数列的求和与递推公式
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
数列的递推公式与求和公式推导
数列的递推公式与求和公式推导在数学中，数列是指按照一定规律排列的一组数字。
数列中的每个数字称为数列的项，而数列的递推公式和求和公式是用来描述和计算数列的重要工具。
本文将介绍数列的递推公式及其推导方法，以及数列的求和公式的推导过程。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知的前一项或前几项计算下一项的公式。
它描述了数列项之间的关系，使我们可以方便地求得任意项的值。
下面以斐波那契数列为例，介绍数列的递推公式推导。
斐波那契数列是一个经典的数列，它的定义如下：F(1) = 1F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n>=3。
可以通过观察前几个数来猜测递推公式，但为了证明递推公式的正确性，需要使用数学归纳法。
首先，验证当n=1和n=2时，递推公式成立。
然后，假设当n=k时，递推公式也成立，即F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
接下来，我们通过验证n=k+1时递推公式是否成立来证明递推公式的通用正确性。
当n=k+1时，根据斐波那契数列的定义可得：F(k+1) = F(k) + F(k-1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1) = F(k) + 2F(k-1)由假设知F(k) = F(k-1) + F(k-2)，代入上式可得：F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + 2F(k-1) = F(k-1) + 3F(k-1) = 4F(k-1)因此，当n=k+1时，递推公式也成立。
根据数学归纳法可知，对于任意的n，斐波那契数列的递推公式都成立。
二、数列的求和公式数列的求和公式是指计算数列前n项和的公式。
通过求和公式，我们可以在不一一相加的情况下，直接得到数列的和。
下面以等差数列为例，介绍数列的求和公式推导。
等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数，记为d。
等差数列的通项公式为：a(n) = a(1) + (n-1)d，其中n为项数。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列的通项公式和求和公式如何推导
数列的通项公式和求和公式如何推导一、数列的通项公式推导在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。
每个数列都有一个通项公式，它能够用来计算数列中第n项的数值。
下面我将详细介绍数列通项公式的推导过程。
1. 等差数列的通项公式推导：等差数列是指数列中相邻两项之间的差始终相等。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a1 + (n-1)d该关系式可以推导如下：首项a1加上项数减一n-1与公差d的乘积。
2. 等比数列的通项公式推导：等比数列是指数列中相邻两项之间的比例始终相等。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a1 * r^(n-1)该关系式可以推导如下：首项a1乘以公比r的n-1次幂。
3. 斐波那契数列的通项公式推导：斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，第n项为an，则可以得到如下关系式：an = a(n-1) + a(n-2)该关系式表示，每一项等于其前一项与前两项之和。
二、数列的求和公式推导除了通项公式，数列还有求和公式，用来计算数列中一定范围内的数值之和。
下面我将详细介绍数列求和公式的推导过程。
1. 等差数列的求和公式推导：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则可以得到如下求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)该公式可以推导如下：首项a1与末项an的和乘以项数n再除以2。
2. 等比数列的求和公式推导：设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则可以得到如下求和公式：Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)该公式可以推导如下：根据等比数列前n项和与首项、公比的关系推导出来。
3. 斐波那契数列的求和公式推导：由于斐波那契数列没有固定的求和公式，所以求解斐波那契数列的前n项和时通常需要运用其他方法，如递推等。
通过以上推导过程，我们可以得到数列的通项公式和求和公式。
数列的求和公式与递推关系
数列的求和公式与递推关系数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，有两个重要的概念，分别是求和公式和递推关系。
本文将从这两个方面展开探讨，以便更好地理解数列的求和规律和数列的递推规律。
一、求和公式求和公式是用来计算数列各项之和的公式，它可以以一种简洁的方式表示数列的求和规律。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解数列和的情况，求和公式的运用可以极大地简化计算过程。
1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
对于等差数列，常用的求和公式是：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和，n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
2. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
对于等比数列，常用的求和公式是：Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
3. 特殊数列的求和公式除了等差数列和等比数列外，还存在其他类型的数列，如等差-等差数列、等比-等差数列等。
对于这些特殊数列，其求和公式也各不相同，需要根据数列的性质来确定相应的求和公式。
二、递推关系递推关系是指数列中的每一项与它的前一项之间存在的特定关系。
递推关系的研究可以帮助我们从已知条件推导出数列的后续项，从而更好地理解数列的变化规律。
1. 等差数列的递推关系对于等差数列，递推关系是最简单的，即每一项与它的前一项之差是一个固定的常数。
设等差数列的公差为d，则第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
2. 等比数列的递推关系对于等比数列，递推关系是每一项与它的前一项之比是一个固定的常数。
设等比数列的公比为q，则第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
3. 特殊数列的递推关系除了等差数列和等比数列，其他特殊数列的递推关系也各不相同，需要根据数列的性质来确定相应的递推关系。
数列的递推关系与数列求和
2011年广东省高考数学二轮专题讲解 ——数列的递推关系与数列求和一、主要知识点1．递推公式是给出数列的一种方法．递推公式与通项公式的相互导出，或以递推公式研究数列的性质是递推数列中两类常见的问题。
数列的递推式是数列的另一种表达形式。
由递推关系探求数列的通项是高考的热点．要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
已知递推数列求通项公式的常规方法如下：（1）已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
（2）已知)(21n f a a a n =⋅⋅⋅ 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
（3）若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。
（4）已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
（5）已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地：①形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
②形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
