三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)

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小学四年级数学三角形的分类(知识点梳理+典型例题)

小学四年级数学三角形的分类(知识点梳理+典型例题)三角形的相关概念考点一【三角形的特性】三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段三角形的底：这条对边叫做三角形的底用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成三角形ABC三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形）②三边的特性：三角形任意两边的和大于第三边知识典例题型一：画出三角形的底边上的高例1：画出下面每个三角形底边上的高。

例2：画三条不同的高1题型二：三角形的内角和例1、王爷爷家的屋顶是一个等腰例2、根据三角形的内角和是180°，三角形（如图），求顶角的度数。

你能求出下面五边形的内角和吗？例3、一个三角形两个内角的度数分别为35°，67°，另一个内角的度数是（）°，这是一个（）三角形。

例4、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是（）。

题型三：等腰三角形和等边三角形的性质例1.一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是（）三角形。

例2.等腰三角形的底角是75°，顶角是（），等边三角形的每个内角都是（）。

例3.一个等腰三角形的一边长5厘米，另一边长4厘米，围成这个等腰三角形至少需要（）厘米长的绳子。

例4.在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。

题型四、求出三角形各个角的度数。

40°三角形的分类2考点一【三角形的分类】三角形（按角来分）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形三角形（按边来分）三边不等三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形（正三角形）：三条边都相按照角大小来分：三角形，三角形，三角形。

(完整版)人教版小学四年级数学下册三角形知识点总结及其配套练习题

【三角形】1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2、从三角形的一个极点到它的对边做一条垂线，极点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有 3 条高。

要点：三角形高的画法。

3、三角形的特征： 1、物理特征：稳固性。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

4、边的特征：随意两边之和大于第三边。

5、为了表达方便，用字母A、B、C 分别表示三角形的三个极点，三角形可表示成三角形 ABC。

6、三角形的分类：依据角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

依据边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其余两个角必然是锐角）9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其余两个角比定是锐角）10、每个三角形都起码有两个锐角；每个三角形都至多有 1 个直角；每个三角形都至多有 1 个钝角。

11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特色：两腰相等，两个底角相等 )12、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形)(等边△的三边相等，每个角是 60 度)13、等边三角形是特别的等腰三角形14、三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是 540°15、图形的拼组：用随意 2 个完整同样的三角形必定能拼成一个平行四边形。

16、用 2 个同样的三角形能够拼成一个平行四边形。

17、用 2 个同样的直角三角形能够拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

18、用 2 个同样的等腰直角的三角形能够拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。

19、密铺：能够进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。

讲堂稳固练习一、专心选一选。

1、一个三角形有（）条高。

A、1B、3 C 、无数2、假如直角三角形的一个锐角是A、20° B 、 70°20°，那么另一个角必定是（C、 160°）。

四年级三角形专题训练

四年级三角形专题训练一、三角形的认识基础题。

1. 由三条（）围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

- 答案：线段。

- 解析：三角形的定义就是由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。

2. 三角形有（）条边，（）个角，（）个顶点。

- 答案：3，3，3。

- 解析：这是三角形的基本特征，三条边、三个角和三个顶点。

3. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（）。

- 答案：高。

- 解析：这是三角形高的定义，三角形的高是从一个顶点向对边作的垂线段。

4. 一个三角形有（）条高。

- 答案：3。

- 解析：因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以作对边的高，所以一个三角形有3条高。

二、三角形的分类题。

5. 三角形按角分类可以分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。

- 答案：锐角、直角、钝角。

- 解析：锐角三角形是三个角都是锐角（小于90°）的三角形；直角三角形是有一个角是直角（等于90°）的三角形；钝角三角形是有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。

