高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列 理
2021高考数学一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和练习
第2节 等差数列及其前n 项和[A 级 基础巩固]1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8， 所以d ＝4，故选C. 答案：C2．(2020·安阳联考)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则(a 3＋a 7)2－a 5＝( ) A ．60 B ．56 C ．12D ．4解析：因为在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，所以a 2＋a 8＝2a 5＝8，解得a 5＝4，(a 3＋a 7)2－a 5＝(2a 5)2－a 5＝64－4＝60.答案：A3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 3＝6，则S 2n ＋1＝( ) A ．(2n ＋1)(n ＋1) B ．(2n ＋1)(n －1) C ．(2n －1)(n ＋1)D ．(2n ＋1)(n ＋2)解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋d ＝3，3a 1＋3d ＝6，所以a 1＝d ＝1，则a n ＝1＋(n －1)×1＝n .因此S 2n ＋1＝（2n ＋1）（1＋2n ＋1）2＝(2n ＋1)(n ＋1)．答案：A4．(2020·宜昌一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．a 7＝0B ．|a 7|＝|a 8|C ．|a 7|>|a 8|D ．|a 7|<|a 8|解析：因为公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0， 所以S 9>S 8，所以S 8<S 5<S 9，所以a 6＋a 7＋a 8<0，a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， 所以a 7<0，a 7＋a 8>0，|a 7|<|a 8|. 答案：D5．中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的棉数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， 所以8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.所以a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤． 答案：B6．(2019·江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）（a 1＋4d ）＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27， 解得a 1＝－5，d ＝2，所以S 8＝8×(－5)＋8×72×2＝16.答案：167．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________． 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2008．在等差数列{a n }中，若a 7＝π2，则sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝________．解析：根据题意可得a 1＋a 13＝2a 7＝π， 2a 1＋2a 13＝4a 7＝2π，所以有sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝ sin 2a 1＋sin(2π－2a 1)＋cos a 1＋cos(π－a 1)＝0. 答案：09．各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1（a n ＋a n ＋2）2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明：依题意得，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，故1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2. (2)解：由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1（n ＋2）（n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3＝n 6（n ＋3）. 10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . (1)解：设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.[B 级 能力提升]11．(2020·珠海联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＋1S n ＝n ＋1n，则数列{a n }( ) A ．既非等差数列，又非等比数列 B ．既是等差数列，又是等比数列 C ．仅为等差数列 D ．仅为等比数列 解析：数列{a n }中，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则S n S n －1＝nn －1(n ≥2)， 则S n ＝S n S n －1×S n －1S n －2×…×S 2S 1×S 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n (n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －(n －1)＝1，当n ＝1时，a 1＝1符合，故a n ＝1(n ∈N *)，则数列{a n }为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列． 答案：B12．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－3，S 5＝－10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋5×42d ＝－10， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，a 1＋2d ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－4n ＋n 2－n 2＝12(n 2－9n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818，因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5时，S n 取最小值，最小值为－10. 答案：0 －1013．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝02n(－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑k ＝0n1T k <12d 2.证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，有c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1·a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n （a 2＋a 2n ）2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝0n1T k ＝12d 2∑k ＝0n 1k （k ＋1）＝12d 2∑k ＝0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d2. [C 级 素养升华]14．(多选题)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则( ) A ．a 6＋a 7＝4 B ．a 6＋a 7＝12 C ．a 6a 7≥4D ．a 6a 7≤4解析：在等差数列{a n }中，因为S 12＝6(a 6＋a 7)＝24， 所以a 6＋a 7＝4.又a 6>0，a 7>0，所以a 6a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．故选AD. 答案：AD。
高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学
第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。
2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。
3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
高考理科第一轮复习课件(5.2等差数列)
考向 3 等差数列的性质及最值的应用 【典例3】（1）（2012·辽宁高考）在等差数列{an}中，已知
a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(
(A)58 (B)88 (C)143
)
(D)176
（2）在等差数列{an}中, a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_____.
（3）（2013·天津模拟）已知在等差数列{an}中，a1=31，Sn
Sn n a1 a n 2 2 ．
【变式备选】（2012·泉州模拟）已知等差数列{an}中,
a5=1,a3=a2+2,则S11=______. 【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得 a1=-7，所以 S11 11 7 1110 2 33.
第二节 等 差 数 列
1.等差数列的概念
常数 ，我们称这样 从第2项起，每一项与前一项的差是同一个_____
公差 ，通常用字 的数列为等差数列，这个常数为等差数列的_____
an+1-an=d(n∈N+) 母d表示；定义的表达式为：_______________.
2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= a1+(n-1)d _________.
否则不是．
n n 1 （5）错误．根据等差数列的前n项和公式， Sn na1 d
d 2 d n பைடு நூலகம் (a1 )n，显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二 2 2
2
次函数，否则不是（甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0 时）． 答案：（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）×
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
2020届高三数学一轮复习： 第5章 第2节 等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B.1 C ．2D.－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5 B.7 C ．9D.11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100 B.99 C ．98D.97C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623， 则在100以内有16个能被6整除的数．]n n 为{a n }的前n项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D.12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9 B.10 C ．11D.15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B.1 C ．2D.3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：01772176】(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.5分又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.7分 (2)由(1)知，b n ＝n －72，9分 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )【导学号：01772177】A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 图5-2-1 A ．2 B.8 C ．7D.4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，4分 即d ＝－213a 1.7分从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1>0，所以－a 113<0.9分 故当n ＝7时，S n 最大.12分 法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，5分即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，9分解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.12分 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，5分故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，9分 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大.12分 [规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18 B.99 C ．198D.297(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“n ”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。
数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析
第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。
理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。
(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。
高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第五章 第二节 等差数列及其前n项和
(2)由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d， Sn＝n（n－2 9）d． 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10．所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
等差数列运算中方程思想的应用 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公 式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
等差数列的判定与证明方法 (1)定义法：对于任意自然数 n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数 ⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an} 是等差数列． (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an}是等差数列．
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1_＋__n_（__n_－ 2__1_）__d__(其中 n∈N＋，a1 为首项，d 为公差，
an 为第 n 项)．
要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不 是等差数列．
等差数列的公差 d 的取值范围是( D )
A．d＞785
B．d＜235
C．785＜d＜235
D．785＜d≤235
解析：由题意可得aa190≤＞11，，即221155＋＋98dd＞≤11，，解得785＜d≤235．
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
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解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
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1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
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1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
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考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；