠0102x x 2±≠x ⎩⎨⎧≤≤-≠110x x定义域： 定义域：),2()2,2()2,(+∞⋃-⋃--∞ ]1,0()0,1[⋃-（3）111log 2++-=x xy （4）)lg(lg x y = 解：⎪⎩⎪⎨⎧≥+>-01011x x ，⎩⎨⎧-≥<11x x 解：0lg >x所求的函数的定义域： 1>x)1,1[- 定义域),1(+∞2、已知21)1(xx f =+，求)(x f ，)0(f ，)1(-x f ，)1(x f 解：对于 21)1(x x f =+，令t x =+1，1-=t x从而2)1(1)(-=t t f 2)1(1)(-=x x f ，1)0(=f ，22)2(1]1)1[(1)1(-=--=-x x x f 222)1()11(1)1(-=-=x x xx f3、已知函数⎩⎨⎧+∞<<≤<-+=x x x x f x0211)(2，求)(x f 的定义域，及函数值)5.0(-f ，)1(f ，)0((f f解：)(x f 的定义域为),1(+∞-25.11)5.0()5.0(2=+-=-f 2)1(=f1)0(=f =)0((f f 2)1(=f4、判断下列函数的奇偶性（1）x x y sin 723-= （2）)2)(2(+-=x x x y 解：∵y x x x y -=+-=-sin 72)(3 解：∵)2)(2()(+----=-x x x x y∴x x y sin 723-=是奇函数 y x x x -=-+-=)2)(2( ∴)2)(2(+-=x x x y 是奇函数（3）2xx e e x y --= （4）x x y 2log =解：∵2)(xx e e x x y --=-- 解：∵函数x x y 2log =的定义域为=y e e xxx =--2),0(+∞不是对称区间 ∴2xx e e x y --=是偶函数 ∴x x y 2log =是非奇非偶函数5、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成（1）43-=x y （2）)12(tan 23+=x y解：u y =，43-=x u 解：3u y =，v u tan =，122+=x v （3）)12sin(lg lg -=x x y （4）1-=x ey解：vuy =解：u e y = w u lg =，x w lg = v u =φ=v ，ϕφsin =，12-=x ϕ 1-=x v 6、求下列函数的极限（1）)111(lim 2--→x x （2）xx x x x 231lim 231+--→解：)111(lim 2--→x x 0111=-= 解：x x x x x 231lim 231+--→ 121lim )2)(1(1lim2121-=-=---=→→xx x x x x x x（3）65158lim 223+-+-→x x x x x （4）)1112(lim 21---→x x x解：65158lim 223+-+-→x x x x x 解：)1112(lim 21---→x x x)3)(2()5)(3(lim3----=→x x x x x )1)(1()1(2lim 1-++-=→x x x x225lim3-=--=→x x x 2111lim )1)(1()1(lim11-=+-=-+--=→→x x x x x x （5）)2sin(11limx x x ---→ （6）x x x x 3sin 2tan lim 0-→解：)2sin(11limx x x ---→ 解：x x x x 3sin 2tan lim 0-→)11()2sin()11)(11(lim+-⋅-+---=→x x x x x xxx x x x 3sin lim2tan lim00→→-= )11()2sin (lim+-⋅--=→x x xx xxx x x x x x 33sin lim3cos 1lim 22sin lim2000→→→-⋅= 111lim 2sin 2lim 2100+-⋅=→→x x x x x 132-=-= 4121121=⨯⨯=7、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=01sin 001)(2x b x x x ax x x f ，问：（1）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续 解：1)1(lim )(lim 20=+=--→→x x f x x ，b b xx x f x x =+=++→→)1sin(lim )(lim 0，a f =)0( （1）当a 为任意实数，1=b 时)(x f 在0=x 处有极限存在（2）当1==b a 时)(x f 在0=x 处连续 8、下列函数在0=x 处是否连续？为什么？（1）⎩⎨⎧>-<=00)(x x x xx f （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0101cos)(x x x x x f解：∵⎩⎨⎧>-<=0)(x xx xx f 解：∵01cos lim )(lim 00==→→x x x f x x在0=x 处没有定义 而1)0(=f∴)(x f 在0=x 处不连续 ∴)(x f 在0=x 处不连续（3）⎩⎨⎧=≠-=01)(x x e x f x 解：∵0)1(lim )(lim 0=-=→→x x x e x f ，0)0(=f ∴)(x f 在0=x 处连续。
微积分1参考答案
微积分1参考答案微积分1参考答案微积分1是大学数学中的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为重要。
在学习微积分1的过程中，我们会遇到各种各样的问题，需要通过练习来巩固所学知识。
为了帮助大家更好地理解和掌握微积分1的知识，我将提供一些常见问题的参考答案，希望能对大家有所帮助。
1. 求函数f(x) = x^2在区间[1,3]上的定积分。
