浙教版中考数学复习：圆的综合 (共45张PPT)

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∴直线EO垂直平分AC，∴ AG=CG
•
∵ ∠AFC=90°，∴ FG=12AC即2FG=AC
解析：
• 解析：(3)连接OA，∵EG⊥AC，∴∠CGE=90°，∴∠ECG+∠CEG=90°
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∵ FGニ12AC=AG，∴∠AFG=∠FAG
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∵ ∠ECG=∠FAG=∠AFG，∴∠AFG+∠CEG=90°
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求出∠CDB=∠CBD;
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②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出
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∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及
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三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是
• 解.
三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=DC-CI计算即可得
• (1)如图(1)，求证：EA=EC； • (2)如图(2)，连接EO并延长交AC于点G,求证:2FG=AC； • (3)如图(3)，在(2)的条件下,若sin∠FGE=13,DF=2,求四边形FECG的面积.
解析：
• 【分析】(1)要证EA=EC即需证∠EAC=∠ECA,∠EAC有互余的∠OCA,连接 OA得∠OAC=∠OCA,构造∠OAC的余角.由点A为弧BC中点和半径OA,根据 垂径定理推论,平分弧的直径(半径)垂直于弧所对的弦,故延长AO交BC于H有 ∠AHC=90°,∠OAC的余角即为∠ECA,根据等角的余角相等,得证.
=
������������ ������������
,
������������ ������������
=
������������ ������������
,两
式子相
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加可得 2
������������
+
2 ������������
=
1,即可得出 ������������∙������������
������������+������������
解析：
• 设△BCD内切圆的半径为r,则S△BCD=12BD·CF= 12(BD+CD+BC)·r,
• 即12 ∙
3 ∙BC∙ 12BC= 12(
3
BC+BC+BC)·r,解得������
=
3 2(2+
3)
������������
=2
3−3 2
������������,即IF=
2
3−3 2
������������
的值.
解析：
• 解析:(1)∵∠A的度数为������,∴∠COB=2∠A=2������
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(2)当∠ABC=90°时,AC为⊙O的直径,
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∵ CD∥AB，∴∠DCB=180°-90°=90°，∴BD为⊙O的直
径，∴P与圆心O重合,
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∵ PQ∥AB交于Q，∴OQ⊥BC，∴ CQ=BQ，
•
∵ AB=8，∴OQ=12 AB=4,
• 所以，������������ = ������������ − ������������ = 1 ������������ − 2 3−3 ������������ = 2 − 3 BC,
2
2
• OI = OC − CI = BC − 2 − 3 BC = 3 − 1 BC,
• ∵⊙O的半径为3+ 3,∴BC=3+ 3,
������������ ������������ ������������
������������ 3
•
(3)作FM⊥AH于M，∵ ∠ADB=∠AFB=∠DAF=90°，∴四边形AFBD是矩形,
•
∴ FH=BD=AF，∴ AM=HM, OH=60°，∠OHF=30°，∠DFH=90°
解析：
• 解析：(1)证明:连接OA并延长,交BC于点H
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∵点A为弧BC的中点，∴AH⊥BC，∴∠AHC=90°
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∴ ∠CAO+∠ACH=90°
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∵AF⊥CD，∴ ∠AFC=90°，∴ ∠CAF+∠ACO=90°
•
∵ OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠CAF=∠ACH
•
∴ EA=EC
•
(2)证明:连接OA∵ EA=EC,OA=OC，
• ①求证:∠CDB=∠CBD; • ②若∠D=30°,且⊙O的半径为3+ 3,I为△BCD内心,求OI的长.
解析：
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【分析】
①先求出������������
������������
=
������������������������,然后求出△BCE和△ACB相似,根据相似三角形对应角相等可得
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∠A=∠CBE,再根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB,然后
• (2)由2FG=AC可知需证G为Rt△ACF斜边AC上的中点,因为EA=EC,OA=OC, 所以E、O都在AC的垂直平分线上即直线EO垂直平分AC,得证.
