高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
第六章线性空间
.设
MN ,证明：
M I N M , M U N N
。
1
证任取M , 由 M N , 得N , 所以M N , 即证M N I M 。又因M N M , 故M I N M 。再证第二式，任取M 或N , 但 M N ,因此无论哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以M U N N 。
2.证明M ( N L )(M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) ( M L) 。
证x M( N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L.所以 x(M N )(M L) ，由此得 M( N L) (M N )(M L) 。反之，若
x(M N )( M L) ，则 x M N或
x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此
x N L. 故得x M ( N L), 在后一情形，因而 x M , x L, x N U L ，得x M ( N L), 故 ( M N ) ( M L) M (N L),
于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。
若 x M U（ N I L），则 x M ， x N I L 。
在前一情形 X
x M U N ，且 X M U L，因而 x （ M U N）。
I（MU L）
在后一情形， x
N ,x因而
x M U N,
且，即 X （ M N）（M L）所以L,X M U L U IU
（M U N）I（MU L） M U（NU L）
故M U（N I L） =（ M U N）I（ MU L）
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（ n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2）设 A 是一个 n × n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）
（kk1）2
k。（ a ， b1） =（ ka1， kb1 +a1
12
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k oa 0 ；
7） 集合与加法同 6），数量乘法定义为：
k oa a ；
8） 全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为：
a b
ab ，
k oa
a k ；
解 1 ）否。因两个
n 次多项式相加不一定是
n 次多项式，例如
（ x n 5）（ x n 2） 3 。
2）令 V={f （ A ） |f （ x ）为实数多项式， A 是 n × n 实矩阵 }
因为
f （ x ） +
g （ x ） =
h （x ）， kf （ x ）=d （ x ）
所以
f （ A ）+
g （A ）=
h （ A ）， kf （ A ） =d （A ）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的
1~8 条，故
v 构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的
1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三
角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当 A ， B 为反对称矩阵，
k 为任意一实数时，有
（A+B ） =A+B=-A-B=- （ A+B ）， A+B 仍是反对称矩阵。 （KA ） KA K （ A ） （KA ），所以 kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，
（ 0，0）是零元，任意（ a ，b ）的负元是
2
（-a ， a -b ）。对于数乘：
。（ ， ）（。 ，。 1(1 1) a 2
) ( a, b),
1 a b 1 a 1 b
2
k.(l .(a, b)
k.(la , lb l (l 1) a 2 ) (kla , k[lb l (l 1) a2]
k(k 1) (la )2 )
2 2 2
(kla , k[lb
l (l 1) a 2 ] k (k 1) (la )2
) (kla ,
kl (kl
1) a 2
k( k 1) (la ) 2 )
2 2
2
2
(kla ,
kl ( kl
1) a 2 klb ) ( kl ).( a, b),
2
(k l ).( a, b)
[( k l ) a,
(k
l )( k l 1) a 2 (k l )b]
2
k.(a,b)
l .(a,b) (ka, kb k (k 1) a 2 ) (la , lb l (l 1) a 2
2
2 (ka la , kb
k( k 1) a 2 k (k 1) a 2 kla 2 )
2 2
[( k l )a, (k 1)(k l 1) a 2
(k l )b].
2
即 ( k l ) (a, b) k (a,b) l (a, b) 。
k [( a 1 , b 1 ) (a 2 ,b 2 )] k (a 1 a 2 , b 1 b 2 a 1a 2 )
＝
[k (a 1 a 2 ), k(b 1 b 2 a 1 a 2
k( k 1)
(a 1 a 2 ) 2 )] ，
2
k ( a 1, b 1 ) k (a 2 , b 2 )
k(k
＝ (ka 1 ,kb 1
2
＝ (ka 1 ka 2 , kb 1 ＝ (k (a 1 a 2 ), k (b 1
＝ (k (a 1 a 2 ), k(b 1
1)
a 12 )
(ka 2 , kb 2 k(k 1) a 22 )
2
k (k 1) a 12
kb 2 k (k 1) a 22 k 2a 1 a 2 )
2
2
b 2 a 1 a 2 ) k (k 1) a 12
k( k 1) a 22 k 2 a 1 a 2 k a 1 a 2 )
2
2
b 2 a 1 a 2 )
k(k 1)
( a 12 a 22 ) 2 ) ，
2
即
k (a 1 ,b 1 ) (a 2 , b 2 ) k (a 1, b 1 ) k (a 2 ,b 2 ) ，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为
7）否，因为
1 0
. 。
( k l )
,k l 2 , 所以 (k l ) (k ) (l ) ，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i )a b ab ba b
a;
ii )( a b) c (ab) c
abc
a (bc)
a (b
c);
iii )1是零元： a
1 a 1 a;
iv ) a 的负元是 1
: a 1
a
1
1,且
1
a 1;
a a a
a
v)1 a a 1 a;
vi )(k o(l oa))
k o( a l )
(a l )k
a lk a kl
(kl ) oa;
vii )(k
l ) o
k l
k
l
(la );
a
a
a a (ka)
viii )k o
b) k o(ab ) (ab) k
a k
b k
( k oa) (k ob).
