平面向量的数量积导学案
平面向量数量积导学案(3课时)
平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案（1）学习目标：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何 意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.学习过程 一、课前准备 复习：1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 .2、向量数乘运算的定义是 . 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学探究1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。
② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点的）特别地：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。
探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关。
高中数学 2.4《平面向量的数量积》导学案 新人教A版必修4
2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ， 是F 与s 的夹角. 新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b ca =c如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a ba5 |a b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升1.已知向量(3,1)a r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b r r ，则b r （ ）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1( .条件甲：0AC BC u u u r u u u r；条件乙：点C 的坐标是方程122y x 的解.则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知||22,||3,p q p u r r u r 与q r 的夹角为4，则以52,3a p q b p q r u r r r u r r 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）A.15B.15C.14D.164.把点(2,2)A 按向量(2,2) 平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC u u u r u u u r，则点C 的坐标为 .5.把函数5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象,且a b r r ,)1,1( c，4 c b ,则 b.6.不共线向量a r ，b r 的夹角为小于120o的角，且||1,||2a b r r ，已知向量2c a b r r r ，求||c r的取值范围.7. 已知向量,a b r r 满足||||1a b r r ，且||3|a kb ka b r r r r，其中0k .（1）试用k 表示a b r r ，并求出a b r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角 的值；（2）当a b r r 取得最大值时，求实数 ，使||a b r r的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b xr r .（1）求a b r r 及；||a b r r；（2）求函数()()(||a b f x R a b r r r r 且0) 的最小值.参考答案例1 （略） 例2 （略） 例3 （略） 例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y r 33x y 221(0)x y y .2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC u u u r u u u r 2(1)(1)0x x y ,∴0AC BC u u u r u u u r 122 y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b r r 为对角线时，其长度较短，6a b p q r r u r r.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC u u u r u u u r，可求得点C的坐标为(0,2).5 )1,3( 提示：由函数 5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象，可得(1,3)a r；设(,)b m n r ，由a b r r 和4 c b得：304m n m n ，解之得3,1m n .6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b r r r r r r r （其中 为a r 与b r 的夹角）.∵0120 o, ∴1cos 12, 13||5c r , ∴||c r 的取值范围为13,5).7解：（1）2221||3|()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k kr r r r r r r r r r . ∴111()42a b k k r r ,此时1cos 2 ，23 .∴21(0)4k a b k k r r ，a b r r 的最大值为12 ，此时a r 与b r 的夹角 的值为23. （2）由题意，12a b r r ，故22213||1()24a b r r ，∴当12 时，||a b r r 的值最小，此时1||02a b b r r r ，这表明当1()2a b b r r r .8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x r r ； 223333|||(cos cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x xa b r r 3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x .（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx, ∵[,]64x , ∴1cos 2cos x x是减函数，①当0 时，()f x 的最小值为()04f；②当0 时，()f x 的最小值为()6f.综上，当0 时，()f x 的最小值为0；当0 时，()f x .。
平面向量的数量积导学案
平面向量数量积的定义【课标要求】理解平面向量数量积的定义，以及运用数量积进行计算，掌握一些基本变形.【学习目标】平面向量数量积的定义.【重难点】平面向量数量积的定义.【知识回顾】1、对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做两向量之间的夹角当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .<a ，b >＝<b ，a >，规定零向量与任一向量平行．2．向量在轴上的正射影(1)已知向量a 和轴l 如图所示，作OA →＝a ，过点O 、A 分别作轴l的垂线，垂足分别为O 1、A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)．(2)a 在轴l 上的正射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，a l ＝θcos a . (3)射影的坐标是数量，当α为锐角时，a l 为正值；当α为钝角时，a l 为负值；当α＝0时，a l ＝a ；当α＝π时，a l ＝a-. 3．向量的数量积(内积)(1)θcos b a 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝θcos b a .(2)两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)向量数量积的几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的正射影的数量|b |cos<a ，b >的乘积，或看作是向量b 的长度b 与a 在b 方向上正射影的数量b a a ，cos 的乘积．4．