2020年吉林省长春市中考数学一模试题(解析版)
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（每小题3分，共24分）1.2019的相反数是（ ）A. 2019B. ﹣2019C. 12019D. ﹣12019【答案】B【解析】【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【详解】∵数a 的相反数是a -∴2019的相反数是2019-故选：B【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握定义解题关键． 2.据统计，第15中国（长春）国际汽车博览会成交额约为6 058 000 000，6 058 000 000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 60.58×1010B. 6.058×1010C. 6.058×109D. 6.058×108【答案】C【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】∵科学记数法为：10n a ⨯∴ 96058000000 6.05810=⨯故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．是3.把多项式a3﹣a分解因式，下列结果正确的是（）A. a（a2﹣1）B. （a+1）（a﹣1）C. a（a+1）（a﹣1）D. a（a﹣1）2【答案】C【解析】【分析】先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可判断正确选项．【详解】3a a-()21a a=-()()11a a a=+-故选：C【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．【详解】A.几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是画出圆心的圆，故此选项错误；B.几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；C.几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；D.几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误．故选：B【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5.不等式组3x1>2{42x0--≥的解集在数轴上表示为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．【详解】3121124202x x x x x ⎧->>⎧⇒⇒<≤⎨⎨-≥≤⎩⎩． 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，1<x 2≤在数轴上表示为A ．故选A ．6.一元二次方程2x 2﹣4x +1＝0的根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根【答案】D【解析】【分析】直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】∵24b ac ∆=- ()24421=--⨯⨯ 8=＞0∴方程有两个不相等的实数根故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的根的判别式24b ac ∆=-．当0∆＞时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当△0∆＜时，方程没有实数根．7.如图，直线y=x+b 与直线y kx 4=+交于点28P ,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于x 不等式x b kx 4+>+的解集是( )A. 2x 3>B. 2x 3≥C. 2x 3< D. 2x 3≤ 【答案】A【解析】【分析】找到直线y x b =+函数图像在直线y kx 4=+的图像上方时x 的取值范围即可. 【详解】解：观察图像可知，不等式解集为：23x >， 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图像的角度看，就是确定直线在另一条直线上（或下）方部分时，x 的取值范围.8.如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y =k x （k ＜0，＜0）的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于B ，连结AO ，过点B 作BC ∥AO 交y 轴于点C ．若点A 的纵坐标为4，且tan ∠BCO =32，则k 的值为（ ）A. 6-B. 12-C 24-D. 24【答案】C【解析】 的.【分析】 根据32tan BCO ∠=可求出AD 的长度，得到A 点坐标，代入反比例函数k y x=可得k 值. 【详解】解：如图，作AD ⊥y 轴， ∵32tan BCO ∠=，//BC AO ， ∴BCO AOD ∠∠=， ∴32AD tan BCO tan AOD OD ∠∠===， ∵OD=4，∴AD=6，∴A 点坐标为（-6，4），∴k=-6×4=-24，故选C.【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质及三角函数的简单应用，求出A 点坐标是解题关键.二、填空题（每小题3分，共18分）9.写出一个比5大且比6小的无理数________．【答案】【解析】【分析】根据无理数的估算和开平方运算进行分析解答即可．【详解】解：∵25<26<36， <56==，∴56<<．故答案为．【点睛】本题考查估算，满足2536x <<且开不尽方的数的算术平方根都可以作为本题的答案．10.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为______．【答案】5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．【详解】解：根据题意得：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故答案为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．11.如图，AB ∥CD ．若∠ACD =82°，∠CED =29°，则∠ABD 大小为______度．【答案】53【解析】【分析】先根据平角的定义求出DCE 98∠=︒，然后根据三角形外角的性质求出CDB ∠，最后由平行线的性质可求【详解】解：∵82ACD ∠=︒，∴DCE 98∠=︒，∵29CED ∠=︒，∴CDB DCE 127CED ∠=∠+∠=︒，∵//AB CD ，∴180CDB 53ABD ∠=︒-∠=︒，故答案为53.【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.12.如图，海面上B 、C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，A 岛与C 岛之间的距离约为36海里，B 岛在C 岛的南偏东43°，A 、B 两岛之间的距离约为______海里（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】【答案】33.5【解析】【分析】根据∠ACB 的正切值和AC 的长度可求出AB.