( a 所以，所给集合
R 构成线性空间。
4 在线性空间中，证明： 1） k 0
0 2） k( ) k k 。
证 1） k0
k( ( )) k k ( ) k k( 1) (k ( k )) 0
0 。
2）因为 k( ) k k ( ) k , 所以 k( ) k k 。
5证明：在实函数空间中， 1，cos2t, cos2t式线性相关的。
证因为 cos 2t 2 cos2 t 1 ，所以1， cos2 t, cos2t 式线性相关的。
6 如果f1( x), f2( x), f3( x)是线性空间P[ x] 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证若有不全为零的数k1 ,k 2 , k3使 k1 f1 ( x) k2 f 2 (x) k3 f3 ( x)0 ，
不妨设k10, 则 f 1 ( x)k2f 2 ( x)k
3 f3 (x) ，这说明 f 2 ( x), f 3 ( x) 的公因式也是 f1 (x)
k1k1
的因式，即 f1 (x), f 2 ( x), f 3 ( x) 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 线性无关。
7 在 P 4中，求向量在基 1 ,2,3,4下的坐标。设
1）1(1,1,1,1), 2(1,1, 1, 1), 3(1, 1,1 1),4(1, 1, 1,1),(1,2,1,1) ；
2）1(1,1,0,1),2(2,1,3,1), 3(1,1,0,0),4(0,1, 1, 1),(0,0,0,1) 。
a b c d1
解 1）设有线性关系 a 1 b 2 c 3 d 4
a b c d2，则
b c d
，
a1
a b c d1
在基
1, 2 ,5111
可得3 , 4下的坐标为a,b, c,d。
4444
a2b c0
a 1
b 2
c 3
d a b c d0
2）设有线性关系4，则
d0，
3b
a b d1可得在基1, 2 , 3 , 4 下的坐标为 a 1, b 0, c1,d0 。
8 求下列线性空间的维数于一组基：
1）数域 P 上的空间 P n n ； 2） P n n 中全体对称（反对
称，上三角）矩阵作成的数域
P 上的空间； 3)第 3 题 8)中的空间 ;4)实数域上由矩阵 A 的全
1 0 0 1
3i
体实系数多项式组成的空间
,其中 A= 0
0 ,
。
2
2
解 1) P n n 的基是 E ij
}( i , j
1,2,...,n), 且 dim( P n
n )
n 2 。
...
... ... ... 1 ...
2)
i) 令 F ij
...
... ， 即
a
ij
a
ji
1, 其 余 元 素 均 为 零 , 则
...
1 ... ... ...
...
...
F 11 ,...,F 1n, F 22 ,..., F 2 n ,..., F nn 是对称矩阵所成线性空间
M n 的一组基 , 所以 M n 是
n(n 1) 维的。
2
...
... ... ...
1 ...
ii) 令 G ij
... ...
， 即 a ij
a ji 1,(i
j ), 其 余 元 素 均 为 零 , 则
...
1 ... ... ...
... ...
G 12 ,...,G 1n, G 23 ,...,G 2n ,...,G n 1,n 是反对称矩阵所成线性空间 S n 的一组基 , 所以它是
n(n 1) 维的。
2
,所以它是
n(n 1)
iii)
E 11 ,...,E 1n , E 22 ,..., E 2 n ,..., E nn 是上三角阵所成线性空间的一组基
2
维的。
3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量 ,例如取 2，且对于任一正实数
a ,可经 2 线性
表出，即 . a
(log 2 a) 2,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组基。
1
3i
1, n 3q
4)因为
3
1 ,所以
n
, n 3q 1 ，
2
,
2
, n 3q
2
1
1
E, n 3q 于是 A
2
2
, A
3
1
E ， 而 A n
A, n 3q 1 。
1
A 2 ,n
3q 2
9.在 P 4
中 ,求由基
1, ， 2 ,
3 ,
4 , 到基
1, 2 ,
3 ,
4 的过渡矩阵 ,并求向量
在所指基下的坐
标。设
1
2 1
3
4
1,0,0,0 1
0,1,0,0 ，
2
0,0,1,0
3
0,0,0,1
4
2,1, 1,1
0,3,1,0
，
5,3,2,1 6,6,1,3
x 1 , x 2 , x 3
, x 4 在 1, 2 , 3 , 4 下的坐标；
1
1,2, 10 1
2,1, 0,1
2
2
1, 1,1,1
，
2
0,1,2,2
，
3
4
1,2,1,1 3 1, 1,0,1
