湖南省长沙市2018届高三模拟试卷数学(文科)-含答案
湖南省长沙市2018届高三模拟试卷数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}|15P x N x =∈≤≤，集合{}2|60Q x R x x =∈--<，则P Q 等于
A. {}1,2,3
B.{}1,2
C.[]1,2
D.[)1,3
2.已知a 是实数，2a i
i -+是纯虚数，则a = A. 1
2 B. 1
2- C. 1 D.1-
3.“3x <”是“()ln 20x -<”的
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，若输入的5a =，则输出的结
果是 A. 1516 B. 3116 C. 31
32 D. 63
32
5.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>
的渐近线与圆
(228
3x y -+=相切，则该双曲线的离心率为
3
2
3
6.若实数,x y 满足不等式组330
23010
x y x y x y +-≥
⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最小值为
A. 2
B. 3
C. 18
7 D.14
7.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为2π
的扇形，则该几何体的表面积为
A. 2
B. 4π+
4+
D.)14π+
8.对于函数()()sin 31,f x a x bx cx a b R =+++∈，选取,,a b c 的一组值计算
()()1,1f f -，所得的正确结果可能是
A. 2和1
B. 2和0
C.2和-1
D. 2和-2
9.南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和
A. 多712斤
B.少712斤
C.多16斤
D.少16
斤 10.已知点()00,P x y 是抛物线24y x =上的一个动点，Q 是圆()()22:241C x y ++-=上的一个动点，则0x PQ +的最小值为
A. 1
B. 11.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向左平移6
π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()f x A.有一个对称中心,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 有一条对称轴6x π=
C. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减
D. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 12.已知函数()()
()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若存在1,22X ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是
A. 9,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. )
+∞ D.()3,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点()3cos ,sin P θθ在直线31x y +=上，则sin 2θ=.
14.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知5b c ==，且2B C =，点D 为边BC 上的一点，且3CD =，则ADC ∆的面积为.
15.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC
，120,AB AC BAC D ==∠= 为棱BC 上的一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成角为θ，则θ不大于45 的概率为.
16.已知向量()()(),1,,,1,10,0m a b n b a b =-=>> ，若m n ⊥ ，则14b a
+的最小值为. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足()21221
12.21log n n n b n a --=
++ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的前项和n T .
18.（本题满分12分）
某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，
艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学
生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/
分之间，现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五组[)70,75，按上述分组方法得到
的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三
组的频率之比为:4:10.a
（1）求a 的值，并求这50名学生心率的平均数；
（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由.
19.（本题满分12分）
如图，已知三棱锥P ABC -中，,,PA AC PC BC E ⊥⊥为PB 中点，D 为AB 的中点，且ABE ∆为正三角形.
（1）求证：BC ⊥平面PAC ；
（2）请作出点B 在平面DEC 上的射影H ，并说明理由.若123,5BC BH ==
，求三棱锥P ABC -的体积.
20.（本题满分12分）
已知平面内一动点M 到两定点()()120,1,0,1B B -和连线的斜率之积为12-
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）设直线:l y x m =+与轨迹E 交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴点P ，当m 变化时，求PAB ∆面积的最大值.
21.（本题满分12分）
设函数()()()1ln ,30.a f x x g x ax a x
-=+=-> （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；
（2）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为5cos :3sin x C y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
()4cos 5sin 400ρθθ-+=
（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）求曲线C 上的点到直线l 的最小距离.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()1 3.f x x x =++-
（1）求不等式()6f x <的解集；
（2）若关于x 的不等式()21f x a ≥+不恒成立，求实数a 的取值范围.。
2018年湖南省长沙市长沙县高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
2018年湖南省长沙市长沙县高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A={1,2,4}，B={x|x2−4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=( )A.{1, −3}B.{1, 0}C.{1, 3}D.{1, 5}2. 在复平面内，复数z=ii−1（i是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，那么log2a10=()A.4B.5C.6D.74. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A.3π10B.3π20C.1−3π10D.1−3π205. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的一条渐近线与圆x2+y2−6x−2y+9=0相切，则双曲线C的离心率等于（）A.5 4B.53C.32D.436. 若sin(π6−x)=45，则sin(π6+2x)的值为（）A.24 25B.−2425C.725D.−7257. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A.1 6B.13C.23D.18. 在等差数列{a n}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）A.8B.13C.16D.269. 如图，给出的是计算1+14+17+⋯+1100的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A.i>100，n=n+1B.i<34，n=n+3C.i>34，n=n+3D.i≥34，n=n+310. 函数f(x)=e x+1x(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A.B.C.D.11. 已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形．若P为底面三角形A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A.5π12B.π3C.π4D.π612. 设f(x)满足f(−x)=−f(x)，且在[−1, 1]上是增函数，且f(−1)=−1，若函数f(x)≤t 2−2at +1对所有的x ∈[−1, 1]，当a ∈[−1, 1]时都成立，则t 的取值范围是（ ）A.−12≤t ≤12B.−2≤t ≤2C.t ≥12或t ≤−12或t =0D.t ≥2或t ≤−2或t =0二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）已知平面向量a →=(2,1),b →=(2,x)．且(a →+2b →)⊥(a →−b →)，则x =________．若x ，y 满足约束条件{x +y −2≥0x −2y +4≥02x −y −1≤0，则z =2x +y 的最小值为________．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线l:x =−32，点M 在抛物线C 上，点A 在左准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF =−√3，则△AFM 的面积为________．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为________．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知c =72，△ABC 的面积为3√32，又tanA +tanB =√3(tanAtanB −1)．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求a +b 的值．如图，多面体ABCDEF 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，FA ⊥平面ABCD ，FA // DE ，且AB =AD =AF =2BC =2DE =2．(Ⅰ)M 为线段EF 中点，求证：CM // 平面ABF ；(Ⅱ)求多面体ABCDEF 的体积．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ．其范围为[0, 10]，分别有五个级别：T ∈[0, 2)畅通；T ∈[2, 4)基本畅通；T ∈[4, 6)轻度拥堵；T ∈[6, 8)中度拥堵；T ∈[8, 10]严重拥堵，晚高峰时段(T ≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．