数学归纳法整除
数学归纳法
竞赛园地
1 19
1 . 16032015 例5 已知{ an } 是各项为正的数列 , 如果 an + 1 ≤
a n - a n , 求证 :对一切 n ≥ 2 , 均有 an ≤
中学数学教学参考 2002 年第 1～2 期
∵ S k + 1 = S k + ak + 1 , ( 递推关系) ( k + 1) ( a1 + ak + 1 ) k ( a1 + ak ) ∴ = + ak + 1 . 2 2 将 ak = a1 + ( k - 1) d 代入上式 ( 用归纳假设) , 得 ( k + 1) ( a1 + ak + 1 ) = 2 ka1 + k ( k - 1) d + 2 ak + 1 , 解得 ak + 1 = a1 + [ ( k + 1) - 1 ] d . 即当 n = k + 1 时 , ( 3 ) 式亦成立 . 综合 ( 1) 和 ( 2 ) , 知 ( 3 ) 式对一切自然数 n 均成 立 , 从而{ an } 是等差数列 . 需要指出的是 , 对于等比数列 , 是否也有与本例类 似的问题 ? 例4 一计算装置有一数据入口 A 和一个运算出 口 B , 并且 : 1 ( i) 从 A 口输入 1 时 , 从 B 口得到 ; 3 (ii) 从 A 口输入自然数 n ( n ≥ 2 ) 时 , 在 B 口得到 的结果是将前一结果 ( n - 1) 事先乘以第 n 个奇数 , 再 除以第 n + 2 个奇数 . 试问 : ( 1) 从 A 口输入 2 和 3 时 , 从 B 口分别得到什么 数? ( 2) 从 A 口输入 2002 时 , 从 B 口得到什么数 ? 导析 :将题目中的文字语言抽象概括为符号语言 . 1 ( 1) 由题意得 f ( 1) = ; 3 2・ 1- 1 1 1 1 f ( 2) = f ( 1) = ・ = ; 2・ 1+3 5 3 15 2・ 2- 1 3 1 1 f ( 3) = f ( 2) = ・ = . 2・ 2+3 7 15 35 即从 A 口分别输入 2 和 3 时 , 在 B 口分别得出 1 1 和 . 15 35 ( 2) 由 ( 1) 可以猜想
数学归纳法以及其在初等数论中的应用
+14 28 4 · ·高二第二次阶段测试化学试卷12、21班级 姓名 学号可能用到的相对原子质量：H —1 O —16 Na-23 Cl —35.5Mn-55 Ag-108一、选择题（每题只有1个选项符合题意。
本大题共23题，每题3分,共69分)1．现代社会提倡低碳生活。
下列燃料能实现二氧化碳零排放的是 A ．氢气 B ．天然气 C ．石油 D ．煤炭2．下列化学用语正确的是A ．硅的原子结构示意图:B ．乙烯分子比例模型：C ．次氯酸分子的电子式：D ．乙酸分子的结构简式：C 2H 4O 23．下列气体中，有颜色且具有刺激性气味的是A ．SO 2B ．NOC ．NH 3D ．Cl 2 4．胶体区别于其它分散系的本质特征是A ．胶体稳定B ．胶体有丁达尔效应C ．胶体能净水D ．胶粒直径在1—100nm 之间5．下列物质中只含有离子键的是A ．NaOHB ．CO 2C ．MgCl 2D ．HClH H H HC ＝CH ∶Cl ∶O ∶6．运输乙醇或汽油的车辆，贴有的危险化学品标志是A B C D 7．下列物质中，属于纯净物的是A．氯水B．聚乙烯C．蔗糖．D、加碘食盐8．下列物质不．需．经过化学变化就能从海水中获得的是A．烧碱B．食盐C．单质镁D．单质溴9．下列物质互为同分异构体的一组是A．35Cl和37Cl B．O2和O3C．CH3CH2OH和CH3OCH3D．甲烷和丁烷10．下列物质间的转化，通过一步反应不能完成的是A、FeCl3→FeCl2B、NO2→HNO3C、Al2O3→NaAlO2D、SiO2→H2SiO311．某溶液中存在大量的OHˉ、Clˉ、CO32ˉ，该溶液中还可能大量存在的离子是A．NH4+B．Ca2+C．HCO3ˉD．SO42ˉ12．N2+3H22NH3是工业制氮肥的重要反应。
下列关于该反应的说法正确的是A ．增加N 2的浓度能加快反应速率B ．降低体系温度能加快反应速率C ．使用催化剂不影响反应速率D ．若反应在密闭容器中进行,通过改变条件可以使N 2和H 2能完全转化为NH 313．下列反应中生成物总能量高于反应物总能量的是 A ．氧化钙溶于水 B ．乙醇燃烧C ．铝粉与氧化铁粉末反应D ．断开1mol 氮气分子中的氮氮叁键14．下列图示装置的实验中,操作正确的是A ．图1分离碘酒中的碘和酒精B ．图2稀释浓硫酸C ．图3从食盐水中获得食盐晶体D ．图4除去HCl 中的Cl 2并副产漂白粉15．下列反应中，与其它三个反应不属于同一类型的反应是A ．B ．C ．D ．图1 图2 图3 图4碘酒HCl(Cl 2)石灰水溶液浓硫酸 H 2O16．食品的主要成分大都是有机化合物。
数学归纳法
课堂互动讲练
证明】 左式＝ 【证明】 (1)当 n＝1 时，左式＝ 当 ＝ 12(1－ 1)(1＋ 1) － ＋ 2 1 － 1＝0，右式＝ ＝ ，右式＝ ＝0， ， 4 等式成立． ∴等式成立． (2)假设 n＝k(k∈N )时等式成立， 假设 ＝ ∈ 时等式成立 时等式成立， 即 (k2 － 1)＋ 2(k2－ 22)＋ … ＋ k(k2 － k2) ＋ ＋ k2(k－ 1)(k＋ 1) － ＋ . ＝ 4