4
2,1,1,2
1,3,1,2
1,0,0,0 在
1, 2 , 3 , 4 , 下的坐标；
1
1,1,1,1
1
3 2 1,1, 1, 1 ，
2
1, 1,1, 1
3 3
4
1, 1, 1,1
4
1,1,0,1
2,1,3,1
，
1,1,0,0 0,1, 1, 1
1,0,0, 1 在 1, 2 ,
3 ,
4 下的坐标；
2 0 5 6
1 （
1, 2 , 3 ,
4
） =（ 1 , 2 , 3 ,
1 3 3 6
1,
2 ,
3 ,
4 ） A
解
4
, ）
1 2 =（
1 1
1 0 1 3
这里 A 即为所求由基 1 ,
2 ,
3 ,
4 , 到 1, 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，将上式两边右乘得 1 ，
得 （ 1,
2 ,
3 ,
4 ） =（ 1, 2 ,
3 ,
4 ）
1 ，
于是
x 1
x 1
（ 1 ,
2 ,
3 ,
4
x 2 =（
1, 2 ,
3 ,
1
x 2 ，
）
4
）
x 3 x 3
x 4
x 4
所以在基下的坐标为
x 1
1
x 2 ，
x 3
x 4
4 1 1 11
9 3 9
1
1 4 23
这里
1
= 27
9 3 27 。
1 0 0 2
3 3
1 1 7 26
27
9
3
27
2 令 e 1 (1,0,0,0), e 2
(0,1,0,0), e 3 (0,0,1,0), e 4
(0,0,0,1) 则
1 1 1 1 （ 1 ,
2 ,
3 ,
4 ） =( e 1 2
1 2 1
, e 2, e 3 , e 4 )
1 1 =( e 1 , e 2, e 3 , e 4 )A ，
1 0 0 1
1
1
2 0 2 1 （ 1 , 2 ,
3 ,
4 ） =( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 1 1 1 3 =( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 )B ，
)
2 1 1 0
1 2
2
2
将( e 1 ,e 2, e 3 , e 4 )=（ 1 ,
2 ,
3 ,
4 ） A
1
代入上式 ,得
（ 1 , 2 , 3 , 4 ） =（ 1 , 2 , 3 , 4
） A 1
B ， 这里
3 3 6 5
13 13 13 13 1 0 0 1
5 1 3
4
1 1
0 1 1
13 13 13 13 , A
1
=
B=
，
2 3 4
1
0 1 1 1 13 13 13 13 0 0
1 0
3 2 7
8
13
13
13
13
且 A 1B 即为所求由基
1, 2 ,
3 ,
4 , 到基 1 , 2 ,
3 ,
4 的过渡矩阵，进而有
1
1 1,0,0,0 =( e 1 , e 2, e 3 ,e 4 ) 0 =（
1 ,
2 ,
3 ,
4 ） A 1
0 0 0
3
13
5 =（ 1 ,
2 ,
3 ,
4
）
13
，
2
13 3
13
所以
在 1 ,
2 ,
3 ,
4 下的坐标为
3 , 5 , 2 , 3 。
13 13
13
13
3 e 1 ,e 2, e 3 , e
4 同 2 ，同理可得
1 1 1
1
1 2 1 0 1
1
1
1 , B=
1 1 1 1
A=
1 1 10 3 0 1
1
1
1 1 1
1 1 0
1
1
1 1 1 1 =
1 1 1 1 1 ,
4
1 1
1
1
1
1
1
1
则所求由 1 ,
2 ,
3 ,
4 到
1, 2 , 3 ,
4 的过渡矩阵为
3 7 1 1
4 4 2 4
1 1 1 3
1
B=
4 4 2
4
。
1 3
1
4 4 4
1 1 0
1
4
4
4
再令
a 1 +b
2 +c
3 +d
4 ，即
1 1 1 0 1
1,0,0,0
a, b, c, d
2
2 1
3 1
a,b, c, d 1 0 ，
3 1 0
4
1 1
1
由上式可解得
在下的坐标为
1,
2 ,
3 ,
4 下的坐标为
a, b, c, d
1
3
a 1 。
2,
4,
2 2
10．继第 9 题 1）求一非零向量
，它在基 1 , 2 , 3 , 4 与 1, 2 , 3 , 4 下有相同的坐
标。
解
设 在两基下的坐标为
x 1 , x 2 , x 3, x 4 ，则
x 1
x 1
=（ 1 ,
, 3 , 4 x 2 =（ 1 , 2 , 3 ,
4
）
x 2 。
2
）
x 3 x 3
x 4
x 4
又因为
2 0 5 6
（ 1,
2 ,
3 ,
4 ） =（ 1 ,
1 3 3 6
2 ,
3 ,
4 ） A ，
2 ,
3 ,
4 ）
1 2 =（ 1, 1 1
1 0 1 3
所以
x 1 x 1
x 1
x 2 x 2 （ A - E ）
x 2 x 3 =A
=0。
x 3 x 3 x 4
x 4
x 4
又
1
0 5 6 2 3 1
2 3 1
6
1 1 0 ，