向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝e a a ，cos (2)a ⊥b ⇔0=⋅b a ；(3)2a =a ·a ＝|a |2(4)cos<a ，b >＝b a ba ⋅（a ≠0，b ≠0)；（5）b a ≤⋅5、平面向量数量积的运算律a.a b b a ⋅=⋅（交换律）b.()()()b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律） c.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+（分配律）【随堂练习一】1、若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等2、已知a 、b 为两个单位向量，则下列说法正确的是( )A ．a ＝bB ．如果a ∥b ，那么a ＝bC ．a ·b ＝1D ．a 2＝b 23、在△ABC 中，AB →·CB →<0，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4、若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．45、|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86、向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－53B ．5C ．－5D ．537、对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c8、已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29、有下列四个式子：①0·a ＝0；②0·a ＝0；③0－MN →＝NM →；④|a ·b |＝|a ||b |，其中正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10、已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．－7B ．7C ．28D ．－2811、已知a ·b ＝16，若a 与b 方向上的射影数量为4，则|b |＝________.12、若等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________.13、已知|a |＝4，|b |＝5，则a 在b 上的射影的数量与b 在a 上的射影的数量的比值λ＝________.14、对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.15、已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.16、如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.17、已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．【随堂练习二】1、若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π6，则|a ＋b|＝( ) A ．3 B ．3 C ．21 D ．212、若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝12，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63、设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( )A ．1B ．2C ．4D ．54、已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b5、下列各式中正确命题的个数为( )①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．A ．1B ．2C ．3D ．46、若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 7、若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对8、若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2B ．2C ．1D ．229、对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b |B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 10、已知|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k 等于( )A ．－6B ．6C ．3D ．－311、设a 、b 、c 是单位向量，且a －b ＝c ，则向量a 与b 的夹角等于________．12、已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为120°，且向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a·b ＝________.13、已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.14、关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)15、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．16、已知a 、b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．17、已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝a ＋2b ，d ＝m a －6b (m ∈R )．若c ∥d ，求|c ＋d|.18、已知|a |＝1，|b |＝ 2.(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |(3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．19、已知向量|a |＝1，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋2b |； (2)若(2a －b )·(3a ＋b )＝3，求a 与b 的夹角．。
平面向量数量积学案
D．
﹣
2.(2012安徽)设向量 ， ， ，若 ，则 ______
3.(2013山东)在平面直角坐标系xOy中，已知 ＝(－1，t)， ＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为__________．
4.(2012天津)在△ABC中， A=90°，AB=1，AC=2,设点P，Q满足 = ， =(1- ) ， R。若 =-2，则 =
考向三 平面向量的数量积与垂直问题
【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
【训练3】(2012·陕西)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()．
A.B.
C．0D．－1
链接高考
1.(2014•山东）已知向量 =（1， ）， =（3，m），若向量 ， 的夹角为 ，则实数m=（ ）
2．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，a·b＝，0·a＝.
3．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度与．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b的夹角．则
(1)a⊥b⇔a·b＝；
(2)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；
A．－1B．－C.D．1
3．若a＝(1,0)，b＝(1,1),则|2a－b|＝________.
4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．
A．9 B．4 C．0 D．－4
考向一 求两平面向量的数量积
【例1】►(1)(2014·新课标全国)已知向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝ ，则
§2.4.1 平面向量的数量积运算导学案
