高考数学填空题的解法解析
高考数学试卷全部解析
一、选择题解析1. 本题主要考查集合的概念。
答案为C。
解析：由题意可知，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，所以A∩B=∅，故选C。
2. 本题主要考查函数的单调性。
答案为A。
解析：函数f(x)=x^2-2x在定义域内单调递增，所以选A。
3. 本题主要考查数列的通项公式。
答案为B。
解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，公差为2，首项为1，所以通项公式为an=2n-1，故选B。
4. 本题主要考查三角函数的性质。
答案为D。
解析：由题意可知，函数f(x)=sin(x+π/2)的周期为2π，所以选D。
5. 本题主要考查立体几何。
答案为C。
解析：由题意可知，正方体的对角线长度为2，所以棱长为√2，故选C。
二、填空题解析1. 本题主要考查一元二次方程的解法。
答案为x=1。
解析：由题意可知，方程x^2-2x+1=0的解为x=1。
2. 本题主要考查数列的前n项和。
答案为S_n=n(n+1)/2。
解析：由题意可知，数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，所以前n项和为S_n=n(n+1)/2。
3. 本题主要考查函数的导数。
答案为f'(x)=2x。
解析：由题意可知，函数f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。
4. 本题主要考查概率的计算。
答案为1/4。
解析：由题意可知，事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=1/2，所以P(AB)=P(A)P(B)=1/4。
5. 本题主要考查平面几何。
答案为√3。
解析：由题意可知，等边三角形的边长为2，所以高为√3。
三、解答题解析1. 本题主要考查解析几何。
答案：圆心为(2,1)，半径为2。
解析：设圆心为C(x,y)，则由题意可知，圆C上任意一点到点A(0,0)的距离等于圆C的半径。
即√(x^2+y^2)=2，化简得x^2+y^2=4。
又因为点C在直线x+y-3=0上，所以联立方程组\begin{cases}x^2+y^2=4 \\x+y-3=0\end{cases}解得x=2，y=1，即圆心为(2,1)。
2024年上海市高考数学真题试卷及解析
2024年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分).1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.二、选择题(本大题共4题,满分18分,13-14题每题4分,第15-16题每题5分).13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x=+ D.22()sin cos f x x x=-15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈ΩB.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分,共78分)17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b+不优秀c d c d+合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++其中n a b c d=+++2,( 3.841)0.05Pχ≥≈20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.2024年上海市高考数学试卷解析一、填空题.1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.【答案】{1,3,5}A =2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.【答案】(-1,3)【解析】223(1)(3)0(1,3)x x x x x --=+-<⇒∈-4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.【答案】0a =【解析】(0)00f a =⇒=5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.【答案】15【解析】//25615a b k k ⇒=⨯⇒=6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.【答案】10【解析】2325n n =⇒=3510C ∴=7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.【答案】【解析】198P P x x +=⇒=244832P P P y x y ==⨯=⇒=±所以P 到x 轴的距离为8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.【答案】0.85【解析】5430.920.860.830.85121212⨯+⨯+⨯=9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.【答案】2【解析】设z a bi=+222(1)111(1)(1)bi z bi bi z bi bi bi -+=++=++++-222222211111bi b bi b i b b b-⎛⎫⎛⎫=++=++-⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭所以22011bb b b-=⇒=±+ 所以2m =10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.【答案】329【解析】A 中的奇数至多1个A 中的偶数,对于三个数码若个位为0,则有9872⨯=个若个位为2,4,6,8,则有488256⨯⨯=,故A 中最多有329个元素.