易拉罐形状和尺寸的最优设计
2
问题分析
任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优 即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数. 材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面 的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大， 因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材 料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底 面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低. 又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求 所耗材料的最小体积. 我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并 不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所 耗的材料. 罐的容积是一定的（ 355 毫升） ，即为目标函数的约束条件. 综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材 料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.
半径 r 图② 易拉罐的中心纵断面 设易拉罐的侧面厚度为 d ，底面外侧圆半径为 r ，罐高为 h ，罐的容积为 V ，侧面 所用材料的体积为 V侧 ，顶盖和底面所用材料的体积之和为 V底 ，所用材料体积为 V材 . 其中， d 和 V 是固定参数， r 和 h 是自变量， V材 为因变量. 由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为 1: 2 ” ，得底面 厚度为 2d ； 侧面所用材料的体积为： V侧 [ r 2 (r d ) 2 ]h ； 顶盖和底面所用材料的体积为： V底 2 (r d ) 2 2d ；
又由于在前面我们已经求得 r 3.046 d ，所以，这个 r 的确使 V材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使 V材 达到全局最小. 3、对于问题三 ⑴ 模型建立 当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图 ③. 半径 r1 高度 h 1
高 度 h2
易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘要
（06 全国一等奖）
任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现 销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应 该是某种意义下的最优设计. 本文以饮料量为 355 毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问 题，解决了以下五个问题. 对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为 5.9cm ，顶盖到底面的高为 12cm ，侧面的 高为 12.3cm ， 中间胖的部分的直径为 6.6cm 、 周长为 20.8cm ， 并在网上查得侧面与顶盖、 底面厚度之比为 1: 2 . 对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单 位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函 数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（ 355 毫 升） ，即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘 数法并用 Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是 1: 4 ，其结果 可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸. 对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘 数法并用 Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下 底半径为 3.45cm ，高为 3.09cm ） 、下面部分为圆柱体（高为 8.45cm ） ，其结果与本文所 测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求 得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实 际的设计相比实用性稍差. 对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的 关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非 线性规划模型，并通过 Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下 底面的半径为 r 1.8cm ，高为 h 11.6cm ，中间最胖部分的半径为 3.6cm .另外，本文从 不同的角度分析了这一设计的优缺点. 对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇 短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等. 最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对 于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解 决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从 消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费断面 设圆台上底面半径为 r1 ，下底面半径为 r2 ，圆台的高为 h 1 ，圆柱体的高为 h2 ，侧面 （包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为 d ，罐的容积为 V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱 体侧面）所用材料的体积为 V侧 ，顶盖和底面所用材料的体积之和为 V底 ，所用材料体积 为 V材 . 其中， d 和 V 是固定参数， r1 、 r2 、 h 1 和 h2 是自变量， V材 为因变量. 由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为 1: 2 ” ，得底面 厚度为 2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下： 圆台的表面积 S圆台表 ( r 2 rl Rl R 2 ) ， 圆台的体积 V圆台 ( S ' S ' S S ) h ( r 2 rR R 2 ) h
┈┈┈┈┈┈┈模型①
⑵ 模型求解 根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半 径和高之比. 由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来 求解. 引入参数 ，函数 (r , h) V (r , h) 355 ，令
L(r , h, ) V材 (r , h) (r , h)
V底 [ r12 (r2 d ) 2 ] 2d ； V材 (r1 , r2 , h1 , h2 ) V侧 V底
V 4d (r d )2
V材 [ r 2 (r d )2 ]
V 4d 2 (r d )2 2d 2 (r d )
5
计算 V材 '' ,通过在 Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序 2） ，求得:
V材 '' 75.3865d+24.7500d 2 ，其中 d 0 ，故 V材 '' 0 .
要求 L 的极值，即其对 r、h、 的一阶偏导数为零，则： L V材 0 r r r L V材 0 h h h L (r , h) 0 通过在 Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序 1） ，求得： r : h 1: 4； r 3.046 d； h 0.4313d (3.046 d )2 0.8626d 2 (3.046 d ) 0.4313 d 3 12.18. 即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是 1: 4 . 我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我 们所测的易拉罐的半径和高之比为： (5.9 2) :12 1: 4.0678 因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易 拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合. ⑶ 验证 r : h 1: 4 使 V材 达到最小 要验证 r : h 1: 4 使 V材 达到最小，我们只需验证 r 使 V材 达到最小. 由 V (r d )2 (h 2 2d ) ,可得: h
模型建立与求解
1、对于问题一 易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①： 直径 d1
h1
h2
直径 d 2
h
图① 易拉罐的中心纵断面 我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得： 易拉罐侧面的高 h 为 12.3cm ，顶盖到底面的高 h1 为 12cm ，中间胖的部分的高 h2 为
10.2cm ，顶盖直径 d1 为 5.9cm ，中间胖的部分的直径 d 2 为 6.6cm 、周长为 20.8cm . 在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为 1: 2 [2].