6. 一个三角形中最大的角是89°，这个三角形是（）三角形。

- 答案：锐角。

- 解析：因为最大角是89°，小于90°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。

7. 一个三角形中至少有（）个锐角。

- 答案：2。

- 解析：直角三角形有2个锐角，钝角三角形也有2个锐角，锐角三角形有3个锐角，所以一个三角形至少有2个锐角。

8. 等腰三角形的两腰（），两个底角（）。

- 答案：相等，相等。

- 解析：这是等腰三角形的重要特征，两腰长度相等，两底角的度数相等。

9. 等边三角形的三条边（），三个角也（），每个角都是（）度。

- 答案：相等，相等，60。

- 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，根据三角形内角和是180°，三个角相等，所以每个角都是180°÷3 = 60°。

人教版八年级数学上册《三角形基础分类》专项练习题-附含答案

人教版八年级数学上册《三角形基础分类》专项练习题-附含答案1．在三角形中一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线【答案】A【解答】解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知在三角形中三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分故选：A．2．如图为估计池塘岸边A、B的距离小方在池塘的一侧选取一点O测得OA＝17米OB＝9米A、B间的距离不可能是（）A．23米B．8米C．10米D．18米【答案】B【解答】解：∵OA＝17米OB＝9米∴17﹣9＜AB＜17+9即：8＜AB＜26故选：B3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】C【解答】解：A、锐角三角形三条高线交点在三角形内故错误；B、钝角三角形三条高线不会交于一个顶点故错误；C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点可以得出这个三角形是直角三角形故正确；D、能确定C正确故错误．故选：C．4．如图AD是△ABC的中线已知△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm 【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC ∵△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故选：A．5．在△ABC中AB＝3 AC＝2 BC＝a a的值可能是（）A．1B．3C．5D．7【答案】B【解答】解：∵△ABC中AB＝3 AC＝2 BC＝a∴1＜a＜5∴B符合故选：B．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3cm5cm7cm B．3cm3cm7cmC．4cm4cm8cm D．4cm5cm9cm【答案】A【解答】解：A．∵A3+5＝8＞7∴能组成三角形符合题意；B．∵3+3＜7∴不能组成三角形不符合题意；C．∵4+4＝8∴不能组成三角形不符合题意；D．∵4+5＝9∴不能组成三角形不符合题意．故选：A．7．如图所示四个图形中线段BE能表示三角形ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由题意线段BE能表示三角形ABC的高时BE⊥AC于E．A选项中BE与AC不垂直；C选项中BE与AC不垂直；D选项中BE与AC不垂直；∴线段BE是△ABC的高的图是B选项．故选：B．8．如图已知△ABC中点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8 则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵点D是边BC的中点△ABC的面积等于8∴S△ABD＝S△ABC＝4∵E是AB的中点∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2故选：A．9．若△ABC的三边长分别为m﹣2 2m+1 8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数求△ABC的周长．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系解得：3＜m＜5；（2）因为△ABC的三边均为整数且3＜m＜5 所以m＝4．所以△ABC的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．10．若三角形三个内角度数比为2：3：4 则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】A【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x由三角形内角和定理得2x+3x+4x＝180°解得x＝20°则三个内角度数为40°、60°、80°则这个三角形一定是锐角三角形故选：A．11．如图直线a∥b在Rt△ABC中点C在直线a上若∠1＝58°∠2＝24°则∠A的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°【答案】B【解答】解：如图∵∠1＝54°a∥b∴∠3＝∠1＝58°．∵∠2＝24°∠A＝∠3﹣∠2∴∠A＝58°﹣24°＝34°．故选：B．12．如图将一副直角三角板按如图所示叠放其中∠C＝90°∠B＝45°∠E＝30°则∠BFD的大小是（）A．10°B．15°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：∵∠B＝45°∴∠BAC＝45°∴∠EAF＝135°∴∠AFD＝135°+30°＝165°∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°故选：B．