(Ⅰ)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？(Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在[4, 6),[6, 8),[8, 10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(2, 1)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM →=NO →，直线PM 、PN 分别交椭圆于A ，B ．探求直线AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．已知函数f(x)=me x −lnx −1．(Ⅰ)当m =1时，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当m ≥1时，证明：f(x)>1．（二）选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosαy =sinα−cosα（α为参数）． （1）求曲线C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+12=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x −a|，a ∈R ．（1）当a =5时，求不等式f(x)≤3的解集；（2）当a =1时，若∃x ∈R ，使得不等式f(x −1)+f(2x)≤1−2m 成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2018年湖南省长沙市长沙县高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】本题考查集合的运算．【解答】解：由题意1∈B，即x=1是方程x2−4x+m=0的根，解得m=3，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，经检验，C符合题意．故选C．2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】在复平面内，复数z=ii−1=−i(1+i)(1−i)(1+i)=1−i2对应的点(12,−12)位于第四象限．3.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】利用等比数列的性质求得a7的值，进而求出结果．【解答】解：∵a3a11=16，∴a72=16，∵a n>0，∴a7=4．∴a10=a7q3=4×23=25，∴log2a10=5.故选B.4.【答案】D【考点】模拟方法估计概率【解析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【解答】解：直角三角形的斜边长为√82+152=17，设内切圆的半径为r ，则8−r +15−r =17，解得r =3．∴ 内切圆的面积为πr 2=9π，∴ 豆子落在内切圆外部的概率P =1−9π12×8×15=1−3π20．故选：D ．5.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】双曲线的焦点在x 轴上，求得渐近线方程，圆的圆心和半径，运用相切的条件：d =r ，由点到直线的距离公式化简可得离心率．【解答】双曲线的焦点在x 轴上，可得渐近线方程为bx −ay =0，圆x 2+y 2−6x −2y +9=0的圆心为(3, 1)，半径为1，由题意可得d =√a 2+b 2=1，化简可得9b 2+a 2−6ab =a 2+b 2，即：4b =3a ，16c 2−16a 2=9a 2，则双曲线C 的离心率：e =c a =54，6.【答案】D【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用诱导公式求得sin(x −π6)=−45，将sin(π6+2x)转化为1−2sin 2(x −π6)的形式，代入求值即可．【解答】sin(π6−x)=−sin(x −π6)=45，sin(x −π6)=−45，sin(2x+π6)，=sin(2x−π3+π2)=cos(2x−π3 )=cos[2(x−π6 )]=1−2sin2(x−π6 )=1−2×(−4 5 )2=−725．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴S△ABC=12×AB×BC=12×12=12．因此V=13×S△ABC×PA=13×12×2=13．8.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】由等差数列的性质和已知可得a7=1，再由等差数列的求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．【解答】∵在等差数列{a n}中a3+a5+2a10=4，∴2a4+2a10=4，∴a4+a10=2，∴2a7=2，解得a7=1，∴数列的前13项的和S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=13×1=13，9.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子．【解答】∵算法的功能是计算S=1+14+17+⋯+1100的值，由题意及等差数列的性质，可得，100=1+(i−1)×3，解得i=34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框的条件为i>34，根据n值的规律得：执行框②应为n=n+3，10.【答案】A【考点】函数的图象变化函数的图象【解析】判断f(x)的奇偶性，f(x)的单调性或变化趋势即可得出答案．【解答】f(−x)=e−x+1−x(e−x−1)=1e x+1−x(1e x−1)=1+e x−x(1−e x)=e x+1x(e x−1)=f(x)，∴f(x)是偶函数，故f(x)图形关于y轴对称，排除B，D；又x→0时，e x+1→2，x(e x−1)→0，∴e x+1x(e x−1)→+∞，排除C，11.【答案】B【考点】直线与平面所成的角平面与平面平行的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示．∵ AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∴ ∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成角．∵ 平面ABC//平面A 1B 1C 1，∴ ∠APA 1为PA 与平面ABC 所成角．∵ S △A 1B 1C 1=√34×(√3)2=3√34， ∴ V 三棱柱ABC−A 1B 1C 1=AA 1×S △A 1B 1C 1=3√34AA 1=94， 解得AA 1=√3．又∵ P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，∴ A 1P =23A 1D =1，在Rt △AA 1P 中，∠APA 1=AA 1A 1P =√3，∴ ∠APA 1=π3．故选B ．12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】有f(−1)=−1得f(1)=1，f(x)≤t 2−2at +1对所有的x ∈[−1, 1]都成立，只需要比较f(x)的最大值与t 2−2at +1即可．【解答】若函数f(x)≤t 2−2at +1对所有的x ∈[−1, 1]都成立，由已知易得f(x)的最大值是1， ∴ 1≤t 2−2at +1⇔2at −t 2≤0，设g(a)=2at −t 2(−1≤a ≤1)，欲使2at −t 2≤0恒成立，则 {g(−1)≤0g(1)≤0⇔t ≥2或t =0或t ≤−2． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】−12【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的坐标运算【解析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方程求得x 的值．【解答】解：平面向量a →=(2,1),b →=(2,x)．∴ a →+2b →=(6, 1+2x)，a →−b →=(0, 1−x)，又(a →+2b →)⊥(a →−b →)，∴ (a →+2b →)⋅(a →−b →)=0， 即6×0+(1+2x)(1−x)=0，解得x =−12或x =1(舍去)，∴ x 的值为−12.故答案为：−12.【答案】2【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．【解答】由z =2x +y ，得y =−2x +z作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y =−2x +z 过点A 时，直线y =−2x +z 的在y 轴的截距最小，此时z 最小，由{x +y −2=0x −2y +4=0，得{x =0y =2 ，即A(0, 2)， 此时z =2×0+2=2，【答案】 9√3【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】画出图形，抛物线的性质和正三角形的性质计算出A ，M 的坐标，计算三角形的面积．画出图形，抛物线的性质和正三角形的性质计算出A ，M 的坐标，计算三角形的面积．【解答】抛物线的焦点为F(32, 0)，准线方程为x =−32，抛物线C:y 2=6x点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF =−√3， 准线与x 轴的交点为N ，则AN =3tan π3=3√3，A(−32, 3√3)，则M(92, 3√3)， ∴ S △AFM =12×6×3√3=9√3．【答案】 16√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设球心到底面的距离为x ，则底面边长为√9−x 2，高为x +3，表示出体积，利用导数求最值，即可得出结论．【解答】设球心到底面的距离为x，则底面边长为2，高为x+3，则V=13⋅√34(9−x2)⋅6(x+3)=√32(−x3−3x2+9x+27)，其中0<x<3，V′=0，可得x2+2x−3=0，解得x=1或x=−3（舍去）∴Vmax =V(1)=√32(−1−3+9+27)=16√3．故答案为：16√3．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分【答案】（I）∵tanA+tanB=√3(tanAtanB−1)，∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=−√3，∴A+B=2π3，从而C=π3．(II)由S△ABC=12absinC=3√32，C=π3得ab=6，又cosC=a2+b2−c22ab =12，c=72，∴a+b=112．【考点】两角和与差的三角函数余弦定理【解析】(Ⅰ)利用tanA+tanB=√3(tanAtanB−1)，根据和角的正切公式，即可求角C的大小；(Ⅱ)利用△ABC的面积为3√32，结合余弦定理求a+b的值．【解答】（I）∵tanA+tanB=√3(tanAtanB−1)，∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=−√3，∴A+B=2π3，从而C=π3．(II)由S△ABC=12absinC=3√32，C=π3得ab=6，又cosC=a2+b2−c22ab =12，c=72，∴a+b=112．【答案】，尽量不列综合算式．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】(Ⅰ)取AD的中点N，先证MN // AF，再证明CN // AB，则CN // 平面FAB，因此平面CMN // 平面ABF，即可证明CM // 平面ABF；(Ⅱ)将多面体ABCDEF分解成V F−ABC+V C−ADEF，根据体积公式，即可求得多面体ABCDEF的体积．