【导学案】参数方程导学案

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参数方程导学案1

§2.1参数方程(理科)主备人：杨素玲审核人：高三数学备课组上课时间：2013年12月1、曲线的参数方程（1）参数方程:一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数_______ _……①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的___ _ ___，联系变数x 、y 的变数t 叫做________，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__ __．注：参数是联系变数x 、y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）参数方程与普通方程的互化:曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去___ __从参数方程变成普通方程．（注：将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型）如果知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，例如：()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．注：参数方程化为直角坐标方程要注意参数的范围，决定x 、y 的取值范围.2、参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到的公式：22cos sin 1θθ+=、3、常见曲线的参数方程：（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(222为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==. （4）过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）；例1 已知曲线1C：cos sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C：x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．指出1C 、2C 分别是什么曲线，并说明1C 与2C 公共点的个数及曲线1C 被2C 所截得的弦长。

高中数学必修4《直线的参数方程》导学案

§2．3 直线的参数方程1,了解直线参数方程的条件及参数的意义2,能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 3,通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【重点、难点】\教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 二、学习过程【情景创设】1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参【导入新课】1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个定点Q （1，1），P （4，3），那么又如何描述直线L 上任意点的位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程：（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）三、典例分析 1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ）A ．6π或65πB ．4π或43πC ．3π或32πD ．6π-或65π-2、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．【变式拓展】(2009天津理)设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______四、总结反思1,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

参数方程学案(张东玲)

选修系列4-4参数方程导学案设计人：张东玲1.了解直线的参数方程以及参数t 的几何的意义．2. 熟练掌握参数方程和普通方程的互化．3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题．4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题.一、课前学案基础盘点： 1、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的，联系变数x ，y 的叫做参变数，简称，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做． 2、圆的参数方程圆心在坐标原点半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为(a ，b)，半径为r 的圆 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2 的参数方程为：． 3、椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的标准方程 (a ＞b ＞0)．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数)，其中参数φ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 (a ＞b ＞0)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φy ＝asin φ(φ为参数)，其中参数φ为离心角，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 4、直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的普通方程是y－y 0＝tan α(x －x 0)，它的参数方程为．直线的参数方程中参数t 的几何意义：二．课堂探究考点突破考点一. 参数方程化普通方程。

【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y t x 431（t 为参数）考点二.直线参数方程的有关应用【例2】已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角6πα=。

《参数方程的应用》导学案

乌丹一中导学案高二数学组备课组 2014 年月日课题参数方程的应用主备人熊明军学习目的：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。

学习重点：参数方程的应用。

学习难点：合理地选择参数求点的轨迹。

学习方法：合作学习学习内容及过程：一、新知导入：如何利用曲线的参数方程来研究曲线的相关性质？二、新知学习：1、应用参数方程来求最值的一般步骤是：2、应用参数法求轨迹方程的一般步骤是：3、常见的几种参数的选择方法：三、新知应用例1：已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上在第一象限的点，(),0A a 和()0,B b 是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值。

变式：(1) AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，1F ，2F 为焦点，求△ABF 1面积的最大值。

时间安排(2) 已知椭圆1162522=+y x 和直线:154x y l +=，试在椭圆的第一象限内求一点M ，使得M 到直线l 的距离最大，并求出最大距离。

例2：已知OA 是圆C 的直径，且2OA a =，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，过Q 作,QD OA QB OA ⊥∥，两直线交于P 点，试求点P 的轨迹方程。

例3：水库排放的水流从溢流埁下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分动能，以保护水坝的坝基，如图是运用鼻坝进行挑流的示意图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坎角为30，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离。

9米 18米3030鼻坝四、达标训练9．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为_________. 10．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为__________.11．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.12．求直线11:()53x t l t y t=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离.13．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.14．已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为)(22222R t t t y t x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数，．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求点F 1，F 2到直线l 的距离之和.学习小结：备注。

数学导学案椭圆、双曲线的参数方程

椭圆、双曲线的参数方程【学习目标】掌握椭圆、双曲线的参数方程表示,并能解决有关问题,提高分析和解决问题的能力,培养数学的应用意识.【重点难点】重点：椭圆、双曲线参数方程。

难点：椭圆、双曲线参数方程的应用。

【问题导学】1. 椭圆22221y x a b+=的参数方程为 θ为参数。

这是中心在，焦点在的椭圆。

θ称为椭圆的离心角。

2.椭圆12222=+bx a y 的参数方程为 θ为参数。

这是中心在，焦点在的椭圆。

3.双曲线22221x y a b-=的参数方程： θ为参数，θ称为双曲线的离心角。

4.双曲线12222=-b x a y 的参数方程为 θ为参数。

【合作探究】例1、求椭圆14922=+y x 上的点M 到直线l ：x+2y-10=0的最大距离和最小距离,并求此时点的坐标．（28页例1）例2、实数y x ,满足1162522=+y x ，求y x z 2-=的最大值和最小值。

