概率随机变量及其分布列
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故 P＝SS⊙阴O＝π43.
答案
4 π3
2．(2012·广州模拟)从 3 名男生和 n 名女生中，任选 3 人参加比赛，已知 3 人中至少有 1 名女生的概率为3345， 则 n＝________.
解析 据题意知，所选 3 人中都是男生的概率为 CC3n＋33 3，
∴至少有 1 名女生的概率为 1－CC3n＋33 3＝3345， ∴n＝4.
高频考点突破
考点一：古典概型与几何概型
【例1】(1)(2012·衡水模拟)盒子中装有形状、大小完 全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后 放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的 概率是
18 A.125
44 C.125
36 B.125
81 D.125
(2)(2012·海淀二模)在面积为 1 的正方形 ABCD 内部 随机取一点 P，则△PAB 的面积大于等于14的概率是 ________．
为偶数”，则 P(B|A)＝
1
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
[审题导引] (1)把事件“目标被击中”分解为三个互斥
事件求解；
(2)据古典概型的概率分别求出P(A)与P(AB)，然后利用
公式求P(B|A)．
[规范解答] (1)解法一 设甲、乙射击命中目标分 别记作事件 A、B，
则 P(A)＝43，P(B)＝23， 则该目标被击中的概率为 P(A－B )＋P(－A B)＋P(AB) ＝34×1－23＋1－34×23＋34×23＝1112.
解法二 若采用间接法，则目标未被击中的概率为
P(－A －B )＝1－34×1－23＝112， 则目标被击中的概率为 1－P(－A －B )＝1－112＝1112. (2)P(A)＝C23＋C25C22＝140＝52， P(AB)＝CC2225＝110.
1
由条件概率计算公式，得 பைடு நூலகம்(B|A)＝PPAAB＝140＝41. 10
【变式训练】 1．(1)(2012·石景山一模)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的 正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随 机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是 ________．
解析 阴影部分的面积为 S 阴＝2πsin xdx 0
＝－2cos x |π0＝4，
[审题导引] (1)解题的关键是理解题意，应用计数 原理与排列组合公式计算基本事件的个数；
(2)首先找到使△PAB 的面积等于14的点 P，然后据 题意计算．
[规范解答] (1)设事件“取球次数恰为 3 次”为事 件 A，则 P(A)＝2C21·5C313·C13＝13265.
(2)如图所示，设 E、F 分别是 AD、BC 的中点，
答案 4
考点二：相互独立事件的概率与条件概率
【例 2】(1)甲射击命中目标的概率为43，乙射击命中 目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被 击中的概率为
1 A.2
B．1
11 C.12
5 D.6
(2)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取
到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均
∴P(A)＝S扇S形⊙OOCFH＝2·π4π＝38， P(AB)＝38×π 22＝43π，
3 则 P(B|A)＝PPAAB＝43π＝2π.
8
答案 B
考点三：离散型随机变量的分布列、期望、方差
【例 3】(2012·合肥模拟)某公司设有自行车租车 点，租车的收费标准是每小时 2 元(不足 1 小时的部分 按 1 小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、 乙不超过一小时还车的概率分别为14、12；一小时以上 且不超过两小时还车的概率分别为12、14；两人租车时 间都不会超过三小时．
(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验 中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中， 事件发生的概率相同．
(4)牢记公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n， 并深刻理解其含义．
2．解答条件概率问题时应注意的问题 (1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关 键． (2)在求 P(AB)时，要判断事件 A 与事件 B 之间的关 系，以便采用不同的方法求 P(AB)．其中，若 B⊆A，则
则当点 P 在线段 EF 上时，S△PAB＝14，
要使 S△PAB＞14，需点 P 位于矩形 EFCD 内，
1 故所求的概率为：P(A)＝SS正矩方形形EAFBCCDD＝21＝12.
[答案]
(1)B
1 (2)2
【规律总结】 解答几何概型、古典概型问题时的注意事项
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事 件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与 排列、组合的相关知识．
P(AB)＝P(B)，从而 P(B|A)＝PPBA.
【变式训练】
3．(2012·宜宾模拟)设某气象站天气预报准确率为0.9，
则在4次预报中恰有3次预报准确的概率是
A．0.287 6
B．0.072 9
C．0.312 4
D．0.291 6
解析 据题意知在 4 次预报中恰有 3 次预报准确的概率
为 C34·0.93·0.1＝0.291 6. 答案 D
4．(2012·枣庄模拟)如图，CDEF
是以圆 O 为圆心，半径为 1 的圆的内
接正方形，将一颗豆子随机地扔到该
圆内，用 A 表示事件“豆子落在扇形
OCFH 内”(点 H 将劣弧 E»F 二等分)，
B 表示事件“豆子落在正方形 CDEF
内”，则 P(B|A)＝
3
2
A.π
B.π
3
3π
C.8
D.16
解析 ∵圆的半径为 1，则正方形的边长为 2， 13
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构 成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基 本事件总数的求法的一致性．
(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧 长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结 果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在 坐标系中表示所需要的区域．
【规律总结】
(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成， 看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转 化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式 求解．
(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少， 则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问 题往往用这种方法求解．
答案
4 π3
2．(2012·广州模拟)从 3 名男生和 n 名女生中，任选 3 人参加比赛，已知 3 人中至少有 1 名女生的概率为3345， 则 n＝________.