2．数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法： 例如：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和；（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）；（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）；（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和； 但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强。
4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和
第2课时数列的递推公式及前n项和考点学习目标核心素养数列的递推公式理解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项逻辑推理、数学运算数列的前n项和及其应用理解数列{a n}前n项和的含义，会用a n与S n的关系求通项a n逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P6～P7的内容，并思考下列问题：1．什么叫数列的递推公式？2．由数列的递推公式能否写出数列的前几项？3．如何求数列{a n}的前n项和？4．什么叫数列的前n项和公式？5．数列{a n}的通项a n与前n项和S n有什么关系？6．如何利用S n求a n?1．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．■名师点拨(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．2．数列{a n }的前n 项和我们把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ．3．数列{a n }的前n 项和公式如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式．a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.■名师点拨若已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n 时，则需利用a n 与S n 之间的关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在这里，应注意a n ＝S n －S n －1不是对一切正整数n都成立，而是局限于n ≥2的一切正整数n 恒成立．因为当n ＝1时，S n －S n －1无意义．这样，分n ＝1与n ≥2两种情况分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，就用分段的形式表示．利用前n 项和S n 求a n 时，容易把a 1＝S 1丢掉，而直接写成a n ＝S n －S n －1.有时a 1＝S 1不一定符合a n ＝S n －S n －1的形式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式也是表示数列的一种方法．( ) (2)所有数列都有递推公式．( )(3)仅由数列{a n }的关系式a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)就能确定这个数列．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( )A．1，2，3，4，…B．1，2，2，22，…C.2，2，2，2，…D．0，2，2，22，…答案：B3．已知数列{a n}的首项a1＝1且a n＋1＝2a n＋1，则这个数列的第4项是()A.117 B.115C.2111 D.6答案：B4．在数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2 020－a2 019＝________．解析：由a n＋1－a n＝n，得a2 020－a2 019＝2 019.答案：2 019探究点1根据图形特征写通项公式图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为()A．3n－1B．3nC．3n＋1 D．3(n＋1)【解析】通过观察题图发现，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；….可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，a n－a n －1＝3(n≥2)．把上面的式子累加，则可得第n个图形中，火柴棒的根数为a n＝4＋3(n－1)＝3n＋1.【答案】 C根据图形特征写出数列通项公式的3个步骤(1)观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化． (2)把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律． (3)归纳猜想出通项公式．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图形中有________个点．解析：观察题图，5个图形中点的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，故第n 个图形中点的个数为(n －1)·n ＋1＝n 2－n ＋1.答案：n 2－n ＋1探究点2 由递推公式求数列的项(1)已知数列{a n }的首项a 1＝1且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第3项是( )A ．1 B.12 C.34D.58(2)已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n且a 1＝2，则a 2 020的值为( ) A.12 B ．－1 C ．2D ．1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.(2)由a n ＋1＝1－1an 及a 1＝2，得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可发现数列{a n }是周期为3的周期数列：2，12，－1，2，12，－1，….而2 020＝673×3＋1，故a2 020＝a1＝2.【答案】(1)C(2)C由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．[注意]由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是()A．a n＋1＝a n＋n(n∈N*)B．a n＝a n－1＋n(n∈N*，n≥2)C．a n＋1＝a n＋(n＋1)(n∈N*，n≥2)D．a n＝a n－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2)解析：选B.把数列的前5项代入验证，知a n＝a n－1＋n(n∈N*，n≥2)适合．2．已知在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝nn＋1a n.(1)写出数列{a n}的前5项；(2)猜想数列{a n}的通项公式；(3)画出数列{a n}的图象．解：(1)a1＝1，a2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n . (3)图象如图所示：探究点3 由数列的递推公式求通项公式在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n【解析】 方法一(归纳法)：数列的前5项分别为 a 1＝2，a 2＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝2＋ln 2， a 3＝(2＋ln 2)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝2＋ln 3，a 4＝(2＋ln 3)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝2＋ln 4，a 5＝(2＋ln 4)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝2＋ln 5， 由此可得数列的一个通项公式为a n ＝2＋ln n .