2021-2022学年广东省肇庆市第一中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省肇庆市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知向量(1a =，2)，(b x =，3)，a ∥b ，则x 的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．32D ．32-【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示公式计算即可. 【详解】由a ∥b ，得320x -=，即32x =. 故选：C.2．i 是虚数单位，则2i1i=+（ ） A ．22i - B ．22i + C ．1i - D ．1i +【答案】D【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 2⋅-+===+++-. 故选：D.3．已知向量(3,1)a =-，(1,2)b =-，则向量a 与b 夹角的大小为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．135︒【答案】D【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】(3,1)a =-，(1,2)b =-，3112cos ,10a b a b a b-⨯+⨯-⋅===，又因为0,a b π≤≤， 所以3,1354a b π==. 故选：D4．已知一组数据如下：1,2,5,6,11，则该组数据的方差为（ ） A ．12.4B ．12.3C ．12.2D ．12.1【答案】A【分析】先求出平均数，再根据平均数计算即可求得方差. 【详解】()112561155x =++++=，()()()()()2222221621525556511512.455s ⎡⎤=-+-+-+-+-==⎣⎦ 故选：A5．若向量a ，b 满足：(1a =，0)，(1b =，则b 在a 上的投影向量为（ ） A ．14a - B ．14aC ．a -D ．a【答案】D【分析】先根据平面向量数量积的几何意义求出b 在a 上的投影，然后结合向量的数乘运算即可求出结果.【详解】b 在a 上的投影为(2cos ,11b a b ⋅=+=，所以b 在a 上的投影为a . 故选：D.6．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（ ） A ．45B ．35C ．25D ．310【答案】B【分析】根据题意，列出所有可能结果，结合古典概率计算即可. 【详解】根据题意可知，所有抽取结果如下： （1，2），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1）， （1，3），（2，3），（3，2），（4，2），（5，2）， （1，4），（2，4），（3，4），（4，3），（5，3）， （1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，4），共20种结果，其中两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数有12种， 故抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为123205=. 故选：B.7．在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC →→→→==，则向量,AE AF →→的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B【分析】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点，可以求得向量,AE AF →→的模长，然后求得数量积AE AF →→⋅，从而求得向量夹角.【详解】由向量关系知E 为DC 的中点，F 为BC 靠近B 端的三等分点， 则12DE =，13BF =，2151()22AE =+=，21101()33AF =+=则由0AB AD →→⋅=知，1()()(1)()23AE AF AD DE AB BF AD AB AB AD →→→→→→→→→→⋅++=+⋅=+⋅ 221(15())263AB AD →→==+ 则52,6cos 251023AE AF AE AF AE AF→→→→→→<>===⨯⋅ 故向量,AE AF →→的夹角为4π 故选：B8．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，F 是线段AE 上的点，则AF CF ⋅的最小值为（ ） A ．95B ．95-C ．1D ．1-【答案】B【分析】根据题意，建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，()0,0A ，()2,1E ，()2,2C ，由F 是线段AE 上的点，设,2x F x ⎛⎫⎪⎝⎭，且02x ≤≤，因此,2x AF x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2,22x CF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()25223224x x xAF x x x CF ⋅⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭， 因02x ≤≤，所以当65x =时，AF CF ⋅取最小值95-. 故选：B.二、多选题9．人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策.下图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况.则下列说法正确的是（ ）A ．年均增长率逐次减小B ．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%C ．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D ．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大 【答案】BD【分析】根据折线图判断增幅，根据条形图判断人口数，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A ：由折线图知年均增长率先增大后减小，故选项A 不正确； 对于B ：由折线图知：第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差2.09%0.53%-=1.56%，故选项B 正确；对于选项C ：由条形图知这七次普查的人口数逐次增加，由折线图知：第七次增幅最小，故选项C 不正确；对于D ：由条形图知第七次普查的人口数最多，由折线图知第三次增幅最大，故选项D 正确； 故选：BD.10．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 【答案】ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围11．设向量a ，b 满足||||1a b ==，且|2|5b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．||2a b += C ．||2a b -= D ．向量a ，b 夹角为60︒【答案】AC【分析】先由题给条件求得0a b ⋅=，从而得到选项A 判断正确，选项D 判断错误；求得||a b +的值判断选项B ；求得||a b -的值判断选项C.【详解】由|2|5b a -=，可得22445b a a b +-⋅=， 又||||1a b ==，则1445a b +-⋅=，即0a b ⋅=，则a b ⊥.则选项A 判断正确；选项D 判断错误；2222||211a b a b a b +=++⋅=+B 判断错误； 2222||211a b a b a b -=+-⋅=+C 判断正确.