13．如图在△ABC中∠A＝70°∠B＝60°∠ACD是△ABC的一个外角∠ACD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．130°【答案】D【解答】解：∵△ABC中∠A＝70°∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°故选：D．14．如图已知△ABC为直角三角形∠C＝90°若沿图中虚线剪去∠C则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°【答案】C【解答】解：∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．15．如图直线AB∥CD如果∠EFB＝31°∠END＝70°那么∠E的度数是（）A．31°B．40°C．39°D．70°【答案】C【解答】解：∵直线AB∥CD∴∠EMB＝∠END＝70°∵∠EFB＝31°∠EMB＝∠E+∠EFB∴∠E＝70°﹣31°＝39°故选：C．16．如图在△ABC中∠BCA＝40°∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高与角平分线AE相交于点O 则∠EOF的度数为（）A．130°B．70°C．110D．100°【答案】A【解答】解：∵∠BCA＝40°∠ABC＝60°∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°．∵AE是∠BAC的平分线∴∠EAC＝∠BAC＝40°．∵BF是△ABC的高∴∠BF A＝90°．∴∠AOF＝90°﹣∠EAC＝90°﹣40°＝50°．∴∠EOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣50°＝130°．故选：A．17．如图已知△ABC的外角∠CAD＝120°∠C＝80°则∠B的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C∠CAD＝120°∠C＝80°∴∠B＝∠CAD﹣∠C＝120°﹣80°＝40°故选：B18．如图在△ABC中AD是BC边上的高AE BF分别是∠BAC∠ABC的平分线．∠BAC＝50°∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的高∠ABC＝60°∴∠BAD＝30°∵∠BAC＝50°AE平分∠BAC∴∠BAE＝25°∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°∵△ABC中∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故选：A．19．已知直线a∥b Rt△DCB按如图所示的方式放置点C在直线b上∠DCB＝90°若∠B＝20°则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．70°C．60°D．45°【答案】B【解答】解：如图延长BD交直线b于点M．∵∠DCB＝90°∠B＝20°∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°∵a∥b∴∠1＝∠BMC∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2∴∠1+∠2＝70°故选：B20．如图在△ABC中∠A＝50°∠1＝30°∠2＝40°∠D的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】B【解答】解：∴∠A＝50°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°故选：B．21．如图将△ABC沿MN折叠使MN∥BC点A的对应点为点A' 若∠A'＝32°∠B＝112°则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【答案】D【解答】解：∵MN∥BC∴∠MNC+∠C＝180°又∵∠A+∠B+∠C＝180°∠A＝∠A′＝32°∠B＝112°∴∠C＝36°∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°∴∠A′NM＝36°∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．22．已知：如图点D、E、F、G都在△ABC的边上DE∥AC且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB∠C＝40°求∠BFG的度数．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°23．在△ABC中CD平分∠ACB交AB于点D AH是△ABC边BC上的高且∠ACB＝70°∠ADC＝80°求：（1）∠BAC的度数．（2）∠BAH的度数．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB∠ACB＝70°∴∠ACD＝∠ACB＝35°∵∠ADC＝80°∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；（2）由（1）知∠BAC＝65°∵AH⊥BC∴∠AHC＝90°∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．24．如图在△ABC中点E在AC上点F在AB上点G在BC上且EF∥CD∠1+∠2＝180°．（1）求证：GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB DG平分∠CDB且∠A＝40°求∠ACB的度数．【解答】证明：（1）∵EF∥CD∴∠1+∠3＝180°．∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠3．∴AC∥GD．