人教版九年级数学上册 23.1---23.2随堂练习题含答案

23.1 图形的旋转一．选择题1．在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（）个．A．1B．2C．3D．42．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处，连接CE，则点B到CE的距离是（）A．B．C．D．3．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E 与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°4．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD ＝2，BD＝3，则CD的长为（）A．B．4C．D．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠ADE的大小为（）A．60°B．50°C．45°D．40°6．如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝2，BF＝，△EFB绕点B 旋转，∠BCF的最大度数（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转一个角度后，恰好AB′∥BC，若∠B＝30°，则△ABC旋转了（）A．10°B．20°C．30°D．35°8．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A'B'C，若B'恰好落在线段AB上，连接AA'，则下列结论中错误的是（）A．∠B'A'C＝25°B．AC＝AA'C．∠ACA'＝50°D．AB⊥AA'9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC′，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5，连接AA′．则AA'长为（）A．2B．C．3D．410．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（）A．60°B．90°C．120°D．180°11．将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（）A．90°B．120°C．180°D．270°12．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，﹣5）C．（﹣5，4）D．（5，﹣4）13．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O 逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣1，）C．（﹣，）D．（﹣，）14．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a+b等于（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3二．填空题16．时钟从上午8时到中午12时，时针沿顺时针方向旋转了度．17．在正方形ABCD中，AB＝6，点P为边AB上的一动点，连接PC，以PC为边向下作等边△PCQ，连接BQ，则BQ的最小值是．18．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝5，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC绕着点B旋转得△A′BC′，点A 的对应点为点A′，点C的对应点为点C′．当点A，B，C′三点共线时，点C和点C′之间的距离为．20．如图，已知∠EAD＝34°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE＝度．21．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝1，OB＝，OC＝2，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO'①点O与O′的距离为2；②∠AOB＝135°；③四边形AOBO′的面积为；④△ABC的边长为；其中正确的结论为．（填正确的番号）22．正方形绕着它的中心至少旋转度可以与它自身重合；五角星的最小旋转角是度．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B（﹣1，2），第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1；第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，……按此规律，经过第五次旋转得到的点A5坐标为．24．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为．25．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△AOB，∠AOB＝30°，∠OBA＝90°，OA边在x 轴正半轴，且A（，0），现将其中的OB边绕原点O每次按逆时针方向旋转30°，并且每旋转一次长度增加一倍，点B对应点依次为B1、B2、B3、…，按照此规律，点B100的坐标为．三．解答题26．已知△ABC为等边三角形．（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接P A，PB，PC，求证：PB+PC＝P A；（2）如图，P为△ABC内一点，若P A＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．27．如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求证：BE＝AD；（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）28．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE＝2，连接BE，求BE的长．29．如图，边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是．30．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（，0）．（1）如图1，求点C的横坐标；（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．B．4．A．5．D．6．C．7．C．8．B．9．B．10．B．11．B．12．C．13．A．14．B．15．C．二．填空题16．120°．17．3．18．3或13．19．或．20．16．21．③④．22．90，72．23．（9，2）．24．（1，2）．25．（﹣299•，299）．