数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题， 证明一个与正整数 有关的命题，可 有关的命题 按下列步骤进行： 按下列步骤进行： (1)(归纳奠基 证明当 取第一个值 归纳奠基)证明当 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； 时命题成立； 时命题成立 (2)(归纳递推 假设 ＝k(k≥n0，k∈N*) 归纳递推)假设 归纳递推 假设n＝ ∈ 时命题成立，证明当n＝ ＋ 时命题也成 时命题成立，证明当 ＝k＋1时命题也成 立． 只要完成这两个步骤， 只要完成这两个步骤，就可以断定命 题对从n 开始的所有正整数n都成立 都成立． 题对从 0开始的所有正整数 都成立．
基础知识梳理
上述证明方法叫做数学归纳法． 上述证明方法叫做数学归纳法．用 框图表示就是： 框图表示就是：
三基能力强化
1．数学归纳法适用于证明 ． ________类型的命题 类型的命题( ) 类型的命题 A．已知⇒结论 ．已知⇒ B．结论⇒已知 ．结论⇒ C．直接证明比较困难 ． D．与正整数有关 ． 答案： 答案：D
课堂互动讲练
【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 证明】 当 ＝ 时 ＝ ， 能被36整除 整除． 能被 整除． (2)假设 ＝k(k∈N*)时，f(k)能被 假设n＝ ∈ 时 能被36 假设 能被 整除， 整除， 能被36整除 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被 整除； ＝ ＋ 能被 整除； ＋ 当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝ ＋ 时 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9 ＋ － ＋ － ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， ＋ ＋ ，
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用发表时间：2019-01-23T16:43:27.747Z 来源：《教育学》2019年1月总第166期作者：折小妹[导读] 数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
陕西省大柳塔第一小学719315摘要：数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法。
本文主要对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析，并介绍了数学归纳法在数学整除问题、数列、不等式以及几何等问题中的应用。
关键词：数学归纳法数列不等式一、数学归纳法的概述1.归纳法与数学归纳法。
（1）归纳法。
①完全归纳法。
②不完全归纳法。
③典型归纳推理。
（2）数学归纳法。
数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常用来证明与自然数有关的命题。
它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。
这一重要性质，为解决有限与无限的矛盾提供了理论依据。
也就是说，如果能证明：①当n=1时命题成立。
②假设当n=k时命题成立，有n=k+1时命题成立。
那么我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2时命题成立；由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时命题也成立；如此继续下去，虽然我们没有对所有的自然数一一逐个加以验证，但根据自然数的重要性质，实质上已经对所有的自然数做了验证。
这样的证明方法叫作数学归纳法，可见数学归纳法是一种完全归纳法。
2.数学归纳法的基础。
严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题做了深入考察。
递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的。
3.数学归纳法的原理。
数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理。
数学归纳法的特殊应用解析与归纳
数学归纳法的特殊应用解析与归纳数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，广泛应用于各个领域。
在此基础上，还可以有一些特殊的应用形式，本文将对数学归纳法的特殊应用进行解析与归纳。
一、奇偶性证明在数学中，奇偶性是一种常见的性质。
我们经常利用数学归纳法来证明某个数学对象的奇偶性。
这里以证明正整数的奇偶性为例：（1）首先，我们需要证明基本情况。
对于最小的正整数1，它是奇数，因此基本情况成立。
（2）假设当n=k时，正整数k是奇数。
