第18章 超静定结构受力分析

A (a)
B
(b)
X1
B
（4）切断一根梁式杆或者去掉一个固定端 相当于去掉三个约束。
（4）切断一根梁式杆或者去掉一个固定端相 当于去掉三个约束。
C D C D
X1 X1 X2 A
(b)
A
B
X3 B
X3
C
(a)
X3
D C
D
X1
X2 X2
X1 X3 B
(d)
A
(c)
B
A
X1 X2
（3 次）
或
（14 次）
超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件 11 12 1 P 1 由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题 21 22 2 P 2
i
i
(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移 例如求 K 截面竖向 位移：
K FP （×Fpa）
Ky
1 a 5 3 1 1 3 15 FP a [ ( FP a FP a ) EI 1 8 6 88 2 EI 1 2 88 88 a 2 FP a 3 3 FP a 3 ] ( ) 2 16 1408 EI 1
11 X1 1n X n 1P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
ij
图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移
注意：用图乘法求
ij
iP
和 iP 时应注意图乘条件
(6) 解方程求未知力 X i
(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图
M M i X i M P FN FN i X i FN P
i
FQ FQ i X i FQP
FP
原 结 构
X2=1 M2 图
FP
基 本 体 系
M1 图
FP
FPa MP图
单位和荷载弯矩图
15 X 1 FP a , 88 3 X 2 FP a 88
C
问题：
能否取基本体系为
X2
X1
FP
A
()
不能，是可变体系
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系) 超静定次数 = 基本未知力的个数
15 X 1 FP a , 88
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
FP FPa FP
2
4 X 2 FP 11
MP图 （×Fpa）
a
M2 图 FPa 2 MP图
M1 图
FP
5a 11＝ 6 EI1
a a a 22＝ 3 EI1 6 EI1 2 EI1
3
3
3
17 FP a 2 27 FP a 3 7a 2 12＝ 21 1P 2P 12 EI1 48 EI1 96 EI1
因此必须设法补充方程
超静定次数的确定
一个超静定结构所具有的多余约束的数目就
是它的超静定次数 。 去掉的多余约束的个数，或需要添加的多余 未知力的个数便是超静定结构的超静定次数 。 如果从原结构中去掉个约束后结构变成了静 定结构，则称原结构为次超静定结构。


超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数
或
(1 次）
需要注意以下两个方面
其一，去掉多余约束的方式不止一种，但需
注意不能去掉必要约束，否则变成几何可变 体系。 其二，必须去掉全部多余约束，即去掉约束 后，体系必须是无多余约束的。
x1
(a) C D C (b) D
A (c)
B
A (d) X1
B
18.2 力 法 18.2.1力法的基本思路
FPa
3 3 3 3
a 11＝ 6 EI1
a a 5a 22＝ 3 EI1 2 EI1 6 EI1
5FP a 3 FP a 3 a3 12＝ 21 1P 2P 4 EI1 96 EI1 16 EI1
4FP X1 11 X 2 3FP 88
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
（3 次）
或
（14 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
确定超静定次数时应注意： ①切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1， 拆开单铰2。总次数可由所解除约束得到。 ②一个超静定结构可能有多种形式的基本结 构，不同基本结构带来不同的计算工作量。 因此，要选取工作量较少的基本结构。 ③可变体系不能作为基本结构 (2) 建立力法典型方程
解法 2： FP 原 结 构
FP
基 本 体 系
解法3： F P
原 FP 结 构
基 本 体 系
FP
原 结 构
a M2 图
FP
基 本 体 系
FPa 2 MP图
M1 图
FP
单位和荷载弯矩图
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
a C M1 图
M2图 B F P
A a
FP
FPa 2
MP图
A
A
1 X 1 X 0 11 11 12 12 2 1p1P 0 2 M图 X pM 0 22 2 2图0 1 21 X 1 21 22 2 2P
FP
FPa
FP （×Fpa）
由叠加原理求得
M M1 X 1 M 2 X 2 M P
力法基本思路小结
根据结构组成分析，正确判断多余约束个 数——超静定次数。 解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁 原结构
待解的未知问题
转化
A
B
已掌握受力、变形 基本体系 基本结构
primary structure or fundamental structure fundamental system or primary system
已掌握的问题
未知力的位移
“荷载”的位移
荷载弯矩图
互乘
ij — 位移系数
iP
—
广义荷载位移
X1
叠加作弯矩图
系数和未知力等于多少？
例 2. 求解图示结构
解法1:
FP
原 结 构
FP
基 本 体 系 一
基 本 未 知 力
有两个多余约束
解除约束代以未知力
FP P
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移 变形协调条件 力法典型方程 11 X1 12 X 2 1p 0 1 11 12 1p 0 或 21 X1 22 X 2 2p 0 2 21 22 2p 0
K FP （×Fpa）
2
Ky
1 a2 1 3 3 FP a 3 FP a ( ) EI 1 8 2 88 1408 EI 1
（9）对计算结果进行校核 对结构上的任一部分，其 力的平衡条件均能满足。 如： M C 0
FP
（×Fpa）
问题：使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解？

仅凭静力平衡条件不能够确定全部反 力和内力的结构称为超静定结构。
A (a)
FP
B
A (b)
F P1 C D
F P2
B
只要满足 有一个多于约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。
1
FAy FP1 FP2 FBy
1
1
M A FPi a i 1 FBy l
i
1
FBy 为任意值，均平衡。
去掉多余约束的方式
（1）去掉一根链杆或切断一根链杆，相当于
去掉一个约束。
B A
(a)
C
B A X1
(b)
C
B A
C
B A X1 X1
C
D
(c)
D
(d)
（2）去掉一个铰支座或单铰，相当于去掉两 个约束。
x
1
x
2
(a)
(b)
x
2
x
1
2
x
x
1
(c)
(d)
（3）将一个固定端支座改为固定铰支座或将 一刚结点改为单铰结点，相当于去掉一个约束。
12 21
。
F112 F2 21
F1 F2 1
故有
12 21
位移互等定理
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
链 举 例
4.2 荷载下超静定结构计算
例 1. 求解图示两端固支梁。 解：取简支梁为基本体系 力法典型方程为：
EI
FP FP