椭圆、抛物线的综合问题
椭圆、抛物线的综合问题(七十二)
1．已知a ，b 满足2a ＋3b ＝1，则直线4x ＋ay －2b ＝0必过的定点为( ) A ．(43，1
6)
B ．(43，－1
6)
C ．(16，43)
D ．(16，－43
)
答案 D
解析 ∵2a ＋3b ＝1，又由4x ＋ay －2b ＝0， 得－y 4x a ＋1
2x b ＝1，∴???
－y 4x ＝2，12x ＝3，∴?
??x ＝16，y ＝－4
3
，选D.
2．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则1|AF|＋1|BF|
＝________． 答案 2p
3．已知曲线C ：y 2＝2px(p>0)．O 为原点，A ，B 是C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，则直线AB 过定点________． 答案 (2p ，0)
4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝3
2，其左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|
＝23，设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－1
4
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 12＋x 22为定值，并求该定值． 答案 (1)x 24＋y 2
＝1 (2)4
解析 (1)依题意，c ＝3，而e ＝3
2
， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 则椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)由于y 1x 1·y 2x 2＝－1
4
，则x 1x 2＝－4y 1y 2，x 12x 22＝16y 12y 22.
而x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1，则1－x 124＝y 12
，1－x 224＝y 22， ∴(1－x 124)(1－x 22
4)＝y 12y 22，则(4－x 12)(4－x 22)＝16y 12y 22，
(4－x 12)(4－x 22)＝x 12x 22，展开，得x 12＋x 22＝4为一定值．
5．(优质试题·课标全国Ⅰ，理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，
P 3(－1，
32)，P 4(1，3
2
)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
答案 (1)x 24
＋y 2
＝1 (2)定点(2，－1)
解析 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1
a 2＋
3
4b 2
知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上， 因此???1
b 2
＝1，1a 2
＋3
4b 2
＝1，解得??
???a 2＝4，b 2
＝1.
故C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.
如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为(t ，4－t 2
2)，
(t ，－
4－t 2
2
)． 则k 1＋k 2＝
4－t 2－2
2t
－4－t 2＋2
2t
＝－1， 得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2
＝1得
(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4
4k 2＋1
.
而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）
x 1x 2.
由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0， 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋1
2.
当且仅当m>－1时，Δ>0，
于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋1
2
(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．
6．(优质试题·湖南师大附中月考)如图，抛物线C 1：y 2
＝8x 与双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a>0，b>0)
有公共焦点F 2，点A 是曲线C 1，C 2在第一象限的交点，且|AF 2|＝5.
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)以F 1为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：(x －2)2＋y 2＝1，已知点P(1，3)，过点P 作互相垂直且分别与圆M ，圆N 相交的直线l 1，l 2，设l 1被圆M 截得的弦长为s ，l 2被圆N 截得的弦长为t ，试探索s
t 是否为定值？请说明理由．
答案 (1)x 2
－y 2
3
＝1 (2)定值 3
解析 (1)∵抛物线C 1：y 2＝8x 的焦点为F 2(2，0)， ∴双曲线C 2的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．
设A(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)为抛物线C 1和双曲线C 2在第一象限的交点，且|AF 2|＝5， 由抛物线的定义得x 0＋2＝5，∴x 0＝3，
∴|AF 1|＝
（3＋2）2＋（0－26）2＝7.
又∵点A 在双曲线上，由双曲线的定义得2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝7－5＝2，∴a ＝1.∴b ＝22－1
＝ 3.
∴双曲线C 2的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
(2)s
t
为定值．理由如下： 设圆M 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝r 2，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x. ∵圆M 与渐近线y ＝±3x 相切， ∴圆的半径为r ＝
231＋（3）
2
＝3，
故圆M ：(x ＋2)2＋y 2＝3.
