专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)

专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程

【要点提炼】

考点一 基本初等函数的图象与性质

1．指数函数y ＝a x

(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α

的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12

，－1五种情况．

【热点突破】

【典例】1 (1)已知f(x)＝2x

－1，g(x)＝1－x 2

，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|

【解析】 画出y ＝|f(x)|＝|2x

－1|与y ＝g(x)＝1－x 2

的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A ，B 之间，|f(x)|

(2)已知函数f(x)＝e x

＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，1e

B ．(－∞，e)

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1e ，e D.⎝

⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【答案】 B

【解析】 由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x

＋2－ln(x ＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，

即函数y ＝e －x

与y ＝ln(x ＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y ＝ln(x ＋a)可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，

当a<0时，向右平移，两函数总有交点，

当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，

把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a)，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a

【方法总结】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2

＋2)－e

x －1

的大致图象可能是( )

【答案】 A

【解析】 当x →＋∞时，f(x)→－∞，故排除D ；函数f(x)的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；f(0)＝ln 2－e －1，由于ln 2>ln e ＝12，e －1<12

，所以f(0)＝ln 2－e －1

>0，故排除C.

(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x

，则不等式f(x)<－12的解集是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－∞，－1]

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

【答案】 A

【解析】 当x>0时，f(x)＝1－2－x

>0. 又f(x)是定义在R 上的奇函数，

所以f(x)<－12的解集和f(x)>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1

，

即x>1，则f(x)<－1

2

的解集是(－∞，－1)．故选A.

【要点提炼】

考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1 函数零点的判断

【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨

⎪⎧

xe x

，x ≤0，

2－|x －1|，x>0，

若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同

的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )

A ．2

B ．2或2＋1

e

C ．2或3

D ．2或3或2＋1

e

【答案】 D

【解析】 当x ≤0时，

f ′(x)＝(x ＋1)e x

， 当x<－1时，f ′(x)<0，

故f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 当－10， 故f(x)在(－1,0]上单调递增，

所以x ≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1

e

.

又当x ≥1时，f(x)＝3－x ，当0

作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2， 由图可知1

e .

若1

若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1

e

.

(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝

⎛⎭

⎪⎫22x

－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 C

【解析】 对于任意的x ∈R ，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x ＋4)＝f[2＋(x ＋2)]＝f[2－(x ＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T ＝4.