【解答】(Ⅰ)取AD中点N，连接CN和MN，∵MN为梯形ADEF的中位线，∴MN // AF，∵FA⊂平面FAB，MN平面FAB，∴MN // 平面FAB∵四边形ABCN为矩形，∴CN // AB，∵FA⊂平面FAB，CN平面FAB，∴CN // 平面FAB，∵MN∩CN=N，∴平面CMN // 平面ABF，∵CM⊂平面CMN，∴CM // 平面ABF，评析：提醒学生注意尽量不用课本外的公式与定理解题，万一使用也要先证明再使用(Ⅱ)∵S△ABC=12×2×1=1，∴V F−ABC=13×1×2=23，∵S梯形ABEF =12×(1+2)×2=3，∴V C−ADEF=13×3×2=2∴多面体ABCDEF的体积V=V F−ABC+V C−ADEF=23+2=83，∴多面体ABCDEF的体积V=83．评析：提醒学生注意分步解【答案】(Ⅰ)补全直方图如图，由直方图：(0.1+0.2)×1×20=6个，(0.25+0.2)×1×20=9个，(0.1+0.05)×1×20=3个，∴这20个路段种轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别是6个，9个，3个．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为618×6=2，618×9=3，618×3=1，即从交通指数在[4, 6),[6, 8),[8, 10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1(Ⅲ)记选出的2个轻度拥堵的路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵的路段为B1，B2，B3，选出的重度拥堵的路段为C1，则从6个路段选取的2个路段的可能的基本情况有：(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1), (B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵的有：(A1, A2)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A1, C1)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，(A2, C1)共9种可能．∴所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是915=35．【考点】频率分布直方图古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知底×高=频率，频数×20=个数，由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的频率分别是0.3，0.45，0.15，(Ⅱ)根据分层抽样，交通指数在[4, 10)的路段共18个，抽取6个，求出抽取的比值，继而求得路段个数．(Ⅲ)考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得．【解答】(Ⅰ)补全直方图如图，由直方图：(0.1+0.2)×1×20=6个，(0.25+0.2)×1×20=9个，(0.1+0.05)×1×20=3个，∴这20个路段种轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别是6个，9个，3个．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为618×6=2，618×9=3，618×3=1，即从交通指数在[4, 6),[6, 8),[8, 10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1(Ⅲ)记选出的2个轻度拥堵的路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵的路段为B1，B2，B3，选出的重度拥堵的路段为C1，则从6个路段选取的2个路段的可能的基本情况有：(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1), (B2,B3),(B2,C1),(B3,C1)共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵的有：(A1, A2)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A1, C1)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，(A2, C1)共9种可能．∴所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是915=35．【答案】（1）由椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a 2=√32，则a 2＝4b 2， 将P(2, 1)代入椭圆x 24b2+y 2b 2=1，则1b 2+1b 2=1，解得：b 2＝2，则a 2＝8， ∴ 椭圆的方程为：x 28+y 22=1；（2）当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y 轴上，当M ，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)， 由{x 28+y 22=1y =kx +t 消去y 得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−8＝0，•则△＝16(8k 2−t 2+2)>0，x 1+x 2=−8kt 4k 2+1，x 1x 2=4t 2−84k 2+1，又直线PA 的方程为y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，即y −1=kx 1+t−1x 1−2(x −2)，….. 因此M 点坐标为(0, (1−2k)x 1−2tx 1−2)，同理可知：N(0, (1−2k)x 2−2tx 2−2)，由OM →=NO →，则(1−2k)x 1−2tx 1−2+(1−2k)x 2−2tx 2−2=0，化简整理得：(2−4k)x 1x 2−(2−4k +2t)(x 1+x 2)+8t ＝0， 则(2−4k)×4t 2−84k 2+1−(2−4k +2t)(−8kt4k 2+1)+8t ＝0，化简整理得：(2t +4)k +(t 2+t −2)＝0，•当且仅当t ＝−2时，对任意的k 都成立，直线AB 过定点Q(0, −2) 【考点】椭圆的标准方程 圆锥曲线的综合问题 【解析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率，将P(2, 1)代入椭圆x 24b 2+y 2b 2=1，求出a ，b ，然后求解椭圆的方程．(Ⅱ)当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y 轴上，当M ，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，联立{x 28+y 22=1y =kx +t消去y 得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−8＝0，利用判别式以及韦达定理，求解M 点坐标为(0, (1−2k)x 1−2tx 1−2)，N(0, (1−2k)x 2−2tx 2−2)由OM →=NO →，化简整理得：(2t +4)k +(t 2+t −2)＝0，推出直线AB 过定点Q(0, −2)． 【解答】（1）由椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a 2=√32，则a 2＝4b 2， 将P(2, 1)代入椭圆x 24b2+y 2b 2=1，则1b 2+1b 2=1，解得：b 2＝2，则a 2＝8， ∴ 椭圆的方程为：x 28+y 22=1；（2）当M ，N 分别是短轴的端点时，显然直线AB 为y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y 轴上，当M ，N 不是短轴的端点时，设直线AB 的方程为y ＝kx +t ，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)， 由{x 28+y 22=1y =kx +t 消去y 得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−8＝0，•则△＝16(8k 2−t 2+2)>0，x 1+x 2=−8kt 4k 2+1，x 1x 2=4t 2−84k 2+1，又直线PA 的方程为y −1=y 1−1x 1−2(x −2)，即y −1=kx 1+t−1x 1−2(x −2)，….. 因此M 点坐标为(0, (1−2k)x 1−2t x 1−2)，同理可知：N(0, (1−2k)x 2−2tx 2−2)，由OM →=NO →，则(1−2k)x 1−2tx 1−2+(1−2k)x 2−2tx 2−2=0，化简整理得：(2−4k)x 1x 2−(2−4k +2t)(x 1+x 2)+8t ＝0， 则(2−4k)×4t 2−84k 2+1−(2−4k +2t)(−8kt4k 2+1)+8t ＝0，化简整理得：(2t +4)k +(t 2+t −2)＝0，•当且仅当t ＝−2时，对任意的k 都成立，直线AB 过定点Q(0, −2) 【答案】（1）当m =1时，f(x)=e x −lnx −1， 所以f ′(x)=e x −1x所以f(1)=e −1，f ′(1)=e −1．所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y −(e −1)=(e −1)(x −1)． 即y =(e −1)x ．（2）证法一：当m ≥1时，f(x)=me x −lnx −1≥e x −lnx −1． 要证明f(x)>1，只需证明e x −lnx −2>0． 以下给出三种思路证明e x −lnx −2>0．思路1：设g(x)=e x −lnx −2，则g ′(x)=e x −1x ． 设ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ(x)=e x +1x 2>0，所以函数ℎ(x)=g ′(x)=e x −1x 在(0, +∞)上单调递增． 因为g ′(12)=e 12−2<0，g ′(1)=e −1>0，所以函数g′(x)=e x−1x 在(0, +∞)上有唯一零点x0，且x0∈(12,1)．因为g′(x0)=0时，所以e x0=1x，即lnx0=−x0．当x∈(0, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，g′(x)>0．所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0)．故g(x)≥g(x0)=e x0−lnx0−2=1x+x0−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)．设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1．因为当x<0时，ℎ′(x)<0，当x>0时，ℎ′(x)>0，所以当x<0时，函数ℎ(x)单调递减，当x>0时，函数ℎ(x)单调递增．所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．所以要证明e x−lnx−2>0，只需证明(x+1)−lnx−2>0．下面证明x−lnx−1≥0．设p(x)=x−lnx−1，则p′(x)=1−1x =x−1x．当0<x<1时，p′(x)<0，当x>1时，p′(x)>0，所以当0<x<1时，函数p(x)单调递减，当x>1时，函数p(x)单调递增．所以p(x)≥p(1)=0．所以x−lnx−1≥0（当且仅当x=1时取等号）．由于取等号的条件不同，所以e x−lnx−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x−lnx>2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t(t>0)与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则AB=√2(d1+d2)．其中d1=t√2，d2=2>0)．①设ℎ(t)=e t−t(t>0)，则ℎ′(t)=e t−1．因为t>0，所以ℎ′(t)=e t−1>0．所以ℎ(t)在(0, +∞)上单调递增，则ℎ(t)>ℎ(0)=1．所以d1=t√2>√22．