方法二(迭代法)：a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln(1＋12)，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1(n ≥2)， 则a n ＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21·32·43·…·n n －1＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2＝2＋ln 1，所以a n ＝2＋ln n .方法三(累加法)：a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln(1＋n )－ln n ，a 1＝2， a 2－a 1＝ln 2， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， …a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)， 以上各式相加得a n ＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n －ln(n －1)]． 所以a n ＝2＋ln n (n ≥2)． 因为a 1＝2也适合上式， 所以a n ＝2＋ln n . 【答案】 A若将本例中“a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ”改为“a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )”，求a n .解：方法一(累乘法)：因为a n ＝n (a n ＋1－a n )， 即a n ＋1a n＝n ＋1n ，所以a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1(n ≥2)．以上各式两边分别相乘，得a n a 1＝21×32×43×…×n n －1＝n .所以a n ＝n (n ≥2)．又因为a1＝1也适合上式，所以a n＝n.方法二(迭代法)：由a na n－1＝nn－1(n≥2)知，a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，所以a n＝a1×a2a1×a3a2×a4a3×…×a n－1a n－2×a na n－1＝1×21×32×43×…×n－1n－2×nn－1＝n.又因为a1＝1也适合上式，所以a n＝n.由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：①a n＋1－a n＝常数或a n＋1－a n＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②a n＋1＝pa n(p为非零常数)或a n＋1＝f(n)a n(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③a n＋1＝pa n＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．[注意]已知数列递推公式求其通项公式的问题未必总可以使用累加法或累乘法求解，只有递推公式表示的是数列相邻两项的差或商时才可以使用．不排除由其他类型的递推公式求通项公式．1．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋1n＋1＋n(n≥2)，求a n.解：因为a n＝a n－1＋1n＋1＋n(n≥2)，所以a n－a n－1＝1n＋1＋n＝n＋1－n.所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n＋1－n)＋(n－n－1)＋…＋(3－2)＋1＝n＋1－2＋1.又因为a1＝1符合上式，所以a n＝n＋1－2＋1.2．已知数列{a n}满足a1＝1，ln a n－ln a n－1＝1(n≥2)，求a n. 解：因为ln a n－ln a n－1＝1，所以ln a na n－1＝1，即a na n－1＝e.所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝e·e·…·e,\s\up6(,(n－1)个))·1＝e n－1.又因为a1＝1符合上式，所以a n＝e n－1.探究点4利用a n与S n的关系求a n已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式a n.(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.【解】(1)a1＝S1＝2－3＝－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，因为a 1也适合此等式， 所以a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． 所以当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1. 当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写．如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时， a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2 . 由于a 1不适合此式， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.1．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5＝( ) A ．－163 B.163 C ．－83D.83解析：选B.由a n ＝(－1)n ·2a n －1及a 1＝13知a 2＝23，a 3＝－2a 2＝－43，a 4＝2a 3＝－83，a 5＝－2a 4＝163.2．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选D.因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ， 所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3， a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5， a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C.4．黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________块．解析：第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有白色地面砖10块，第3个图案中有白色地面砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖，从而第n 个图案中有4n ＋2块白色地面砖．答案：4n ＋25．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)，则a n ＝________．解析：因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a na n －1＝n －1n ＋1.所以a na n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13，即a n a 1＝1n ＋1×1n ×2×1，所以a n ＝1n （n ＋1）.当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，符合a n ＝1n （n ＋1），所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）.答案：1n （n ＋1）[A 基础达标]1．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则a 5＝( ) A ．0 B ．3 C ．5D ．8解析：选D.利用递推公式可得 a 3＝a 1＋a 2＝1＋2＝3， a 4＝a 2＋a 3＝2＋3＝5， a 5＝a 3＋a 4＝3＋5＝8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝( ) A ．33 B ．34 C ．35D ．36 解析：选B.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，故a 2＋a 18＝34.3．