V材 V侧 V底 [ r 2 (r d )2 ]h 2 (r d ) 2 2d
4
且 V ( r d ) 2 ( h 2 2d ) 综上，我们可以建立以下的数学模型：
minV材 (r , h) [ r 2 (r d )2 ]h 2 (r d ) 2 2d V (r , h) 355 s.t. r 0, h 0
关键词：易拉罐 非线性优化模型 拉格朗日乘数法 正椭圆柱
1
问题重述
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为 355 毫升的可口可乐、 青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然， 这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节 省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的 钱就很可观了. 以饮料量为 355 毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现 需解决五个问题，具体如下： 问题一： 取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐，例如 355 毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模 型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明； 如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处. 问题二： ⑴ 易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？ ⑵ 其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径 和高之比，等等. 问题三： ⑴ 易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个 正圆柱体.
易拉罐形状和尺寸的最优设计
1 2 h 2 z2 a h12 2 ) dz h a (1 2 12 b b 2
h 2
2
建立数学模型三：
目标函数：
min SV
1 2 12b 2 b k
a 2 2b k h 2k1 2 2 2 2 k h 2k1 2ab 12b k h 2k1 2 2 2 b k 12b k h 2k1
2r1
1 =12b 2 b k 2
a 2 2b k h 2k1 2 2 2 2 k h 2k1 2ab 12 b k h 2k1 2 2 2 b k 12 b k h 2k1
11.210 11.141
内直径 内高 圆柱内高
d=2r=6.6-2×0.011=6.578cm h=11.210-0.034-0.035=11.141cm h2=h-h1=11.141-1.301=9.84cm
从上表的数据可以做如下假设： 1. k1=k2=3k
2. h=2d=4r
问题二求解：
模型一： 目标函数： min SV=(2πrk+πk2)×(h+k
h SV上底=SV下底=
h k1 2 h 2
2 z2 a (1 2 ) dz b
2r1
1 2 3h 2 6hk1 4k12 a k1 12 = 2 12 b
椭球的内长轴为b，内短轴为a SV=SV侧+SV上底+SV下底 侧壁.上下底厚度为k.k1
易拉罐的优化设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml)易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3:1的条件下,建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省; 在假定易拉罐高与直径2:1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积,得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解:易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2:1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计.模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1。
467， h=1.93时，s=45.07最小。
结论：易拉罐总高:底直径=2：1,上下底之比=1：2,与实际比较分析了各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1:0.4更别致、美观.对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 （例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计。
当然,对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
问题五：对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用 拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。
二、模型假设
模型 四个假设
1：易拉罐的 容积是一定 的；
2：所有材料 的密度都相同， 材料的价格与 其体积成正比；
3：拉环生产 成本固定， 不受易拉罐 形状和尺寸 的影响；
3
m a r1 b2 r2 c 2 r1 br2 c
图4有不同罐壁厚 度易拉罐的圆台
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形
综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝 长度也尽量取到最小。
由此可得 模型六：
2 2 2 2 min M 1Y 2 Z 1 r2 h m r1 r2 r1r2 r2 c h d 焊缝长度： 3 2 2 Z 2r1 1 m a r1 b r2 c r1 b r2 c 2 2r1 3 V r2 c 2 h d m a r1 b 2 r2 c 2 r1 b r2 c 3 m 0.2873 l s.t. （模型六为求解问题 r1 , r2 , l , h 0 三的完善模型） r2 r1 1 , 2 0
内容概要
七、模型评价与推广 二、模型假设 三、符号说明
一、问题重述
六、模型求解
五、模型建立
四、模型分析
一、问题重述
问题一：测量十种常见饮料的易拉罐的八项指标，我们得到了比较精确的数据。 问题二：将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情 形，分别建立了以易拉罐表面积、材料体积、材料体积和焊缝长度为目标函数，容积 一定为约束条件的非线性规划模型，检验实测数据与理论结果吻合效果较好。 问题三：分上述三种情形分别建立模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用 Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样本T检验，说明实测数据与理论结果基本相符。 问题四：引入黄金分割点，综合考虑压强、环保及材料最省，设计了一种集各种优点 的新型易拉罐。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
