2019-2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课件新人教A版必修第二册
【解析】 (1)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内； ②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不 在直线 l 上； ③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图①②③所示．
(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ ＝PC.图形表示如图④所示．
(2) 要 注 意 符 号 语 言 的 意 义 ， 如 点 与 直 线 的 位 置 关 系 只 能 用 “∈”或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄” 表示．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线 和虚线的区别．
跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A________平面 ABC，A________平面 BCD，BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝________.
跟踪训练 1 如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是 ()
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图 中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同 样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
答案：④ 利用平面的概念及平面的画法进行判断.
题型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化[经典例题] 例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位 置关系，并画出相应的图形：
答案：∈ ∉ ⊄ AC 根据符号的含义进行判断或转化
题型三 平面性质的应用[经典例题] 例 3 如图，△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α ＝R.求证：P，Q，R 三点共线．
【证明】 方法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. 由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P，Q，R 三点共线．
2．教材 P125 思考 如果直线 l 与平面 α 有一个公共点 P，直线 l 是否在平面 α 内？ 如果直线 l 与平面 α 有两个公共点呢？ 提示：
在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任 意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上．上述经验 和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
方法二 ∵AP∩AQ＝A，∴直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ. 又 AB∩α＝P，AC∩α＝Q，∴平面 APQ∩α＝PQ. ∵B∈平面 APQ，C∈平面 APQ，∴BC⊂平面 APQ.∵R∈BC， ∴R∈平面 APQ，又 R∈α，∴R∈PQ， ∴P，Q，R 三点共线. 证明三点共线，可以证明本事实 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证 明共线问题；③证明线共点问题.
基本事实 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点， 其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重 合的两个平面．
知识点三 重要推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
②先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另 一个平面 β，再证平面 α 与 β 重合，即用“辅助平面法”；
③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
跟踪训练 3
如图，三个平面 α、β、γ 两两相交，α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α ＝b，若直线 a 和 b 不平行，求证：a，b，c 三条直线必过同一点．
直线 l，m 相交于点 A 平面 α，β 相交于直线 l
状元随笔
1.平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不 能进行度量；
2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
知识点二 平面的基本性质
内容
基本事 实1
如果一条直线上的 _两__点_在一个平面内，那 么这条直线在此__平__面__内_
基本事 实2
答案：A∈m
题型一 平面[经典例题] 例 1 下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一 个平面图形都可以表示平面；③平面 ABCD 的面积为 10 cm2；④空 间图形中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为
________．
【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方 法．平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平 面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一 般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目 的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也 是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以 用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说 它是平面．综上，①③④错误，②正确．故填②.
数学符号表示
文字语言表达
图形语言表达
__A_∈__l_
点 A 在直线 l 上
__A_∉_l__
点 A 在直线 l 外
_A_∈__α__
点 A 在平面 α 内
_A_∉_α___
点 A 在平面 α 外
_l_⊂__α__ _l_⊄_α___
直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外
l∩__m_＝__A_ α∩__β_＝__l_
知识点一 平面
概念
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来 的，是无__限__延__展__的
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形___，并且其锐角画
画法 成__4_5_°，且横边长等于邻边长的_2_倍__，为了增强立体感，
被遮挡部分用虚__线__画出来
(1)一个希腊字母：如 α，β，γ 等；
的是( )
A．l⊂α
B．l∉α
C．l∩α＝A D．l∩α＝B
解析：∵l∩a＝A 又 a⊂α，∴A∈l 且 A∈α.同理 B∈l 且 B∈α.∴l ⊂α.
答案：A
3．如果空间四点 A、B、C、D 不共面，那么下列判断正确的 是( )
A．A、B、C、D 四点中必有三点共线 B．A、B、C、D 四点中不存在三点共线 C．直线 AB 与 CD 相交 D．直线 AB 与 CD 平行
①A∈α，B∉α； ②A∈α，m∩α＝A，A∉l，l⊂α； ③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α； (2)用符号语言表示下列语句，并画出图形： ①三个平面 α，β，γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 相交于 PA，平面 α 与平面 γ 相交于 PB，平面 β 与平面 γ 相交于 PC； ②平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC.