（2）∵CD平分∠ACB DG平分∠CDB∴∠3＝∠ACB∠2＝∠GDB＝∠CDB．∵∠CDB＝∠A+∠3 ∠2＝∠3∴2∠3＝∠A+∠3．∴∠3＝∠A＝40°．∴∠ACB＝80°．25．如图在△ABC中∠B＝31°∠C＝55°AD⊥BC于D AE平分∠BAC交BC于E DF⊥AE于F求∠ADF的度数．【解答】解：∵∠B＝31°∠C＝55°∴∠BAC＝94°∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠BAC＝47°∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°∵AD⊥BC DF⊥AE∴∠EFD＝∠ADE＝90°∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF∴∠ADF＝∠AED＝78°．26．如图在△ABC中AD平分∠BAC AE⊥BC若∠BAD＝40°∠C＝70°求∠DAE的度数．【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠BAC＝2∠BAD＝80°∵∠C＝70°∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°∵AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．27．一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的3倍则这个正多边形是（）A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正六边形【答案】C【解答】解：设这个正多边的一个外角为x°由题意得：x+3x＝180解得：x＝45360°÷45°＝8．故选：C．28．若一个多边形的内角和等于1800°这个多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．12【答案】D【解答】解：设这个多边形是n边形根据题意得（n﹣2）×180＝1800解得n＝12∴这个多边形是12边形．故选：D．29．如图足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）A．720°B．540°C．360°D．180°【答案】B【解答】解：∵黑色皮块是正五边形∴黑色皮块的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．30．如图已知∠1+∠2+∠3＝240°那么∠4的度数为（）A．60°B．120°C．130°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°∠1+∠2+∠3＝240°∴∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3）＝360°﹣240°＝120°故选：B．31．若一个正多边形的每个内角都是120°则这个正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】A【解答】解：解法一：设所求正多边形边数为n则120°n＝（n﹣2）•180°解得n＝6 ∴这个正多边形是正六边形．解法二：∵正多边形的每个内角都等于120°∴正多边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°又∵多边形的外角和为360°∴这个正多边形边数＝360°÷60°＝6．故选：A．32．小丽利用最近学习的数学知识给同伴出了这样一道题：假如从点A出发沿直线走6米后向左转θ接着沿直线前进6米后再向左转θ……如此下法当他第一次回到A点时发现自己走了72米θ的度数为（）A．28°B．30°C．33°D．36°【答案】B【解答】解：∵第一次回到出发点A时所经过的路线正好构成一个正多边形∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：B．33．将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放公共顶点为O且正六边形的边AB与正五边形的边DE 在同一条直线上则∠COF的度数是（）A．74°B．76°C．84°D．86°【答案】C【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°∠BOC＝120°∠OEB＝72°∠OBE＝60°∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°故选：C．34．小明把一副含45°30°的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°∠A＝45°∠D＝30°则∠α+∠β等于（）A．280°B．285°C．290°D．295°【答案】B【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°∠A＝45°∠D＝30°∴∠2+∠3＝180°﹣∠D＝150°∵∠α＝∠1+∠A∠β＝∠4+∠C∵∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠C＝∠A+∠C+∠2+∠3＝45°+90°+150°＝285°故选：B．35．如图若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°如图延长正五边形的两边相交于点O则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°360°÷36°＝10∵已经有3个五边形∴10﹣3＝7即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．36．一个多边形它的内角和比外角和的4倍多180°求这个多边形的边数．【解答】解：根据题意得（n﹣2）•180＝1620解得：n＝11．则这个多边形的边数是11 内角和度数是1620度．。