利川市第五中学数学导学案§2.4.1 平面向量的数量积运算【课程学习目标】：1. 知识与技能：了解平面向量数量积的概念及几何意义2. 过程与方法：掌握数量积的运算法则3. 情感、态度与价值观：提高学生分析问题、解决问题的能力【教学重难点】：1. 重点：平面向量的坐标运算与共线的坐标表示.2. 难点：平面向量坐标表示的原理.【课时】：2自主学习过程 一、知识链接，忆旧迎新 平面向量的夹角：已知两个 向量a 与b ，作a OA =，b OB =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角.二、读教材，理要点 1.向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量_________________叫做向量a 与b 的数量积（或内积）.记作 ，即 . 其中，θ是a 与b 的夹角， 叫做向量a 在b 方向上的投影. 叫 做向量b 在a 方向上的投影.规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________.2.向量数量积的几何意义 b a ⋅的几何意义是：数量积b a ⋅等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的性质 若a 与b 是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则：（1）⇔⊥b a .上课时间： 学生姓名：（2）当a 与b 同向时，b a ⋅= . 当a 与b 反向时，b a ⋅= .（3）=⋅a a . =a = .（4）=θcos .（5）b a ⋅ b a .4.数量积的运算律①交换律：_____________________________②数乘结合律：_________________________③分配律：_____________________________三、疑点探究问题1：向量的数量积是一个向量还是数量？向量的投影是向量还是数量？ 问题2：对于向量c b a ,,，等式)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅一定成立吗？为什么？问题3：等式2222)(b b a a b a +⋅+=+和22)()(b a b a b a -=-⋅+成立吗？若成立，请给出证明.问题4：非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么（1）当0>⋅b a ，θ的范围是 ； （2）当0<⋅b a ，θ的范围是 ；（3）当0=⋅b a ，θ的范围是 ；四、典型例题 例1.已知2=a ，4=b 分别求满足下列条件的向量b a ,的数量积.（1）b a // （2）b a ⊥ （3）b a ,夹角为65π例2.在直角ABC ∆中，3=AB ,3=BC ,23=CA ，求AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅.例3.已知3=a ，4=b ，21=+b a 。
向量数量积导学案
平面向量的数量积导学案【考纲考情】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义；2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
【知识梳理】1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质4. 数量积的运算律5. 平面向量数量积的坐标表示设向量a =(x1，y1)，b =(x2，y2)，向量a 与b 的夹角为θ，则考点1 平面向量数量积的运算【例1】(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°，c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t=________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则的值为________，的最大值为________.【规律方法总结】向量数量积的两种求法：(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b =|a||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.【练1】(1)在边长为1的等边△ABC 中，设则=( )(2) 1.若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a -b )·c =30，则x=( )A.6B.5C.4D.3DE CB ⋅DE DC ⋅BC 2BD,CA 3CE ==，AD BE ⋅1111A. B. C. D.3432--3π，考点2 平面向量的垂直与夹角问题【例2】(1)(2014·九江模拟)若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a与b的夹角是( )(2)设两个向量a,b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为若向量2t a＋7b与a＋t b的夹角为钝角，求实数t的范围．【规律方法总结】平面向量数量积的两个应用(1)若a,b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ=（夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【练2】（1）(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_______.(2)设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b)，则x=______.考点3 平面向量的模及应用【例3】(1) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. 求|a+b|和|a-b|.(2)(2013·湖南高考)已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c－a－b|=1,则|c|的取值范围是( )A．］B．-1］C．［1］D．［1］242A. B. C. D.3333ππππ-⋅a ba b【练3】(1)(2014·嘉兴模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3，a·(a-2b)=0，则|a-b|=( ) A.2 B.3 C.4 D.6(2) (2013·重庆高考)在平面上，若则||的取值范围是( )【课堂自测】1.给出下列结论：①向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量；②两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量；③由a·b=0可得a=0或b=0；④(a·b)c=a(b·c).其中正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.③④2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4，且a·b=2,则a与b的夹角为( )3.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )A.9B.4C.0D.-44.已知单位向量a，b的夹角是120°，则|a+b|=( )5.(2014·西安模拟)已知平面向量a,b的夹角为120°，|a|=2,|b|=2,则a+b与a的夹角是_______.【课堂小结】总结本节课的题型及对应的解题方法，在表格中笔记：A. B. C. D.6432ππππ1A.21212AB AB OB OB1⊥==，，12AP AB AB=+．1OP2<，OA。
6.2.4平面向量数量积导学案
类型一：求向量数量积
例1.已知 ， 与 的夹角为 ，求
变式训练：已知边长为1的等边三角形ABC，求
类型二：求向量夹角
例2.已知 ， ，求 与 的夹角 .
类型三：向量数量积运算
例3.已知 ， 与 的夹角为 ，求
变式训练：求 的值.
例4．已知 ，（1）求 的值；（2）求 .
类型四：向量垂直问题
章节
6.2.4
课题
平面向量的数量积
学习
目标
1.掌握平面向量数量积的定义及其几何意义，理解数量积的重要性质和运算律.
2.能够利用平面向量数量积的定义及其性质解决简单的有关问题.
教Байду номын сангаас重点
数量积的定义，用数量积表示向量的模及向量的夹角.
教学难点
数量积定义及运算律的理解，求向量的模、夹角.
【新知探究】
一、数量积
1.向量夹角的定义：
2.向量数量积的定义：
注：<1>向量数量积的结果是数量区别于数乘的结果（向量）；
<2>数量积的符号由 决定：
，
2.向量 在 上的投影向量：
二、性质与运算律
3.性质：设 ， 都是非零向量 . <1>
<2> 与 同向， ； 与 反向，
特别地 ；所以
<3>因为 ，所以 ，故 .
4.运算律：<1><2><3>
9.已知 ， 都是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角。
【课后思考】
已知向量 的夹角为 ，且 ，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
<4> <5> .