目录
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的影响因素 • 最优设计的探索与实验 • 最优设计的实现与应用 • 结论与展望
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为一种常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领 域。其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、存储以及消 费者的使用体验等方面都有着重要的影响。因此，研究易拉罐 形状和尺寸的最优设计，对于提升产品品质、降低生产成本以 及增强市场竞争力等方面都具有重要的意义。
形状单一，缺乏个性化，难以满 足消费者多样化的需求。
定制化易拉罐优点
可根据客户需求进行个性化设计 ，适用范围广。
可重复使用易拉罐缺点
成本较高，清洗和保养较为麻烦 ，消费者接受度有待提高。
可重复使用易拉罐优点
可减少浪费和环境污染，节约资 源。
定制化易拉罐缺点
成本较高，生产周期较长，消费 者认知度有限。
材料选择和设计应考虑环保和可持续性。
实验设计与方法
文献调研
查阅相关文献，了解现有易拉罐的设 计和市场情况。
用户调研
通过问卷和访谈，收集用户对易拉罐 的期望和需求。
原型制作与测试
根据设计思路制作多个原型，进行实 际使用测试。
数据分析
收集用户反馈，分析数据，优化设计。
实验结果与分析
功能性测试结果
原型在开启、关闭和携带方面表现良好，满 足基本功能需求。
研究目的和意义
• 随着市场竞争的加剧和消费者需求的多样化，对于包装容器的要求也越来越高。易拉罐作为包装容器的一种，其形状和尺 寸的设计直接影响到产品的外观、使用便利性以及存储运输的效率。因此，研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，旨在满足 消费者对于产品外观和使用体验的需求，提升产品的市场竞争力，同时降低生产成本，为企业创造更大的经济效益。
易拉罐形状和尺寸的最优设计(西南交通大学数学建模国家一等奖)
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文以用于制造易拉罐的原料总体积最省为优化目标，通过构建多元函数和建立非线性规划模型，利用热力学，材料力学，立体几何相关方面的知识对容积为355 ml 的易拉罐的形状与尺寸进行了优化设计，并在综合考虑各方面因素的情况下，构想出了一个外形较美观，手感较好，制造成品所需材料体积又较省的易拉罐模型。
问题一中，结合问题的特殊性，我们首先对实物体各部分的尺寸进行了详细测量，并在多次试验的基础上求取平均值，以达到测量的平均误差最小。
通过测量，我们发现易拉罐一些部位的厚度是不一致的，从而确定了应该以原料总体积最小作为优化目标，而不仅仅在于原料面积最小。
问题二中，我们按照此优化目标，建立了有条件约束的非线性规划模型，并结合原问题将其转化为我们熟悉的一元函数极值问题。
通过适当的运算，其解析解为：半径与高之比1: (1λ+2λ),再利用实测数据中的厚度来计算其数值结果为1:4.4，并用实测半径与高之比1:4.3来验证，两者非常接近，得出该模型是合理有效的。
问题三中，我们在模型一的基础上，考虑到二氧化碳气体的易挥发性，利用盖－吕萨克定律和碳酸化原理合理地为易拉罐内饮料设计了一个满足最大膨胀体积的空间,从而优化设计出了比模型一更加合理的易拉罐。
问题四中，我们再在模型二基础上重新构思了多种新形状的易拉罐，利用圆周定理综合分析考虑选出一种各方面较优的形状（圆柱与球缺组成的）用同样原理的模型优化其尺寸，同样利用LINGO 软件解得其尺寸及大致所需材料，经比较分析可得出这种形状的易拉罐较优，所需材料比同容积的其它形状的易拉罐少，各部分比例也较适中。
本文最大的特色是对原问题作出了合理假设，将实物体转化为几何图形，并尽量避开物理化学对我们建立数学模型的影响，通过对其形状从简单的到复杂的都得出类似的结论。
我们研究易拉罐的结构是由简易到复杂，层层递进地考察易拉罐的形状和尺寸，但始终没离开实测数据，时时回归实测数据以验证模型，得出与实际相吻合的结论。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
关键词：易拉罐 最优设计
一、问题的提出
每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年 用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设 计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述 问题：
1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口 可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各 部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
4
故
v r3
是 s ( r ) 的最小值点。
4
此时，易拉罐的直径
D 2r 2 3 v
4
易拉罐的高 hv r2v3(4v 2)2434v 4r2D
4.结果分析
上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一 定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是 最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的 355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，（比例2：1.06）， 其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统 一鲜橙多等其比例都如此。 又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下 ，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分 一定而研究此正圆台的用料优化设计。
圆台面积s(r)r2(R r) 2(r2 9 r v R 2R 2)2 (R r)2
用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小 。
问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚
罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。