②符号语言表示：平面 ABD∩平面 BDC＝BD，平面 ABC∩平 面 ADC＝AC.图形表示如图⑤所示.
本题考查数学抽象．在“A∈α，l⊂α”中 A 视为平面 α(集合) 内的点(元素)，l(集合)视为平面 α(集合)内的直线(子集)．
方法归纳
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字 语言表示，再用符号语言表示．
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a 与 b 不平行， ∴a 与 b 必相交，
设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b，∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
状元随笔
证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条 相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常结合公理 3，证明该 点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上， 从而证明三线共点．
[教材解难]
1．教材 P124 思考 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平 面？
提示：
在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个 脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支 撑照相机．由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：
基本事实 1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
【答案】 ②
状元随笔 平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、 无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念.
方法归纳
平面画法的四个关注点 ①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它 延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的， 但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示． ②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平 面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面． ③画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45°，横 边画成邻边的两倍． ④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成 铅垂线.
过 不__在__同__一__条__直__线__上__ 的三点，有__且__只__有__一个 平面
如果两个不重合的平
基本事 面有一个公共点，那么
实 3 它们有且只有一条过 该点的_公__共__直__线_
图形
符号
A∈l，B∈l 且 A∈α， B∈α⇒l_⊂__α_
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的平面 α 使 A，B，C∈α
基本事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这 条直线在这个平面内．
3．教材 P126 思考 如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课
桌面所在平面是否只相交于一点 B？为什么？
提示：
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌 面．可以想象，两个平面相交于一条直线．教室里相邻的墙面在地 面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直 线．由此我们又得到一个基本事实：
P∈α 且 P∈β ⇒ _α_∩__β_＝__l_且___P_∈__l
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2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征课件新人
轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体． 3．球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空
间，而球面只指球的表面部分．
知识点二 简单组合体 1．简单组合体的定义 由_简__单__几__何__体___组合而成的几何体叫作简单组合体． 2．简单组合体的两种基本形式 (1)由简单几何体拼__接__而成； (2)由简单几何体__截__去__或__挖__去__一__部__分____而成．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且 AA′＝2π×1 ＝2π，
∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， ∴蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.
圆柱的展开图是矩形，利用平面图形的知识来解.
方法归纳 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面 图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开 图：
面 所 围 成 的 的侧面；母线：无论旋转到
_旋__转__体___ 叫 作 什 么 位 置 ， _不__垂__直__于__轴___ 图中圆柱表示为
圆柱
的边都叫作圆柱侧面的母 _圆__柱___O_′_ O
线
轴 ： _旋__转__轴___ 叫 作 圆 锥 的 以直角三角形 轴；底面：垂__直__于__轴__的边旋 的 一__条__直__角__边__ 转而成的圆__面__叫作圆锥的 所在直线为旋 底面；侧面：直角三角形的 圆锥 转轴，其余两 _斜__边_旋转而成的曲__面__叫作 边旋转形成的 圆锥的侧面；母线：无论旋 面所围成的旋 转到什么位置，不垂直于轴 图中圆锥表示为 转体叫作_圆__锥_ 的边都叫作圆锥侧面的母 _圆__锥___S_O_
知识点一 旋转体
名称
定义
相关概念
图形表示法
间，而球面只指球的表面部分．
知识点二 简单组合体 1．简单组合体的定义 由_简__单__几__何__体___组合而成的几何体叫作简单组合体． 2．简单组合体的两种基本形式 (1)由简单几何体拼__接__而成； (2)由简单几何体__截__去__或__挖__去__一__部__分____而成．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且 AA′＝2π×1 ＝2π，
∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， ∴蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.
圆柱的展开图是矩形，利用平面图形的知识来解.