• 3)通过证明相似,把∠FGE转化到∠ECO,得到CE=3EF,设EF=x,则EA、EC、 CD、CF都能用x表示,在Rt△OAF里用勾股定理列方程求得x.四边形FECG面 积可由△ACE面积减去△AFG面积,又△AFG面积等于△AFC面积一半,即求 得答案.
•
又∵DF是⊙O的直径，∴ FH是⊙O的切线.
圆的综合：
• (2018秋·海珠区期末)已知:如图,BC为⊙O的弦,点A为⊙O上ー个动点,△OBC的周长为16.过C作 CD∥AB交⊙O于D,BD与AC相交于点P,过点P作PQ∥AB交于Q,设∠A的度数为 ������.
• (1)如图1,求∠COB的度数(用含������的式子表示)； • (2)如图2,若∠ABC=90°时,AB=8,求阴影部分面积(用含������的式子表示)；
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∵ ∠AFG+∠OFG=90°，∴∠CEG=∠OFG
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∵ ∠COE=∠GOF，∴△ COE∽△GOF，∴∠OCE=∠OGF
•
∴sin∠OCE=sin∠OGF=13，∴sin∠OCE=������������������������
=
1 3
• 设EF=x,则AE=CE=3x∴AF=AE-EF=3xーx=2x，CF= ������������2 − ������������2 =
解析：
• 解析：(1)证明：圆内接四边形ABCD，AD=BC，∴弧AD=弧BC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥CD
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(2)由(1)知，∠BCE=∠CBA=∠DAO
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∵∠CBE=2∠ABD且∠AOD=2∠ABD，∴△ AODO∽△CBE
•
∴������������ = ������������ = ������������ ，∴ ������������ = ������������2 = 4
,
������������ ������������
=
������������ ������������
,
∴
������������ ������������
+
������������ ������������
=
������������ ������������
+
������������ ������������
• ∴ AE=3 2, AF=2 2, CF=4
•
∴ S四边形FECG=S△ACE-S△AFG=S△AFC 4−1×2 2×4=4 2
=12AE∙CF-14AF
∙
CF=12
×
3
2×
4
圆的综合：
• (2019·武汉模拟)如图,已知△BAC为圆O内接三角形,AB=AC,D为⊙O上一点, 连接CD、BD,BD与AC交于点E,且������������2 = ������������ ∙ ������������
2
圆的综合：
• (2018秋・东莞市期末)如图1,圆内接四边形ABCD,AD=BC,AB是⊙O的直径 • (1)求证:AB∥CD； • (2)如图2,连接OD,作∠CBE=2∠ABD,BE交DC的延长线于点E,若AB=6,AD=2,求CE的长； • (3)如图3,延长OB使得BH=OB,DF是⊙O的直径,连接FH,若BD=FH,求证:FH是⊙O的切线.
3
解析：
• 【分析】(1)由弧AD=弧BC,根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠BDC得AB∥CD；
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(2)由∠BCE=∠CBA=∠DAO得∠CBE=2∠ABD且∠AOD=2∠ABD;
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从而得到△AOD∽△CBE,根据相似比得出结果;
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(3)要证FH是⊙0的切线,只须证出DF⊥FH即可,作出辅助线是本题的关键.
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设⊙O的半径为r，∵ △OBC的周长为16,∴ CO=8-
r,∴ 8 − ������ 2 + 42 = ������2,解得r=5,CB=6
•
∴阴影部分面积=2������3������6×052
−
1 2
×
6
×
4
=
5������������ 36
−
12
圆的综合：
• (2018秋·海珠区期末)已知:如图,BC为⊙O的弦,点A为⊙O上ー个动点,△OBC 的周长为16.过C作CD∥AB交⊙O于D,BD与AC相交于点P,过点P作PQ∥AB交 于Q,设∠A的度数为 ������.
=
CB CB
=
1,
•
∵������������
=
2,
∴2
������������