②设g(t)=t−lnt(t>0)，则g′(t)=1−1t =t−1t．因为当0<t<1时，g′(t)<0；当t>1时，g′(t)>0，所以当0<t<1时，g(t)=t−lnt单调递减；当t>1时，g(t)=t−lnt单调递增．所以g(t)≥g(1)=1．所以d2=√2≥√22．所以AB=√2(d1+d2)>√2(√22+√22)=2．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．证法二：因为f(x)=me x−lnx−1，要证明f(x)>1，只需证明me x−lnx−2>0．以下给出两种思路证明me x−lnx−2>0．思路1：设g(x)=me x−lnx−2，则g′(x)=me x−1x．设ℎ(x)=me x−1x ，则ℎ(x)=me x+1x2>0．所以函数ℎ(x)=g′(x)=me x−1x在(0, +∞)上单调递增．因为g′(12m)=me12m−2m=m(e12m−2)<0，g′(1)=me−1>0，所以函数g′(x)=me x−1x在(0, +∞)上有唯一零点x0，且x0∈(12m,1)．因为g′(x0)=0，所以me x0=1x，即lnx0=−x0−lnm当x∈(0, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，g′(x)>0．所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0)故g(x)≥g(x0)=me x0−lnx0−2=1x+x0+lnm−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)，且lnx≤x+1(x>0)．设F(x)=e x−x−1，则F′(x)=e x−1．因为当x<0时，F′(x)<0；当x>0时，F′(x)>0，所以F(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增．所以当x=0时，F(x)取得最小值F(0)=0．所以F(x)≥F(0)=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．由e x≥x+1(x∈R)，得e x−1≥x（当且仅当x=1时取等号）．所以lnx≤x−1(x>0)（当且仅当x=1时取等号）．再证明me x−lnx−2>0．因为x>0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x−1不同时取等号，所以me x−lnx−2>m(x+1)−(x−1)−2=(m−1)(x+1)≥0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(Ⅱ)法一：问题转化为证明e x−lnx−2>0，思路1：设g(x)=e x−lnx−2，根据函数的单调性证明即可；思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)，设ℎ(x)=e x−x−1，要证明e x−lnx−2>0，只需证明(x+1)−lnx−2>0，再证明x−lnx−1≥0．设p(x)=x−lnx−1，根据函数的单调性证明即可；思路3：先证明e x−lnx>2，①设ℎ(t)=e t−t(t>0)，②设g(t)=t−lnt(t>0)，则g′(t)=1−1t =t−1t；法二：由f(x)=me x−lnx−1，要证明f(x)>1，只需证明me x−lnx−2>0，思路1：设g(x)=me x−lnx−2根据函数的单调性证明即可；思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)，且lnx≤x+1(x>0)，设F(x)=e x−x−1，再证明me x−lnx−2>0．【解答】（1）当m=1时，f(x)=e x−lnx−1，所以f′(x)=e x−1x所以f(1)=e−1，f′(1)=e−1．所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)．即y=(e−1)x．（2）证法一：当m≥1时，f(x)=me x−lnx−1≥e x−lnx−1．要证明f(x)>1，只需证明e x−lnx−2>0．以下给出三种思路证明e x−lnx−2>0．思路1：设g(x)=e x−lnx−2，则g′(x)=e x−1x．设ℎ(x)=e x−1x ，则ℎ(x)=e x+1x>0，所以函数ℎ(x)=g′(x)=e x−1x在(0, +∞)上单调递增．因为g′(12)=e12−2<0，g′(1)=e−1>0，所以函数g′(x)=e x−1x 在(0, +∞)上有唯一零点x0，且x0∈(12,1)．因为g′(x0)=0时，所以e x0=1x，即lnx0=−x0．当x∈(0, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，g′(x)>0．所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0)．故g(x)≥g(x0)=e x0−lnx0−2=1x+x0−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)．设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1．因为当x<0时，ℎ′(x)<0，当x>0时，ℎ′(x)>0，所以当x<0时，函数ℎ(x)单调递减，当x>0时，函数ℎ(x)单调递增．所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．所以要证明e x−lnx−2>0，只需证明(x+1)−lnx−2>0．下面证明x−lnx−1≥0．设p(x)=x−lnx−1，则p′(x)=1−1x =x−1x．当0<x<1时，p′(x)<0，当x>1时，p′(x)>0，所以当0<x<1时，函数p(x)单调递减，当x>1时，函数p(x)单调递增．所以p(x)≥p(1)=0．所以x−lnx−1≥0（当且仅当x=1时取等号）．由于取等号的条件不同，所以e x−lnx−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x−lnx>2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t(t>0)与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则AB=√2(d1+d2)．其中d1=t√2，d2=√2>0)．①设ℎ(t)=e t−t(t>0)，则ℎ′(t)=e t−1．因为t>0，所以ℎ′(t)=e t−1>0．所以ℎ(t)在(0, +∞)上单调递增，则ℎ(t)>ℎ(0)=1．所以d1=t√2>√22．②设g(t)=t−lnt(t>0)，则g′(t)=1−1t =t−1t．因为当0<t<1时，g′(t)<0；当t>1时，g′(t)>0，所以当0<t<1时，g(t)=t−lnt单调递减；当t>1时，g(t)=t−lnt单调递增．所以g(t)≥g(1)=1．所以d2=√2≥√22．所以AB=√2(d1+d2)>√2(√22+√22)=2．综上可知，当m≥1时，f(x)>1．证法二：因为f(x)=me x−lnx−1，要证明f(x)>1，只需证明me x−lnx−2>0．以下给出两种思路证明me x −lnx −2>0．思路1：设g(x)=me x −lnx −2，则g ′(x)=me x −1x ． 设ℎ(x)=me x −1x ，则ℎ(x)=me x +1x 2>0．所以函数ℎ(x)=g ′(x)=me x −1x 在(0, +∞)上单调递增． 因为g ′(12m)=me12m−2m =m(e12m−2)<0，g ′(1)=me −1>0，所以函数g ′(x)=me x −1x 在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12m ,1)．因为g ′(x 0)=0，所以me x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0−lnm当x ∈(0, x 0)时，g ′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)时，g ′(x)>0． 所以当x =x 0时，g(x)取得最小值g(x 0)故g(x)≥g(x 0)=me x 0−lnx 0−2=1x 0+x 0+lnm −2>0．综上可知，当m ≥1时，f(x)>1．思路2：先证明e x ≥x +1(x ∈R)，且lnx ≤x +1(x >0)． 设F(x)=e x −x −1，则F ′(x)=e x −1．因为当x <0时，F ′(x)<0；当x >0时，F ′(x)>0， 所以F(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增． 所以当x =0时，F(x)取得最小值F(0)=0．所以F(x)≥F(0)=0，即e x ≥x +1（当且仅当x =0时取等号）． 由e x ≥x +1(x ∈R)，得e x−1≥x （当且仅当x =1时取等号）． 所以lnx ≤x −1(x >0)（当且仅当x =1时取等号）． 再证明me x −lnx −2>0．因为x >0，m ≥1，且e x ≥x +1与lnx ≤x −1不同时取等号，所以me x −lnx −2>m(x +1)−(x −1)−2=(m −1)(x +1)≥0． 综上可知，当m ≥1时，f(x)>1．（二）选考题：共10分，考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosαy =sinα−cosα （α为参数）．由已知sinα=x+y 2,cosα=x−y 2，整理得：普通方程为(x+y 2)2+(x−y 2)2=1，化简得x 2+y 2=2． 由√2ρsin(π4−θ)+12=0，知ρ(cosθ−sinθ)+12=0，化为普通方程为x −y +12=0 圆心到直线l 的距离ℎ=√24，由垂径定理|AB|=√302． 【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接把参数方程转化为直角坐标方程．（2）首先把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离和垂径定理求出结果．【解答】曲线C 的参数方程为{x =sinα+cosαy =sinα−cosα（α为参数）． 由已知sinα=x+y 2,cosα=x−y 2，整理得： 普通方程为(x+y 2)2+(x−y 2)2=1，化简得x 2+y 2=2．由√2ρsin(π4−θ)+12=0，知ρ(cosθ−sinθ)+12=0，化为普通方程为x −y +12=0圆心到直线l 的距离ℎ=√24， 由垂径定理|AB|=√302． [选修4-5：不等式选讲]【答案】a =5时原不等式等价于|x −5|≤3即−3≤x −5≤3，即2≤x ≤8，∴ 解集为{x|2≤x ≤8}；当a =1时，f(x)=|x −1|，令g(x)=f(x −1)+f(2x)=|x −2|+|2x −1|={3−3x,x ≤12x +1,12<x <23x −3,x ≥2，由图象知：当x =12时，g(x)取得最小值32，由题意知：32≤1−2m ，解得m ≤−14．∴ 实数m 的取值范围为m ≤−14．【考点】其他不等式的解法【解析】（1）将a =5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可； （2）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1−2m 大于等于不等式左侧的最小值即可．【解答】a =5时原不等式等价于|x −5|≤3即−3≤x −5≤3，即2≤x ≤8，∴ 解集为{x|2≤x ≤8}；当a =1时，f(x)=|x −1|，令g(x)=f(x −1)+f(2x)=|x −2|+|2x −1|={3−3x,x ≤12x +1,12<x <23x −3,x ≥2， 由图象知：当x =12时，g(x)取得最小值32，由题意知：32≤1−2m ，解得m ≤−14．∴ 实数m 的取值范围为m ≤−14．。
长沙市2018届高三统考数学文科答案
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．D
【解析】由已知，A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞2}，则 A∩B＝B，A∪B＝A.