方法归纳 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面 图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开 图：
面 所 围 成 的 的侧面；母线：无论旋转到
_旋__转__体___ 叫 作 什 么 位 置 ， _不__垂__直__于__轴___ 图中圆柱表示为
圆柱
的边都叫作圆柱侧面的母 _圆__柱___O_′_ O
线
轴 ： _旋__转__轴___ 叫 作 圆 锥 的 以直角三角形 轴；底面：垂__直__于__轴__的边旋 的 一__条__直__角__边__ 转而成的圆__面__叫作圆锥的 所在直线为旋 底面；侧面：直角三角形的 圆锥 转轴，其余两 _斜__边_旋转而成的曲__面__叫作 边旋转形成的 圆锥的侧面；母线：无论旋 面所围成的旋 转到什么位置，不垂直于轴 图中圆锥表示为 转体叫作_圆__锥_ 的边都叫作圆锥侧面的母 _圆__锥___S_O_
知识点一 旋转体
名称
定义
相关概念
图形表示法
2020-2021平面-课件高一数学人教A版必修第二册-第八章立体几何初步ppt
2．做一做 (1)如图所示，用符号语言表示以下各概念： ①点 A，B 在直线 a 上：_A_∈__a_，__B__∈__a_； ②直线 a 在平面 α 内：____a_⊂__α_____； ③点 D 在直线 b 上，点 C 在平面 α 内：______D_∈__b_，__C__∈__α______. (2)若平面 α 与平面 β 相交于直线 l，点 A∈α，A∈β，则点 A_____∈_____l； 其理由是__同__时__在__两__个__不__重 __合 ___平__面__上__的__点__一__定__在__两__个__平__面__的__交__线__上____. (3)根据右图，填入相应的符号：A____∈_____平面 ABC， A_____∉____平面 BCD，BD____⊄____平面 ABC，平面 ABC∩平 面 ACD＝____A_C____.
解析 (2)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图①. ②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图②. ③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图③.
解析
题型三 线共面问题
例 3 已知直线 b∥c，且直线 a 与 b，c 都相交，求证：直线 a，b，c 共面．
答案
解析 经过同一条直线上的三点有无数个平面，故 A 不正确；当两两 相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故 B 不正确；有三个 角为直角的四边形不一定是平面图形，如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，四边形 ACC1D1 满足∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形 ACC1D1 不是平面图形，故 C 不正确；和同一条直线相交的三条平行直线一 定共面，故选 D.
新版高中数学必修2课件：8.4.1平面
平面个数是 1 或 3，如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数 是 1，所以空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是 1 或
3. 答案：B
2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图 中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同 样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
方法归纳 证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在 两点所确定的直线上．
微点 2 线共点问题 例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上，点 H 在 AD 上，且 DF:FC＝DH:HA＝2:3.求证：EF，GH， BD 交于一点．
证明：如图，连接 GE、HF 因为 E，G 分别是 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC，GE＝12AC. 又 DF:FC＝DH:HA＝2:3， 所以 FH∥AC，FH＝25AC，所以 FH∥GE，FH≠GE， 所以 E，F，H，G 四点共面，且四边形 EFHG 是一个梯形． 延长 GH 和 EF 交于一点 O， 因为 GH⊂平面 ABD，EF⊂平面 BCD， 所以 O∈平面 ABD，O∈平面 BCD， 所以点 O 在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在 直线 BD 上． 所以 EF，GH，BD 交于一点．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线 和虚线的区别．
跟踪训练 1 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A___∈_____平面 ABC，A____∉____平面 BCD，BD___⊄_____平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝___A__C___.
高中数学人教A版必修 8平面 课件
解:(1)①符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表 示如图所示.
②符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC; 图形表示如图所示.
(2)文字语言:平面α内的直线m和n相交于点A;符号语言.m⊂α,n⊂α, 且m∩n=A.