（29页思考）例3、如图，设M 为双曲线)0,(12222>=-b a by a x 上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A 、B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？（31页例2）例4、已知等轴双曲线2222x y a -=上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数.（34页3题）【当堂检测】1.把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x2. 双曲线()2tan 4sec x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数的离心率是（）A ．32B ．2C ．52D ．23、双曲线23tan 6sec ({x y ααα==为参数）的两焦点坐标是。

4、已知椭圆12222=+by a x 上任意一点M （除短轴端点外）与短轴两端点B1、B2的连线分别与x 轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心。

《直线的参数方程》导学案

乌丹一中导学案高二数学组备课组 2014 年月日课题直线的参数方程主备人熊明军学习目标：1、了解直线的参数方程及参数的的意义2、能选取适当的参数，求直线的参数方程教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系．学习方法：自主探究与讲练结合一、回忆旧知，做好铺垫1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.写出直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角α和所过的一个定点()00,y x A ，请写出直线的方程．5.已知两个向量)0(,≠ab a ，则b a ,共线的充要条件是二、直线参数方程探究1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么：①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =； ②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =；③||OM t =．时间安排2. 类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．1.直线03=+-y x 的一个参数方程为2.直线的参数方程为参数）t t y t x (233212⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，那么它的斜截式方程为 3.直线为参数）t t y t x (20cos 20sin 300⎪⎩⎪⎨⎧=+=的倾斜角是三、运用知识，培养能力例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．探究：直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t ．（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？例2、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．四、自主解决，深入理解练习：已知过点(2,0)P ，斜率为43的直线和抛物线22y x =相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标．五、归纳总结，提升认识1．知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．2．思想方法小结在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．六、布置作业，巩固提高学习小结：备注。

参数方程导学案1

参数方程导学案1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN参数方程(学案)B一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页)1、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>其参数方程为, 其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b+=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。

直线的参数方程导学案

新丰一中高二级二级文科数学文科数学第周导学案（教师版）编号：编号：主编人：主编人：主编人：协编人：协编人：协编人：审稿人：审稿人：______________________.1323.(1,):.322x t p a y t ì=+ïïíï=-+ïî直线上的点到点到点(3,-2)(3,-2)(3,-2)的距离的距离【合作探究】1.直线L 经过点经过点 )5,1(0M 、倾斜角为3p （1）求直线l 的参数方程；的参数方程；（2）求直线l 和直线一、课题：一、课题：直线直线参数方程．参数方程．二、课型：新课二、课型：新课三、课时：三、课时：2 2四、教学目标：四、教学目标：1.1.了解直线参数方程的条件及参数的意义了解直线参数方程的条件及参数的意义了解直线参数方程的条件及参数的意义2.能根据直线的能根据直线的几何几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义写出直线的参数方程及参数的意义学习重点学习重点根据直线的几何条件,写直线的参数方程及参数的意义写直线的参数方程及参数的意义学习难点学习难点根据直线的几何条件,写直线的参数方程及参数的意义写直线的参数方程及参数的意义五、教与学的方法：三元整合模式，以自学为主，教师讲授为辅五、教与学的方法：三元整合模式，以自学为主，教师讲授为辅六、教学过程：六、教学过程：第一课时【知识梳理】直线的参数方程直线的参数方程过定点0,0()M x y ,倾斜角为a 的直线l 的参数方程: . 其中参数的其中参数的几何意义几何意义： . .【自学检测】1.直线01=-+y x 的一个参数方程. 2.2.直线直线34()45x t t y t=+ìí=-î为参数的斜率为 032=--y x 的交点到点)5,1(0M 的距离；的距离；2 ； 3.3.直线直线3()14x at t y t =+ìí=-+î为参数过定点过定点_____________. _____________. 4.4.已知直线已知直线113:()24x t l t y t =+ìí=-î为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，．1t B B．．12t C C．．12t D _______________. 1212M M t t =-．直线22()32x t t y t ì=--ïí=+ïî为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标的点的坐标..【反馈练习】 1.直线ïîïíì=+=0020cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( ) A 020 B 070 C 0110 D 01602.2. 直线L 经过点经过点 0(0,2)M ，倾斜角为34p 的直线l 的参数方程则AB =的值.第二课时【知识梳理】1.直线与直线与曲线曲线相交的重要结论相交的重要结论1212cos (),sin ,,x a t t y f x M M y b t t t q q=+ì=í=+î直线(为参数为参数))与曲线交于两点，对应的参数分别为则12(1)M M 曲线的弦的长是 21212(2)t t t M M M t +=线段的中点对应的参数的值（3）若M 为直线的定点，则1212||||||MM MM t t ×=×【自学检测】1．直线l 的参数方程为()x a tt y b t =+ìí=+î为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（之间的距离是（））A ．122t 2.2.直线直线cos sin x t y t q q =ìí=î与圆42cos 2sin x y a a =+ìí=î相切，则q =3. .【合作探究】1．已知直线l 经过点(1,1)P , 2.2.直线直线2()1x t t y t =-+ìí=-î为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为所截得的弦长为 3.3.求直线求直线122()112x t t y t ì=-ïïíï=-+ïî为参数被圆224x y +=截得的弦长截得的弦长 . . 4.若点P 求直线11:()53x t l t y t =+ìïí=-+ïî为参数和直线2:230l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离倾斜角6p a =，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交于相交于两点两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积两点的距离之积. .2．过点10(,0)2P 作倾斜角为a 的直线与的直线与曲线曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ×的最小值及相应的a 的值的值. .【反馈练习】1.1.直线直线112()3332x t t y t ì=+ïïíï=-+ïî为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为是极坐标方程为3p q =的直线与参数方程为îíì+==q q 2cos 1cos 2y x （q 为参数）的曲线的交点，求P 点的坐标. 5.已知已知直线直线01:=-+y x l 与抛物线2x y =交与B A ,两点，求线段AB 的长度和点(0,1)M 到B A ,的距离之积. 七、教学反思七、教学反思。