【详解】解：由题意可知：AC=36海里，∠ACB=43°，AB=AC·tan43°≈33.5海里，故答案为33.5.【点睛】本题考查了三角函数的简单应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键.13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =21(3)4x --1的顶点为A ，直线l 过点P （0，m ）且平行于x 轴，与抛物线交于点B 和点C ．若AB =AC ，∠BAC =90°，则m =______．【解析】【分析】设直线l 与对称轴的交点为点D ，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD ，根据韦达定理可表示出x 1+x 2与x 1x 2，进而表示出BC 的长度和BD 的长度，根据BD=AD 可列出方程求出m 的值.【详解】设直线l 与对称轴的交点为点D ，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD ，抛物线的顶点坐标为A （3，-1），由题意得直线l 的表达式为直线y=m ，当y=m 时，可得方程()21314x m --= 原方程整理可得，26540x x m -+-=由一元二次方程根与系数关系可得x 1+x 2=6，x 1x 2=54m -，（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4 x 1x 2=36-20+16m=16+16m∵直线l 与抛物线交于点B 和点C ，故m ＞-1，∵BC 2=16+16m ，AD=m+1,BD=2BC =AD, ∴BC=2AD ，BC 2=4AD 2，16+16m =4（m+1）2整理得，m 2-2m -3=0解得m=3或m=-1（舍去）即m=3.故答案为3. 的【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和等腰三角形的性质，解题的关键是运用韦达定理正确表示出BC的长度.14.在数学课上，老师提出如下问题老师说：“小华的作法正确”请回答：小华第二步作图的依据是______．【答案】等腰三角形的性质【解析】【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：小华第二步作图的依据是等腰三角形的性质，故答案为等腰三角形的性质．【点睛】本题考查了作图-基本作图：五种基本作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，逐步操作．三、解答题（本大题10小题，共78分）15.先化简，再求值：（x +1）2+x （x -2），其中x = 【答案】22x 1+；5.【解析】【分析】先将原式展开，再合并同类项，代入求值即可.【详解】解：原式22x 2x 1x 2x =+++-22x 1=+当x =原式(2215=⨯+=．【点睛】本题考查了完全平方公式和整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键.16.一个不透明的口袋中装有三个小球，上面分别标有数字3、4、5，这些小球除数字不同外其余均相同． （1）从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是偶数的概率是______．（2）从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，记下数字，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球上的数字都是奇数的概率．【答案】(1)13；(2)49. 【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；（2）画出树状图或者列表，找到两次摸出的小球上的数字都是奇数的情况数，然后除以总的情况数.【详解】解：(1)一共三个小球，球上数字是偶数的有一个，故摸到小球上的数字是偶数的概率是13； (2) 或第一次一共有9种等可能的情况，其中两次摸出的小球上的数字都是奇数的情况有4种， 所以P(两次摸出的小球上的数字都是奇数)49=． 【点睛】本题考查了概率公式和画树状图(或列表)的方法求概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．17.如图，在⊙O 中，点C 为OB 的中点，点D 为弦AB 的中点，连结CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．求证：AE ⊥CE ．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】由切线的性质可知90OAE ∠=︒，再根据中线的性质得到//CD OA ，然后可得到AE CE ⊥. 【详解】证明：连结OA ， ∵AE 是O e 的切线，OAE 90∴∠=︒．∵C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，CD //OA ∴， CE //OA ∴．AEC180OAE90∴∠=︒-∠=︒．AE CE∴⊥．【点睛】本题主要考查了切线的性质和三角形中线的性质，熟练掌握基础知识是解题关键.18.甲、乙两名同学做中国结.已知甲每小时比乙少做6个中国结，甲做30个中国结所用的时间与乙做45个中国结所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数.【答案】甲每小时做12个中国结．【解析】【分析】设甲每小时做x个中国结，则乙每小时做(x+6)个中国结，根据题中等量关系列分式方程求解即可.【详解】解：甲每小时做x个中国结．根据题意，得3045 x x6=+解得x12=．经检验，x12=是原方程的解，且符合题意．答：甲每小时做12个中国结．【点睛】本题考查了分式方程的应用，能够根据题意列出方程是解题关键.19.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE=AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB=AC，AD=4，CE=6，求四边形ACDE的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)12.【解析】【分析】（1）根据题意得到//AE CD 且AE CD =，可得四边形ACDE 为平行四边形； （2）先证四边形ACDE 为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可. 【详解】解：(1)在ABCD Y 中，AB//CD ，AB=CD ．AE //CD ∴，∵AE AB =，AE CD =．∴四边形ACDE 为平行四边形．(2)∵AB AC =，AE AB =，AE AC ∴=．∴四边形ACDE 为菱形．∵AD 4=，CE 6=，ACDE 11S AD CE 461222∴=⋅=⨯⨯=菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的判定和性质，能够熟练应用基础知识进行推理是解题关键. 20.