依题意l 1，l 2的斜率存在且均不为零，
∴设l 1的方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， l 2的方程为y －3＝－1
k (x －1)，即x ＋ky －3k －1＝0，
∴点M 到直线l 1的距离d 1＝
|3k －3|
1＋k 2，点N 到直线l 2的距离d 2＝|3k －1|
1＋k
2
. ∴直线l 1被圆M 截得的弦长s ＝23－（
3k －31＋k
2
）2＝2
63k －6k 2
1＋k 2
，直线l 2被圆N 截
得的弦长t ＝21－（
3k －11＋k
2
）2
＝2
23k －2k 2
1＋k 2
.
∴s
t
＝63k －6k 223k －2k
2＝3，故s
t 为定值 3.
7．(优质试题·甘肃高台县一中检测)如图，设直线l ：y ＝k(x ＋p
2)与抛物线C ：
y 2＝2px(p>0，p 为常数)交于不同的两点M ，N ，且当k ＝1
2时，弦MN 的长
为415.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 过点B(1，－1)，求证：直线NQ 过定
点．
答案 (1)y 2＝4x (2)定点(1，－4)
解析 (1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，当k ＝1
2时，
直线l ：y ＝12(x ＋p 2)，即x ＝2y －p
2，
联立得?????x ＝2y －p 2
，y 2＝2px ，即y 2－4py ＋p 2＝0.
所以y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝p 2， 于是得|MN|＝
1＋4|y 1－y 2|＝5×
（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝215|p|＝415，
又p>0，所以p ＝2，即抛物线C 的标准方程为y 2＝4x. (2)设点M(4t 2，4t)，N(4t 12，4t 1)，Q(4t 22，4t 2)， 易得直线MN ，MQ ，NQ 的斜率均存在， 则直线MN 的斜率是k MN ＝
4t －4t 1
4t 2－4t 12＝1
t ＋t 1，
从而直线MN 的方程是y ＝1
t ＋t 1(x －4t 2)＋4t ，即x －(t ＋t 1)y ＋4tt 1＝0.
同理可知MQ 的方程是x －(t ＋t 2)y ＋4tt 2＝0， NQ 的方程是x －(t 1＋t 2)y ＋4t 1t 2＝0.
又易知点(－1，0)在直线MN 上，从而有4tt 1＝1，即t ＝1
4t 1，
点B(1，－1)在直线MQ 上，从而有1－(t ＋t 2)(－1)＋4tt 2＝0，即 1－(14t 1＋t 2)(－1)＋4×1
4t 1×t 2＝0，
化简得4t 1t 2＝－4(t 1＋t 2)－1.
代入NQ 的方程得x －(t 1＋t 2)y －4(t 1＋t 2)－1＝0. 所以直线NQ 过定点(1，－4)．
8．(优质试题·辽宁盘锦一中月考)如图，已知点A(1，2)是离心率为
2
2
的椭圆C ：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a>b>0)上的一点，斜率为2的直线交椭圆C 于B ，D 两
点，且A ，B ，D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值． 答案 (1)y 24＋x 2
2
＝1 (2)定值为0
解析 (1)由题意，可得e ＝c a ＝22，将A(1，2)代入椭圆C 的方程，得2a 2＋1
b 2＝1，又a 2＝
b 2
＋c 2
，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2
2
＝1.