A E
1 1 0, 且 1 1 1 0
1 1
0 1 1
2
于是只要令 x 4
c, 就有
x 1 2x 2
x 1 x 2
3x 3 x 3
6c c ，
x 1
x 3
2c
解此方程组得
x 1 , x 2 , x 3, x 4 = c, c,c, c
(c 为任意非零常数 )，
取 c 为某个非零常数
c 0 ，则所求
为
c 0 1
c 0 2
c 0 3
c 0
4 。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第 3 题 8）中的空间同构。
证
因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设 V 1,V 2 都是线性空间
V
的子空间，且
V 1
V 2 ，证明：如果
V 1 的维数与
V 2 的维数相
等，那么 V1 V2。
证设 dim( V1 )=r，则由基的扩充定理，可找到V1的一组基a1, a2,.....a r , ，因 V1V2，且它们的唯数相等，故a1 , a2 ,.....a r , ，也是 V2的一组基，所以 V1=V2。
13．A P n n。
1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；
2）当 A=E时，求 C（ A）；
1
2
3）当 A=时，求 C（A）的维数和一组基。
.................... ......
n
证 1）设与 A 可交换的矩阵的集合记为C(A)。若 B,D 属于 C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，
故B+D C(A)。若 k 是一数， B C ( A)，可得
A（ kB） =k(AB)=k(BA)=(kB)A，
所以 kB C(A)。故 C(A)构成P n n子空间。
2）当 A=E时， C（ A） = P n n。
3）设与 A 可交换的矩阵为B=（b ij），则 B 只能是对角矩阵，故维数为 n, E11, E22,...E nn 即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解若记
100000
A= 010000 E S ，
001311
a b c
并设 B=a1b1c1与 A 可交换，即 AB=BA，则 SB=BS。且由
a2b2c2
000a b c000 SB= 000a1b1c1000，
3 11a2b2c23a a1a2 3b b1 b23c c1c2
a b c0003c c c
BS= a1b1c1000= 3c1c1c1，a2b2c23 1 13c2c2c2
可是 c1 c 0 ，
又3a a1a23c
2 ，
3b b1b2c2
即3c23a a
1
a
2，
c23b b1b2
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a, c2，并令 b=1，其余为0，得c2 =3,a=3;
1令 a1=1，其余为0，得 c2=3,a=
3令 b1=1，其余为0，得c2=1,a=1;
1令 a2=1，其余为0，得c2=0,a=
3令 b2=1，其余为0，得c2=1,a=1;; ;
则与 A 可交换的矩阵为
a b0
B= a1b10，
a2b2c2
其中 ,a, c2可经 b, a1, a2,b1,b2表示 ,所求子空间的一组基为
3 10
0 0 0 , 0 03
且维数为5。
100100100100
3
00
3
00
1, 010,0, 000，000001100011
15．如果c1 a c2c30, 且c1c30 ，证明：L a,=L,。
证由 c1 c30 ，知c10, 所以a可,经线性表出，即,可经,线性表出，同理，,也可经,线性表出。故L a,=L,。
16．在P4中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设
a 1 2,1,3,1 a 1 2,1,3, 1 a 2 (1,2,0,1)
a 2 ( 1,1, 3,1) 1）
，
a 3 (4,5,3, 。
a 3 ( 1,1, 3,0)
1) a 4 (1,1,1,1)
a 4
(1,5, 3,1)
解
1 ） a 1, a
2 , a
3 , a
4 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 a 1 , a 2 ,a 4 ， 因 此 a 1 , a 2 , a 4 为
L a 1 ,a 2 , a 3 , a 4 的一组基，且的维数是 3。
2） a 1, a 2 ,a 3 , a 4 的一个极大线性无关组为
a 1 , a 2 ，故 a 1 ,a 2 是 L a 1 ,a 2 , a 3 , a 4 的
一组基，且维数为
2。
17．在 P 4 中，由齐次方程组
3x 1 2x 2 5x 3 4x 4 0 3x 1 x 2 3x 3 3x 4 0 3x 1 5x 2