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)【答案】7.8o【解析】设BOT α∠=,则90AOT α︒∠=-,53A α︒∠=+OT OT OA OB = sin sin sin(53)sin(16.5)sin sin sin 37sin16.5A B ATO BTO αα︒︒︒︒++∴=⇒=∠∠sin cos53cos sin 53sin cos16.5cos sin16.5cos53sin16.5o o o o o o αααα++⇒=sin cos tan 53sin cot16.5cos o o a a a a ⇒+=+7.8oa ⇒≈12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】由题意,不妨设x y >,若,x y 均在[]12,a a ,则有x y -[]210,a a ∈-,者,x y 均在[]1,n n a a +,则有x y -[]10,n n a a +∈-若,x y 分别在两个区间则211[,]n n x y a a a a +-∈--,又因为1q >,总有ln 是闭区间,则21n n n a a a a +-≤-恒成立即可,化简得1(2)0n q q q --+≥,所以有2q ≥恒成立二、选择题.13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势,相关系数为正数所以选C14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x =+ D.22()sin cos f x x x=-【答案】A【解析】A.()cos sin ,24f x x x x T ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,正确B.(f )sin x =cos x 1sin 2x =2,x T π=错误C.2()sin x f x =2cos x +1=,错误;D.22()sin cos cos 2,,f x x x T π=-=-=错误;所以选A15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω【答案】C【解析】若(0,1,0)-∈Ω,假设(0,0,1)∈Ω取()()()1231,0,0,0, 1,0,0,0,1,P P P -则1122330OP OP OP λλλ++=1230λλλ∴===矛盾！(∴0,0,1)∉Ω所以选C.16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值【答案】B 【解析】1M-∈ 1x ∴<-时,()(1)f x f <-1x ∴=-不是极小值点,排除D假设()f x 严格递增,则M R =,矛盾！排除C 任取12,x x ,使得1211x x -≤<≤2x M ∈ 12()()f x f x ∴<() f x ∴在[]1,1-严格递增,排除A所以选B.三、解答题17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.【答案】(1)12;π(2)4π【解析】(1)因为P ABCD -是正四棱锥,所以底面ABCD 是正方形,且OP ⊥底面ABCD ,因为32AD =,所以3AO OD OB OC ====因为5AP =,所以224PO AP AO =-=所以POA ∆绕OP 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥所以211341233V Sh ππ==⨯⨯=.(2)如图建立空间直角坐标系因为AP AD =,由题知P ABCD -是正四棱锥,所以该四梭锥各核长相等,设2AB a=则AO OD OB OC a ====,PO a==则可得(0,0,0),(0,0,),(0,,0),(,0,0),(0,,0),(,0,0),,0,22aa O P a A a B a C a D a E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故(2,0,0),(0,2,0),,22a a BD a AC a AE a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设111(,,)n x y z =为平面AEC 的法向量,则11112000022a y n AC a ax a y z n AE ⋅=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅+⋅+⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩ ,令11x =,则110,1y z ==-,所以(1,01)n =-则cos ,2n BD n BD n BD ⋅===-⋅设直线BD 与面AEC 所成角为θ,因为sin 2cos ,0,22n BD πθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦,所以.4πθ=18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围【答案】(1)(1,2);(2)1a >(1)由()y f x =过(4,2)可得log 42a =,得:242a a =⇒=±, 0a > , 2a ∴=因为2()log f x x =在()0,+∞上是严格增函数()()2202212f x f x x x x -<⇒<-<⇒<<,所以解集为()1,2(2)因为(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,所以(1)(2)2()f x f x f ax +++=即log (1)log (2)2log ()a a a x x ax +++=有解,化简可得2log (1)(2)log ()a a x x ax ++=得2(1)(2)()x x ax ++=且1020000,1x x x ax a a +>⎧⎪+>⎪⇒>⎨>⎪⎪>≠⎩,则22(1)(2)x x a x++=在(0,)+∞上有解,又222(1)(2)231311248x x x x x x ++⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭,故在(0,)+∞上22(1)(2)31,20148x x x ++⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭即211a a >⇒<-或1,0a a >> ,所以 1.a >19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b +不优秀c d c d +合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++2,( 3.841)0.05P χ≥≈【答案】(1)12500人;(2)0.9h;(3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关【解析】(1)580人中体育银炼时长不小于1小时人数占比423113740272558058P +++++==该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为29000×251250058=人(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为:10.50.511 1.5 1.52513444147421373405802222[()()()()+++⨯++⨯++++⨯++2 2.5271270.91229()]+⨯+=≈(3)①提出原假设0:H 成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.②确定显著性水平20.05,( 3.841)0.05P αχ=≥≈③()()()()()225804530817750 3.976 3.84145501773084517750308χ⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.【答案】(1)b =(2,P ;(3)10(0,3)3,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 【解析】(1)因为22222,2, 4.1,4c c e a c a a=∴∴=∴=== 因为222a b c +=,所以23b =,所以b =负含).(2)因为2MA P ∆为等腰三角形①若2MA 为底,则点P 在直线12x =-时,与P 在第一象限矛盾,故合去②若2A P 为底,则2MP MA =,与2MP MA >矛盾,故舍去.③若MP 为底,则22,MA PA =设00(,),P x y 000,0.x y >>3=,即2200(1)9x y -+=,又因为220182y x -=得22008(1)(1)93x x -+-⨯=,得200116320x x --=,得002,x y ==,即(2,P(3)由1(1,0)A -,设1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)R x y --,设直线1:2()l x my m b =->联立212222222222212222142()1(1)430,311b m x my m y y b b m b m y b my b y b x y y b b m ⎧⎧=->+=⎪⎪-⎪⎪⎪⎪∴--+=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=⋅=⎪⎪-⎩∴⎩122211(1,),(1,)A R x y A P x y =-+-=- ,又由121A R A P ⋅=,得2112(1)(1)1x x y y -+--=即2112(1)(1)1x x y y --+=-,即2112(3)(3)1my my y y --+=-化简后可得到21212(1)3()100m y y m y y +-++=再由韦达定理得2222223(1)1210(1)0b m m b b m +-+-=,化简:2223100b m b +-=所以221010033,b m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦222210103311b b b b ≠+=+得23,b ≠,10(0,3)3,3b ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.【解析】(l)证明:222211()(0)(0)2s x x x w w =-+-=+≥,当且仅当221x w=即1x =时取到最小值,所以对于点(0,0)M 存在点(1,1)P 使得P 是M 在()f x 的最近点(2)设(P 00,xx e ),显然01x ≠00002200000()(),()11011x x x x xMP MP e e f x e f x e k f x k e x x x '''=⇒==∴⋅==-∴+-=-- 设22()1()210x x h x e x h x e '=+-⇒=+>,则显然()h x 在R 严格增,且0(0)00h x =⇒=(0,1)P ∴()S x =22(1)()2x x e S x '-+⇒=(1)x -222x e +=2(1)x e x +-()2S x '=(21)00x e x x +->⇒>2()2(1)00x S x e x x '=⋅+-<⇒<()S x ∴在(,0]-∞递减,[0,)+∞递增0x ∴=是()S x 的最小值点P ∴是M 关于f 的最近点(3)设21()(1)(S x x t =-++()f x -2()()),f tg t +2()(S x =21)(x t --+(f )(x f -)(t g -2))t 设(,())t t P x f x 由题知,t x 是12(),()S x S x 的最小值点,故()()()()()()()()()2221111t t t S t S x g t x t f x f t g t≥⇒+≥-++-+()()()()()()2222211()()()t t t S t S x g t x t f x f t g t ≥⇒+≥-++--两式相加得()()22222(1(()))21(()())()t t g t x t f x f t g t ⎦+-++-⎡⎤⎣≥()()()()220t t x t f x f t ∴-+-≤⇒t x t =()()1()212()()()()S x x t f x f t g t f x ''=-++-+ 2()2(1)2(S x x t '=--+()f x -()())f t g t -()f x 't x 是12(),()S x S x 的最小值点12,(),()S x S x 的定义域为R t x∴ 是12(),()S x S x 的极小值点121()()01()()0()0()S x S x g t f t f t g t ''''∴==∴+=∴=-<()f x ∴在R 上严格递减.。