(2)设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，∵A ，B ，D 三点不重合，∴m ≠0，设D(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．
由?????y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，
得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，
由Δ＝－8m 2＋64>0，得－22 2m ，x 1x 2＝m 2－44 . 设直线AB ，AD 的斜率分别为k AB ，k AD ， k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1 ＋ y 2－2x 2－1 ＝22＋m·x 1＋x 2－2 x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＝22＋m·－2 2 m －2m 2－44＋2 2 m ＋1＝ 22－22＝0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值． 1．垂直于x 轴的直线交双曲线x 2－2y 2＝2于不同的两点M ，N ，A 1，A 2分别为双曲线的左、右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P(x 0，y 0)，则x 02＋2y 02的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D 解析 设M(x 1，y 1)，则N(x 1，－y 1)，y 1≠0，∵A 1(－2，0)，A 2(2，0)，∴直线A 1M 的方程为y ＝ y 1 x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2N 的方程为y ＝－y 1 x 1－2(x －2) ②，由①×②，得y 2 ＝ －y 12 x 12－2 (x 2－2)．∵x 12－2y 12＝2，∴y 2 ＝－12(x 2－2)，即x 2＋2y 2＝2.∵P(x 0，y 0)是直线A 1M 与A 2N 的交点，∴x 02＋2y 02＝2. 2．已知A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)过焦点的弦两个端点，分别过A ，B 作C 的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点在定直线l 上，那么l 的方程为________． 答案 x ＝－p 2 3．已知椭圆C ：x 26＋y 2 3＝1，圆E ：x 2＋y 2＝2，l 是圆E 的切线，l 与C 交于A ，B 两点，以 AB 为直径的圆过定点________． 答案 (0，0) 解析 圆E 的方程为x 2＋y 2＝2，设O 为坐标原点， 当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 的方程为x ＝2， 则A(2，2)，B(2，－2)，所以∠AOB ＝π 2， 所以以AB 为直径的圆过坐标原点． 当直线l 的斜率存在时，其方程设为y ＝kx ＋m ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 因为直线与圆相切，所以d ＝ |m| 1＋k 2 ＝ m 21＋k 2 ＝2，所以m 2＝2＋2k 2. 联立方程组?????y ＝kx ＋m ， x 26＋y 23＝1， 得x 2＋2(kx ＋m)2＝6， 即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)＝8(6k 2－m 2＋3)＝8(4k 2＋1)>0， 由根与系数的关系得? ??x 1＋x 2＝－ 4km 1＋2k 2 ，x 1x 2 ＝2m 2 －6 1＋2k 2 ， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2 ＝（1＋k 2）（2m 2－6）1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－6k 2 －61＋2k 2 ＝0， 所以OA →⊥OB → ，所以以AB 为直径的圆恒过坐标原点O. 4．已知P 是椭圆C ：x 24＋y 2 ＝1上一点，A 是C 的右顶点，B 是C 的上顶点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则|AN|·|BM|＝________． 答案 4 解析 由题意知A(2，0)，B(0，1)． 点P 在曲线(x 2)2＋(y 1)2＝1上，不妨设P(2cos θ，sin θ)，当θ≠π且θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线 AP 的方程为y －0＝sin θ 2（cos θ－1）(x －2)，令x ＝0，得y M ＝sin θ 1－cos θ； 直线BP 的方程为y －1＝sin θ－12cos θ(x －0)，令y ＝0，得x N ＝2cos θ 1－sin θ . ∴|AN|·|BM|＝2|1－ cos θ 1－sin θ|·|1－sin θ 1－cos θ | ＝2|2（1－cos θ）（1－sin θ） （1－sin θ）（1－cos θ） |＝2×2＝4(定值)． 当θ＝k π或θ＝k π＋π 2(k ∈Z )时，M ，N 是定点，易得|AN|·|BM|＝4，综上，|AN|·|BM|＝4. 5．(优质试题·浙江温州中学月考)已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝ 5 2 ，虚轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)定点为(－10 3 ，0) 解析 (1)由题设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)， 由已知得c a ＝5 2 ，2b ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1， ∴双曲线的标准方程为x 24 －y 2 ＝1. <一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 中职拓展模块椭圆、双曲线、抛物线测试题 （时间：60分钟 总分：100分） 得分：_________ 一、单选题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1、 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D （0,1) 2、抛物线2 8y x =的准线方程是 （ ） A ：x=2 B ：x=-4 C ：y=-2 D ： y=-4 3、焦点为1(5,0)F -、2(5,0)F ，实轴长是6的双曲线的方程是（ ） A 、 221169x y -= B 、221916x y -= C 、221169y x -= D 、22 196 x y -= 4、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆 2 2 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 5、双曲线 的渐近线方程是 （ ） A ： 2y x =± B ： 0.5y x =± C ： 2y x =- D ： 0.5y x = 6、一动圆圆心在抛物线y x 82 -=上，且动圆恒与直线y =2相切，则动圆必过定点（ ） A 、（4，0） B 、（0，–4） C 、（2，0） D 、（0，–2） 7、过抛物线焦点任作一弦，以这弦为直径作圆，这圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A 、相交 B 、相切 C 、相离 D 、不确定 8、等轴双曲线的离心率是 （ ） A 、1 B 、2 C 、1/2 D 、不确定 9、椭圆19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 10、曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.不能确定 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 11. 双曲线22 1259 x y -=的实虚轴长分别是 ，顶点坐标是 ，焦 点坐标是 ，渐近线方程是 ，离心率是 。 12、抛物线210y x =的焦点坐标是 ，准线方程是 。 13、双曲线 22 22 1124x y m m -=+-的焦距是 。 14、椭圆5k -522=y x 的一个焦点是（0,2），则k ＝_________ 三、解答题(本大题4小题，共44分) 15、（10分）已知椭圆的两个焦点分别为12(0,22),(0,22)F F -,离心率22 e = 求椭圆的方程。 班级____________ 姓名_____________ 座位号__________ 2244 x y -= 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准方程: (1))0(122 22>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中 c=2 2b a -. (2))0(122 22>>=+b a a y b x ,焦 点 :F 1(0,-c),F 2(0,c), 其 中 c= 2 2b a -. 3.椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b; ②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0); ③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b; ④离心率:e=a c ,0 ⑤准线x=±c a 2 ;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任 意一点. 二、基本训练 1．