13x 3 11x 4
确定的解空间的基与维数。 解
对系数矩阵作行初等变换，有
3 2 5
4 3 2
5 4 3 2 5 4 3 1 3
3 0 3 8 7 0 3 8 7 3
5
13
11
3
8
7
所以解空间的维数是 2，它的一组基为
a 1
1 , 8
,1,0 ， a 2
2 , 7 ,0,1 。
9 3
9 3
18.求由向量
1 ,
2 生成的子空间与由向量
1,
2 生成的子空间的交的基与维数，设
a 1 1,2,1,0
1
1）
1,1,1,1
a 2
2
a 1 1,1,0,0
1
2）
1,0,1,1
a 2
2
a 1
1,2, 1, 2 3）a 2
1
(3,1,1,1) a 3
( 1,0,1, 2
1)
2, 1,0,1
1, ；
1,3,7
0,0,1,1
；
0,1,1,0
2,5, 6, 5
1,2,
。
7,3
解 1）设所求交向量 k 1
1
k 2
2
l 1
1
l 2 2 ，
则有
k 1 1 k 2
2
l 1 1
l 2 2
0，
k1k22l1l 20
即
2k1k2l1l 20
，k1k23l 20
k2l 17l 20
1121
112
2111
可算得 D0 ，且 2110 ，
1103
110
0117
因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解( k1, k2, l1, l2)＝( 1,4, .3,1)，得一组基142(5,2,3,4)，
所以它们的交L
)是一维的，就是其一组基。
(
2）设所求交向量k11k22l11l 2 2 ，
k1k 20
k1l 20
，
则有
k2l1l20
k2 l10
因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即k1k2l1l 20, 从而
交的维数为0 。
3）设所求交向量为k11k22l 11l 2 2 ，
k1 3k 2k32l1l 20
即
2k1k 25l 12l 2 0
，k1k2k36l17l 20
2k1k2k35l 13l 20 1311
由2102
0知解空间是一维的，因此交的维数是 1。令l11,，可1117
2113
得 l 20，因此交向量l11l
2 2 1 就是一组基。
19．设V1与V2分别是齐次方程组x1x2...x n 0, x1 x2 ... x n 1 x n的解空间，
证明： P n V1V
2.
证
由 于 x 1 x 2 ... x n 0 的 解 空 间 是 你
n
－ 1 维 的 ， 其 基 为
1
( 1,1,0,...,0), 2
( 1,0,1,...,0),..., n 1
( 1,0,0, (1)
而
由
x 1
x 2
... x n 1
x n
知其解空间是 1 维的，令 x n 1, 则其基为
(1,1,...,1). 且 1 , 2 ,..., n
1 ,
即为 P n 的一组 基，从而
P n
V 1 V 2 . 又
dim( P n
) dim( V 1 ) dim( V 2 ) ，故 P n
V
V
2. 。
1
20． 证明：如果 V V 1 V 2 ,V 1
V
11
V 12 , 那么 V V 11 V 12 V 2 。
证
由题设知
V
V 11 V 12 V 2 , 因为 V
V 1
V 2 , 所以
dim(V ) dim( V 1 ) dim( V 2 ) ， 又因为 V 1 V
11
V 12 , 所以
dim( V 1 )
dim(V 11 ) dim( V 12 ),
故 dim( V ) dim(V 11 ) dim( V 12 ) dim( V 2 ) ， 即证 V
V 11 V
12 V 2 。 21. 证明：每一个 n 维线性空间都可以表示成
n 个一维子空间的直和。
证
设 1 , 2 ,..., n 是 n 维线性空间 V 的一组基。显然 L ( 1 ), L ( 2 ),..., L( n ) 都是 V
的一维子空间，且
L ( 1 )
L( 2
)
... L(
n )
L(
1 ,
2 ,...,
n )
＝ V ，又因为
dim( L( 1 ))
dim( L( 2 )) ... dim( L( n ))
dim(V ) ，
故 V L (
1 )
L (
2 )
... L(
n ) 。
s
i
1
22． 证明：和
V i 是直和的充分必要条件是
V i V j
{0}( i 2,..., s) 。
i 1
j
1
i
1
证
必要性是显然的。这是因为
V i
V j
V i
V j {0} ，所以
j 1
j 1
i 1
V i
V j
{ 0} 。
j 1
s
充分性
设
V i 不是直和，那么 0 向量还有一个分解 0 1
2
...
s
，
i 1
其中 j V j ( j 1,2,..., s) 。在零分解式中， 设最后一个不为
0 的向量是
k (k s),
则 0
1
2
...
k 1
k ，即
1
2
...