高考数学填空题答题套路和技巧
高考数学填空题答题套路和技巧考试答题，对分数影响最为关键的就是答案的正确性。
下面是为大家整理的高考数学填空题答题套路和技巧相关内容，以供参考，一起来看看！高考数学填空题答题套路和技巧1、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
2、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
3、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
4、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
5、图像法借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。
文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。
6、构造法在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。
高考数学答题规范1、答题工具答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。
禁止使用涂改液、修正带或透明胶带改错。
必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
2、答题规则与程序①先填空题，再做解答题；②先填涂再解答；③先易后难。
3、答题位置按题号在指定的答题区域内作答，如需对答案进行修改，可将需修改的内容划去，然后紧挨在其上方或其下方写出新的答案，修改部分在书写时与正文一样，不能超出该题答题区域的黑色矩形边框，否则修改的答案无效。
4、解题过程及书写格式要求关于填空题，常见的错误或不规范的答卷方式有：字迹不工整、不清晰、字符书写不规范或不正确、分式写法不规范、通项和函数表达式书写不规范、函数解析式书写正确但不注明定义域、要求结果写成集合的不用集合表示、集合的对象属性描述不准确。
2021年高考数学试卷(上海)(秋考)(解析卷)
2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知121i,23i z z =+=+（其中i 为虚数单位），则12z z += ．【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：1234z z i+=+【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．2、已知{}{}21,1,0,1,A x x B =≤=-则 I A B = 【思路分析】求出集合A ，再求出A B I【解析】：{}1212A x x x x ìü=≤=≤íýîþ，所以{}1,0I A B =-【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．3、若22240x y x y +--=,则圆心坐标为【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：22240x y x y +--=可以化为22125x y -+-=（）（）所以圆心为(1,2)【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．4、如图边长为3的正方形,ABCD 则u u u r u u u rAB AC ⋅= 【思路分析】利用向量投影转化到边上.【解析】方法一：2=9u u u r u u u r u u u r AB AC AB ⋅=方法二：由已知||3AB =u u u r ，||AC =u u u r ，,4AC AB p<>=u u u r u u u r ，则39AB AC ⋅=´=u u u r u u u r ；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；5、已知3()2,f x x=+则1(1)f -= 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意，得原函数的定义域为：(,0)(0,)-¥+¥U ，结合反函数的定义，得312x=+，解得3x =-，所以，1(1)3f -=-；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．6.已知二项式()5x a +的展开式中，2x 的系数为80，则a =________．【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】5331553,80,2r r r r T C a x r C a a -+=⇒===【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。
高考数学-填空题的解法技巧
(1)已知点
P(x，y)的坐标
x，y
满足x－2y＋1≥0， |x|－y－1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是
________________________________________________________________________．
(2)(2016·枣庄模拟)已知函数
填空题的解法技巧