答案：首先，我们需要求出函数f(x)在区间[1,3]上的原函数F(x)。
由于f(x) = x^2，我们可以得到F(x) = (1/3)x^3。
然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(3) - F(1) = (1/3) * 3^3 - (1/3) * 1^3 = 8 - 1/3 = 7 2/3。
2. 求函数f(x) = 2x在区间[0,4]上的定积分。
答案：同样地，我们需要求出函数f(x)在区间[0,4]上的原函数F(x)。
由于f(x) =2x，我们可以得到F(x) = x^2。
然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(4) - F(0) = 4^2 - 0^2 = 16。
3. 求函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分。
答案：函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分可以表示为∫[0,π] sin(x) dx。
由于sin(x)的原函数为-cos(x)，我们可以得到定积分的值为-cos(π) - (-cos(0)) = 1- (-1) = 2。
4. 求函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分。
答案：函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分可以表示为∫[0,1] e^x dx。
由于e^x的原函数为e^x，我们可以得到定积分的值为e^1 - e^0 = e - 1。
5. 求函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分。
答案：函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分可以表示为∫[1,2] 1/x dx。
【微积分初步】-形考作业1-4答案
电大【微积分初步】 形考作业1-4答案作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2[+∞ 提示：对于)2ln(1-x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠-x ，也就是3≠x ； 对于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x ；所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2[+∞2．函数xx f -=51)(的定义域是 ． 答案：)5,(-∞ 提示：对于x-51，要求分母不能为0，即05≠-x ，也就是5≠x； 对于x -5，要求05≥-x ，即5≤x ；所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ． 答案：]2,1()1,2(--- 提示：对于)2ln(1+x ，要求分母不能为0，即0)2l n (≠+x ，也就是1-≠x ； 对于)2ln(+x ，要求02>+x ，即2->x ； 对于24x -，要求042≥-x ，即2≤x 且2-≥x ； 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(---4.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f． 答案：62+x提示：因为6)1(72)1(22+-=+-=-x x x x f ，所以6)(2+=x x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x，则=)0(f ． 答案：2 提示：因为当0=x是在0≤x 区间，应选择22+x 进行计算，即220)0(2=+=f6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f． 答案：12-x 提示：因为1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，所以1)(2-=x x f7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情况之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x → 存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。
微积分I习题册解答(2014版)(第一章)
P3 2 判别f ( x)=e3 2 x的单调性. 解：x1 x2 , f ( x2 ) f ( x1 ) e3 2 x2 e3 2 x1 e32 x2 [1 e 2( x2 x1 ) ] 0, 因此函数在R上单调减少。
P2 5.(1)y arcsin x是由 y arcsin u , v x复合而成。 1 1 (2)y 是由y , u cos v, v x 1复合而成。 cos( x 1) u (3)y sin 2 (ln x)是由 y u 2 , u sin v, v ln x复合而成。 6.解：(1)y 1 x , x 1, y 0, x 1 y2 反函数： y 1 x 2 , x 0.
2x (2)y x , 2 1 y y 2 x log 2 y 1 y 1 x 反函数： y log 2 . x 1
x
P2 6.(3) 当x 0时，y x 1 x 3 y 1, y 1;
3
当x 0时，y x x y , y 0;
2
P6， 5. f ( x) = e , f [f ( x)] = 1- x且f ( x) ? f [f ( x)] ? f ２( x) ? f ( x) 蓿x 0. e
f ２( x ) x２
0.