k 1
k ，
k 1
k 1
因此 k
V j , k V k, ，这与 V k
V j { 0} 矛盾，充分性得证。
j 1
j 1
23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间 R 3 。
1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间
2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间
L 1, L 2 , L 3 ,
问 L 1
L 2
, L 1
L 2
L 3 能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来
;
3）就用该三维空间的例子来说明，若
U,V,X,Y 是子空间，满足
U+V ＝X ，X
Y ，是否一
定有
Y
Y I U
Y I V 。
解
1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点
在不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2) L 1 L 2 ；
（ 1）直线 l 1 与 l 2 重合时，是 L 1 L 2 一维子空间； （ 2） l 1 与 l 2 不重合时，时 L 1
L 2 二维子空间。
L 1 L 2
L 3 ：
（ 1） l 1 , l 2 , l 3 重合时， L 1
L 2 L 3 构成一维子空间；
（ 2） l 1 , l 2 , l 3 在同一平面上时， L 1 L 2 L 3 构成二维子空间；
（ 3）
l 1 , l 2 , l 3 不在同一平面上时，
L 1 L 2
L 3 构成三维子空间。
3） 令过原点的两条不同直线
l 1 ， l 2 分别构成一维子空间
U 和 V ，X ＝ U ＋ V 是二维子空
间，在
l 1 ， l 2 决定的平面上，过原点的另一条不与
l 1 ， l 2 相同的直线
l 3 构成一维子
空间 Y ，显然
Y
X ,Y
U
{0}, Y
V
{ 0},
因此
(Y
U )
(Y
V )
{ 0} ，
故 Y
(Y
U )
(Y
V ) 并不成立。
二．补充题参考解答
1．1）证明：在 P[x] n 中，多项式 f i (x
1
)...( x i 1 )( x i 1 )...( x
n )
（i ＝ 1， 2， ?， n ）是一组基，其中
1,
2 ,..., n 是互不相同的数；
2)在 1）中，取 1 , 2 ,..., n 是全体 n 次单位根， 求由基 1， x
,..., x n 1 到基 f 1 , f 2 ,..., f n
的过渡矩阵。
证
1）设 k 1 f 1 k 2 f 2 ... k n f n 0 ，将 x
1 代入上式 ，得
f 2 ( 1
)
f 3 ( 1 ) ... f n ( 1
)
0, f 1 ( 1 ) 0 ，
于是 k 1 ＝ 0。同理，将 x
2 ,..., x
n 分别代入，可得
k 2 k 3 ... k n 0 ，
所以 f 1 , f 2 ,..., f n 线性无关。而 P[x] n 是 n 维的，故 f 1 , f 2 ,..., f n 是 P[x] n 的一组基。
2）取
1 ,
2 ,..., n 为全体单位根 1,
. 2 ,...,
n 1
, 则
f 1
x n 1 1 x x 2 ... x n 1 ，
x 1
f 2
x n 1
n 1
n 2 x
n
3 x
2
... x n
2
x n 1 ，
x
...........................................................
x n
1
2
x ...
n 1 x
n 2 x n 1
f n
n 1
， x
1 n 1
n 2
...
1 n 2
n 4 ...
2
故所求过渡矩阵为
... ...
... ... ... 。
1 n
2 ...
n 1
1
1
1 (1)
2 ． 设 1 , 2
,..., n 是 n 维 线 性 空 间 V 的 一 组 基 ， A 是 一 个 n × s 矩 阵 ， 且
( 1, 2 ,...,
s )
(
1 ,
2 ,..., n ) A ，
证明： L( 1 ,
2 ,..., s ) 的维数等于 A 的秩。
证
只 需 证 1 , 2 ,..., s 的 极 大 线 性 无 关 组 所 含 向 量 的 个 数 等 于 A 的 秩 。 设
a
11
... a 1r ...
a
1s
.. .. .
A. . . . . ，
.. .. .
a n1 ...
a nr ... a ns
且 rank ( A) r , r
min( n, s) 。不失一般性， 可设 A 的前 r 列是极大线性无关组，
由条件
1
a
11 1
a
21 2
... a
n1 n
........................................ ..... 得
r
a
1r
1
a 2 r
2
... a
nr
.............................. .................
s
a
1 s
1
a
2 s
2
...
a
ns
，
n
n
可证 1 , 2 ,...,
r
构成
1 ,
2 ,...,
r
，
r 1 ,...,
s 的一个极大线性方程组。事实上，设
k 1
1
k
2
2
... k r
r
0 ，
于是得 ( k 1a 11 ... k r a 1r ) 1
( k 1a 21 ... k r a 2r )
2
... (k 1 a n1 ... k r a 1 r )
n
0 ，
a 11 k
1
a 12 k 2
... a 1r k
r 0
因为 1 , 2 ,..., n 线性无关，所以
.......... ................................ ，
a n1
k
1
a n 2k
2
...
a nr
k
r
该方程组的系数矩阵秩为 r , 故方程组只有零解 k 1
k 2 ...
k r
0 ，于是
1 ,
2 ,..., r
线性无关。
其次可证：任意添一个向量
j 后，向量组 1 ,
2 ,...,
r ，
j 一定线性相关。事实上，
a 11k 1
a 12
k
2
...
a 1r k r a 1 j k
j 0
设 k 1 1 k 2 2
... k r
r
k j j
0 ，于是
.................... ......................
