与圆有关的动点问题
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与圆有关得动点问题
1、如图,⊙O得直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O得切线DC,P点为优弧CBA上一动点(不与A.C重合).
(1)求∠APC与∠ACD得度数;
(2)当点P移动到CB弧得中点时,求证:四边形OBPC就是菱形.
(3)P点移动到什么位置时,△APC与△ABC全等,请说明理由.
2、如图,在菱形ABCD中,AB=23,∠A=60º,以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E.
(1)求证:⊙D与边BC也相切;
(2)设⊙D与BD相交于点H,与边CD相交于点F,连接HF,求图中阴影部分得面积(结果保留π);
(3)⊙D上一动点M从点F出发,按逆时针方向运动半周,当S△HDF=3 S△MDF时,求动点M
经过得弧长(结果保留π).
3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧,
⊙O与l相切于点F,DC在l上.
(1)过点B作得一条切线BE,E为切点.
①填空:如图1,当点A在⊙O上时,∠EBA得度数就是;
②如图2,当E,A,D三点在同一直线上时,求线段OA得长;
(2)以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置,向左移动正
方形(图3),至边BC与OF重合时结束移动,M,N分别就是边BC,AD
与⊙O得公共点,求扇形MON得面积得范围.
4、如图,Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB,垂足为H.
(1)直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长;
(2)设PH=x,PC=y,求y关于x得函数关系式;
(3)当PH与⊙O相切时,求相应得y值.
5、如图1,正方形ABCD得边长为2,点M就是BC得中点,P就是线段MC上得一个动点(不与M、C重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O得切线,交AD于点F,切点为E.
(1)求证:OF∥BE;
(2)设BP=x,AF=y,求y关于x得函数解析式,并写出自变量x得取值范围;
(3)延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H(图2),问就是否存在点P,使
△EFO∽△EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)?如果存在,试求(2)中x与y得值;如果不存在,请说明理由.
6、如图,⊙O得半径为1,直线CD经过圆心O,交⊙O于C、D两点,直径AB⊥CD,点M就是直线CD上异于点C、O、D得一个动点,AM所在得直线交于⊙O于点N,点P就是直线CD上另一点,且PM=PN.
(1)当点M在⊙O内部,如图一,试判断PN与⊙O得关系,并写出证明过程;
(2)当点M在⊙O外部,如图二,其它条件不变时,(1)得结论就是否还成立?请说明理由;(3)当点M在⊙O外部,如图三,∠AMO=15°,求图中阴影部分得面积.
答案:
1、解:(1)连接AC,如图所示:
∵AB=4,∴OA=OB=OC=1
2
AB=2。
又∵AC=2,∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°,
∴∠APC=1
2
∠AOC=30°。
又DC 与圆O 相切于点C ,∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。
(2)连接PB ,OP ,
∵AB 为直径,∠AOC=60°,∴∠COB=120°。
当点P 移动到弧CB 得中点时,∠COP=∠POB=60°。
∴△COP 与△BOP 都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。
∴四边形AOPC 为菱形。
(3)当点P 与B 重合时,△ABC 与△APC 重合,显然△ABC≌△APC。
当点P 继续运动到CP 经过圆心时,△ABC≌△CPA,理由为:
∵CP 与AB 都为圆O 得直径,∴∠CAP=∠ACB=90°。
在Rt△ABC 与Rt△CPA 中,AB=CP ,AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△CP A (HL )。
综上所述,当点P 与B 重合时与点P 运动到CP 经过圆心时,△ABC≌△CPA。
2、解:(1)证明:连接DE ,过点D 作DN ⊥BC ,垂足为点N 。
∵四边形ABCD 就是菱形,∴BD 平分∠ABC 。
∵⊙D 与边AB 相切于点E ,∴DE ⊥AB 。∴DN=DE 。
∴⊙D 与边BC 也相切。
(2)∵四边形ABCD 就是菱形,AB =23,∴AD =AB =23。 又∵∠A =60º,∴DE =ADsin600=3,即⊙D 得半径就是3。
又∵∠HDF =
12
∠HADC =60º,DH =DF ,∴△HDF 就是等边三角形。 过点H 作HG ⊥DF ,垂足为点G ,则HG =3sin600=332
。 ∴2HDF HDF 1396033S 333S 2243602
ππ∆⨯⨯=⨯⨯===扇形,。 ∴HDF HDF 39693S S S 3244ππ∆-=-=-=扇形影阴。 (3)假设点M 运动到点M 1时,满足S △HDF =3S △MDF ,过点M 1作M 1P ⊥DF ,垂足为点P ,则
191333M P 42=⋅⋅⋅,解得3M P=2
'。 ∴111M P=DM 2
。∴∠M 1DF =30º。 此时动点M 经过得弧长为:3031802
ππ⨯⨯=。 过点M 1作M 1M 2∥DF 交⊙D 于点M 2,
则满足HDF M1DF M2DF S =3S 3S ∆∆∆=,