张老师计划通过步行锻炼身体，她用运动手环连续记录了6天的运动情况，并用统计表和统计图记录数据：（1）请你将手环记录的4月5日和4月6日的数据（如图①）填入表格（2）请你将条形统计图（如图②）补充完整（3）张老师这6天平均每天步行约______公里，张老师分析发现每天步行距离和消耗的卡路里近似成正比例关系，她打算每天消耗的卡路里至少达到100千卡，那么每天步行距离大约至少为______公里（精确到0.1公里）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.4 ，3.9.【解析】【分析】（1）依据手环记录中的数据，即可补全表格；（2）依据统计图中的数据，即可补全统计图；（3）用这6天步行数的和除以6可得平均每天步行数，根据每天步行距离和消耗的卡路里近似成正比例关系，即可预估张老师每天步行距离．【详解】解：（1）由图可得，4月5日的步行数为7689，步行距离为5.0公里，卡路里消耗为142千卡，燃烧脂肪18克；4月6日的步行数为15638，步行距离为10.0公里，卡路里消耗为234千卡，燃烧脂肪30克；填表如下：（2）条形图补充如下：；（3）张老师这6天平均每天步行约：（6.8+3.1+3.4+4.3+5.0+10.0）÷6=32.6÷6≈5.4（公里）．张老师这6天一共消耗卡路里157+79+91+127+142+234=830（千卡），则步行时每公里约消耗卡路里830÷32.6≈25.5（千卡），故张老师打算每天消耗的卡路里至少达到100千卡，那么每天步行距离大约至少为10025.5≈3.9（公里）．故答案为5.4，3.9．【点睛】本题考查的是条形统计图，用样本去估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．21.某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以53a米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学所的路程为s（米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．（1）乙同学起跑的速度为______米/秒；（2）求a、b的值；（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是______．【答案】(1)5；(2)a=3，b=200；(3)30或160． 【解析】 【分析】（1）根据乙同学在60秒时跑了300米可求出乙同学起跑的速度；（2）甲同学100秒跑了300米，可求出甲的起跑速度，然后求出提速后的速度，用提速后的路程除以速度可得提速后跑的时间，然后可得b 值；（3）分情况讨论，①在前60秒内，根据甲乙的速度列方程求解即可；②在t=140之后和甲乙相遇之前，分别求出对应时间段的直线解析式，然后根据题意列方程即可. 【详解】解：（1）300÷60=5米/秒. （2）由题意得：300a 3100==米/秒，55a 3533=⨯=米/秒， 800300b 1002005-=+=秒. （3）由题意得：①在t=60秒时，甲的路程=3×60=180米，乙的路程=60×5=300米，所以在前60秒内有乙同学领先甲同学60米的情况，即：5t -3t=60，解得：t=30秒；②t=140秒时，甲的路程=300+5×（140-100）=500米，此时乙跑了620米，所以在t=140之后和甲乙相遇之前，有乙同学领先甲同学60米的情况，当140t 230≤≤时，设乙同学时间和路程的关系式为y 1=k 1x+b ，将（140,620）和（230，800）代入可求得y 1=2x+340，设甲同学时间和路程的关系式为y 2=k 2x+b ，将（100,300）和（200，800）代入可求得y 2=5x -200，由2t+340-(5t -200)=60，解得：t=160秒；所以当t=30或160时乙同学领先甲同学60米. 【点睛】本题考查了学生的读图能力及一次函数的图像和性质，能够读懂函数图像是解题关键.22.【感知】如图①，点C 是AB 中点，CD ⊥AB ，P 是CD 上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS ”易证△P AC ≌△PBC ，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图②，在平面直角坐标系中，直线y =-13x +1分别交x 轴、y 轴于点A 和点B ，点C 是AB 中点，CD ⊥AB 交OA 于点D ，连结BD ，求BD 的长 【应用】如图③（1）将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AB ′，请在图③网格中画出线段AB;（2）若存在一点P ，使得P A =PB ′，且∠APB ′≠90°，当点P 的横、纵坐标均为整数时，则AP 长度的最小值为______．【答案】探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5. 【解析】 【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】解：探究： 由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．∵点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD V 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD∴的长为53． 应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.23.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，BC =2．点P 从点A点C 运动，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向终点A 运动，连接PQ ，将线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90°得到线段QE ，以PQ 、QE 为边作正方形PQEF ．设点P 运动的时间为t 秒（t ＞0） （1）点P 到边AB 的距离为______（用含t 的代数式表示） （2）当PQ ∥BC 时，求t 的值（3）连接BE ，设△BEQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（4）当E 、F 两点中只有一个点在△ABC 的内部时，直接写出t 的取值范围【答案】（1）t；（2）t=1；（3）S=2244(01)44(12)t t tt t t⎧-+⎨-≤⎩p pp；（4）详见解析.【解析】【分析】（1）作PH⊥AB交AB于点H，根据相似三角形，求出PH即可；（2）根据平行线成比例性质，当PQ∥BC时，AQ APBQ PC=，即可求出t；（3）分为0＜t＜1和1≤t≤2两种情况，进行讨论；（4）根据题目，当F点在AB上时，此时t=1，当0＜t≤1．时，当E、F至少有一个点在△ABC的内部，当1＜t≤2时，没有点在内部．【详解】解：（1）如图1，作PH⊥AB交AB于点H，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，=根据题意，，∵∠A=∠A，∠B=∠AHP，∴△AHP～△ABC，∴AP PHAC BC=2PH=，解得PH=t，即点P到边AB的距离为t．