原创2023学年三角形中角的关系-八年级数学上册检测

三角形中角的关系知识要点基础练知识点1 三角形按角的分类1.在△ABC中,∠A比∠B大100°,则△ABC的形状是( C )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断2.一个三角形三个内角的度数之比为3∶4∶5,则这个三角形一定是( A )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形知识点2 三角形的内角和3.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( B )A.30°B.40°C.50°D.60°4.( 滨州中考 )在△ABC 中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C= 100° .5.一个三角形的三个内角度数的比是2∶3∶4,那么这个三角形是锐角三角形.( 填“锐角”“钝角”或“直角” )6.在△ABC 中,∠A-2∠B=20°,∠A+∠B=110°,求∠A,∠B,∠C 的大小. 解:因为∠A-2∠B=20°,∠A+∠B=110°,所以∠A=80°,∠B=30°.在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-30°=70°.综合能力提升练7.( 合肥包河区期中 )具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( B )A.∠A-∠B=∠CB.∠A=∠B=2∠CC.∠A ∶∠B ∶∠C=3∶2∶1D.2∠A=2∠B=∠C8.在△ABC 中,∠A=13∠B=15∠C,则△ABC 是( B )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定9.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,P为△ABC内的一点,且∠PBC=∠PCA,∠BPC=110°,则∠A的大小为( A )A.40°B.50°C.60°D.70°【变式拓展】如图,已知∠1=20°,∠2=27°,∠A=52°,则∠BDC的度数是99°.10.已知在△ABC中,∠A+∠B=1∠C,则∠C= 120°.211.如图,在△ABC中,∠A=75°,直线DE分别与边AB,AC交于D,E两点,则∠1+∠2= 255°.12.如图,在△ABC中,∠A=155°,第一步:在△ABC的上方确定点A1,使∠A1BA=∠ABC,∠A1CA=∠ACB;第二步:在△A1BC的上方确定点A2,使∠A2BA1=∠A1BA,∠A2CA1=∠A1CA;…,则∠A1= 130°;照此继续,最多能进行 6 步.13.( 合肥庐阳区期末 )在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠B-∠A=30°.( 1 )求∠A,∠B和∠C的度数.( 2 )△ABC按角分类,属于什么三角形?△ABC按边分类,属于什么三角形? 解:( 1 )由题意得∠B=∠A+30°,∠C=∠A+∠B=2∠A+30°.又因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+∠A+30°+2∠A+30°=180°,所以∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.( 2 )因为∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°,所以△ABC按角分类,属于直角三角形;△ABC按边分类,属于不等边三角形.14.( 教材P70例2变式 )如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.解:因为∠C+∠ABC+∠A=180°,∠C=∠ABC=2∠A,所以5∠A=180°,解得∠A=36°,所以∠C=∠ABC=2∠A=72°.因为BD是AC边上的高,所以∠BDC=90°,所以∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°.15.已知AD与BC相交于点O.( 1 )如图1,试探究∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系;( 2 )若∠ABC与∠ADC的平分线相交于点E,如图2,试探究∠A,∠C,∠E之间的数量关系.解:( 1 )在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°.又因为∠AOB=∠COD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.( 2 )由( 1 )的结论可知∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠EBC,所以∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠EBC.又因为BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,所以∠ABE=∠EBC,∠ADE=∠CDE,所以∠A+∠C=2∠E.拓展探究突破练16.在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”. 如图,∠MON=60°,在射线OM上取一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C.( 1 )∠ABO的度数为30 °,△AOB 是( 填“是”或“不是” )智慧三角形;( 2 )当△ABC为“智慧三角形”时,求∠OAC的度数.解:( 2 )因为△ABC为“智慧三角形”,当点C在线段OB上时,∠ABO=30°,所以∠BAC+∠BCA=150°,∠ACB>60°,∠BAC<90°.①当∠ABC=3∠BAC时,∠BAC=10°,所以∠OAC=80°;②当∠ABC=3∠ACB时,∠ACB=10°,所以此种情况不存在;③当∠BCA=3∠BAC时,∠BAC+3∠BAC=150°,所以∠BAC=37.5°,所以∠OAC=52.5°;④当∠BCA=3∠ABC时,∠BCA=90°,所以∠BAC=60°,所以∠OAC=90°-60°=30°;⑤当∠BAC=3∠ABC时,∠BAC=90°,所以此种情况不成立;⑥当∠BAC=3∠ACB时,3∠ACB+∠ACB=150°,所以∠ACB=37.5°,所以此种情况不存在.综上,当△ABC为“智慧三角形”时,∠OAC的度数为80°或52.5°或30°.。

人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析

BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（）。

初二数学八上三角形所有知识点总结和常考题型练习题

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示,顶点是A、Ｂ、C的三角形记作“△ＡＢC"，读作“三角形ABC”.3、三角形的三边关系：（1)三角形的任意两边之和大于第三边.(2)三角形的任意两边之差小于第三边。

(３）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：(１）三角形三个内角和等于１80°.（2)直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：（1）三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2）三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形)三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段:（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质:三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

(２)三角形的中线：定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部。

(3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点.锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部;8、三角形的面积:三角形的面积=×底×高二、全等图形:定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

初中数学三角形专题复习以及练习

初中数学三角形专题复习以及练习三角形专题知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类.⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。