= 1- x 0.
ln(1- x), 又f ( x) ln(1- x),
ì x, x ³ 0 x+ x ï ï 6. f ( x) = =í . ï 2 ï î 0, x < 0 ì x, x < 0 ï ï g( x) = í 2 . ï ï î x ,x³ 0 ? f [g( x)] ì g ( x), g ( x) ³ 0 ï 镲 = 眄 镲 g ( x) < 0 ï î 0, ì ï x2 , x ³ 0 . ï î 0, x < 0
微积分第一章---函数--习题及答案
第一章函数一、填空1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。
2、设()111>≤⎩⎨⎧=x x x x f ，则()()xe f x f +•1sin = 。
3、712arcsin42-+-=x x y 的定义域为 。
4、()xx f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛- ，则()x f = 。
5、()001<≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f ，则()[]=x f f 。
6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==ϕ，则()x ϕ= 。
7、设函数()x f 满足关系式：()()xe xf x f 3121=--+，则函数()x f = 。
8、已知()[]()2sin,cos 1xx x x f =+=ϕϕ，则()x f = 。
9、已知()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=3121033132x x x x x x f x，则其反函数()x f 1-= 。
10、函数3arcsin cos lg x y =由复合而成。
二、选择1、函数()xx f 3=，则()y x f +=〔 〕A 、()()y f x fB 、()x f 2C 、()x fD 、()y f2、若()x f 是〔-∞，+∞〕上有定义的函数，则下列〔 〕奇函数。
A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在〔0，+∞〕内，b a ,为任意正数，若函数()xx f 单调减少，则有〔 〕A 、()()()b f a f b a f +<+B 、()()()ba b f a f b a f ++<+C 、()()()b f a f b a f +>+D 、()()()ba b f a f b a f ++>+4、设函数()u f 的定义域为10<<u ，则()x f ln 的定义域为〔 〕 A 、〔0 ，1〕 B 、〔1 ，a 〕 C 、〔0 ，e 〕 D 、〔1 ，e 〕5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为〔 〕 A 、无界函数 B 、单调函数 C 、偶函数 D 、周期函数6、设函数()x xe x x f sin tan +=，则()x f 是〔 〕A 、偶函数B 、无界函数C 、周期函数D 、单调函数 7、函数()()()()2212sin ---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界〔 〕A 、〔-1 ，0〕B 、〔0 ，1〕C 、〔1，2〕D 、〔2 ，3〕8、若在〔-∞，+∞〕内()x f 单调增加，()x ϕ单调减少，则()[]x f ϕ在〔∞，+∞〕内〔 〕A 、单调增加B 、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］〔a >０〕，求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。
微积分第一章课外习题参考答案
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p4.3.证明 : { xn }有界, M 0, 使得 | xn | M , n 1,2,
n
.
0, lim yn 0, N ,当n N 时, | yn |
M | xn yn || xn || yn | , lim xn yn 0.
微积分课外习题参考答案
微积分第一章课外习题参考答案
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第一章 极限与连续
微积分第一章课外习题参考答案
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预备知识(1-2)
p1. 一.1. { x | x 3且x 0} . 2. [1,1],[2k ,(2k 1) ], k Z . 1 x 3. 1 1 e x 1 1 x1 , x2 , 1 x1 1 e x 1 x 1 . x 1
x0 1 三. f [ g ( x )] 0 x0 1 x 0 e | x | 1 g[ f ( x )] 1 | x | 1 注意作图形. 1 | x | 1 e
微积分第一章课外习题参考答案 5
p2. 四 . 证明: f ( x ) f (2a x ) f (2b 2a x ) f [2(b a ) x ] 周期 T 2 | b a | . 五 . 证明 f ( x ) log a ( x x 1)
8
p4.
2.
解 :由题意,
n 2
1 1 1 ( 1) P1 Pn 1 2 3 2 2 2 2n 2 1 n 1 1 n 1 1 ( ) 2 2( ) 2 2 1 3 1 2 1 n 1 2 2( ) 2 2 lim P1 Pn lim n n 3 3
经济数学基础顾静相第一章函数
3
3 1
4. 周期性
设函数 y f ( x ) 在
D上有定义,
如果存在常数 T
使得对于 D 中的任意 x , 都有 f (T x ) f ( x ) 则称该
函数为周期函数, 且称 T 为该函数的周期.