故答案为t（2）根据题意，,PC=，BQ=2t，AQ=4-2t，当PQ∥BC时，AQ APBQ PC=，即422tt-=，解得t=1（3）由（1）可知，E，F运动过程可分为两个阶段当0＜t＜1，如图2，连接BE，作PH⊥AB交AB于点H，作GE⊥AB交AB于点G，∵∠HPG+∠PQH=∠HQP+∠GQE=90°，∵HPG GQE PHQ QGE PQ QE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PHQ ≌△QGE （AAS ）， ∴AH=BQ=2t ，HQ=GE=4-4t ， S=2112(44)4422BQ GE t t t t ⋅=⋅⋅-=-+， 当1≤t≤2，连接BE ，作PH ⊥AB 交AB 于点H ，作GE ⊥AB 交AB 于点G ，同理可证∴△PHQ ≌△QGE （AAS ）， ∴AH=BQ=2t ，HQ=GE=4t -4， S=2112(44)4422BQ GE t t t t ⋅=⋅⋅-=-， ∵S ＞0，∴t≠0，∴S=2244,(01)44,(12)t t t t t t ⎧-+<<⎨-<≤⎩；（4）由（1）知，当F 点在AB 上时，此时t=1，当0＜t≤1．时，当E 、F 至少有一个点在△ABC 的内部；当1＜t≤2时，没有点在内部．【点睛】本题考查了正方形和直角三角形的性质，熟练掌握四边形和三角形性质是解答此题的关键． 24.在平面直角坐标系中，已知抛物线y =x 2-2mx -3m （1）当m =1时，①抛物线的对称轴为直线______，②抛物线上一点P 到x 轴的距离为4，求点P 的坐标 ③当n ≤x ≤12时，函数值y 的取值范围是-154≤y ≤2-n ，求n 的值 （2）设抛物线y =x 2-2mx -3m 在2m -1≤x ≤2m +1上最低点的纵坐标为y 0，直接写出y 0与m之间的函数关系式及m 的取值范围．【答案】(1)①x 1=；②点P 的坐标为()1+或()1-或()1,4-；③n 的值为12；(2)当m 1≤-时，0y m 1=-+；当1m 1-<<时，20y m 3m =--；当m 1≥时，0y 5m 1=-+．【解析】【分析】（1）①根据对称轴公式求出即可；②当2234x x --=和2234x x --=-时，分别求出点P 坐标即可；．抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，所以当x n =时，2y n =-，然后可求得n 值.（2）分情况讨论，当1m ≤-时，当11m -<<时，当1m ≥时，结合抛物线开口方向和对称轴，分别求出对应的0y 与m 之间的函数关系式即可.【详解】解：（1）①x 12b a =-=． ②当m 1=时，2y x 2x 3=--．由题意得：点P 的纵坐标为4±，当2x 2x 34--=时，1x 1=+2x 1=-当2x 2x 34--=-时，12x x 1==．∴点P 的坐标为()14+或()14-或()1,4-．③∵抛物线开口向上，对称轴为直线x 1=， ∴当1n x 2≤≤时，y 随x 的增大而减小． ∴当x n =时，y 2n =-．将()n,2n -代入2y x 2x 3=--得： 2n 2n 32n --=-，1n =(舍)，2n =．∴n 的值为12． (2) 由于抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，当m 1≤-时，0y m 1=-+； 当1m 1-<<时，20y m 3m =--；当m 1≥时，0y 5m 1=-+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键.。
2020年吉林省长春市名校调研中考数学一模试卷含答案
（1）当 B=3 时，求 AE 的长； （2）当 AF 取得最小值时，求折痕 EF 的长； （3）连结 CF，当△FCG 是以 CG 为底的等腰三角形时，直接写出 BG 的长，
4.【答案】C
【解析】解：∵∠C=30°，∠ABC=20°， ∴∠BAD=∠C+∠ABC=50°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF=180°-∠BAD=130°， 故选：C． 依据三角形外角性质，即可得到∠BAD，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF 的度数． 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
故选：A． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集 表示在数轴上即可． 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞， ≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个 ．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
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23. 如图，在平面直角坐标系中，把抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到抛物线 y=（ x-h）2+k，所得抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的 左边），与 y 轴交于点 C，顶点为 M． （1）写出 h、k 的值及点 A、B 的坐标； （2）判断△BCM 的形状，并计算其面积； （3）点 P 是抛物线上的一动点，在 y 轴上存在点 Q，使以点 A、B、P、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形，求点 P 的 坐标．
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如图，该几何体的俯视图是（）A. B. C. D.2.下列事件是随机事件的是（）A. 人长生不老B. 明天是2月30日C. 一个星期有七天D. 2020年奥运会中国队将获得45枚金牌3.已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）A. k＞-B. k＞C. k＜-D. k＜4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，则cos B的值为（）A. B. C. D.5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=50°，则∠BCD的度数为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（）A. FC：FB=1：3B. CE：CD=1：3C. CE：AB=1：4D. AE：AF=1：2．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.点（-2，5）关于原点对称的点的坐标是______．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cos A=，那么AC=______．9.抛物线y=5（x-4）2+3的顶点坐标是______．10.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．11.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知=，则的值为______．12.