，
a n1k 1 a n 2 k 2 ... a nr k r a nj k j 0
其系数矩阵的秩为 r 1 , 2 ,..., r ， j 线性 相关。因此， 1 , 2 ,..., r 是 1 , 2 ,..., s 的极大线性无关组。从而 L( 1 , 2 ,..., s ) 的维 数等于 A 的秩，即等于 rank ( A) 。 3. 设 f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) 是一秩为 n 的二次型，证明：有 R n 的一个 1 (n s) 维子空间 V 1 2 （其中为符号差） ，使对任一 (x 1 , x 2 ,..., x n ) V 1 ，有 f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ＝0 。 证 设 f (x 1 , x 2 ,..., x n ) 的正惯性指数为 p ，负惯性指数为 q ，则 p+q=n 。于是存在可逆矩阵， C ， Y ＝ CX ，使 f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ＝y 12 ... y p 2 y p 2 1 ... y p 2 q ， p, 当 p 时 由 1 (n s ) ＝ 1 (n p q ) ＝ q, 当 p 时 。 2 2 q 下面仅对 p c 11 x 1 ... c 1 n x n y 1 .................... ............. 将 Y=CX 展开，有方程组 c p1 x 1 ... c pn x n y p ， 1,1 x 1 ... c p 1,n x n y p c p 1 .............................. .... c p q,1 x 1 ... c p q,n x n y p q 1 (1,0,...,0,1,0,...,0)' 2 (0,1,...,0,0,1,...,0)' ， 任取 ................................. p (0,...,0,1,0,...,1,0,...,0) ' 则 1 , 2 ,..., p 线性无关，将 1 , 2 ,..., p 分别代入方程组，可解得 1 , 2 ,..., p ，使得 C 1 1 , C 22 ,..., C p p ，且 1 , 2 ,..., p 线性无关。 下面证明 p 维子空间 L （ 1 , 2 ,..., p ）即为所要求得 V 1 。事实上，对任意 X 0 L （ 1, 2 ,..., p ）， 设 X 0 k 1 1 k 2 2 ... k p p ， 代 入 Y CX 得 Y CX k C 1 k C 2 ... k C p k k 2 2 ... k p p (k 1 , k ,...k p ,k , k ,..., k ,0,...,0) ' 1 2 p 1 1 2 1 2 p 故 f X 0 AX 0 ' k 12 ... k p 2 k 12 ... k p 2 0 即证 V 1 = L （ 1 , 2 ,..., p ）。 4. 设 V 1 ， V 2 是线性空间 V 的两个非平凡的子空间，证明：在 V 中存在 ，使 V 1 , V 2 同时成立。 证 因为 V 1 ， V 2 非平凡的子空间，故存在 V 1 ，如果 V 2 ，则命题已证。设 V 2 则一定存在 V 2 ，若 V 1 ，则命题也得证。下设 V 1 ，于是有 V 1 , V 2 及 1 ， V 2 ， 因而必有 V 1 , V 2 。事实上，若 1 ，又 V V V 1 ，则由 V 1 是子空间，必有 V 1 ，这与假设矛盾，即证 V 1 ，同理可证 V 2 ，证毕。 5． 设 V 1 ,V 2 ,...,V s 是线性空间 V 的 s 个非平凡的子空间，证明 V 中至少有 一向量 不属 于 V 1 ,V 2 ,...,V s 中的任何一个。 证 采用数学归纳法。当 n=2 时，由上题已证命题成立。 现归纳假设命题对 s-1 个非平凡的子空间也成立，即在V 中至少存在一个向量不属于 V1 ,V2 ,...,V s 1中任意一个，如果V s，则命题已证。 若V s，对P, 向量k V s，且对P中s不同的数k1, k2,...,k s,对应的s个向量 k(i 1.2....s) 中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间V i (i 1.2....s1). 换句话说，上述S 个向量k(i 1.2....s) 中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间 V i (i 1.2....s 1) ，记为0k i 0，易见0也不属于V s。即证命题对s个非平凡的子空间也成立。即证。 第七章 线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。 高等代数北大版第章习 题参考答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第 七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb + 第七章 线性变换 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！ 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ， 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb + 第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ， 第四章 矩阵 1.设1）311212123A ?? ?= ? ???，111210101B -?? ?=- ? ???2）111a b c A c b a ?? ?= ? ???，111a c B b b c a ?? ? = ? ??? 计算AB ，AB BA -。 解 1）622610812AB -?? ?= ? ? -?? ，400410434BA ?? ?= ? ???222200442AB BA -?? ? -= ? ?--?? 2）222 22222223a b c a b c ac b AB a b c ac b a b c a b c a b c ?? +++++ ?=+++++ ? ?++++? ?222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ??+++++ ? =+++++ ? ?+++++?? 33()ij AB BA a ?-=， 其中 11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =- 2.计算 2 2111)310012?? ? ? ? ?? 5322)42?? ?--?? 113)01n ?? ??? cos sin 4)sin cos n ? ?? ?-?? ??? ()15)2,3,111?? ?-- ? ?-??，()112,3,11?? ? -- ? ?-?? ()11121321 223131 32 336), ,11a a a x x y a a a y a a a ???? ??? ??? ??????? 2111111117)11111111---?? ?--- ? ?--- ? ?---??，1111111111111111n ---?? ?--- ? ?--- ? ?---?? 第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ) = X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε 3 ) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε 2 ，ε 3 是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε 3 ，α2＝ε1＋ε 2－ε 3，α3＝ε 2＋ε 3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε 3 ）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1- ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且 第六章线性空间 1?设 MuN,证明：MRN = M、MUN = N。 