知识小结： 用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细
•
7.能够理解人 们 对 人 地 关系 认 识 的 阶 段性 表 现 及 其 原因 ;能 够结 合 现 实 中 出现 的 人 地 矛 盾的 实 例 , 分析 原 因 ,提 出 改 进 建 议 。
•
8.中东地区气 候 以 热 带 沙漠 气 候 为 主, 终 年 高 温, 太 阳 辐 射强 。 白 色 服 装对 太 阳 辐 射 的反 射 作 用 强, 吸 收 热 量较 少 , 所 以阿 拉 伯 人 传 统服 装 是 白 色 的缠 头 巾 和 宽 大的 白 色 长 袍 。
例3 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P, AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线.
证法1：∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. 证法2：∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR. 又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表
示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画 相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
②符号语言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC; 图形表示如图所示.
(2)文字语言:平面α内的直线m和n相交于点A;符号语言.m⊂α,n⊂α, 且m∩n=A.
知识小结： 用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细
•
7.能够理解人 们 对 人 地 关系 认 识 的 阶 段性 表 现 及 其 原因 ;能 够结 合 现 实 中 出现 的 人 地 矛 盾的 实 例 , 分析 原 因 ,提 出 改 进 建 议 。
•
8.中东地区气 候 以 热 带 沙漠 气 候 为 主, 终 年 高 温, 太 阳 辐 射强 。 白 色 服 装对 太 阳 辐 射 的反 射 作 用 强, 吸 收 热 量较 少 , 所 以阿 拉 伯 人 传 统服 装 是 白 色 的缠 头 巾 和 宽 大的 白 色 长 袍 。
例3 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P, AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线.
证法1：∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. 证法2：∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR. 又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表
示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画 相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
新教材高中数学第八章立体几何初步8-4-1平面课件新人教A版必修第二册
有且只有一个平面.
(2)平面基本事实推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平
面.
(3)平面基本事实推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平
面.
2.填空:
(1)平面基本事实推论1:经过一条直线和这条直线外一点,
有且只有一个平面.
(2)平面基本事实推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平
面.
(3)平面基本事实推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平
8.4.1
平面
课标定位
素养阐释
1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系
的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关
系的定义.
2.了解三个基本事实(基本事实1、2、3)和三个
推论,并能运用事实及推论进行逻辑推理.
3.通过直观感知,用数学语言抽象地刻画空间点
与直线、点与平面、直线与平面的位置关系.
自主预习·新知导学
不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.
当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平
行线的定义知,两条平行直线可确定一个平面,故④正确.
(2)若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点
不在同一条直线上,则这两个平面重合.
答案:(1)C (2)C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
面.
3.做一做:(1)下列说法正确的是(
)
①任意三点确定一个平面
②圆上的三点确定一个平面
③任意四点确定一个平面
④两条平行线确定一个平面
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(
A.相交
(2)平面基本事实推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平
面.
(3)平面基本事实推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平
面.
2.填空:
(1)平面基本事实推论1:经过一条直线和这条直线外一点,
有且只有一个平面.
(2)平面基本事实推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平
面.
(3)平面基本事实推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平
8.4.1
平面
课标定位
素养阐释
1.在直观认识空间点、直线、平面的位置关系
的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关
系的定义.
2.了解三个基本事实(基本事实1、2、3)和三个
推论,并能运用事实及推论进行逻辑推理.
3.通过直观感知,用数学语言抽象地刻画空间点
与直线、点与平面、直线与平面的位置关系.
自主预习·新知导学
不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.
当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平
行线的定义知,两条平行直线可确定一个平面,故④正确.
(2)若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点
不在同一条直线上,则这两个平面重合.
答案:(1)C (2)C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
面.
3.做一做:(1)下列说法正确的是(
)
①任意三点确定一个平面
②圆上的三点确定一个平面
③任意四点确定一个平面
④两条平行线确定一个平面
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(
A.相交
课件4：第八章 立体几何初步
A．3
B．23
C．1
D．
3 2
数学 必修第二册 配人
【解析】在版△AA版BC 中，D 为 BC
中点，则有
第八章
AD＝
立23体A几B何＝初步3，
S△DB1C1＝21×2× 3＝ 3.又∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC，AD
⊥BC，AD⊂平面 ABC，∴AD⊥平面 BB1C1C，即 AD 为三 棱锥 A-B1DC1 底面上的高．∴VC1-B1DA＝VA-C1B1D＝
数学 必修第二册 配人
第八章 立体几何初步
版A版
由 AD∥BC，AD⊥平面 PDC，得 BC⊥平面 PDC，
因此 BC⊥PC．
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13.