已知在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ∈N *)，能使a n ＝3的n 可以为( )A ．17B ．16C ．15D ．14解析：选B.由a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3，所以数列{a n }是周期为3的数列，则由选项知a 16＝3，故选B.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝( )A ．1B ．0C ．2 020D ．－2 020解析：选B.因为a 1＝1，所以a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 020＝a 2＝0.5．已知a 1＝1，a n ＝2(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD ．a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选B.由a n ＝2(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，知a n ＋1＝32a n ，所以a n ＝32a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1，又a 1＝1，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故选B.6．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；….所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 答案：a n ＝n （n ＋1）27．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________．解析：由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以数列{a n }是以4为周期的数列，并且a 1a 2a 3a 4＝1.而2 015＝4×503＋3，所以前2 015项的乘积为a 1a 2a 3＝3.答案：38．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，则a 10＝________．解析：因为a p ＋q ＝a p ＋a q ， 所以a 4＝2a 2＝－12， a 8＝2a 4＝－24， a 10＝a 2＋a 8＝－30. 答案：－309．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求{a n }的通项公式a n .解：因为a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1），所以a 2－a 1＝11×2，a 3－a 2＝12×3，a 4－a 3＝13×4，…a n －a n －1＝1（n －1）n (n ≥2)，以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n .所以a n ＋1＝1－1n .所以a n ＝－1n (n ≥2)．因为a 1＝－1符合上式，所以a n ＝－1n .10．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：因为a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1， 所以a n ≠0，1a n ＋1＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，所以1a 2－1a 1＝1，1a 3－1a 2＝1，1a 4－1a 3＝1，…，1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，将上述(n －1)个等式相加， 得1a n－1a 1＝n －1，所以1a n＝n ，所以a n ＝1n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝11＝1成立， 所以a n ＝1n (n ∈N *)．[B 能力提升]11．数列{a n }定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n 2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n＝14，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9，故选C.12．设数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n （n ＋1）C.6（n ＋1）（n ＋2）D.5－2n 3解析：选B.由题意知当n ＝1时，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，所以a n ＝2n （n ＋1）.当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）. 13．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________． 解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.答案：1214．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，所以a 2＝3a 1＝3. 由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，所以a 3＝6.(2)由题意，知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 所以a na n －1＝n ＋1n －1. 所以当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·n －2n －4·…·42·31·1＝n （n ＋1）2.因为a 1＝1适合上式，所以a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)．[C 拓展探究]15．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n－3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意知S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *. 令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或S 1＝2，即a 1＝－3或a 1＝2. 又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *，可得(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3.又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)．所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n . 又a 1＝2＝2×1，适合上式，所以a n ＝2n (n ∈N *)．。
数列求和求积累加累乘递推法
基本累乘： void main() { int j, n, s=1; scanf("%d", &n); for(j=0; j<n; j++) s = s*n; printf("“%d", s); }
例1: 输入n个100分制成绩（用整型），计算并输 出平均成绩，要求输出精确到两位小数。 #define n 10 main() { double av=0; int score, i; printf("Input %d integers:", n); for(i=1; i<=n; i++) { scanf("%d", &score); av+=score; } av/=n; printf("av=%.2f\n", av); }
练习题
1. 求s=a+aa+aaa+…+aaa…a之值，其中a是一个数字。 例如：2+22+222+2222+22222(此时n=5),n由键盘输 入。 2.
2 3 5 8 13 21 有一分数序列： , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,.... 1
求出这பைடு நூலகம்数列
的前20项之和。
x2 xn 例4:求 e x = 1 + x + + ... + + ... 2! n!