推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。

B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。

9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。

②多边形的外角和等于360°。

三角三位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

三角形的初步知识知识归纳与题型训练(10类题型清单)原卷—24-25学年八年级数学上册单元(浙教版)

《三角形的初步知识》知识归纳与题型训练（10题型清单）一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．四、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接作∠BAC的平分线AD，交BC1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中线．1．AD是△ABC的角平分线．90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)4．点D是BC边的中点．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．六、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形七、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等要点诠释：全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的“三线”也相等八、全等三角形的判定（1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；（2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；（3）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；（4）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；要点诠释：在判定两个三角形全等时，需要注意以下几点（1）全等三角形的判定的一般步骤：准备条件——罗列条件——得出全等；（2）在全等三角形的判定中，已经有什么条件，还需要推导什么条件，一定要认真审题后再定；（3）全等三角形的判定和性质通常是同时考察的，一般先让判定两个三角形全等，然后再由其性质得对应边相等或对应角相等九、线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线定义：将一条线段平分，并且垂直于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；要点诠释：线段垂直平分线性质定理的证明原理是SAS线段垂直平分线性质定理的主旨是“点到点的距离相等”十、角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等；要点诠释：角平分线性质定理的证明原理是AAS角平分线性质定理的主旨是“点到边的距离相等”十一、定义与命题、证明定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为真命题，错误的命题称为假命题；定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据；证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明；要点诠释：要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但是不具备命题的结论的实例十二、尺规作图定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，称为尺规作图题型一　三角形的三边关系1．（2024春•连云港期末）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（）A．9B．4C．5D．132．（2023秋•固始县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是．3．（2024春•大渡口区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）A．3，6，9B．3，5，9C．2，6，4D．4，6，94．（2023春•织金县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．巩固训练5．（2023春•翠屏区校级期中）现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是．题型二　三角形的内角和与外角例题：1．如图，y与x的关系式为（）A．y＝x+55B．y＝x﹣35C．y＝125﹣x D．y＝x+352．（2024春•江干区校级期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝度．3．（2023春•金东区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC 方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE中一个角是另一个角的2倍，则∠ACD＝．巩固训练4．（2024•周村区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°5．已知，在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则△ABC是三角形．6．（2024春•鄞州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，则△ABC中最小内角的度数为．7．（2023春•金华期末）如图，在三角形ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为F，D，且∠CDG＝∠BEF，若∠AGD＝70°，求∠ACB的度数．题型三　三角形的“三线”例题：1．（2024•常州一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD 应该是△ABC的（）A．角平分线B．中线C．高线D．以上都不是2．（2024春•即墨区期中）下列各图中，正确画出AC边上的高线的是（）A．B．C．D．3．（2023秋•衢州期末）如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．40°4．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则阴影部分的面积为 cm 2．5．（2024春•淮阳区期末）在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．巩固训练6．（2024春•象山县校级月考）如图，把△ABC 的各边延长2倍至A 1，B 1，C 1，那么△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的（）A ．4倍B ．7倍C ．19倍D ．20倍7．（2023秋•淮北期末）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP ＝20°，∠ACP ＝50°，则∠P ＝　　°．8．（2023秋•奉化区期末）在△ABC 中，E 为边AC 的中点，点D 在边BC 上，BD ：CD ＝5：8，AD 、BE 交于点F ，若△ABC 的面积为26，则S △AEF ﹣S △BDF ＝．9．（2023秋•蛟河市期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为．10．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．11．（2023春•曲阳县期末）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．（1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S＝12cm2，求DC的长；△ABC（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．题型四　定义与命题、证明例题：1．下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．作角A的平分线D．内错角相等2．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°3．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式．巩固训练4．（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（）A．同位角相等B．对顶角相等C．0的平方根是0D．﹣1的立方根是﹣15．（2024•镇海区校级模拟）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝1B．a＝C．a＝D．a＝﹣26．（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为．题型五　全等三角形的性质例题：1．（2023秋•孟村县期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（）A．12B．7C．2D．142．（2024•益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA 时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°3．