因为 B ⊆ A ，则 x∈B ⇒ x∈A，所以“x∈A”是“x∈B”的必要条件，选 D.
f(x)＞1，可排除选项
B，选
A.
9．B
【解析】设点
M(x，y)，则点
M
的轨迹方程是
x
y −1
⋅
x
y +1
=
m
，即
y2
=
m(x2
−1)
，即
x2 − y2 = 1(x ≠ ±1) . 因为点 M 的轨迹是双曲线，则 m＞0，且 a2＝1，b2＝m， m
从而 c2＝1＋m.
因为 2c＝4，即 c＝2，则 1＋m＝4，所以 m＝3，选 B.
得－5＜x＜1，选 A.
6．D
【解析】将一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱倒置，其侧视图如图①；将一个底面
为正方形的长方体倒置，其侧视图如图③；将一个圆柱倒置，其侧视图如图④；
将一个底面为等腰三角形的直三棱柱倒置，其侧视图如图②，但此时俯视图中
间应有一条水平实线，不合题意，所以图②不能作为该几何体的侧视图，选 D.
7．C 【解析】第一次执行循环体，得 i＝3，N＝14，此时 14＝2(mod 3).
但 14≠1(mod7). 第二次执行循环体，得 i＝9，N＝23，此时 23＝2(mod 3)， 但 23≠1(mod 7). 第三次执行循环体，得 i＝27，N＝50，此时 50＝2(mod 3). 且 50＝1(mod 7)， 退出循环. 所以输出 i 的值为 27，选 C. 8．A
湖南省长沙市2018届高三上学期期末统一模拟考试数学(文)试卷(含答案)
长沙市2018届高三期末统一模拟考试文科数学本试题卷共7页，全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A = {x|x-1>0}，B={x| 2-x<0}，则下列结论正确的是 A.A∩B=AB.AUB=BC.“x∈A ”是“x∈B”的充分条件D.“x∈A ”是“x∈B”的必要条件 2.己知复数iz -=12，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B.|z|=2C. 2z 为纯虚数 D. z 的共轭复数i z +-=13.己知a ，b 为单位向量，且a 丄(a+2b)，则向量a 与b 的夹角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°4.设首项为1，公比为32的等比数列{a}的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是 A. Sn = 4-3a n B. Sn = 3-2a n C. Sn = 3a n -2 D. Sn = 2a n -15.己知/(x )是定义在R 上的偶函数，且当x 彡0时，/(x)=x 2—x ，则不等式/(x+2)<6 的解集是A.{x|—5<x<1}B.{x|—4<x<0}C.{x|—1<x<5}D.{x| 0<x<4}6.己知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形，给出下列4个图形：其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是 A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 A. 3B. 9C.27D.818.函数 )12)(++=x xx f x 的图象大致为9.设点A （1，0)，B(-1，0)，M 为动点，己知直线AM 与直线BM 的斜率之积为定值 m(m≠0)，若点M 的轨迹是焦距为4的双曲线（除去点A 、B)，则m =A. 15B. 3C.15D. 310.设函数 )2<||0,>,0>)(sin()(πϕωϕωA x A x f +=的部分图象如图所示，则)0(f = A. 3 B.23 C.2 D. 111. 11.己知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-00320y y x y x ，若z=ax+y 的最大值为4，则a=A.2B.21 C.-2 D.21- 12.设平行于x 轴的直线l 分别与函数xy 2=和12+=x y 的图象相交于点A,B,若函数x y 2=的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线lA.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2018届湖南省高三第三次模拟考试(三模)试卷 文科数学5
高三第三次模拟考试（三模）试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}3,A y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1--D ．{}1,0,1-2．已知1a ibi i+=+，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a b +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-3．“直线y x b =+与圆221x y +=相交是“01b <<”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列{n a }中，若681072a a a ++=，则10122a a -的值为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．285．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图l 是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为3，3，7，则输出的s =（ ）A ．9B ．21C ．25D ．346．已知2sin 21cos 2αα=+，则tan()4πα+的值为（ ）A ．1-B ．3C ．3-或3D ．1-或37．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)3log ,0()(),0x x f x g x x +⎧≥=⎨<⎩，则(8)g -=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．38．已知双曲线E ：2221,(0,0)x y a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB 、CD 的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率为2，则直线AC 的斜率为k ，则k 等于（ ） A ．2B ．32C ．52D ．39．如图2所示，三棱锥V —ABC 的底面是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC 与底面ABC 垂直，若以垂直于平面VAC 的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC 的方向为俯视图的方向．已知其正视图的面积为 ）AB．C．D ．3此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．已知函数，()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则，()f x 的单调递减区间是（ ） A ．[6,63k k ππ+]k z ∈ B ．[63,6k k ππ-]k z ∈ C ．[6,63k k +]k z ∈D ．[63,6k k -]k z ∈11．如图3所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11112,AB AC B D E ==，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则cos()αβ-=（ ）AB．CD．12．已知1x =是函数2()ln (0,)f x ax bx x a b R =-->∈的—个极值点，则ln a与1b -的大小关系是（ ） A ．ln a >1b -B ．ln a <1b -C ．ln a =1b -D ．以上都不对第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-，则实数λ的值为_______． 14．在区间[0,6]上随机取一个实数x ，则满足2log x的值介于1到2之间的概率为__________．15．由约束条件0,0331x y y x y kx ≥≥⎧⎪≤-+⎨⎪≤+⎩，确定的可行域D 的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是_____________．16．在数列{}n a 及{}n b中以11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=++=+==．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2017项和为__________-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．(本小题满分12分)如图4所示，△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且cb=． （1）求角B 的大小；（2）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2CD =，AD =a=求sin θ与b 的值．18．(本小题满分12分)全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下（1）根据所给统计表和频率分布直方图巾的信息求出n、m的值，并完成频率分布直方图（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别属于[50，100)和[150，200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天．再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．19．(本小题满分12分)如图5所示，空间几何体ADE—BCF中．四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平而CDEF，AD⊥DC．AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）求证：AE⊥CD；（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM—BCF的体积．20．(本小题满分12分)已知抛物线22x y=，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B且2AP BPk k=-．（1）求点P的轨迹方程；（2）试问直线AB是否恒过定点?若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数，()(2)(1)2ln()f x a x x x R=---∈．（1）若曲线()()g x f x x=+上点(1，g（1）)处的切线过点(0，2)，求函数g(x)的单调递减区间；（2）若函数()y f x=在1(0,)2上无零点，求a的最小值请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．(本小题满分10分)在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为,(sinxyααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．23．(本小题满分10分)已知函数()f x R．（1）求实数a的取值范围；（2）若a的最大值为k，且2(0,0)m n k m n+=>>，求证：113m n+≥．高三第三次模拟考试（三模）试卷文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13、1-14、3115、31≤k16、4034三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． 17.（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理可得B C B C sin sin cos sin 3=,所以33tan =B ,故 30=B -----5分（2）在BCD ∆中，BCD CB sin sin =θ,所以552sin =θ-------------------7分 在ACD ∆中，由552sin =θ,2πθπ<<,所以55cos =∠ADC ----9分 在ACD ∆中，由余弦定理的ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222即552522)5(222⋅⋅-+=AC =5所以5=b …………12分18.