题型概述 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨 度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力． 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合 理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”． 方法一 直接法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要 善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基 本方法．
解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空
题的关键．
跟踪演练 1 (1)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等
于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析 (1)令 α＝0°， 则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝32. (2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点 E，F，G 分 别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为 OA＝6，OB＝4，OC＝2， 如图，则可计算 S1＝3 5，
这样解高考填空题又快又好
这样解高考数学填空题又快又好湖南宁乡一中 黎国之填空题只要求填结果，每空不是得满分就是得零分，考生在填空题上失分一般都相当严重，尤其是现在很多省份加大了对填空题的考查，所以我们很有必要探讨填空题的解答策略和方法.解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。
解题的基本策略是：巧做；解题的要领：稳——变形要稳，不可操之过急；快——运算要快，力戒小题大作，道题都应力争在1～3分钟内完成，最快的在5秒内完成；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意，尤其是组合填空题，一般有4个小命题，判错一个就吃大亏了。
申明三点：一、利用下面的方法解题，方法是科学的，答案是可靠的；二，利用下面的方法解题，完全符合高考命题者的真实意图，是合法的，不要有任何道德顾虑；三，虽然你有权不采用这些方法，但是建议你接受和学会这些方法，并且在平时有意识地去运用，形成习惯。
一．直接推演法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。
它是解填空题的常用的基本方法。
使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的变换. 【例1】．焦点为1F (－2,0)和2F (6,0)，离心率为2的曲线方程是_______.【解析】：由题设知曲线为双曲线，利用双曲线的定义即性质，其中心在（2，0），且 c=4,e=ac=2.计算得： 2a =4,2b =12，所以双曲线的方程是4)2(2-x －122y =1.【例2】．函数2()f x =的定义域为 。
【解析】：210,10,1 1.x x x ⎧--≥⎪-⎨⎪-≠⎩3x ⇒≥。
【例3】、（08上海）函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x 。
【解析】：22()(2)2f x bx a b x a =+++，它是偶函数，所以(2)0a b +=，所以0a =或2b =-。
做数学填空题的技巧有哪些-
做数学填空题的技巧有哪些?数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一。
其形态短小精悍、跨度大、学问掩盖面广、考查目标集中，形式敏捷，答案简短、明确、详细，评分客观、公正、精确等。
下面是高三网我整理的做数学填空题的技巧，供参考。
做数学填空题的基本技巧是精确、快速、干净。
精确是解答数学填空题的先决条件，填空题不设中间分，一步失误，全题无分，所以应认真审题、深化分析、正确推演、谨防疏漏，确保精确;快速是赢得时间猎取高分的必要条件，对于数学填空题的答题时间，应当掌握在不超过20分钟左右，速度越快越好，要避开超时失分现象的发生;干净是保住得分的充分条件，只有把正确的答案干净的书写在答题纸上才能保证阅卷老师正确的批改，在网上阅卷时干净显得尤为重要。
高考中的数学填空题一般是简单题或中档题，数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)推断型的试题，应答时必需按规章进行切实的计算或者合乎规律的推演和推断。
求解填空题的基本策略是要在准、巧、快上下功夫。
常用的方法有直接法、特别化法、数行结合法、等价转化法等。
点击查看：高中数学学习方法数学填空题的技巧解析一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件动身、利用定义、定理、性质、公式等学问，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要擅长通过现象看本质，娴熟应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地实行敏捷、简捷的解法。
二、特别化法当填空题的结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特别值(或特别函数，或特别角，图形特别位置，特别点，特别方程，特别模型等)进行处理，从而得出探求的结论。
这样可大大地简化推理、论证的过程。
三、数形结合法数缺形时少直观，形缺数时难入微。
一道高考数学填空题的解法探究
，
＋
ｔ ｎ ［ ａ ｔ
这是一道关于 “ 三角函数” 的填充题 ，主要考 查三角函数 的基础知识 和三角恒等 一 阻 变换等基本思想方法 ，考查 的知识点为解三角形 、正弦定理 、余弦定理的灵活运用．
本题 构思巧妙 ，内涵丰富 、结构和谐 ，解法 多样 ，是一道全方位考查 三角变换 与
１ 持 “ 法” ． 坚 通 ，定 能 “ 到 最 后 ” ． 笑 Ｂ —宝 Ｃ ｛ 所谓 “ 通法 ”就是采用平时处理这类问题的一般方法 ： ， 切化弦＋ 正弦定理＋ 弦定理． 余