（2022春•邓州市期末）如图，△PAC≌△PBD，若∠A＝40°，∠BPD＝20°，则∠PCD的度数为．4．（2021秋•芜湖期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC＝8，CE＝10．（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积．5．（2022秋•鄞州区校级期末）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．巩固训练6．（2023秋•科左中旗期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE CAD C．BE＝DC D．AD＝DE7．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．8．（2023秋•衢江区期末）如图，△ABC≌△ADE，点D恰好落在BC上，且DE⊥AC，∠B＝79°，则∠E的度数为．9．（2022秋•涟水县期中）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上．（1）若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度数；（2）若BE＝2，EC＝3，求BF的长．10．（2023秋•新田县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．题型六　全等三角形的判定例题：1．（2024•凉州区二模）如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与∠BAC＝∠DAC相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D2．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P 和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为．3．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：△ABF≌△DCE．4．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程．5．（2022秋•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝70°，连接ED并延长ED交AB于点F．（1）求∠CAD的度数；（2）证明：△CDE≌△BDF；巩固训练6．（2024•邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL7．（2024•桂林一模）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（）A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等8．（2022秋•泾阳县月考）已知△ABC和△CDE均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证：（1）AD＝BE；（2）△DPC≌△EQC．9．（2021秋•章贡区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3时，BP＝ cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ 全等．题型七　全等三角形的性质与判定例题：1．（2024春•鄞州区校级期末）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（）A．1B．C．2D．32．（2024春•南海区期中）如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为．3．（2023秋•临潼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC 于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S＝ab．其中正确的是（）△ABCA．①②B．②③C．①②③D．①③4．（2024•潮州模拟）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．巩固训练5．（2023秋•长兴县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，若∠DAE＝∠DEA，∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3B．4C．D．66．（2024•济南模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是．7．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，点D是△ABC外角∠ACF平分线上的一点，连接AD、BD，若∠ADB＝∠ACB，则∠DAC＝度．8．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD 交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（）个．A．5个B．6个C．3个D．4个9．（2024•番禺区二模）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．10．（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．（1）求证：△ABC≌△CDE．（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．题型八　线段垂直平分线的性质定理例题：1．（2023秋•孟村县期末）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（）A．100°B．95°C．90°D．50°2．（2023春•桃城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝15，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E．（1）求△ABD的周长；（2）若∠B＝35°，求∠BAD的度数．巩固训练3．（2024•武威二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（）A．6B．7C．8D．94．（2024•鹤城区校级一模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 cm．5．（2023秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．（1）已知△ADE的周长7cm，求BC的长；（2）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数．题型九　角平分线的性质定理例题：1．（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点2．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC 交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm3．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数．巩固训练4．（2023秋•枣阳市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP 就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．（2023秋•临海市期中）已知△ABC．（1）如图1，若三角形的内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，求证：①∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）；②∠BOC＝90°+∠A；（2）如图2，若三角形的外角∠DBC与∠ECB的平分线交于点O，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系，请说明理由；（3）如图3，，若三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点O，则∠BOC与∠A的数量关系为．（只写结论，不需证明）题型十　尺规作图例题：1．（2024•淮滨县三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（）A．8B．6C．4D．2．（2024•岗巴县一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．（保留作图痕迹）（1）用无刻度的直尺和圆规作AB，AC的垂直平分线，分别交BC于点D、E；（2）连结AD，AE，若∠DAE＝20°，求∠BAC的度数．巩固训练4．（2023秋•下陆区期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．5．（2024•罗湖区校级模拟）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AB＞AC．（1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）；（2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．。