（本小题满分12分）（1）100,250004.0=∴=⨯n n…………1分251005104020=∴=++++m m …………2分008.05010040=⨯,005.05010025=⨯,002.05010010=⨯,001.0501005=⨯（2）平均数为95，中位数为87.5；…………8分（3）在空气质量指数为)200,150[)100,50[和的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为)100,50[的4天分别记为d c b a ,,,；将空气质量指数为)200,150[的1天分别记为e ；从中任取2天的基本事件分别为：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(e d e c d c e b d b c b e a d a c a b a 共10种其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为：),(),,(),,(),,(),,(),,(d c d b c b d a c a b a 共6种．…………10分所以事件A “两天空气都为良”发生的概率是53106)(==A P …………12分 19.（本小题满分12分）解：（1） 四边形CDEF 是矩形，ED CD ⊥∴AED CD D ED AD DC AD 平面⊥∴=⊥,,AE 在平面AED 内，CD AE ⊥∴…………3分（2）当M 是线段AE 的中点时，MDF AC 平面//,证明如下： 连结，于交N DF CE 连结MN ,由于的中点分别是CE AE N M ,, 所以AC MN //,又MN 在平面MDF 内， 所以MDF AC 平面//…………7分（3）将几何体BCF ADE -补成三棱柱ADE －CF B '， ∴三棱柱ADE －CF B '的体积为=V S△ADE·CD =842221=⨯⨯⨯…………8分 32022221318=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-=-=∴'-'-- V V V CB B F CF B ADE BCF ADE 三棱柱……10分 341422131=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯=- V DEM F 三棱锥 ……11分∴空间几何体BCF ADE -的体积为34320-=316…12分20.（本小题满分12分）解：（1）设()00,P x y ，则直线PA ：()00PA y y k x x -=-，代入抛物线方程：2002220PA PA x k x y k x --+=，因为直线与抛物线相切，所以2000220PA PA k x k y ∆=⇒-+=，——————————————————2分同理200220PB PB k x k y -+=，————————————————————3分 所以PA k ，PB k 分别为方程：200220k x k y -+=的两个不同的实根，———5分022PA PB k k y =-=，所以01y =-，所以点P 的轨迹方程1y =-．————6分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由212y x =，y x '=，所以抛物线在A ，B 点的切线方程分别为110x x y y --=220x x y y --=，——————————8分又都过点()0,1P x -， 所以10120210,10,x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩————————————————————9分所以直线AB 的方程为010xx y -+=，——————————————11分 所以直线AB 恒过定点()0,1．——————————————————12分 21.（本小题满分12分）解：（1）因为x a x a x g ln 2)2()-3)(---=（所以xa x g 23)('--=，于是a g -=1)1(' 又1)1(=g ，所以101211-=--=-a 得2=a ——————————2分 所以200x2-x 223)('<<<=--=x x x g 得 所以函数)(x g 的单调递减区间为：(0,2)————————————4分（2）因为），在（2100)(<x f 上恒成立不可能，所以函数)210()(，在x f 上无零点——5分只要对任意的0)(),210(>∈x f x ，恒成立，即对),210(，∈x 1ln 22-->x xa ——--6分恒成立令1ln 22)(--=x x x h ，2)1(22ln 2)('--+=x x x x h ————————————7分再令,22ln 2)(-+=x x x m )210(，∈x 0)1(222)('22<-=-=x x x x x m 所以)(x m 在)210(，∈x 上为减函数，于是02ln 22)21()(>-=>m x m ————9分从而1ln 22)(--=x x x h 在)210(，∈x 上为增函数所以2ln 42)21()(-=<h x h ——————————————————————11分故要使得1ln 22-->x x a 在)210(，∈x 恒成立，只要),2ln 42[+∞-∈a所以2ln 42min -=a ———————————————————————12分 22．（本小题满分10分）解：（1）由曲线1C：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线1C 的普通方程为：2212x y +=．由曲线2C ：24)4sin(=+πθρ得：24)cos (sin 22=+θθρ， 即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x ————————5分 （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点,sin )P αα到直线08=-+y x 的距离为d 所以当sin()1αϕ+=时，d10分 23.（本小题满分10分）解（1）依题意的：a x x ≥++-|1||12|对于R x ∈恒成立 令|1||12|)(++-=x x x f ，则a x f ≥min )(因为))21(211()1(323)(≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+--=x x x xx x x f画出函数)(x f 的图象可得23)(min =x f ，所以23≤a —————5分 （2）由（1）知)0,0(3>>=+n m n m 所以3)45(31)41)((3141≥++=++=+nmm n n m n m n m 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==+nm m n n m43，即2,1==n m 取等号——————————10分。
长沙市2018届高三数学上学期7月摸底考试试题文(含解析)
湖南省长沙市2018届高三数学上学期7月摸底考试试题 文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1)设全集U ＝错误!，M ＝错误!，N ＝错误!，则错误!∪N ＝（D )A .错误!B 。
错误!C .错误!D 。
错误!（2）复数z 与复数i (2－i )互为共轭复数（其中i 为虚数单位），则z ＝(A )A ．1－2iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．－1－2i（3）齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（A ）A .13B 。
错误!C .错误!D .错误!（4)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,已知a ＝3,b ＝错误!，A ＝错误!,则角B 等于（A ）A 。
π4B . 错误!C 。
错误!或错误!D . 以上都不对(5）为得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin 错误!的图象（D ）A ．向右平移错误!个单位B ．向左平移错误!个单位C ．向右平移错误!个单位D ．向左平移错误!个单位（6)设a ＝7－错误!，b ＝错误!－错误!，c ＝log 7错误!，则下列关系中正确的是(B )A ．c<b 〈aB ．c<a<bC ．a<c 〈bD ．b<c 〈a【解析】由题意得,c ＝log 7错误!<0，又b ＝错误!错误!＝7错误!>7－错误!＝a 〉0,所以c 〈a<b ，故选B 。
（7)函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象大致为（D )【解析】由题意得,函数y ＝x sin x ＋cos x 是偶函数，当x ＝0时，y ＝1，且y′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x,显然在错误!上，y′>0，所以函数单调递增，故选D .(8)运行下图所示的程序框图，若输出结果为错误!,则判断框中应该填的条件是（B ）A ．k 〉5B ．k>6C ．k>7D ．k>8【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋错误!＝错误!，k ＝2;第二次执行完循环体得到:S ＝32＋错误!＝错误!,k ＝3;第三次执行完循环体得到：S ＝错误!＋错误!＝错误!,k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝错误!＋错误!＝错误!，k ＝5;第五次执行完循环体得到：S ＝错误!＋错误!＝错误!，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝错误!＋错误!＝错误!，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k>6.（9）如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为(A )A .错误!B ．－错误!C.错误!D．－错误!【解析】延长BA到D，使得AD＝AC，则ADA1B1为平行四边形，∴AB1∥A1D,∴∠DA1C就是异面直线AB1和A1C所成的角，又△ABC为等边三角形,设AB＝AA1＝1，∠CAD＝120°，则CD＝错误!＝错误!＝错误!，A1C＝A1D＝错误!，在△A1CD中，cos∠DA1C＝错误!＝错误!。
湖南省长沙市2018届高三上学期第二次阶段性测试数学(文)试卷Word版含答案
2018 届高三第二次阶段性测试数学（文科）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1．已知集合 A {x | x2 4 0} ， B {x | 1 x 5}，则 A I (CR B) （）A． (2,0)B． (2, 1)C． (2, 1]D． (2, 2)2.已知 a 是实数， a i 是纯虚数，则 a 2iA. 1 2B. 1C. 123.“ x 3 ”是“ ln x 2 0 ”的D. 1A. 充分不必要条件 C.充分必要条件B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4．已知命题 p ：直线 x 2 y 2 0 与直线 x 2 y 6 2 0 之间的距离不大于 1，命题 q ：椭圆 2x2 27 y2 54 与双曲线 9x2 16 y2 144 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A． p (q)B． (p) qC． (p) (q)D． p q5.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A．B．C.D．6．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入空中的概率为（ ）A．B．C．D．7.函数的图象大致是（ ）A．B．C.D．8.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 ， 在 轴上，离心率为 ，点 为椭圆上一点，且的周长为 12，那么 的方程为（ ）A．B.C.D.9.如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．C.D．10.设数列 的各项均为正数，且，其中 为正的实常数，则A．B．C.11．已知函数D． ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，且函数是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C． 函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称12．过双曲线的右顶点 作斜率为-1 的直线 ，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ，若，则此双曲线的离心率是（ ）A．B．C． 2D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．设向量，，若，则实数 的值为．14.若实数 满足则的最小值是．15．已知曲线在点处切线的斜率为 1，则实数 的值为．16.若两个正实数 满足且恒成立，则实数 的最大值是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本题满分 10 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a,b，c．已知 c=2．acosB－bcosA= 。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三摸底测试文数试题 含