蹶 由 ６Ｃ 手６Ｚ－ ，ｎ２ ｃ 以 ＋ ＝ ＋＝ｏ， ＋：一ｂｅ ２＝ ２ ａｃ 得 ｓ ×＋ｃ故 ＋ 争 ， ａ 一 ｂ 所 ｅ
下 图所示 的直角坐
标 系 ， 设 Ａ ， ， Ｂ
（，）则 ｃｓ ＝ ， 。 ０， ｏＣ ｘ
Ｕ
ｙ 、
２ ． 在斜 ＡＡ Ｃ中 ， Ａ， Ｃ所 对的边分别为 Ⅱ ｂ Ｂ 角 Ｂ， ，，
一ｊ ２ ￣ｂ－
ａ２ ｃ ２
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ｏ（＋ ） 则角 Ａ 的值 为— ｓ ＿ Ａ） ｔ Ｃ ａＤ ｓｉ ｓ ｉ
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＝２２２ 丽ｃａ＝ ｂ＿ ＋
２ ２ｅ－ ２ （ ＋２ｂ ａ ）
２ 巧妙 “ 值” ． 赋 ，定 能 “ 得 最 美 ” ． 笑
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当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，即函数 f(x)在(0，1)上是增函数. 1 1 1 ∵1＞ ＞ ＞ ＞0，∴a＞b＞c. 2 013 2 014 2 015
答案 a＞b＞c
Байду номын сангаас
探究提高
构 造 法 实 质上是化 归 与 转 化思想在解题
中的应用，需要根据 已 知 条件 和所要解决的问题确
定构 造 的方 向 ，通过构 造新 的 函 数、不等式或数 列 等新 的模型，从而转 化为自己熟悉的问题 .本题巧妙 地构 造 出正方体，而 球 的直 径 恰 好 为正方体的体对 角线，问题很容易得到解决.
解析 因为函数 f(x)是奇函数， 且 1， －1 是其定域内的值， 1 所以 f(－1)＝－f(1)，而 f(1)＝2 014＋a， 1 2 015 f(－1)＝ ＋a＝a－ . －1 2 014 2 015 －1
1 2 015 1 故 a－ ＝－ a＋2 014 ，解得 a＝ . 2 014 2
解析
f′(x)＝x2＋ax＋2b(a，b∈R)，由题意知 α，β 是函数 f(x)
的两个极值点，则 α，β 是函数 y＝f′(x)的图象与 x 轴两个交点 的横坐标.由 α∈(0，1)，β∈(1，2)及二次函数图象的特征，可 f′（0）＞0， 2b＞0， b＞0， 知f′（1）＜0，即1＋a＋2b＜0， 整理得a＋2b＋1＜0， f′（2）＞0， 4＋2a＋2b＞0， a＋b＋2＞0，
探究三： (2015· 湖北卷)函数 f(x)＝4cos
2x
π cos2－x－2sin 2
x－
2 |ln(x＋1)|的零点个数为________. 2x 2x 2cos －1－ 解析 f(x)＝4cos 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x· 2
解析
对于①， 当 x≥0 时， 有 f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， f(2 013)
＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(2×1 006＋1)＋f(2×1 007) ＝f(1)＋f(0)＝0，因此①正确； 对于②，注意到 f f
1 1 － ＝ f ＝ log2 2 2
在 Rt△PF2F1 中，2c＝ （4a）2－（2a）2＝2 3a， c ∴e＝a＝ 3.
方法归纳： 直接法
对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填 空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通
过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有
意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
1 答案 2
方法归纳：
特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论
唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题
中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值 (特殊函数、特殊角、
特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理， 从而得出探求的结论.
【训练 2】 如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，过点 M 的 → ＝λAB →， 直线与直线 AB、 AC 分别交于不同的两点 P、 Q， 若AP 1 1 → → AQ＝μAC，则 λ ＋μ＝________.
1 1 b－2 则 的取值范围为4，1.故填4，1. a－1 1 答案 4，1
探究提高
图解法实质上就是数形结合的思想方法
在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合
所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命
题的 热 点 . 准确运用此类方法的关键是正确 把握各 种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用 几何图形中的相关结论求出结果.
|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，令 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|. 在同一坐标系中作出两个函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大 致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函 数 f(x)有 2 个零点.