三．解答题26．证明：（1）如图1，延长BP至点E，使得PE＝PC，连接CE，∵∠BPC＝120°，PE＝PC，∴∠CPE＝60°，∴△CPE为等边三角形，∴CP＝PE＝CE，∠PCE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BCA＝60°，∴∠ACB＝∠ECP，∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+∠BCP，即：∠ACP＝∠BCE，在△ACP和△BCE中，，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP＝BE，∵BE＝BP+PE＝BP+PC，∴PB+PC＝P A；（2）如图2，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP'，连接PP'，由旋转知，△APB≌△CP′B，∴∠BP A＝∠BP′C，P′B＝PB＝5，P′C＝P A＝12，∠PBP'＝∠ABC＝60°，又∵P′B＝PB＝5，∴△PBP′是等边三角形，∴∠PP′B＝60°，PP′＝5，在△PP′C中，PC＝13，PP′＝5，P′C＝12，∴PC2＝PP′2+P′C2，即∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠BP′C＝60°+90°＝150°．27．（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．28．解：将DE绕点E逆时针旋转60°得到EF，连接AF、DF，如图所示：则∠AEF＝∠DEF+∠AED＝60°+30°＝90°，由旋转的性质得：DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴DF＝DE，∠EDF＝60°，∵△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝60°，∴∠ADF＝∠BDE，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF＝＝＝，在△ADF和△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴BE＝AF＝．29．解：（1）如图，△OA'B'即为所求．（2）△AOA′是等腰直角三角形．理由：∵OA＝OA′＝5，AA′＝5，∴AO2+OA′2＝AA′2，∴∠AOA′＝90°，∴△AOA′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．30．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠DAB＝∠DBA＝30°，∴DA＝DB，∵DO⊥AB，∴OA＝OB，∵B（，0），∴OA＝OB＝，∴AB＝2，∴BC＝AB＝，∵CH⊥AB，∴∠CHB＝90°，∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，∴OH＝OB﹣BH＝，∴C（，）．（2）①当旋转角小于90°时，P在y轴左侧，Q在y轴正半轴上，对应∠APQ＝75°和120°的情况．②当旋转角度大于90°小于120°时，P在y轴左侧，Q在y轴负半轴上，此时∠P AQ＝150°，此时要形成等腰三角形∠APQ＝15°．③当旋转角度大于120°小于180°时，P在y轴右侧，Q在y轴负半轴上，对应∠APQ＝30°的情况．所以总共有四个情况，15°、30°、75°、120°．综上所述，满足条件的∠APQ的值为15°或30°或75°或120°．23.2中心对称一．选择题1．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在等边三角形，圆，菱形，正方形，正五边形，正六边形中是中心对称的图形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．在平面直角坐标系中，点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（）A．（-2,0）B（0,-2）C．（0,2）D（1,2）4．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O 逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣1，）C．（﹣，）D．（﹣，）6．如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是（）A．B．C．D．7．如图，线段OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是每秒转动30°，则第2020秒时，OA与OB之间的夹角的度数为（）A．90°B．145°C．150°D．165°8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A 的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），P为y轴正半轴上一个动点，将线段P A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q，则线段BQ的最小值是（）A．3B．5C．D．210．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（5，0）、C（5，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，则点C′的坐标为（）A．C．二．填空题11．已知点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，则a＝．12．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点Q（﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为．13．关于原点对称，则n﹣m的值为．14．如图，已知点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕点M逆时针旋转到A1B1，点A与A1是对应点，则点M的坐标是．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B（﹣1，2），第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1；第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，……按此规律，经过第五次旋转得到的点A5坐标为．三．解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B在第一象限，AB⊥OA，AB＝OA，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转105°得到△OA'B'，连接BB'．