导体表面电荷分布与导体表面曲率的关系

导体表面电荷分布与导体表面曲率的关系
（1）静电平衡条件下导体表面的电荷分布是一个复杂的静电学问题。

它不仅与导体表面的曲率有关。

而且与导体本身的形状、周围导体和介质的分布及带电状态有关。

一般情况下对孤立导体它也不是与曲率有简单正比关系。

下面我们通过带电旋转椭球形导体的例子加以说明。

椭球面的数学表达式是比较简单的，当它的三个半轴相等时，它就变成球；细长的椭圆绕长轴旋转而成的椭球就相当于细长棒；细长椭圆绕短铀旋转时形成的椭球就相当于平板，因此研究椭球带电的电荷分布，有较普遍的意义。

无论什么形状的导体决定电荷平衡分布的唯—条件是导体内部各点的场强必须为零。

凡是能满足这个条件的分布，便是实际存在的分布。

根据这个条件，以及静电场的基本性质求解椭球上的电荷分布，是一个典型的电磁学问题要用到较复杂的数学工具，本书不严格处理这一问题。

这里用一个不够严格的方法导出其结果。

假没我们考虑的是一个旋转椭球如图9.8所示，它有两个焦点O1和O2。

表面电荷的分布使椭球内任一点的合场强为零。

一般说来，这是表面所有的电荷综合抵消的结果。

但是对于焦点O1和O2，很巧，这种抵消是一对一的。

过焦点O1作一个小立体角，它在椭球表面上切出两块表面 d S和 d S2，严格的理论证明，d S上的电荷在O1产生的场强与O2上的电荷在O1产生的场强恰恰抵消，因此整个椭球面上的电荷在O1产生的场强之和为零。

循着这一途径，便可找出表面电荷分布的规律。

设 d S处电荷密度为σ1，距O1的距离为r1，d S上的电量 d q1 = d Sσ1，这部分电荷在O1产生的场强 d E1应为：
而 d S = d S'/cosα1。

α1是r1与 d S2表面法线n1间的夹角。

同时
， dΩ1是 d S1对O1所张的立体角。

因此有：
用同样的方法，可以得到 d S2在O1产生的场强 d E2为：
α2是 d r2与 d S2表面法线n2间的夹角。

d S2对O1所张的立体角仍然为 dΩ1。

由于在焦点上对应电荷产生的场相互抵消，故有 d E1 = d E2，从而得到：
，也就是说：σ∝
这就是椭球表面电荷分布的具体规律。

运用微积分和基本的矢量分析，由焦点为原点的椭圆方程：
这里P是焦点参数，δ是椭圆偏心率。

可以求出r, φ处的 cosα为：
从而可以求出任何两点(即φ1和φ2 )的表面电荷密度之比。

图9.9中，如在椭圆最尖锐的一端A，φA = 0, cosαA = 1。

在最平的一点B，
，可见。

而在A与B之间的其
它的点，cosα的值介于1与之间，电荷的面密度是逐渐由1向
过渡的。

当δ趋向于1，椭球逐渐向细长杆过渡；当δ很接近于1时，焦点
O1和O2趋向两瑞，椭球上很大一部分面积的，因而 cosα≈ 0，故电荷分布集中于杆的两端很小的区域内，杆身绝大部分基本上
没有电荷分布。

搞清楚了椭球上电荷分布的具体规律以后，再来看面电荷密
度与表面曲率的关系。

定性地看一下，可以说，表面曲率大
的地方，α角小，cosα的值大；表面曲率小的地方，α角
大，cosα的值小。

因此曲率大的地方电荷密度大于曲率小
的地方，这是正确的。

但σ是不是一定与表面曲率K成
正比呢? 这就要用数学方法把椭圆各处的曲率求出来。

按平
面曲线曲率的定义：
d l是椭圆上的一段弧长，经过计算可知K并不简单地与 cosα成正比，因此，α也不是简单地与K成正比，它们之间是一个很复杂的函数关系。

曲率大的地方电荷密度大只能说是一个大致的、定性的规律，不能简单地依据两处的曲率来比较它们的电荷密度。

（2）狐立导体表面能否出现电荷异号面一个孤立导体的表面会不会出现异号的面电荷分布呢? 例如，如图9.10所示导体中凹陷进去的地方的曲率为负值，会不会出现异号面荷分布。

结论是不可能。

对此可以借助电力线用反证法证明。

设图中导体带有净正电荷，假如在凹陷处出现负面电荷分布，则该处要会聚电力线。

会聚于凹陷处的电力线只有两个可能的来源：一种可能是来自无穷远处，一种可能来自导体上的正电荷。

假设无穷远处为零电势点，对来自无穷远处的电力线，则沿此电力线求场强的线积分会得出导体的电势是负值，这与沿导体表面带正电处发出的电力线到无穷远处的线积分应得导体的电势是正值的结论产生矛盾(静电平衡时导体表面应为—等势面)；如果会聚于凹陷处的电力线来自导体上的正电荷，则沿此电力线的场强线积分将不为零，这与导体为一等势面的条件相矛盾。

因此孤立导体上不可能出现异号的面电荷分布。