我们需要证明当n=k+1时，正整数k+1是偶数。
根据归纳法的思想，我们假设k是奇数，那么k可以表示为2m+1的形式，其中m为整数。
由此可得，k+1=2m+2=2(m+1)，即k+1是偶数。
因此，当n=k+1时，正整数k+1是偶数。
（3）综上所述，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数n，它都具有相应的奇偶性。
二、整除性证明整除性是数学中另一个重要的性质。
当我们需要证明某个数学对象的整除性时，也可以运用数学归纳法。
（1）首先，我们需要证明基本情况。
对于最小的正整数1，它可以整除任意的正整数，因此基本情况成立。
（2）假设当n=k时，正整数k可以整除某个正整数m。
我们需要证明当n=k+1时，正整数k+1也可以整除某个正整数m+1。
根据归纳法的思想，我们假设k可以整除m，即m=kp，其中p为整数。
由此可得，k+1=1+k=(m+1)p，即k+1可以整除m+1。
因此，当n=k+1时，正整数k+1也可以整除某个正整数m+1。
（3）综上所述，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数n，它都具有相应的整除性。
三、恒等式证明恒等式是数学中常见的类似等式的性质。
我们可以利用数学归纳法来证明某个数学恒等式的成立。
（1）首先，我们需要证明基本情况。
对于某个特定的初等函数，我们需要验证当x取某个特定值时，恒等式是否成立。
（2）假设当n=k时，恒等式在某个特定的x值下成立。
我们需要证明当n=k+1时，恒等式在相同的x值下也成立。
数学归纳法
5．由 k 到 k＋1 这一步，要善于分析题目的结构特点，进行适 当的变形，常用分析、添项、拆项、作差等方法．
6．用不完全归纳法给出结论，用数学归纳法给出证明是高考题 中经常出现的题型，希望同学们用心体会．
7．本节内容是选修与选考内容，在复习时要注意把握好难度 能证明一些简单的数学命题就可以了．
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式 用数学归纳法证明：2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2 ＝4nn＋1. 【思路分析】 本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤， 注意当 n＝k＋1 时，两边加上的项和结论各是什么．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18等式成立． (2)假设 n＝k 时，2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋212k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1] ∴n＝k＋1 时，等式成立． 由(1)(2)可得对一切正整数 n∈N*，等式成立．
【名师点睛】 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证 n＝k＋1 成立时，必须用 n＝k 成立的结论，否则，就不是数学 归纳法证明．
1．用数学归纳法证明： 1·n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1， 右边＝16(1＋1)(1＋2)＝1，等式成立． (2)假设 n＝k 时，1·k＋2(k－1)＋3(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝ 16k(k＋1)(k＋2)成立．
(2)假设 n＝2k(k∈N*)时，命题成立， 即 x2k－y2k 能被 x＋y 整除． 当 n＝2k＋2 时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x＋y)(x－y)． ∵x2(x2k－y2k)、y2k(x＋y)(x－y)都能被 x＋y 整除， ∴x2k＋2－y2k＋2 能被 x＋y 整除，即 n＝2k＋2 时命题成立． 由(1)(2)知原命题对一切正偶数均成立． 【名师点睛】 因证明的命题对所有正偶数成立，所以归纳假 设中采用了 n＝2k(k∈N*)与它相邻的是 n＝2k＋2.要注意体会 n ＝2k＋2 时的变形方法．
数学归纳法证明经典事例
数学归纳法证明经典事例数学中的归纳法是很有作用的，关于这些的整除证明是怎样的呢？下面就是店铺给大家整理的数学归纳法证明整除内容，希望大家喜欢。
数学归纳法事例1当n=1 的时候上面的'式子 = 3^4-8-9=64成立假设当n=k 的时候3^(2k+2)-8k-9能够被64整除当n=k+1式子= 3^(2k+4)-8k-17=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除n=k+1 时，成立根据上面的由数学归纳法3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整除。
数学归纳法事例2n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性)设当n=k时，仍然成立。