如函数 y sinx, y cos x, y tan x, y cot x 均是周期函数, 其周期分别为 2 和
在 , 内单调递增. 证 x1 x2 , x23 x13 x2 x1 x2 2 x1 x2 x12 证明: y
x
3
x1 x2 同号时，右边二因子均正数，故x2 x 3 3 3 3 x 0 x 0 当 x1 x2 异号时， 1 故 x2 x1 2 3 3 故对 x1 x2 , 有 x2 x1 所以 f x 在 , 内单调递增.
6.反三角函数 y arcsinx y arccosx y arctanx y arc cot x
(1)幂函数 y x ( 是常数) 幂函数 x 的定义域随 的不同而不同.
当为正整数时，x 的定义域为(,).
当为负整数时，x 的定义域为(,0)和(0,).
所以其为偶函数。 （2）因为 f ( x) 2( x) 2 sin( x) 2x 2 sin x f ( x) 同样可以得到 f ( x) f ( x) 所以函数既非奇函数，也非偶函数。
1 ( x ) a x ) f ( x) （3）因为 f ( x) (a 2
2. 函数的定义域 函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取 值的范围. 求函数的定义域时应注意 (1) 应考虑自变量与因变量有无实际意义; (2) 如果一个函数是若干项的代数和, 则分别 求出每一项的取值范围后, 取其交集合即可定义 域; (3) 对于分段函数来说, 其定义域就是各区间 的并集合;
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1、赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答
课本P.11 练习1.1 习题解答
1、求下列函数的定义域
（1）5+=x y （2）)4ln(x y -= 解：05≥+x 解：04>-x
5-≥x 4<x
定义域： ),5[+∞- 定义域：)4,(-∞ （3）141
2
-+-=
x x
y （4）24)1lg(1x x y -+-= 解：⎩⎨⎧>-≠-01042x x 解：⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≠->-0
40)1(10
12x x g x
⎩⎨
⎧>≠-≠122x x x 或 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≠<2
201
x x x 定义域： 定义域：
),2()2,1(+∞⋃ )1,0()0,2[⋃-
2、已知11)(-+=x x x f ，求)0(f ，)2(f ，)1(-x f ，)1
(x
f ，))((x f f 解：1)0(-=f
3)2(=f
2
1)1(1)1()1(-=
--+-=
-x x
x x x f x x
x
x x f -+=
-+=111111)1( x x
x x x x x x x x x f x f x f f ==--+-++=--++-+=-+=2
2)1()1()1()1(1111
11
1)(1)())((
3、已知函数⎩⎨⎧<<-≤<-+=93,
53
1,13)(2x x x x x f
求：)(x f 的定义域，及函数值)0(f ，)1(f ，)4(f ，))1((f f
解：)(x f 的定义域为：)9,1(-
110)0(=+=f 413)1(=+=f 145)4(=-=f 1)4())1((==f f f
4、判别下列函数的奇偶性：
（1）242x x y -= （2）x x y sin =
解：∵24)(2)()(x x x y ---=- 解：∵)sin()()(x x x y --=- y x x =-=242 y x x ==s i n ∴242x x y -=是偶函数 ∴x x y sin =是偶函数
（3）2x x e e y --= （4）13-=x y
解：∵2)()
(x x e e x y ----=- 解：1)()(3--=-x x y
2x
x e e -=- 13--=x
y e e x
x -=--
=-2
∵y x y y x y -≠-≠-)()(且 ∴2
x
x e e y --=是奇函数 ∴13-=x y 是非奇非偶函数
5、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成？
（1）43-=x y x
y 1s i n )2(2= 解：u y = 解：2u y =，v u sin =
43-=x u x
v 1=
（3）)1cos(lg 2+=x y （4）x
y tan
2=
解：u y lg =，v u cos =，12+=x v 解：u y 2=，v u tan =，x v =
课本P.20 练习1.2 习题解答
1、判断下列数列是否收敛
（1）13，24，35，┅，n
n 2+，┅
解：∵12
lim =+∞→n
n n
∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+n n 2是收敛的
（2）1，4，9，16，┅，2n ，┅ 解：∵+∞=∞
→2lim n n ，不是一个常数
∴数列{}2n 是发散的
2、分析下列函数的变化趋势，并求极限
（1）)(1
2∞→=x x y （2）)0(21
-→=x y x
解：01