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为______．13.如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______．14.已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为______．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.计算：sin30°+3tan60°-cos245°．16.如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过A、B两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，tan∠DBC=，且BC=6，AD=4．求cos A的值．18.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点C（-3，12）是抛物线上的另一点，求点C关于对称轴为对称的对称点D的坐标．19.A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？20.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）求CF的长．21.重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．（1）求斜坡AB的坡度i．（2）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）（1）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．23.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．24.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）求三角形DOE的面积；（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．25.已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）．（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？（2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．26.如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于点G．（1）求C，D坐标；（2）已知抛物线顶点y=x-2上，且经过C，D，若抛物线与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和面积的最大值．（3）将（2）中抛物线沿直线y=x-2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：从几何体的上面看可得两个同心圆，故选：D．找到从几何体的上面看所得到的图形即可．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2.【答案】D【解析】解：A、人长生不老是不可能事件；B、明天是2月30日是不可能事件；C、一个星期有七天是必然事件；D、2020年奥运会中国队将获得45枚金牌是随机事件；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】C【解析】解：∵函数y=的图象分别位于第二、四象限，∴3k+1＜0，解得k＜-故选：C．先根据函数y=的图象分别位于第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由于sin A==，∴cos B==故选：C．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查互余的三角函数关系，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=50°，∴∠DAB=90°-50°=40°，∴∠BCD=∠DAB=40°．故选：C．先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴△ECF∽△ADE，∵AD=3CF，A、FC：FB=1：4，错误；B、CE：CD=1：4，错误；C、CE：AB=1：4，正确；D、AE：AF=3：4．错误；故选：C．由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】（2，-5）【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（-2，5）关于原点过对称的点的坐标是（2，-5）．故答案为：（2，-5）．根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．8.【答案】2【解析】解：如图所示．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cos A=，∴cos A==，∴AC=AB=×6=2，故答案为2．利用锐角三角函数定义表示出cos A，把AB的长代入求出AC的长即可．此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．9.【答案】（4，3）【解析】【分析】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．根据顶点式的坐标点直接写出顶点坐标.【解答】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，∴顶点坐标为（4，3）.故答案为（4，3）.10.【答案】k≤1且k≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，∴△=b2-4ac≥0，即：4-4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．11.【答案】【解析】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，∵=，∴=；故答案为：．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出=，再将已知数据代入求出即可．此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出=是解题的关键．12.【答案】y=-【解析】解：连接OA，如图所示．设反比例函数的解析式为y=（k≠0）．∵AB⊥y轴，点P在x轴上，∴△ABO和△ABP同底等高，∴S△ABO=S△ABP=|k|=8，解得：k=±16．∵反比例函数在第二象限有图象，∴k=-16，∴反比例函数的解析式为y=-．故答案为：y=-．连接OA，设反比例函数的解析式为y=（k≠0），根据△ABO和△ABP同底等高，利用反比例函数系数k的几何意义结合△ABP的面积为4即可求出k值，再根据反比例函数在第二象限有图象，由此即可确定k值，此题得解．本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k 的几何意义找出|k|=4是解题的关键．13.