方法归纳： 图象分析法
称，故①正确；又函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点
对称，而图象又关于直线x＝1对称，故函数f(x)必是一个周 期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故②不正确；
因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相 同的， 且 f(x) 在区 间 [1 ， 2] 上是 减函 数，所以其在区 间 [－2，－1]上也是减函数，故③正确；④因为函数f(x)关 于直线x＝1对称，在区间[1，2]上是减函数，而函数在
【训练 5】 已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时， 有 f(x＋1)＝－f(x)，且当 x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)， 给出下列命题： ①f(2 013)＋f(－2 014)的值为 0；②函数 f(x)在定义域上是 周期为 2 的周期函数； ③直线 y＝x 与函数 f(x)的图象只有 1 个交点；④函数 f(x)的值域为(－1，1). 其中正确命题的序号有________.
画出可行域，如图(阴影部分，不包括边界)， b－2 表示连接可行域内一点 P(a，b)与点 a－1 D(1，2)的直线的斜率 k，又 A(－3，1)， 2－1 1 B(－2，0)，C(－1，0)，则 kAD＝ ＝ ， 1－（－3） 4 2－0 kCD＝ ＝1，由图可知 kAD＜k＜kCD， 1－（－1）
阆中东风中学校
4
自主探究： 高考数学填空题的解题方法 题型特点概述
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样， 属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过 程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等． 1． 填空题的类型 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念 性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出 结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量 填写，一类是定性填写．
3 ， 2
3 1 1 1 3 － ＋ 2 ＝ f ＝ f ＋ 1 ＝ － f ＝－log2 ， 2 2 2 2 2
因此 f
1 1 － ≠ f － ＋ 2 ， 函数 2 2
2 1 【训练 1】 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝ an＋ ，则{an}的通项 3 3 公式是 an＝________. 2 1 解析 由已知 Sn＝3an＋3.①
2 1 当 n＝1 时，S1＝ a1＋ ，解 a1＝1； 3 3 2 1 当 n≥2 时，Sn－1＝3an－1＋3.② an ①－②整理，得 an＝－2an－1，即 ＝－2.因此{an}为 a1＝1， an－1 公比 q＝－2 的等比数列，an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函
数在区间[0，1]上为增函数，又由奇函数的性质，可得 函数 f(x) 在区间 [－ 1 ， 0]上是 增函 数，故④ 正确. 所以正 确的结论有①③④.故填①③④.
答案 ①③④
方法归纳：
综合分析法
对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运 用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.
3．解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”．
x2 y2 探究一： 设 F1，F2 是双曲线 C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两 个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的
3 最小内角为 30° ，则 C 的离心率为________.
答案 (－2)n－1
探究提高
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，
在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角 度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用， 将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填 空题的关键.
1 探究二：(2015· 济南模拟)若 f(x)＝ ＋a 是奇函数， x 2 015 －1 则 a＝________.
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，
通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正 确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都 是常用的图形.
1 3 1 2 【训练 3】 已知 α，β 是三次函数 f(x)＝3x ＋2ax ＋2bx(a，b∈R) b－2 的两个极值点，且 α∈(0，1)，β∈(1，2)，则 的取值范围 a－1 是________.
探究五： 定义在 R上的函数 f(x)是奇函数，且 f(x) ＝ f(2 －x) ，
在区间[1，2]上是减函数.关于函数f(x)有下列结论：
①图象关于直线 x ＝ 1 对称；②最小正周期是 2 ；③在区间 [－2，－1]上是减函数；④在区间[－1，0]上是增函数. 其中正确结论的序号是 ________(把所有正确结论的序号都 填上). 解析 由 f(x) ＝ f(2 － x) 可知 函 数 f(x) 的 图 象关于直 线 x ＝ 1 对
6π ________.
方法归纳： 构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特
殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使
较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识 和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概 括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻 找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模
2．填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接 写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一， 表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之 好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是 在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以 是条件，也可以是结论 )，留下空位，让考生独立填上，考 查方法比较灵活． 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有 毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上 下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因 此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而 要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在 “巧”字上下功夫．