故选：AC12．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，5AC AD BC BD ====，若用一个与AB ，CD 都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是（ ）A ．异面直线AB 与CD 所成的角为90° B ．平面α截四面体ABCD 所得截面周长不变C ．平面α截四面体ABCD 所得截面不可能为正方形 D ．该四面体的外接球表面积为5π 【答案】AB【分析】A 选项：根据等腰三角形三线合一的性质得到CD AM ⊥，CD BM ⊥，即可得到CD ⊥平面ABM ，最后利用线面垂直的性质即可得到CD AB ⊥；B 选项：利用线面平行的性质定理得到AB HG EF ∥∥，FG CD EH ∥∥，即可得到四边形EFHG 为矩形，再利用相似得到2HG HE +=，即可得到周长为定值；C 选项：当E ，F ，G ，H 为棱中点时，利用中位线的性质得到22HGHE，即可得到四边形EFHG 为为正方形；D 选项：将四面体的外接球问题转化为长方体的外接球问题，然后根据半径求外接球的表面积即可.【详解】A 选项：取CD 中点M ，ABC 为等腰三角形，那么CD AM ⊥，同理，CD BM ⊥，且AM BM M ⋂=，AM ⊂平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，那么CD ⊥平面ABM ，而AB ⊂平面ABM ，所以CD AB ⊥，A正确；B 选项：如图，设平面α与四面体ABCD 的各棱的交点分别为E ，F ，G ，H ，由AB ∥平面α，且AB ⊂平面ABD ，两个平面的交线为HG ，则AB HG ∥，同理，AB EF ∥，FG CD EH ∥∥，四边形EFHG 为平行四边形，又CD AB ⊥，所以四边形EFHG 为矩形，∴HG HD AB BD =①，HE BHCD BD=②，又2AB CD ==∴①＋②得：2HG HE +=，∴周长为22，B 正确； C 选项：当E ，F ，G ，H 为棱中点时，22HGHE，四边形EFHG 为为正方形，C 错；D 选项：如图，四面体的外接球为长方体的外接球，55262r ++==6π，D 错． 故选：AB.三、填空题13．求若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的70%分位数为______． 【答案】7.5##152【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】因为1070%7⨯=，所以这组数据的70%分位数为787.52+=.故答案为：7.5.14．某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160000cm 3，则正方体石块的棱长为______．【答案】40cm【分析】设正方体石块的棱长为a ，该石凳的体积是正方体的体积减去8个三棱锥的体积，即可求解.【详解】设正方体石块的棱长为a ，则每个截去的四面体的体积为3113222248a a a a⨯⨯⨯⨯=．由题意可得331600008483a a ⨯+=，解得40a =．故正方体石块的棱长为40cm ． 故答案为：40cm .15．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.【答案】3【分析】在ACD 中，分析边角关系可得3AC CD ==在BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长.【详解】在ACD 中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，3CD =67.5CAD ∴∠=，则3AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，2CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得32sin 6023sin 4522CE BC ⨯===，在ABC 中，23AC =，3BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3.【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为AD ，AB 的中点，则直线EF 与平面1BCD 所成角的大小为____________.【答案】6π 【分析】如图，取1D C 中点O ，连接DO 、OB ，利用//EF DB ，即可得DBO ∠就是直线EF 与平面1BCD 所成的角，解DOB 即可．【详解】如图，取1D C 中点O ，连接DO 、OB ，则1DO D C ⊥， ∵BC ⊥平面11DD C C ，DO ⊂平面11DD C C ，DO BC ∴⊥，DO ∴⊥平面1D BC ，//EF DB ，DBO ∴∠就是直线EF 与平面1BCD 所成的角，2DB DO =，6DBO π∴∠=．故答案为：6π．四、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-. （1）求B ；（2）若1b =，ABC 3ABC 的周长. 【答案】（1）3B π=；（2）3.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；（2）利用三角形面积公式得到ac ，再由余弦定理求出a c +，即可求出三角形的周长； 【详解】解：（1）将22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-展开得 222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，由正弦定理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==因为0B π<<， 所以3B π=（2）根据余弦定理，22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+- 因为ABC 的面积为13sin 2ac B =1ac =因为1b =，所以21()3a c =+-，解得2a c +=ABC 的周长为+3a c b +=18．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1与A 1C 交于点O ，点E 是AB 的中点.(1)求证：OE ∥平面BCC 1B 1.(2)若AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判定定理，通过中位线平行得到1OE BC ，从而得到OE 平面11BCC B ；（2）要证明1AC BC ⊥线线垂直，则证明1AC ⊥平面1A BC 线面垂直，所以根据线面垂直的判定定理，找到1111,AC AC AC A B ⊥⊥，则得证．【详解】(1)连接BC 1，因为侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1与A 1C 交于点O ，所以O 为AC 1的中点， 又因为E 是AB 的中点，所以OE ∥BC 1，因为OE ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以OE ∥平面BCC 1B 1.(2)因为侧面AA 1C 1C 是菱形，所以AC 1⊥A 1C ，因为AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B ＝A 1，A 1C ⊂平面A 1BC ，A 1B ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC ，因为BC ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥BC .19．某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，（时间均在[0,6]内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5.