lim 2=∞→x x 解：02lim 1
=-→x x
（3）)0(cos →=x x y 解：1cos lim 0
=→x x
3、设函数x
x x f =)(，求)(x f 在0=x 处的左、右极限，并讨论)(x f 在0=x 处是
否有极限存在
解：左极限：1)1(lim lim lim )(lim 00
-=-=-==--
-
-→→→→x x x x x
x
x x x f 右极限：11lim lim lim )(lim 0
====++
+
+→→→→x x x x x x
x
x x f 因为)(x f 在0=x 处的左、右极限不相等 所以)(x f 在0=x 处的极限不存在
4、当0→x 时，下列变量中哪些是无穷小量：x 3，x 100000，x
x 5
cos
答：x 100000和x
x 5
cos 当0→x 时是无穷小量
5、计算下列极限
（1）)56(lim 2
2-+→x x x （2）2
32
lim 220+--+→x x x x x
解：)56(lim 2
2-+→x x x 解：2
32lim 220+--+→x x x x x
115124=-+= 12
2
-=-=
（3）659lim 223++--→x x x x （4）232
lim 222+---→x x x x x
解：659lim 223++--→x x x x 解：2
32lim 222+---→x x x x x
)3)(2()3)(3(lim
3++-+=-→x x x x x )
2)(1()
2)(1(lim 2---+=-x x x x x
23lim
3+-=-→x x x 11
lim 2-+=→x x x
616=--= 313== （5）x x x 11lim
--→ （6）x x
x --→39lim 9
解：x x x 11lim
--→ 解：x x
x --→39lim 9
)
11()
11)(11(lim
+-+---=→x x x x x )
3)(3()3)(9(lim
9
x x x x x +-+-=→
)
11(lim
+--=→x x x x x
x x x -+-=→9)
3)(9(lim
9
21
1
11
lim
-=+--=→x x 633)3(lim 9=+=+=→x x
6、计算下列极限
（1）x x x 5sin 4tan lim 0→ （2）)2tan 1sin (lim 0x
x
x x x +→
解：x x x 5sin 4tan lim 0→x x x
x 5sin 4cos 4sin lim 0→= 解：)2tan 1sin (lim 0x x
x x x +
→
x
x x x x x x x 55sin lim 44sin lim
4cos 1lim 54000→→→⋅
= x
x x
x x x x 2cos sin lim 1sin lim 00→→+= 5
4
= 21cos 1lim sin lim 2100=⋅=→→x x x x x
（3）x x x 2sin 11lim
-+→ （4）6)
3sin(lim 23---→x x x x
解：x x x 2sin 11lim
-+→ )3)(2()
3sin(lim 3-+-=→x x x x
)
11(2sin )11)(11(lim
++⋅++-+=→x x x x x 2
1
lim
)3()3sin(lim
33+⋅--=→→x x x x x )
11(2sin lim
0++⋅=→x x x
x 51
1⨯=
111lim
2sin 2lim 2100++⋅=
→→x x x x x 5
1
= 4
121121=⨯⨯=
课本P.24 练习1.3 习题解答
1、设函数⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
>=<+=0
sin 00
1sin )(x x x x a
x b x x x f ，
问：（1）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当a ，b 为何值时，)(x f 在0=x 处连续？
解：b b b x x b x x x x x =+=+=+---→→→0lim 1
sin lim )1sin (lim 0
001
1sin lim 0=+→x
x x a f =)0(
（1）若 )(x f 在0=x 处有极限存在 则 =+-→)1sin
(lim 0
b x x x x
x
x sin lim 0+
→ 所以 1=b
所以当1=b ，且a 为任意值时，)(x f 在0=x 处有极限存在
（2）若 )(x f 在0=x 处连续
则 =+-→)1sin
(lim 0b x x x x
x
x sin lim 0+
→)0(f = 所以 1==b a
所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续 2、求下列函数的连续区间和间断点：
（1）112)(2
-+-=x x x x f （2）⎪⎩⎪
⎨⎧=≠--=2
2
22
4
)(2x x x x x f 解：间断点 1=x 解：∵2
4
lim )(lim 222--=→→x x x f x x
连续区间： 2
)
2)(2(lim
2--+=→x x x x
),1()1,(+∞⋃-∞ )2(4)2(lim 2
f x x ≠=+=→
∴间断点为 2=x 连续区间),2()2,(+∞⋃-∞。