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--2.已知函数(5),2(),22(),2xf x x f x e x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e3.抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（ ） A ．118 B ．19 C ．16 D ．5364.设,,a b c 为三角形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定5.如图所示，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MFF P =，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN += （ ）A ．10B ．5C ．6D ．36.若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ）A ．13B ．13-C ．79D ．79-7.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A ．8B ．．4 D ．8.定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A B ．-3 C ．1 D ．3 9.已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）10.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ） A ．1 B ．12-C ．54-D ．138-11.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围是（ ）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 12.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．1[1,]3-D ．1[1,]3--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 14.已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .15.设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 .16.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性.18. （本小题满分12分）如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ∆∆均是等边三角形，且平面SEF ⊥平面ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当a =S ABC -的体积； （2）a 为何值时，BE ⊥平面SCO .19. （本小题满分12分）国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）. 男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.18的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0．10 0.18 0.185 0.010 0.018 0.001 0k2.7183.8415.1846.6357.87910.82820. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自上至下排列），O 为坐标原点，95OA OB ∙=-，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.21. （本小题满分12分） 已知函数ln ()kx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -∀><+.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10BC DB ==.（1）求AB 的长； （2）求CFDE.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A 中的最大数，且h=，求h 的范围.参考答案一、选择题 ABBBA ABDAC BC 二、填空题13. (1,)+∞ 14. 4π15. -4 16. 三、解答题17.（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n n a a n ++=+≥又由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列， ∴1*531()n n a n N -=⨯-∈. （2）∵'111()2n n n f x a a x na x --=+++，∴'11(1)2n n f a a na -=+++120(531)2(531)(531)n n n --=⨯-+⨯-++⨯-1230(1)5[323333]2n n n n n n ---+=+⨯+⨯++⨯-令1230323333n n n S n ---=+⨯+⨯++⨯，则即15315(6)42n n n n b +⨯-+=-而215315(1)(7)42n n n n b ++⨯-++=-，∴作差得：11537022n n n b b n +⨯-=--> ∴{}n b 是单调递增数列.18.（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，即3142S ABC ABC SO V S SO -∆==∙=.（2）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =， ∴SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥， 要使BE ⊥平面SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =， ∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平面SCO .19.（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120701400010000⨯=+人，女生抽取人数为1207050-=人，故5,2x y ==，则该校男生平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人； ②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯故在犯错误的概率不超过0.18的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”20.（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a∙=，解得2,1a b c ==， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率k 存在，设l 的方程为(1)y k x =-， 联立椭圆方程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， ∴2122934k y y k =-+.∴21212212534k OA OB x x y y k+∙=+=-+. ∵95OA OB ∙=-，∴221259345k k +-=-+，解得：23k =. 由题意可得：||||AP BQ =等价于||||AB PQ =. 设圆E 的半径为r ，∵21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ =将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.故所求直线l 的方程为1)y x =-0y -=0y +=； 圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 21．（1）由ln ()x x k f x e +=，得'1ln ()xkx x x f x xe --=，(0,)x ∈+∞. 由已知，得'1(1)0k f e-==，∴1k = （2）由（1），得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，(0,)x ∈+∞ 设()1ln h x x x x =--，则'()ln 2h x x =--，(0,)x ∈+∞令'()0h x =，得2x e -=.当20x e -<<时，'()0h x >，∴()h x 在2(0,)e -上是增函数； 当2x e ->时，'()0h x <，∴()h x 在2(,)e -+∞上是减函数. 故()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+. 设()(1)x x e x ϕ=-+，则'()10x x e ϕ=->，(0,)x ∈+∞， ∴()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0xe x -+>，∴101xx e +<<. ∴21()()1x x g x h x e e-+=<+. 因此，对任意0x >，2()1g x e -<+.22．（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠， ∴ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB =（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =∙，2DA DB DE =∙，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=∙（*） 由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==， 由（*）得1CFDE=. 23．（1）点)4π对应的直角坐标为(1,1)，由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 是过点(1,3)-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：1120x y =⎧⎨=⎩，2202x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--= 得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，而126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===.24．（1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<， 1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+（2）∵h≥，h ≥h ≥∴2234()4()428a b a b ab h ab ab ab ++⨯≥>≥= ∴(2,)h ∈+∞.。
最新-湖南省2018届高考数学文科模拟试卷(四)含答案解
2018年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．22．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1]D．（﹣3，3）3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．185．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．20187．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲] 22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2018年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1﹣z）i，可得z=，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1﹣z）i，∴z====i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．2．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1]D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的范围，根据对数的运算性质得到b，c的范围，比较即可．【解答】解：==＞2，＜0，0＜＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．