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
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平面向量的数量积导学案监利县长江高中 祝磊考纲要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量垂直的条件.高考预测:(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低.(2)主观题---以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系,难度中等.教学目标：(i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教 具：多媒体. 教材教法分析:本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课,重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想. 教学过程： 一、追溯1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b|cos θ，(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积. 3．两个向量的数量积的性质 设a 、 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b= 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |,特别地a ⋅a = |a |24︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b|4.平面向量数量积的运算律① 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a ② 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb )③ 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量),(11y x a = ，),(22y x b = ,则b a⋅2121y y x x +=.②设),(y x a = ，则22||y x a +=.③平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=.④向量垂直的判定 两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔02121=+y y x x .⑤两向量夹角的余弦 co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121yx y x y y x x +++=（πθ≤≤0）.二、典型例题1. 平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题:①()0a a +-=; ②()()a b c a b c ++=++; ③()()a b c a b c =; ④()a b c a c b c +=+ 其中正确命题序号是 ②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求a b .解(1)当 ||a b 时, a b =0cos025110a b =⨯⨯=或a b =0cos18025(1)10a b =⨯⨯-=-. (2)当a b ⊥时, a b =0cos902500a b =⨯⨯=.(3)当a b 与的夹角为030时, a b=0cos30252a b =⨯⨯=. 变式训练:已知0000(cos 23,cos 67),(cos 68,cos 22)a b ==,求a b解:0000cos 23cos68cos67cos 22a b =+= 00000cos 23sin 22sin 23cos 22sin 452+== 点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题例题3 (2005年北京)若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 ( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 解:依题意2()0cos 0a a b a a b θ⋅+=⇒+= 1cos 2θ⇒=-120θ∴= 故选C学生训练: ① 已知2,3,7a b a b ==-=,求向量a 与向量b 的夹角.② 已知(1,2),(4,2)a b =-=,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= . 解: ① 7a b -=⇒ 2227a a b b -+= 31cos ,232a b a ba b⇒〈〉===⨯,故夹角为060. ②依题意得)(3,4)a b -=--(()3cos 5a a b a a bθ--+⇒===⨯-. 变式训练:已知,a b 是两个非零向量,同时满足a b a b ==-,求a a b +与的夹角.法一 解:将a b a b ==-两边平方得 221122a b a b ==, 2223a b a a b b a ∴+=++=则222221()32cos 23a aa ab a a b a a b a a b a aθ+++====++, 故a a b +与的夹角.为030.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 3.向量模的问题例题4 已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +-和. 解:6,4a b ==,且a b 与的夹角为060 12a b ∴=22276a b a a b b ∴+=++==; 22369108a b a a b b -=-+==变式训练 :①(2005年湖北)已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b +不超过5,则k 的取值范围 ( ) A. [4,6]- B. [6,4]- C. [6,2]- D. [2,6]-②(2006年福建) 已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1 解: ①(3,2)5a b k +=+=≤,62k ⇒-≤≤ 故选C②2222a b a a b b +=++, 2202cos12013a a b b ∴++=,解得4b =,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用22a a a a ==,注意两边平方是常用的方法. 4.平面向量数量积的综合应用例题5 (2006年全国卷)已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<.(1) 若,a b θ⊥求 ; (2)求a b +的最大值 . 解:(1)若a b ⊥,则sin cos 0θθ+=,tan 1,()224πππθθθ⇒=--<<∴=-.(2) a b +==3,,22444πππππθθ-<<∴-<+<sin()(4πθ∴+∈4πθ∴=当时,a b +的最大值为1==.例题6已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==,且,a b 满足3ka b a kb +=-,k R +∈ (1) 求证()()a b a b +⊥- ; (2)将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ; (3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b 的夹角θ. 解:(1)(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==2222()()||||110a b a b a b a b ∴+-=-=-=-=, 故 ()()a b a b +⊥-(2)3ka b a kb +=-,2222223,121363,ka b a kb a b k ka b ka b k ∴+=-∴==∴++=-+又21,(0)4k a b k k +∴=> 故21(),(0)4k f k k k+=>.(3) 21111()444442k k k f k k k k +==+≥=,此时当1,()k f k =最小值为12. 1cos 2a b a bθ∴==,量a 与向量b 的夹角θ 3π=小结1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.2.灵活应用公式a ⋅b = |a ||b |cos θ , b a ⋅2121y y x x += , 22||y x a +=.3. 平面向量数量积的综合应用。