（Ⅰ）求∠OBB'的度数；（Ⅱ）求出点B'的坐标．17．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？18．在平面直角坐标系中，已知点P（a，﹣1），请解答下列问题：（1）若点P在第三象限，则a的取值范围为；（2）若点P在y轴上，则a的值为；（3）当a＝2时，点P关于y轴对称的点的坐标为点P关于原点对称的点的坐标为．19．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（，0）．（1）如图1，求点C的横坐标；（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：在等边三角形，圆，菱形，正方形，正五边形，正六边形中是中心对称的图形有圆，菱形，正方形，正六边形共4个．故选：B．3．【解答】解：点（2，0）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，0）．故选：A．4．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．5．【解答】解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．∵A（1，0），∴OA＝1，∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，∴OH＝AH＝OA＝，BH＝OH＝，∴B （，），∵∠AOB ＝∠BOB ′＝60°，∠JOA ＝90°，∴∠BOJ ＝∠JOB ′＝30°，∵OB ＝OB ′，∴BB ′⊥OJ ，∴BJ ＝JB ′，∴B ，B ′关于y 轴对称，∴B ′（﹣，），故选：A ．6．【解答】解：如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4s ．∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S △AOB ＝S △BOC ＝S 平行四边形ABCD ＝s ，∵EF ＝AB ，GH ＝BC ，∴S 1＝s ，S 2＝s ， ∴＝＝，故选：B ．7．【解答】解：设t 秒第一次相遇．由题意：270+30t ＝45t ，解得t ＝18，相遇后设m 秒第二次相遇，则有45t ﹣30t ＝360，解得t ＝24，以后每过24秒相遇一次，（2020﹣18）÷24＝83…10，∴2020秒时，10×45°﹣10×30°＝150°，故选：C．8．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B（﹣1，﹣1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）故选：C．9．【解答】解：∵A（2，0），∴OA＝2，设P（0，m），则OP＝m，作QM⊥y轴于M，∵∠APQ＝90°，∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，∴∠OAP＝∠QPM，∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，P A＝PQ，∴△AOP≌△PMQ（AAS），∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，∴Q（m，m+2），∵B（4，0），∴BQ＝＝，∴当m＝1时，BQ有最小值3，故选：A．10．【解答】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（5，0）、C（5，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB'C'，如图所示：则点C′的坐标为（1，3）．故选：B．二．填空题11．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（2，﹣3）关于原点对称，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．12．【解答】解：如图，观察图象可知，P′（1，2）．故答案为（1，2）．13．【解答】解：∵点（m，3n）与点（﹣4，9）关于原点对称，∴3n＝﹣9，m＝4，∴n＝﹣3，∴n﹣m＝﹣3﹣4＝﹣7．故答案为：﹣7．14．【解答】解：如图，旋转中心M即为所求．M（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）．15．【解答】解：∵点B（﹣1，2），∴A（﹣1，0），OA＝BC＝1，AB＝OC＝2，∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点O顺时针旋转90°得到矩形O1A1B1C1，且A1O＝AO＝1，OC1＝OC＝2，第二次再将矩形O1A1B1C1绕右下角顶点C1顺时针旋转90°得到矩形O2A2B2C2，且B2O ＝C1O+B1C1＝3…，依此规律，∴A1（0，1），A2（3，2），A3（5，0），A4（6，1），A5（9，2），故答案为（9，2）．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（Ⅰ）∵△OAB≌△OA′B′，∴OB＝OB′，又∠BOB′＝105°，∴∠OBB′＝∠OB′B＝（180°﹣105°）＝37.5°．（Ⅱ）过点B′作B′C垂直于x轴，垂足为C．∵OA＝AB＝2，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2，∴∠COB′＝180°﹣105°﹣45°＝30°，在Rt△OCB′中，B′C＝OB′＝，∴OC＝CB′＝，∴B′（﹣，）．17．【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，∴∠B＝∠DEC，∵AF∥BE，∴∠F＝∠DEC，∴∠B＝∠F．18．【解答】解：（1）∵点P（a，﹣1），点P在第三象限，∴a＜0；故答案为：a＜0；（2）∵点P（a，﹣1），点P在y轴上，∴a＝0；故答案为：0；（3）当a＝2时，点P（a，﹣1）的坐标为：（2，﹣1）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣1），点P关于原点对称的点的坐标为：（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，﹣1），（﹣2，1）．19．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠DAB＝∠DBA＝30°，∴DA＝DB，∵DO⊥AB，∴OA＝OB，∵B（，0），∴OA＝OB＝，∴AB＝2，∴BC＝AB＝，∵CH⊥AB，∴∠CHB＝90°，∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，∴OH＝OB﹣BH＝，∴C（，）．（2）如图2中，∵△P AQ是是等腰三角形，∠P AQ＝30°。