2018【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2018，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得cosθ，进而可得θ【解答】解：设与的夹角为θ，∵，，，∴=||||cosθ=1×2×cosθ=，∴cosθ=﹣，∴θ=故选：D【点评】本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x2﹣4x=0，解得x=0或x=4，则AB=4﹣0=4，半径R=2，∵CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象；再把所得图象象左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=﹣，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，==，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣e﹣x，则f′（0）=﹣1，则切线方程为y﹣2=﹣x，即y=﹣x+2，切线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=9．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解出a3，分别可得q2，而=q4，代入可得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解得a3=2，或a3=﹣2，当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）∴=q4=32=9故答案为：9【点评】本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍）．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x≤0时，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数，且|f（x）|≥ax，①当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，不等式即log2（x+1）≥ax，则此时应有a≤0．②当x≤0时，由于﹣x2+2x 的取值为（﹣∞，0]，故不等式即|f（x）|=x2﹣2x≥ax．若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．若x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；数形结合；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得：cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷(二)文科数学试题(解析版)
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）文科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,集合,则等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先化简集合P，Q，进而求交集即可.详解: P={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q=（﹣2，3）；∴P∩Q={1，2}．故选：B．点睛：本题考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法及交集的运算，属于基础题．2. 复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第三象限【答案】D【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得到结果．详解: ：由z（2+i）=3﹣i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3. 某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设小明到达时间为，当在7:50至8:00，或8:15至8:30时，小明等车时间不超过15分钟，故，选D.4. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a 的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．5. 已知平面向量,满足,,与的夹角为,若,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由，可得（+m）•=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．详解: ∵||=3，||=2，与的夹角为120°，∴=cos120°==﹣3．∵（+mb）⊥，∴（+m）•==32﹣3m=0，解得m=3．故选：D．点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．6. 设是公差不为0的等差数列,满足,则的前项和( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则①若，则；②、、、成等差数列．7. 函数(,,)在上的部分图像如图所示,,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得函数的解析式，然后求解函数值即可求得最终结果．详解: 由函数的图象可得A=5，周期，∴．再由五点法作图可得，∴，故函数．故．故选：D．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.8. 设,,且,,,则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知得到a，b的具体范围，进一步得到ab，，的范围，结合指数函数与对数函数的性质得结果．详解：由a＞b＞0，a+b=1，得0，，且0＜ab＜1，则，，a＜，∴x=（）b＞0，y=log ab=﹣1，0=＞z=loga＞=﹣1，∴y＜z＜x．故选：A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．9. 《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A.10. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，结合x∈[﹣2，2]，求出x的范围．详解：∵f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，∴﹣2b+1+b=0，∴b=1，∵函数f（x）在[﹣2b，0]上为增函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上为增函数，故函数f（x）在[0，2]上为减函数，则由f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，即（x﹣1）2≥4x，求得﹣1≤x≤，再结合x∈[﹣2，2]，故f（x﹣1）≤f（2x）的解集为[﹣1，]，故选：B．点睛：处理抽象不等式的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．11. 如图，在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，为的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（）A. 平面B. 直线与平面所成角的正切值为C. 异面直线和求所成角为D. 四面体的外接球表面积为【答案】C【解析】分析：根据折叠前后垂直关系不变，易得OA⊥平面EOF，利用空间角定义逐一判断B，C,D 的正确性.详解：翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF=O，∴OA⊥平面EOF．故A正确；连接OH，AH，则∠OHA为AH与平面EOF所成的角，∵OE=OF=1，H是EF的中点，OE⊥OF，∴OH=EF=．又OA=2，∴tan∠OHA==2，故B正确；取AF的中点P，连接OP，HP，则PH∥AE，∴∠OHP为异面直线OH和求AE所成角，∵OE=OF=1，OA=2，∴OP=AF=，PH=AE=，OH=EF=，∴cos∠OHP==，故C错误．由OA，OE，OF两两垂直可得棱锥的外接球也是棱长为1，1，2的长方体的外接球，∴外接球的半径r==，故外接球的表面积为S=4πr2=6π，故D正确．故选：C．点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．12. 已知椭圆：与过原点的直线交于、两点，右焦点为，，若的面积为，则椭圆的焦距的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角形的面积公式和椭圆的性质得出a≥4，再根据三角形的面积公式得出当A与短轴端点重合时，c取得最小值，利用椭圆的性质求出2c的最小值即可．详解: 取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1，则AB与FF1互相平分，∴四边形AFBF1是平行四边形，∴AF1=BF，∵AF+AF1=2a，∴AF+BF=2a，∵S△ABF=AF•BF•sin120°=AF•BF=4，∴AF•BF=16，∵2a=AF+BF≥2=8，∴a≥4，又S△ABF==c•|y A|=4，∴c=，∴当|y A|=b=时，c取得最小值，此时b=c，∴a2=3c2+c2=4c2，∴2c=a，∴2c≥4．故选：B．点睛：：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．详解: 满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，由可得C（，﹣），由：，可得A（﹣4，4），由可得B（2，1），当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．故选：D．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 双曲线(,)的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线是，所以圆心到渐近线的距离，即，解之得，应填答案。
湖南省长沙市2018届高三上学期第二次阶段性测试数学(文)试卷含答案
2018届高三第二次阶段性测试数学（文科）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1．已知集合 A {x | x2 4 0} ， B {x | 1 x 5}，则 A I (CR B) （）A． (2,0)B． (2, 1)C． (2, 1]D． (2, 2)2.已知 a 是实数， a i 是纯虚数，则 a 2iA. 1 2B. 1C. 123.“ x 3 ”是“ ln x 2 0 ”的D. 1A. 充分不必要条件 C.充分必要条件B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4．已知命题 p ：直线 x 2 y 2 0 与直线 x 2 y 6 2 0 之间的距离不大于 1，命题 q ：椭圆 2x2 27 y2 54 与双曲线 9x2 16 y2 144 有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A． p (q)B． (p) qC． (p) (q)D． p q5.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A．B．C.D．6．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入空中的概率为（ ）A．B．C．D．7.函数的图象大致是（ ）A．B．C.D．8.在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 ， 在 轴上，离心率为 ，点 为椭圆上一点，且的周长为 12，那么 的方程为（ ）A．B.C.D.9.如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为A．B．C.D．10.设数列 的各项均为正数，且，其中 为正的实常数，则A．B．C.11．已知函数D． ，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，且函数是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A．函数 的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C． 函数 的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称12．过双曲线的右顶点 作斜率为-1 的直线 ，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ，若，则此双曲线的离心率是（ ）A．B．C． 2D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．设向量，，若，则实数 的值为．14.若实数 满足则的最小值是．15．已知曲线在点处切线的斜率为 1，则实数 的值为．16. 若 两 个 正 实 数 满 足且恒成立，则实数 的最大值是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本题满分 10 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a,b，c．已知 c=2．acosB－bcosA= 。