【答案】π【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.连接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60°，求出∠DOE=60°，再由弧长公式即可得出答案.【解答】解：连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵OA=OD，OB=OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60°，∴∠DOE=60°，∵OA=AB=3，∴的长==π；故答案为π.14.【答案】（2，-4）【解析】解：∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，∴-=2，∴a=-，∴抛物线的表达式为：y=-x2+x，∴顶点A的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为E．如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=，tan∠EOP=，∵OA⊥OP，∴∠OAE=∠EOP，∴=，∵AE=1，OE=2，∴=，解得PE=4，∴P（2，-4），故答案为：（2，-4）．根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．15.【答案】解：原式=+3×-（）2=+3-=3．【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．16.【答案】解：∵=，∠AOB=∠EOD（对顶角相等），∴△AOB∽△EOD，∴==，∴=，解得AB=111.6米．所以，可以求出A、B之间的距离为111.6米．【解析】先判定出△AOB和△EOD相似，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．17.【答案】解：在Rt△DBC中，∵∠C=90°，BC=6，∴tan∠DBC==．∴CD=8．∴AC=AD+CD=12在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=，∴cos A=．【解析】先解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AC=AD+DC即可求得AC，再由勾股定理得到AB，最后再求cos A的值即可．本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．18.【答案】解：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x-1）2-4，根据题意得：a（3-1）2-4=0解得：a=1．则函数的解析式是：y=（x-1）2-4．（2）设点C关于对称轴为对称的对称点D的横坐标是m，则=1解得：m=5则点D的坐标是（5，12）．【解析】（1）已知顶点，和经过的一个点，利用待定系数法即可求解；（2）关于对称轴为对称的对称点纵坐标相同，横坐标的平均数是对称轴的值，据此即可求解．本题主要考查了待定系数法求函数解析式，理解关于对称轴对称的两点坐标之间的关系是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）P=；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P==，乙获胜的情况有2种，P==，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．【解析】（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20.【答案】（1）证明：∵EF⊥BE，∴∠EFB=90°，∴∠DEF+∠AEB=90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEF=∠ABE，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵AD=12，AE=8，∴DE=4．∵△ABE∽△DEF，∴=，∴DF=，∴CF=CD-DF=6-=．【解析】（1）由同角的余角相等可得出∠DEF=∠ABE，结合∠A=∠D=90°，即可证出△ABE∽△DEF；（2）由AD、AE的长度可得出DE的长度，根据相似三角形的性质可求出DF的长度，将其代入CF=CD-DF即可求出CF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出∠DEF=∠ABE；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度．21.【答案】解：（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，∴BG=DF=5米，∵AB=13米，∴AG==12米，∴AB的坡度i==1：2.4；（2）在Rt△BCF中，BF==，在Rt△CEF中，EF==，∵BE=4米，∴BF-EF═-=4，解得：CF=16．∴DC=CF+DF=16+5=21米．【解析】（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（2）在Rt△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，得到方程BF-EF=-=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．22.【答案】解：（1）△A1BC1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求，C2的坐标为（-6，4）．【解析】（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；（2）作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；本题考查作图-位似变换、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换和旋转变换的性质，所以中考常考题型．23.【答案】（1）证明：连接OE．∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE，∵BF=6，∴BH=3，在Rt△BHO中，OB=5，∴OH==4，∴CE=4．【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH 的长，进而求出CE 的长．24.【答案】解：（1）∵矩形OABC 的顶点B 的坐标是（4，2），E 是矩形ABCD 的对称中心，∴点E 的坐标为（2，1），∵代入反比例函数解析式得=1，解得k =2，∴反比例函数解析式为y =，∵点D 在边BC 上，∴点D 的纵坐标为2，∴y =2时，=2，解得x =1，∴点D 的坐标为（1，2）；（2）∵D 的坐标为（1，2），B （4，2），∴BD =3，OC =2．∵点E 是OB 的中点，∴S △DOE =S △OBD =××3×2=；（3）如图，设直线与x 轴的交点为F ，矩形OABC 的面积=4×2=8， ∵矩形OABC 的面积分成3：5的两部分，∴梯形OFDC 的面积为×8=3， 或×8=5， ∵点D 的坐标为（1，2），∴若（1+OF ）×2=3， 解得OF =2，此时点F 的坐标为（2，0）， 若（1+OF ）×2=5， 解得OF =4，此时点F 的坐标为（4，0），与点A 重合，当D （1，2），F （2，0）时，， 解得， 此时，直线解析式为y =-2x +4，当D （1，2），F （4，0）时，， 解得．