设一动点 P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为 3， 则动点P 的轨迹方程是 （ ） () A 22 132 x y += ()B 22 132 x y -= ()C 2 2 (1)132 x y ++= ()D 22 123 x y += 2．曲线 192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A ()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 30的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22 221(x y a b +=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右 椭圆、双曲线、抛物线 专题训练 一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分) 1．(精选考题·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 2．(2009·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线 段AF 交C 于点B .若FA ＝3FB ，则|AF |＝ ( ) A. 2 B ．2 C.3 D ．3 3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝ 3 2 |MN |，则∠NMF ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 4．过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠ F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A. 22 B.3 3 C.12 D.13 5．双曲线x 24－y 2 5＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，若线段PF 1的 中点在y 轴上，那么点P 到双曲线左准线的距离是( ) A.133 B.53 C.154 D.94 6．(精选考题·皖南八校模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (7 2 ，4)，则|PA |＋d 的最小值是( ) A.7 2 B ．4 C.9 2 D ．5 二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分) 7．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±1 3 x 的双曲线的方程为________． 8．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点M (0,1)任作一条直线交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1·x 2＝－2，则抛物线C 的方程为________． 9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10．(本小题满分15分)(精选考题·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1 2， 且椭圆经过点N (2，－3)． (1)求椭圆C 的方程； (2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程． 11．(本小题满分15分)(2009·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 3，过右 焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 22 . (1)求a ，b 的值； (2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ＝OA ＋OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 12．(本小题满分16分)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2 a 2－ y 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)交于A 、B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b a x 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 【椭圆】 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点， 两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ） （1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； （2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2、两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122 22=+b y a x )0(>>b a 为例） 1、对称性： 对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形； 并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 3、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别 为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴 的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ） 的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2 （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到 0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为2 22t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= 解决圆锥曲线常用的方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 椭圆双曲线抛物线训练题 一、解答题（共21题；共195分） 1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由. 2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆 C上，且△F1AF2的面积为。 （1）求椭圆C的方程。 （2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使 ∠OEB=∠OED。若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。 3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程. 4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分） （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分） （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点． 8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原 点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程. 9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为 （1）证明: （2）设为的右焦点，为上一点，且，证明: 10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。 （2）求过点且与的准线相切的圆的方程. 12.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。 （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。 （2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。 13.已知是椭圆C：的两个焦点，为上的点，为坐标原 点。 （1）若为等边三角形，求的离心率； （2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求的值和a的取值范围。 双曲线知识点 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22 1(0)x y mn m n - => 例题：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的 轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?-> 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-< 点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上22 0022-=1x y a b ? 2 直线与双曲线： （代数法） 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若0222=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 222222 4()a b m b a k =+- 专题十五 椭圆双曲线抛物线 1．