为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 数学建模比赛论文
摘要本文针对常见的易拉罐(355毫升可口可乐)进行测量,在合理的假设下通过不断的优化建立最优易拉罐尺寸和外形的设计模型,并进行了相当程度的创新设计。
针对问题一，我们分别通过合理的方法测量计算得易拉罐的顶部，中间，和底部的直径，高度，顶部高度，以及罐侧，罐底，罐顶的厚度，并提供相应的测量方法。
针对问题二，我们本着由简单到复杂的演绎过程，逐步放宽条件和假设，依次得到相应的最优化模型。
首先考虑了最简单情况下的最优化问题（即假设易拉罐为正圆柱，罐顶罐底侧面材料相同且厚度一致，制作过程中没有材料的浪费）其次我们考虑了制作易拉罐铁皮切料过程中的问题，并在两种切料方法进行讨论。
再次，我们加入了制作费用，即各部分接缝的损失。
最后我们加入了罐底，罐顶，侧面，厚度不一致的考虑，得到了较为接近现实情况的优化模型。
针对问题三，即易拉罐是一个圆台加圆柱的组合情况，这与我们测得的实际情况较为相似,我进行了罐体抗压力, 罐内气体压强, 人体嘴形舒适度等方面考虑，肯定了圆台存在的意义.在体积不变的约束下建立了规划模型. 并通过MATLAB求解.针对问题四,我们综合了前面的优化过程,并在传统易拉罐模型的基础上对新型模型进行了进一步的优化创新, 虽然在体积一样的情况下圆柱是表面积最小的(证明见附录1),但从外形美观,原材料的节省,运输成本的节约方面看平面的柱体占有一定的优势,结合了以上两面的综合考虑,我们设计出了带弧度的底部上凸的正三棱体，并分别从形状和尺寸的确立、设计过程依据、总体成本估算、特殊形状成因、广告效应、材质选择以及运输成方面分别阐述了该模型超越传统模型的优势，以及新型模型本身的合理性与科学性。
通过运用弧形设计、弯曲表面效应、线性规划等的原理，对模型进行了的优化。
同时，针对新型模型本身我们不仅仅立足于科学的规划，而且着重考虑了人们的偏好以及舒适度，以使得易拉罐的新型更具有现实意义。
最后我们提出的一种有待进一步验证的蛋状易拉罐的方案，将易拉罐的设计意义和目的赋予了更加鲜明的民族色彩和文化内涵。
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案 (2)
04
最优设计方案探索
理想形状的探讨
圆柱形
01
圆柱形易拉罐具有较高的稳定性，便于堆放和运输，且在视觉
上给人以舒适感。
扁圆形
02
扁圆形易拉罐可以更好地利用空间，减少包装材料的使用量，
降低成本。
异形
03
异形易拉罐可以吸引消费者的注意力，提高产品附加值，但需
要考虑生产成本和实用性。
理想尺寸的探讨
小型
适用于单人使用，便于携带和储存，如饮料、咖啡等。
易拉罐形状和尺寸的最优 设计方案
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的重要性 • 最优设计方案探索 • 实验与验证 • 最优设计方案实施与展望 • 结论
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领域。 其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、储存以及消费者 的使用体验等方面具有重要影响。
中型
适用于家庭使用，满足一家人的需求，如啤酒、果汁等。
大型
适用于聚会或特殊场合，提供大量饮品，如可乐、汽水等。
材料选择与环保性考虑
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可回收材料
选择可回收材料制作易拉罐，减少对环境的污染。
轻量化材料
采用轻量化材料，降低易拉罐的重量，减少资源 消耗。
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可降解材料
在特殊情况下，可选择可降解材料制作易拉罐， 以应对环保要求。
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政府和相关机构应加强监管和标准制定，促进易 拉罐行业的可持续发展，保护环境和公共健康。
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其他形状
如星形、心形等，用于吸 引消费者注意力或增加趣 味性。
易拉罐尺寸设计
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高中数学建模论文-易拉罐形状和尺寸的最优设计方案
⾼中数学建模论⽂-易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案摘要：本⽂讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建⽴以易拉罐材料体积为⽬标函数，容积⼀定为约束条件的⾮线性规划模型。
通过⾮线性规划与条件极值求得结果。
在此基础上，引⼊了黄⾦分割点，环保以及材料最省，设计了⼀种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实⽤性和推⼴性。
关键词：⾮线性规划条件极值正⽂⽣活中稍加留意就会发现销量很⼤的饮料的饮料罐的形状和尺⼨⼏乎相同。
看来，这并⾮偶然，⽽应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是⽣产⼏亿，甚⾄⼏⼗亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
⼀、提出问题1、问题为什么不同⼯⼚的易拉罐采⽤统⼀规格？2、易拉罐的圆柱底⾯圆的直径与圆柱的⾼的⽐是多少才为最优？从数学的⾓度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？⼆、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是⼀定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正⽐；3、各种易拉罐的上⾯的拉环⽣产成本固定，不受易拉罐形状和尺⼨的影响；4、⽹上查的数据真实可靠2.2符号约定三、问题分析与模型建⽴对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的⾼度、直径、顶⾯、底⾯、圆台侧⾯、圆柱侧⾯的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底⾯的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为⽬标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建⾮线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。
此为模型1。
在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。
此时⽬标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此⽬标函数表达式变得⽐较复杂。
此时形状由圆柱的⾼和半径及圆台的⾼和上表⾯半径决定，以此作为决策变量对模型⼀稍作修改建⽴模型2。