的部分和。
直到余项的首项的值小于1.0e-6。 void main ( ) { float x, u=1., s=0.; int n=0; scanf(”%f”, &x); do { s+ = u; u*= x/(n+1); n++;} while (u>=1.e-6); printf("exp(x)=%f\n", s ); }
数列求和公式的递推与逼近
数列求和公式的递推与逼近数列求和是数学中常见的问题之一。
在计算数列求和的过程中，我们经常需要使用递推公式或逼近方法来得出结果。
本文将探讨数列求和公式的递推和逼近方法，并分析其应用场景和优缺点。
一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项的值来计算下一项的公式。
在求和过程中，递推公式可以帮助我们简化计算，并通过已知项来推算未知项的值。
常见的递推公式有等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
1. 等差数列求和公式：对于等差数列 a1, a2, a3, ...，其公差为 d，n 为项数，则数列的和 Sn 可以通过递推公式来计算：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中 n/2 表示项数的平均值，2a1 表示首项和末项的和，(n-1)d 表示公差的总和。
2. 等比数列求和公式：对于等比数列 a1, a2, a3, ...，其公比为 q，n 为项数，则数列的和 Sn 可以通过递推公式来计算：Sn = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)其中 a1 表示首项的值，q^n 表示公比的幂次方。
递推公式可以帮助我们快速计算数列的和，并且具有较简单的表达形式。
然而，在某些情况下，递推公式可能会出现计算复杂度较高的问题，尤其是在项数较大时。
二、逼近方法逼近方法是指通过将数列的和逼近为其他已知公式或近似值来计算。
逼近方法常用于无法通过递推公式直接求得数列和的情况，或者在数列项数较多时可以减少计算复杂度。
1. 积分逼近法：对于一些特定形式的数列，我们可以使用积分逼近法来求和。
通过将数列转化为函数表达式，并进行积分运算，可以得到数列和的近似值。
2. 数值积分法：数值积分法是一种使用近似数值进行积分计算的方法。
通过将数列转化为函数，并使用数值积分方法进行近似计算，可以得到数列和的近似值。
常用的数值积分方法包括梯形法则和辛普森法则。
3. 泰勒级数逼近法：泰勒级数逼近法是一种使用泰勒级数来逼近函数的方法。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
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数列的求和与递推公式
在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的和以及找到递推公式是数学中常见的问题，本文将介绍数
列求和的方法以及递推公式的推导过程。
一、等差数列的求和与递推公式
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
设等差
数列的首项为a，公差为d，第n项为an。
1.1 求和公式
对于等差数列来说，我们可以通过求和的方法来快速计算数列的和。
等差数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：
Sn = (n/2) * (a + an)
其中，n为项数，a为首项，an为第n项。
1.2 递推公式
递推公式是求解等差数列中第n项的常用方法。
根据等差数列的性质，可以得出递推公式为：
an = a + (n-1) * d
其中，an为第n项，a为首项，d为公差，n为项数。
二、等比数列的求和与递推公式
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
2.1 求和公式
对于等比数列而言，我们可以通过求和的公式来计算数列的和。
等比数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)
其中，n为项数，a为首项，r为公比。
2.2 递推公式
递推公式是求解等比数列中第n项的常用方法。
根据等比数列的定义和性质，可以得出递推公式为：
an = a * r^(n-1)
其中，an为第n项，a为首项，r为公比，n为项数。
三、斐波那契数列的求和与递推公式
斐波那契数列是一种特殊的数列，在数学和自然界中都有广泛的应用。
斐波那契数列的定义如下：首项为1，第二项为1，之后的每一项都是前两项的和。
3.1 求和公式
斐波那契数列的前n项和Sn可以通过下式计算得到：
Sn = Fn+2 - 1
其中，Fn为斐波那契数列的第n项。
3.2 递推公式
递推公式是求解斐波那契数列中第n项的常用方法。
根据斐波那契
数列的定义和性质，可以得出递推公式为：
Fn = Fn-1 + Fn-2
其中，Fn为第n项，Fn-1为第n-1项，Fn-2为第n-2项。
总结：
数列的求和与递推公式是数学中重要的概念和方法。
对于等差数列，我们可以通过求和公式和递推公式来计算数列的和和求解特定项；对
于等比数列，我们也可以通过相应的求和公式和递推公式来进行计算；而斐波那契数列则具有独特的定义和递推关系。
通过掌握数列的求和与递推公式，我们可以更好地理解数列的规律
和性质，能够在实际问题中应用数列的概念，并且可以通过公式的运
用更加高效地解决相应的计算问题。
因此，数列的求和与递推公式在
数学学习和实际运用中都具有重要意义。