(2013年新课标理数全国卷1) 已知双曲线C:x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离 心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A 、y =±14x （B ）y =±1 3 x （C ）y =±1 2 x （D ）y =±x 2．(2013年新课标理数全国卷1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)， 过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( ) A 、x 245＋y 2 36 ＝1 B 、 x 236 ＋ y 2 27 ＝1 C 、 x 227 ＋ y 218 ＝1 D 、 x 218 ＋y 2 9 ＝1 3．(2013年新课标理数全国卷2)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为( ) （A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x 4．(2014年新课标理数全国卷1)．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A B ．3 C D ．3m 5．(2014年新课标理数全国卷1).已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF =( ) A ． 72 B ．3 C ． 5 2 D ．2 6．(2014年新课标理数全国卷2).设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾 斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.9 4 圆锥曲线练习题（文科） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 2．设P 是椭圆x 225＋y 216 ＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－1020 D.102 4．椭圆x 225＋y 2 9 ＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( ) A ．(5,0)或(－5,0) B ．(52，332)或(52，－332 ) C ．(0,3)或(0，－3) D ．(532，32)或(－532，32 ) 5．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 2 36＝1 D.x 227－y 29 ＝1 6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4或－4 B ．－2 C ．4 D ．2或－2 8．设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x 的准线上，则此双曲线的方程为( ) A.x 25－y 26＝1 B.x 27－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 2 3 ＝1 9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2) 10．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( ) 椭圆、双曲线、抛物线专题训练（一）（2012年2月27日） 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52 3．在抛物线y 2＝4x 上有点M ，它到直线y ＝x 的距离为42，如果点M 的坐标为(m ，n )且 m >0，n >0，则m n 的值为( ) A.12 B ．1 C.2 D ．2 4．设椭圆 C 1的离心率为513 ，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2 122＝1 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 6．(2011·福建高考)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴 上，离心率为22 .过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． 8．(2011·江西高考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12 )作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________． 9．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 三、解答题(共计40分) 10．(15分)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． 11．(15分)如图4，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . 重点高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C. 3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = ?= ||2AF ∴=. 5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。 推导过程：由第二定义得 11 PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离） ， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ?? ==+=+=+ ?? ?；同理得20PF a ex =-。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。 22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22 221y x a b +=。有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。 双曲线的定义、方程和性质 知识要点： 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线； 若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。 ②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 【要点提炼】 考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2 ，b 2 ，p 的值． 【热点突破】 【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为3 5，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 2 16＋y 2 25＝1 B.x 225＋y 2 9＝1 C.x 2 9＋y 2 25＝1 D.x 2 25＋y 2 16 ＝1 【答案】 D 【解析】 椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可 得2a ＋2c ＝16， 椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得 c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 2 25＋ y 2 16＝1. (2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△ PF 1F 2的面积为( ) 1、已知椭圆方程为 22 12332 x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ） A ．6 B ．3 C ． D ．2、椭圆2 2421x y +=的焦点坐标是（ ） A ．( B ．(0, C ．11(0,),(0,)22- D ．( 3、12F F ，是定点，且12FF =6，动点M 满足12MF +MF 6=，则M 点的轨迹方程是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 4、已知方程2 21x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．-1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 5、过点（3，-2）且与椭圆2 24936x y +=有相同焦点的椭圆方程是（ ） A ． 2211510x y += B ．22 2211510x y += C ． 2211015 x y += D ．22 2211015x y += 6、若直线 1y mx =+与椭圆2241x y +=只有一个公共点，那么2m 的值是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 23 D ． 45 7、已知椭圆C ：22 192 x y +=，直线l ：110x y +=，点P （2，-1），则（ ） A ．点P 在C 内部，l 与C 相交 B ．点P 在 C 外部，l 与C 相交 C ．点P 在C 内部，l 与C 相离 D ．点P 在C 外部，l 与C 相离 8、过椭圆C ：22 221x y a b +=的焦点引垂直于x 轴的弦，则弦长为（ ） A ． 2 2b a B ． 2 b a C ． b a D ． 2b a 9、抛物线220x y +=的准线方程是（ ）高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
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