在 Rt△PEB 中，sin∠PBE＝PPEB＝ 1339.
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成角的正弦值为
39 13 .
数学 必修第二册 配规人律方法
第八章 立体几何初步
数学 必修第二册 配人 版A版
第八章 立体几何初步
| 体系构建 |
数学 必修第二册 配人 版A版
第八章 立体几何初步
数学 必修第二册 配人 版A版
第八章 立体几何初步
数学 必修第二册 配人 版A版
第八章 立体几何初步
| 核心归纳 |
数学 必修第二册 配人
第八章 立体几何初步
比如求体积、距离有时要用到顶点的转化，球的切接
问题要将空间几何图形转化为平面几何图形，位置关
系的证明、空间角的求解转化到三角形中求解等等．
数学 必修第二册 配人
一、空间几版何A版体的体积与距离
第八章 立体几何初步
新教材人教A版高中数学必修第二册 第八章 立体几何初步 精品教学课件(共541页)
1．空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑物体的__形__状__和_大___小__，而不考虑其他因 素，那么由这些物体抽象出来的__空__间__图__形____就叫做空间几何
体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．空间几何体
类别
定义
由若干个___平___面__多__边__形______围
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图 1 所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图 2 所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图 3 所示．
4．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每 条侧棱长为__________cm. 解析：因为棱柱有 10 个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧 棱，所以侧棱长为650＝12(cm)． 答案：12
5．画一个三棱台，再把它分成： (1)一个三棱柱和另一个多面体． (2)三个三棱锥，并用字母表示．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
解析：选 B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一 个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由 四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底 面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可 以不相等，故④错．
【解】 (1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成 正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0” 与“快”相对，所以下面是“9”．
(2)题图①中，有 5 个平行四边形，而且还有两个全等的五边形， 符合棱柱的特点；题图②中，有 5 个三角形，且具有共同的顶 点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有 3 个梯 形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合 棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
(1)定义：如果只考虑物体的__形__状__和_大___小__，而不考虑其他因 素，那么由这些物体抽象出来的__空__间__图__形____就叫做空间几何
体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．空间几何体
类别
定义
由若干个___平___面__多__边__形______围
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图 1 所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图 2 所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图 3 所示．
4．一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每 条侧棱长为__________cm. 解析：因为棱柱有 10 个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧 棱，所以侧棱长为650＝12(cm)． 答案：12
5．画一个三棱台，再把它分成： (1)一个三棱柱和另一个多面体． (2)三个三棱锥，并用字母表示．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
解析：选 B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一 个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由 四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底 面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可 以不相等，故④错．
【解】 (1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成 正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0” 与“快”相对，所以下面是“9”．
(2)题图①中，有 5 个平行四边形，而且还有两个全等的五边形， 符合棱柱的特点；题图②中，有 5 个三角形，且具有共同的顶 点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有 3 个梯 形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合 棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
高中数学人教A版必修第二册第八章立体几何初步8.4.1 平 面
解 (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图①. (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图②.
①
②
思维升华
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，第一仔细视察图形有几个平面、几 条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区分.
思维升华
证明点、线共面常用方法： (1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； (2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确 定平面β，最后证明平面α，β重合.
【训练2】 如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.
D.α∩
【例2】 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证： 直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明 法一 (纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
1
课前预习
知识探究
1.平面的概念
(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观 感觉，但__它__们__都__不__是__平__面__，而是__平__面__的__一__部__分__. (2)抽象理解：平面是__平__的__，平面是_无__限__延__展___的，平面_没__有__厚__薄__、__没___有__大__小_.
4.平面的基本事实及推论
基本 事实
内容
过不在一条直线上的三个点，有 基本事实1
①
②
思维升华
1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，第一仔细视察图形有几个平面、几 条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. 2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区分.