当n=k+1时，·····················(一般性)3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除不用写了吧··正确请采纳数学归纳法当n=1 的时候上面的式子 = 3^4-8-9=64成立假设当n=k (k>=1)数学归纳法事例3当3^(2k+2)-8k-9能够被64整除当n=k+1(k>=1)式子= 3^(2k+4)-8k-17=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出n=k+1 时，成立根据上面的由数学归纳法3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整3.证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除数学归纳法(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除综合(1)(2)可知对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除【数学归纳法证明经典事例】。
数学归纳法
16 ( k 1 ) 1 能被 64 整除；
;
n k 1 时，命题成立
由(1)(2)知,命题对于任意的自然数都成立.
例 3：已知 f ( n ) ( 2 n 7 ) 3 使对于任意
*
n
9 , 是否存在自然数
m
n N 都有 m 整除 f ( n ), 如果存在，求出 若不存在，说明理由 .
从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第 一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个 “二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字 了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个 “三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是 四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此， 他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他 自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的 名字，“万百千”写名字结果可想而知。”
多米诺骨牌游戏原理 （1）第一块骨牌倒下。
数学归纳法证明步骤
（1）当=1时猜想成立。
(2)假设n = k ,时命题成立， （2）若第k块倒下时，则相 证明当n=k+1时命题也成立。 邻的第k+1块也倒下。
根据（1）和 （2），可知不论有 根据（1）和（2），可知对n所 多少块骨牌都能全部倒下。 有的自然数n，猜想都成立。
1 n 2 ( n 1) 3 ( n 2 ) ( n 1) 2 n 1 1 6
1 6
1) 2 k 3 ( k 1) ( k 1) 3 k 2 ( k 1) 1
n ( n 1)( n 2 )
1 1 2 1 2
n n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么 解: (1).当n=1时,左边=
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证明 (1)当n=1时,(3n+1)×7n-1=27能被9整除.
(2)假设n=k (k∈N+)时命题成立，即 (3k+1)×7k-1能被9整除，
那么n=k+1时：
［3(k+1)+1］×7k+1-1=［(3k+1)+3］×(1+6)7k-1
=(3k+1)7k-1+(3k+1)×6×7k+21×7k
=［(3k+1)7k-1］+3k×6×7k+(6+21)×7k.
课题导入
1.数学归纳法的证明步骤 2.数学归纳法运用广泛、如证明恒等式、不
等式、整除、猜想、几何、三角方面等
大家好
1
数学归纳法
——整除方面的运用
大家好
2
目标引领
1.熟练掌握数学归纳法的证明步骤 2.会运用数学归纳法在整除方面的运用
大家好
3
独立自学
求证： n3 5n能被6整除
大家好
4
引导探究
求证：（3n+1）×7n-1 (n∈N+)能被9 整除.
以上三பைடு நூலகம்均能被9整除.
则由（1）（2）可知，命大题家好对任意n∈N+都成立.
5
引导探究 1 .用数学归纳法证明： x 2 n y 2 n能被 x y整除 2 .求证：当 n 取正奇数数时， x n y n能被 x y整除
大家好
6
目标再现
1.熟练掌握数学归纳法的证明步骤 2.会运用数学归纳法在整除方面的运用
大家好
7
当堂清学
1 .用数学归纳法证明：
n 2 n(n N )能被 2整除 2.(提高题 )用数学归纳法证明：
4 2 n1 3n 2 能被 13 整除
3.(提高题 )用数学归纳法证明：
a n1 (a 1) 2n1能被 a 2 a 1整除
大家好
8
强化补清
大家好
9
结束
大家好
10