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三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

要求会的题型：①已知三角形中两条高和其所对的底边中的三个长度，求其中未知的高或者底边的长度方法：利用“等积法”，将三角形的面积用两种方式表达，求出未知量。

三、三角形的稳定性1. 三角形具有稳定性2. 四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

四、与三角形有关的角1. 三角形的内角①三角形的内角和定理三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

②直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.三角形的外角①三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

②三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

③五个基本图形五、多边形及其内角和1. 多边形多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

注：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为.2. 凸多边形画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。

3. 正多边形各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）要求会的题型：①告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数方法：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为. 将边数带入公式即可。

4.多边形的内角和①n边形的内角和定理n边形的内角和为②n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

BC 三角形的复习题型分类讲解考点一：三角形三边关系的考查：【基本应用】1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A. 3cm, 4cm, 8cmB. 8cm, 7cm, 15cmC. 13cm, 12cm, 20cmD. 5cm, 5cm, 11cm 2.（2013•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A.1，2，6 B.2，2，4 C.1，2，3 D.2，3，4 3.图中共有（）个三角形。

A.5B.6C.7D.84.（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（）A. 16B.20或16C.20D.12 【能力提高】1.(2013·南通中考)有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为 ( )A.1B.2C.3D.42.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是3.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )A.13B.17C.13或17D.不能确定4.（2013•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（） A.25 B.25或32 C.32 D.195.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为______________6.若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么由a ，b ，c 为边组成的三角形共有（） A. 1个 B. 3个 C. 无数多个 D. 无法确定7.(2012·义乌中考)如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( )A.2B.3C.4D.88.已知a 、b 、c 是三角形的三边，化简c b -+a -c -b -a .9.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.10.若a，b，c分别为三角形的三边，化简：.考点、三角形角的考查【基本应用】1.一个三角形中最多有个内角是钝角,最多可有个角是锐角.2．若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝_______3.若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______．4.已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B= 0，∠C= 05.（2010山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形6.在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠A＝48°，则∠B＝_______．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A＝_______．8.在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为( )A．50° B．75° C．100° D．125°9.如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= .10.如图，则∠α＝_______第9题第10题11.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，求∠DBC的度数．【能力提高】1．如图，∠A＝40°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_______.2.在一个三角形中，有一个角等于另外两个角的和，则这个三角形一定是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3.如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是( )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠14.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为( )A．130° B．230° C．180° D．310°第1题第3题第4题5.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是( )A．直角三角形B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ).A. 90°B. 110°C. 100°D. 120°8.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ).A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定9.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.10.(2013·重庆中考)如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为_______ 11．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80°第10题第11题10题图CB D12.如图（4），在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABCS = 42cm ，则S 阴影等于( )A ．22cm B. 12cm C. 122cm D. 142cm13.如图（5）在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是边AB 上的高。

那么图中与∠A 相等的角是（） A. ∠B B. ∠ACD C. ∠BCD D. ∠BDC14.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC 的度数.15.如图，已知点P 在△ABC 内任一点，试说明∠A 与∠P 的大小关系16.如图，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；PCBADCBA考点二、三角形中线、角平线、高的考查【基本应用】1.对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.2.下列说法错误的是( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D ．三角形的三条高可能相交于外部一点3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.不能确定【能力提高】1.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分是（） A.中线 B.角平分线 C.高 D.中位线2.(2012·梧州中考)如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D ，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE 的度数是( )A.10°B.12°C.15°D.18°3.如图，已知在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，若∠BOC ＝140°，求∠A 的度数．4.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,∠B=54°, ∠C=76(1)求∠ADB 和∠ADC 的度数. (2)若DE ⊥AC,求∠EDC 的度数.(1)CBACBA (2)CBA(3)考点三、多边形相关知识【基本应用】1.如果一个多边形的每一外角都是24°，那么它是______边形.2.正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为______．3.若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是( )A.900°B.540°C.1080°D.360°4.(2014·南京模拟)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ______.5.(2013·泰安)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于( )A.90°B.180°C.210°D.270°6.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是( )A.10条 B．11条 C.12条 D.13条7.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( )A.4条B.5条C.6条D.7条8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.99．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是______．10.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形11.下列正多边中，能铺满地面的是（）A.正方形B.正五边形C.等边三角形D. 正六边形12.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）A.正六边形和正三角形B.正三角形和正方形C.正八边形和正方形D.正五边形和正八边形13.装饰大世界出售下列形状的地砖：○1正方形；○2长方形；○3正五边形；○4正六边形。