证任取a eM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因 MflNuM,故Mp|N = M。再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。但N uMU N,所以MUN = N ° 2.证明 Mp|(NUD = (MriN)U(MrU), MU(NfU) = (MUN)n(MUD。 证 VxwMCl(NUD，则在后一情形，于是 xeMflN佥 所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得 MCl(NUD = (MnN)U(Mri 厶)。反之，若 xw(MnN)U(MfU)，则XW MCIN或iwMCl L.在前一情形，x 已M、x已 N、因此X^N\JL.故得 xeMCl(NUE),在后一情形，因而 xeM,xeL, x^N\jL ,得 xwMCl(NU 厶)，故(MnN)U(MClDuMri(N U 厶)， 于是 Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。 若xwMU（NDZJ ,贝ijxe M, xeNf）厶。 在前一情形 XxwMUN,且X wMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。 在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL） 故MU（Np|L） = （MUN）pl（MUL） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f （A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （?,勺2（。+ "（4+9,9+2+吧） ko （a ,勺）=（ka P込+ °： 6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ￡。= 0 ； 7)集合与加法同6),数量乘法定义为： k。a = a ； 高等代数北大版第四章矩阵知 识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如????? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 122221 11211 ，记?? ? ? ? ? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A 212221212111 ， 称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型 矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每 第 九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α,),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下,n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1)),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2)),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3)),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑ =j i j i ij y x a ,),(βα， α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1))2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(-=β， 2))3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α,)0,1,2,3(-=β。 解1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα， 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα， 22 36 1818,cos = >= <βα， 所以 4,π βα>= <。 3)同理可得 3),(=βα,17),(=αα,3),(=ββ,773,cos >= <βα， 所以 773cos ,1 ->=<βα。 3.β αβα-=) ,(d 通常为 βα,的距离，证明； 第八章 λ—矩阵 1. 化下列矩阵成标准形 1）??? ? ??+-λλ λλλ λ3522 2 3 2）???? ? ? ?-+--22 2211λλλλλλλλλ 3）??? ?? ??++22)1(000 λλλ λ 4）????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ 5）???? ? ??---+-+--+-+--+1244323534321232322 222λλλλλλλλλλλλλλ 6）??? ????? ??-----++002213300101 02602206341032λλλλλλλλλλλλλλ 解 1）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ???? ??+-λλλλλλ352223→ ???? ? ?-+λλλ λλλ 322253→ ??? ? ??+λλλλλλ3-10-053232 → ? ?? ? ??--λλλλ3100023= B )(λ， B )(λ即为所求。 2）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ????? ? ?-+--22 2211λλλλλλ λλλ→ ???? ? ??--22 2101λλλλ λλ→ ??? ?? ??+--)1(000001λλλλ → ??? ? ? ??+λλλ 2000000 1= B )(λ， B )(λ即为所求。 3）因为??? ?? ??++22)1(000 λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 3 2 )1(+λλ， 所以 d 1 = 1, d 2 = 12 D D = )1(+λλ, d 3 = 2 3D D = 2)1(+λλ， 从而 A =)(λ????? ? ?++22)1(000 00 λλλ λ→ ??? ?? ??+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ， B )(λ即为所求。 4）因为???? ? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ， 所以 d 1 = 1,d 2 = 1 2 D D = )1(-λλ,d 3 = 2 3 D D = )1(-λλ,d 4 = 3 4 D D = 22)1(-λλ， 从而 A =)(λ????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ 第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如???? ?? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 O E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211，记?????? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A Λ ΛΛΛΛΛ Λ212221212111 ，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式， 这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记????? ? ? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A Λ ΛΛΛΛΛΛ2122212 12111 ，称为矩阵A 的伴随矩阵。 2.矩阵的三则运算 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，高等代数北大版第章习题参考答案
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