极限的计算方法

第二章 一元函数微分学

三、极限的计算方法（二）

4．利用两个重要极限求极限

e x x x x x x =+∞→=→)11(lim 21sin 0

lim 1：个重要极限的标准形式第：个重要极限的标准形式第

注意：对于两个重要极限，不仅要记住他们的标准形式，更重要的是理解其本质特征，明确其一般形式。

1)

()(sin lim 1sin lim 0)(010)()(1==→→→x x x

x x x x x x x x ϕϕϕϕϕ 为：

个重要极限的一般形式则第，的某个变化过程中，若的函数，在为，设其自身之比的极限是正弦与的特征是：无穷小量的是无穷小量，即此极限中，在 限的特征为：是无穷小量，因此该极时中，在x x e x x x 1)11(lim ∞→=+∞→

为

个重要极限的一般形式，则第的某个变化过程中，若在。的极限为大量互为倒数其中，无穷小量与无穷无穷小量）无穷大量20)()(1(→+x x e ϕ

e x x x =+→)(10)())(1(lim ϕϕϕ

)(sin sin lim

60均为常数，求极限例b a bx ax x → 两个函数乘积的极限，于是可把上极限化为解：因bx x x ax bx ax sin sin sin sin ⋅= 求解。又当x →0时，ax→0，bx→0，于是有

b

a b a bx

bx b ax ax a bx x x

ax bx ax x x x x x =⋅⋅⋅=⋅=⋅=→→→→→1111sin 1lim 1sin lim sin lim sin lim sin sin lim

00000 t x t t sin lim 7∞→求极限例

x x x t x

t x t x t t t t

x t x t t =⋅=⋅=∞→∞→→∞→1)sin (lim sin lim 0 是无穷小量，于是有，即时，是变量，当解：在极限过程中，

220sin 11lim 8x

x x -+→求极限例 分析：当x →0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以)11(2++x ，然后看是否可利用第1

个重要极限。

2

1211111lim sin lim )11(sin 11lim sin 11lim 202202220220=⋅=++⋅=++⋅-+=-+→→→→ 解：x x x x x x x x x x x x

)()1(lim 9为常数求极限例k n

k n n +∞→

个重要极限求解。

，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，无穷小是无穷小量，符合“，即时， 分析：当”）无穷大21(0+→∞→n

k n k n k k k n

n n n e n k n k =+=+∞→∞→])1[(lim )1(lim 解：

)()1(lim 1010为常数求极限例k kx x

x -→ 极限求解。

个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于是无穷大量，即极限属是无穷小量，时， 分析：当无穷大2111(10kx

kx x x

kx x --+-→

k k kx x x x e kx kx ---→→=-=-])1[(lim )1(lim 1010解：

3)5(lim 11+∞→+x x x

x 求极限例 5355331])51[(lim )51(lim )51(lim )5(lim e x

x x x x x

x x x x x x =⋅+=+⋅+=+∞→∞→∞→+∞→解：

n n n n )1

3(lim 12-+∞→求极限例

444141)11(lim ])11[(lim )11(lim )13(lim 141141

4114113

1e e t

t t n n t t t t t n n t n t n t n n n n n n =⋅=+⋅+=+=-+∞→∞→+∞→∞

→∞→∞→+==--+=-+-=-+ ，于是有：时，，且当，即　故令因为：解法 解法2： 413133])11[(lim ])31[(lim )11(lim )31(lim )1131(lim )13(lim e e e n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n ==-+=-+=-+=-+---∞→∞→∞→∞→∞→∞→

5．利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。 ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+→x x x x 31)3(1lim 130求极限例 。

()形后再求极限。

式，一般采用先通分变”型未定属“均趋于无穷大，此极限与时， 分析：当∞-∞+→x

x x x 31310 91)3(31lim )3(3)3(3lim 31)3(1lim 000-=+-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+→→→x x x x x x x x x x 解：

x

x x x tan cos 1lim 140-→求极限例 分析：当 x →0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x cos 1cos sin )cos 1(cos sin sin )

cos 1(tan cos 1)cos 1(tan )cos 1)(cos 1(tan cos 122+⋅=+⋅=+⋅-=+⋅+-=- 解： 2

1211cos 1cos lim sin lim tan cos 1lim 000=⋅=+⋅=-→→→x x x x x x x x x x 所以，

6．利用无穷小量的性质求极限·极限计算小结 ⑴ 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。 1sin lim

152-∞→x x x x 求极限例

解：因当x →∞时，sinx 的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到 0111lim 1lim

22=-=-∞→∞→x x x x x x

是无穷小量，即的性质，是有界变量，由无穷小，即是无穷小量，而时， 即x x x x x x x x sin 1

2sin 1sin 12⋅-≤-∞→

01sin lim

2=-∞→x x x x 极限计算小结：

以上介绍了极限计算中常用的6种基本初等方法，在实际运用中，要首先判定所求极限属于哪一种类型，视具体情况灵活正确运用。同时，也要注意各种方法的综合运用。极限计算是本章的重点内容之一，要求大家加强练习，熟练掌握。