思维升华
证明点、线共面常用方法： (1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内； (2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确 定平面β，最后证明平面α，β重合.
【训练2】 如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.
D.α∩
【例2】 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证： 直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明 法一 (纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
1
课前预习
知识探究
1.平面的概念
(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观 感觉，但__它__们__都__不__是__平__面__，而是__平__面__的__一__部__分__. (2)抽象理解：平面是__平__的__，平面是_无__限__延__展___的，平面_没__有__厚__薄__、__没___有__大__小_.
4.平面的基本事实及推论
基本 事实
内容
过不在一条直线上的三个点，有 基本事实1
高中数学 第八章 立体几何初步 8.4.1 平面课件 a必修第二册a高一第二册数学课件
第三十三页，共五十页。
[变式训练 3] 已知 A、B、C、D、E 五点中，A、B、C、D 共面，B、C、D、E 共面，则 A、B、C、D、E 五点一定共面吗？
解：(1)如果 B、C、D 三点不共线，则它们确定一个平面 α. 因为 A、B、C、D 共面，所以点 A 在平面 α 内，因为 B、C、D、 E 共面，所以点 E 在平面 α 内，所以点 A、E 都在平面 α 内，即 A、B、C、D、E 五点一定共面．
AB，BC，CD，DA 上的点，且直线 EH 与直线 FG 交于点 O. 求证：B，D，O 三点共线．
[分析] 解答本题只要证明点 O 在平面 ABD 与平面 CBD 的 交线 BD 上即可．
第三十五页，共五十页。
[证明] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD. ∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD. 同理 O∈平面 BCD， 即 O∈(平面 ABD∩平面 BCD)， ∴O∈BD，即 B，D，O 三点共线．
第四十五页，共五十页。
解析：①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此 ①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此 ②正确；③中，由于点 A，B 既在直线 l 上又在平面 α 内，即直 线 l 上的两点在平面 α 内，所以直线 l 在平面 α 内，即 l⊂α，因 此③正确．综上，可知正确命题的序号是②③.
第八章
立体几何 初步 (lìtǐjǐhé)
第一页，共五十页。
8.4 空间点、直线(zhíxiàn)、平面之间的位置关系
第二页，共五十页。
8.4.1 平面(píngmiàn)
第三页，共五十页。
[目标] 1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2. 掌握三个基本事实及推论并会简单应用．
[变式训练 3] 已知 A、B、C、D、E 五点中，A、B、C、D 共面，B、C、D、E 共面，则 A、B、C、D、E 五点一定共面吗？
解：(1)如果 B、C、D 三点不共线，则它们确定一个平面 α. 因为 A、B、C、D 共面，所以点 A 在平面 α 内，因为 B、C、D、 E 共面，所以点 E 在平面 α 内，所以点 A、E 都在平面 α 内，即 A、B、C、D、E 五点一定共面．
AB，BC，CD，DA 上的点，且直线 EH 与直线 FG 交于点 O. 求证：B，D，O 三点共线．
[分析] 解答本题只要证明点 O 在平面 ABD 与平面 CBD 的 交线 BD 上即可．
第三十五页，共五十页。
[证明] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD. ∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD. 同理 O∈平面 BCD， 即 O∈(平面 ABD∩平面 BCD)， ∴O∈BD，即 B，D，O 三点共线．
第四十五页，共五十页。
解析：①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此 ①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此 ②正确；③中，由于点 A，B 既在直线 l 上又在平面 α 内，即直 线 l 上的两点在平面 α 内，所以直线 l 在平面 α 内，即 l⊂α，因 此③正确．综上，可知正确命题的序号是②③.
第八章
立体几何 初步 (lìtǐjǐhé)
第一页，共五十页。
8.4 空间点、直线(zhíxiàn)、平面之间的位置关系
第二页，共五十页。
8.4.1 平面(píngmiàn)
第三页，共五十页。
[目标] 1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2. 掌握三个基本事实及推论并会简单应用．
【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)
【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.