解析 据题意知，所选 3 人中都是男生的概率为 CC3n＋33 3，
∴至少有 1 名女生的概率为 1－CC3n＋33 3＝3345， ∴n＝4.
高频考点突破
考点一：古典概型与几何概型
【例1】(1)(2012·衡水模拟)盒子中装有形状、大小完 全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后 放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的 概率是
18 A.125
44 C.125
36 B.125
81 D.125
(2)(2012·海淀二模)在面积为 1 的正方形 ABCD 内部 随机取一点 P，则△PAB 的面积大于等于14的概率是 ________．
为偶数”，则 P(B|A)＝
1
1
2
1
A.8
B.4
C.5
D.2
[审题导引] (1)把事件“目标被击中”分解为三个互斥
事件求解；
(2)据古典概型的概率分别求出P(A)与P(AB)，然后利用
公式求P(B|A)．
[规范解答] (1)解法一 设甲、乙射击命中目标分 别记作事件 A、B，
则 P(A)＝43，P(B)＝23， 则该目标被击中的概率为 P(A－B )＋P(－A B)＋P(AB) ＝34×1－23＋1－34×23＋34×23＝1112.
解法二 若采用间接法，则目标未被击中的概率为
P(－A －B )＝1－34×1－23＝112， 则目标被击中的概率为 1－P(－A －B )＝1－112＝1112. (2)P(A)＝C23＋C25C22＝140＝52， P(AB)＝CC2225＝110.
1
由条件概率计算公式，得 பைடு நூலகம்(B|A)＝PPAAB＝140＝41. 10
【变式训练】 1．(1)(2012·石景山一模)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的 正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随 机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是 ________．
解析 阴影部分的面积为 S 阴＝2πsin xdx 0
＝－2cos x |π0＝4，
[审题导引] (1)解题的关键是理解题意，应用计数 原理与排列组合公式计算基本事件的个数；
(2)首先找到使△PAB 的面积等于14的点 P，然后据 题意计算．
[规范解答] (1)设事件“取球次数恰为 3 次”为事 件 A，则 P(A)＝2C21·5C313·C13＝13265.
(2)如图所示，设 E、F 分别是 AD、BC 的中点，
答案 4
考点二：相互独立事件的概率与条件概率
【例 2】(1)甲射击命中目标的概率为43，乙射击命中 目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被 击中的概率为
1 A.2
B．1
11 C.12
5 D.6
(2)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取
到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均
∴P(A)＝S扇S形⊙OOCFH＝2·π4π＝38， P(AB)＝38×π 22＝43π，
3 则 P(B|A)＝PPAAB＝43π＝2π.
8
答案 B
考点三：离散型随机变量的分布列、期望、方差
【例 3】(2012·合肥模拟)某公司设有自行车租车 点，租车的收费标准是每小时 2 元(不足 1 小时的部分 按 1 小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、 乙不超过一小时还车的概率分别为14、12；一小时以上 且不超过两小时还车的概率分别为12、14；两人租车时 间都不会超过三小时．
(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验 中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中， 事件发生的概率相同．
(4)牢记公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n， 并深刻理解其含义．
2．解答条件概率问题时应注意的问题 (1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关 键． (2)在求 P(AB)时，要判断事件 A 与事件 B 之间的关 系，以便采用不同的方法求 P(AB)．其中，若 B⊆A，则
则当点 P 在线段 EF 上时，S△PAB＝14，
要使 S△PAB＞14，需点 P 位于矩形 EFCD 内，
1 故所求的概率为：P(A)＝SS正矩方形形EAFBCCDD＝21＝12.
[答案]
(1)B
1 (2)2
【规律总结】 解答几何概型、古典概型问题时的注意事项
(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事 件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与 排列、组合的相关知识．
P(AB)＝P(B)，从而 P(B|A)＝PPBA.
【变式训练】
3．(2012·宜宾模拟)设某气象站天气预报准确率为0.9，
则在4次预报中恰有3次预报准确的概率是
A．0.287 6
B．0.072 9
C．0.312 4
D．0.291 6
解析 据题意知在 4 次预报中恰有 3 次预报准确的概率
为 C34·0.93·0.1＝0.291 6. 答案 D
4．(2012·枣庄模拟)如图，CDEF
是以圆 O 为圆心，半径为 1 的圆的内
接正方形，将一颗豆子随机地扔到该
圆内，用 A 表示事件“豆子落在扇形
OCFH 内”(点 H 将劣弧 E»F 二等分)，
B 表示事件“豆子落在正方形 CDEF
内”，则 P(B|A)＝
3
2
A.π
B.π
3
3π
C.8
D.16
解析 ∵圆的半径为 1，则正方形的边长为 2， 13
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构 成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基 本事件总数的求法的一致性．
(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧 长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．
(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结 果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在 坐标系中表示所需要的区域．
【规律总结】
(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成， 看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转 化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式 求解．
(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少， 则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问 题往往用这种方法求解．