人教版数学高二选修4-4导学案一第1课时参数方程的概念及圆的参数方程

第1课时参数方程的概念及圆的参数方程学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．知识点一参数方程的概念思考在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x ，y )，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？梳理参数方程的概念 (1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )________________，那么方程组①就叫做这条曲线的__________，t 叫做________，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫____________． (2)参数的意义________是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有__________意义或________意义的变数，也可以是____________________的变数．特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．知识点二圆的参数方程思考如图，角θ的终边与单位圆交于一点P ，P 的坐标如何表示？梳理圆的参数方程圆心和半径圆的坐标方程圆的参数方程圆心O (0,0)，半径r x 2＋y 2＝r 2 ________________(θ为参数) 圆心C (a ，b )，半径r(x －a )2＋(y －b )2＝r 2________________(θ为参数)类型一参数方程及应用例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．反思与感悟参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．跟踪训练1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3,4)在曲线C上．(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上．类型二求曲线的参数方程例2 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．反思与感悟求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标． (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点①曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x ，y 的值可以由参数惟一确定．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．跟踪训练2 长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，AB →＝3AP →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．类型三圆的参数方程及应用例3 如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 上的动点，Q (4,0)在x 轴上．M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，(1)求点M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x ，y )是M 轨迹上的点，求x ＋2y 的取值范围．反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数．(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值．1．下列方程：①⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；④x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4cos θ，y ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C 关于直线x －y ＝0对称的圆C ′的普通方程是________．4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________.5．若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程为________．1．参数方程与普通方程的统一性(1)参数的作用：参数是间接地建立横，纵坐标x ，y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用．(2)参数方程与普通方程的转化：曲线的普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x 与y 之间的间接联系． 2．求曲线参数方程的步骤第一步，建系，设M (x ，y )是轨迹上任意一点；第二步，选参数，比如选参数t ；第三步，建立x ，y 与参数间的关系，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).答案精析问题导学知识点一思考可以引入参数，作为x ，y 联系的桥梁．梳理 (1) 都在这条曲线上参数方程参数普通方程 (2)参数物理几何没有明显实际意义知识点二思考 P (cos θ，sin θ)，即x ＝cos θ，y ＝sin θ.梳理 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＋a ，y ＝r sin θ＋b题型探究例1 解 (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1.解得t ＝0.∴点M 1在曲线C 上．同理可知，点M 2不在曲线C 上．(2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得t ＝2，a ＝9. ∴a ＝9.跟踪训练1 解 (1)将点M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，解得a ＝1.(2)由(1)可得曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，将点(1,0)的坐标代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝1＋2t ，0＝t 2，解得t ＝0，因此点(1,0)在曲线C 上．将点(3，－1)的坐标代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，方程组无解，因此点(3，－1)不在曲线C 上．例2 解方法一设点P 的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数(0<t <a )． ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2.又∵|PQ |＝|OB |＝t ，∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0<t <a )．方法二设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ，在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ(θ为参数，0<θ<π2)．跟踪训练2 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得 x ＝23|AB |cos(π－α)＝－2cos α， y ＝13|AB |sin(π－α)＝sin α. 所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α.(α为参数，π2<α<π)(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2 ＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin α－232＋283. 当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.例3 解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，取∠xOP ＝θ为参数，则圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．又Q (4,0)， ∴x ＝2cos θ＋42＝cos θ＋2，y ＝2sin θ＋02＝sin θ.∴点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋2，y ＝sin θ(θ为参数)．由参数方程知，点M 的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆． (2)x ＋2y ＝cos θ＋2＋2sin θ＝5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12.∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－5＋2≤x ＋2y ≤5＋2. 即x ＋2y 的取值范围是．跟踪训练3 解由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)．则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 当堂训练 1．A 2.D3．(3，－2) (x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0) 解析将参数方程化为标准方程，得 (x －3)2＋(y ＋2)2＝16，故圆心坐标为P (3，－2)．点P (3，－2)关于直线y ＝x 的对称点为P ′(－2,3)，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆C ′的普通方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0)． 4．0或2解析 ∵y ＝t 2＝1，∴t＝±1.∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.5．x－y－3＝0解析圆心O′(1,0)，∴k O′P＝－1，即直线l的斜率为1. ∴直线l的方程为x－y－3＝0.。

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