（1）求,m n 的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自不同组的概率.【答案】（1）0.350.3m n =⎧⎨=⎩，2.89；（2）815. 【分析】（1）由题知0.65m n +=，0.50.5m n +=，进而解得0.350.3m n =⎧⎨=⎩，再估计平均数即可； （2）由题知抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人，再根据古典概型计算求解即可.【详解】解：（1）因为0.050.150.110.041m n +++++=，所以0.65m n +=；又因为时间数据的第70百分位数为3.5，所以()0.050.15 3.530.7m n +++-⨯=，则0.50.5m n +=，于是0.350.3m n =⎧⎨=⎩， 所以平均值为13579110.050.150.350.30.110.04 2.89222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）由于第二组和第四组的频率之比为：0.1510.32=， 那么分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，设为12,A A ，第四组共有4个人，设为1234,,,B B B B ，则从6个人中任选2人的基本事件有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B 共15个，其中2人来自不同组的事件有11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B 共8个， 故所求概率为815P =. 20．如图，在ABC 中，25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 上的三等分点，且靠近点C ，设CA a =，CB b =．(1)用a ，b 表示EF ，CD ； (2)如果60ACB ∠=︒，2AC =，且CD EF ⊥，求CD ．【答案】(1)1132EF b a =-，2355CD b a =+ 63 【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解； （2）由CD EF ⊥，可得0CD EF ⋅=，从而可得222301510b a -=，结合已知可得3b =，从而可求出CD . 【详解】（1）解：因为25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 的三等分点，且靠近点C ， 所以11112332EF EC CF CA CB b a =+=-+=-， ()223223555555CD CA AD CA AB CA CB CA CB b a CA =+=+=+=+=-+. （2）解：由（1）可知，231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以222301510b a -=，由2a =，可得3b =， 所以222223912455252525CD CD b a a a b b ⎛⎫==+=+⋅+ ⎪⎝⎭3612136632325252255=+⨯⨯⨯+=． 21．四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，AC ∩BD ＝O ，如图甲，以AC 为折痕，将平面ABC 翻折到AB 'C 的位置，如图乙，得到三棱锥B '﹣ACD ，M 为B 'C 的中点，DM ＝2．（1）求证：OM //平面AB 'D ；（2）求证：平面AB 'C ⊥平面DOM ；（3）求二面角B '﹣CD ﹣O 的正切值．【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（323 【分析】（1）由已知可得//OM AB '，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）求出,OD OM ，通过勾股定理可得OD OM ⊥，结合OD AC ⊥，可证DO ⊥平面'AB C ，即可证明结论；（3）根据（2）可得'B O ⊥平面ACD ，在平面ACD 中，过点O 作ON CD ⊥交CD 于点N ，连接'B N ，可证二面角B '﹣CD ﹣O 的平面角为'B NO ∠，求出ON ，即可得出结论.【详解】（1）证明：∵ 点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，∴ 点O 是AC 的中点，∵ M 为B 'C 的中点∴ //'OM AB ,∵'AB ⊂平面'AB C ，OM ⊄平面'AB C ，∴ OM //平面AB 'D ；（2）证明：在'AB C △中，∵//'OM AB ，∴ 1'12OM AB ==, 在菱形ABCD 中，∵ ∠BAD ＝60°，AC ∩BD ＝O ，∴ 112OD BD ==，DO AC ⊥ ∵ DM 2，∴ 222OM OD DM +=，∴ DO OM ⊥，又∵ AC OM O =，∴ DO ⊥平面'AB C ，∵ DO ⊂平面DOM ,∴ 平面AB 'C ⊥平面DOM（3）又（2）可知DO ⊥平面'AB C ，∴ 平面AB 'C ⊥平面ACD ，∵ 'B O AC ⊥，平面'AB C平面ACD AC =∴'B O ⊥平面ACD在平面ACD 中，过点O 作ON CD ⊥交CD 于点N ，连接'B N ，如图 ,,B O CD ON CD B O ON O '⊥⊥'=, CD 平面,B ON CD B N '∴⊥'，∴二面角B '﹣CD ﹣O 的平面角为'B NO ∠，由题意可知：'1B O =，1OD =，3OC =， 2DC =，32OD OC ON DC ⋅==， ∴ 123tan '332B O B NO ON '∠===， ∴ 二面角B '﹣CD ﹣O 的正切值：233.【点睛】本题考查了线面平行的判定、面面垂直的判定、二面角的正切值，是中档题. 22．ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为3（1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.【答案】（1）23（2）633-【解析】（1）利用1sin 2ABC AB B S BC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE △中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.【详解】解：（1）因为60,2,B AB == 所以1133sin 22222ABC AB BC B BC B SC =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=， 又23ABC S =，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE △中，由正弦定理得：sin sin BD DE BED B=∠， 即()23sin 60θ︒+()3DE = 在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DF CFD C=∠， 由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DF θ︒+=，所以1cos DF θ=， 所以()13sin 24sin 60cos DEF S DE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅ ()223cos 2sin cos 2sin 2603θθθθ︒=+⋅++ 当15θ︒=时，()()min sin 2601,63323DEP S θ︒+===-+ 故DEF 的面积的最小值为633-【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.。