此时，直线解析式为y=-x+，综上所述，直线的解析式为y=-2x+4或y=-x+．【解析】（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；（2）根据点D的坐标求出BD的长，再由点E是OB的中点可知S△DOE=S△OBD，由此可得出结论；（3）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论．25.【答案】解：（1）连结AQ、MD，∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，∴3t=3-3t，解得：t=，∴t=s时，四边形AQDM是平行四边形．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AMP∽△DQP，∴=，∴=，∴AM=t，即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）∵MN⊥BC，∴∠MNB=90°，∵∠B=45°，∴∠BMN=45°=∠B，∴BN=MN，∵BM=AB+AM=1+t，在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，∴y=×AP×MN=×3t×（1+t）=t2+t（0＜t＜1）．假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，∴t2+t=×3×，整理得：t2+t-1=0，解得：t1=，t2=（舍去），∴当t=s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．【解析】本题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．（1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；（2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出=，求出AM的值，从而得出在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=（1+t），根据四边形ABCD是平行四边形，得出MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，得出y=×AP×MN，假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，得出t2+t=×3×，最后进行整理，即可求出t的值．26.【答案】解：（1）令y=2，2=x-2，解得x=4，则OA=4-3=1，∴C（4，2），D（1，2）；（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为=，令x=，则y=×-2=，∴顶点坐标为（，），∴设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入得，a=，∴解析式为y=（x-）2+，即，∴M（0，）又∵C（4，2），∴直线CM的解析式为y=过点Q作QH⊥x轴交直线CM于点H设Q（m，m2-m+），则H（m，-m+）∴S△MCQ==所以当m=2时，S△MCQ最大=，此时Q（2，）（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0）∴可设解析式为y=（x-m）2+m-2，①若FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2），代入解析式得+m-2=2m-2，得m=0（舍去），m=-，此时所求的解析式为：y=（x-+）2+3-；②若GE=EF时，FG=2m，则F（0，2m-2），代入解析式得：m2+m-2=2m-2，解得m=0（舍去），m=，此时所求的解析式为：y=（x-）2-；③若FG=FE时，∵平移后抛物线的顶点在y轴右侧，∴∠GEF为钝角，∴此种情况不存在．【解析】（1）先令y=2求出x的值，故可得出OA的长，根据正方形的性质即可得出C、D的坐标；（2）由二次函数对称性得出其顶点坐标，设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入求出a的值，故可得出二次函数的解析式，得出点M的坐标．利用待定系数法求出直线CM的解析式，再根据三角形的面积即可得出结论；（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0），故可设解析式为y=（x-m）2+m-2，再分FG=EG，GE=EF及FG=FE三种情况进行讨论．本题考查的是二次函数综合题，涉及到轴对称的性质、二次函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大．。
2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷 解析版
2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2，0，﹣1，2这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．22．（3分）2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国．将2200万用科学记数法表示为（）A．22×106B．2.2×106C．2.2×107D．0.22×1073．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为（）A．5B．13C．D．5．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED 的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°7．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．3sinα米C．米D．3cosα米8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）分解因式：2a﹣2ab＝．11．（3分）不等式7﹣5x≤2的解集是．12．（3分）如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为度．13．（3分）如图，AB＝4．分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则△ABD的面积是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．16．（6分）小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同．小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．17．（6分）为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．18．（7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP 上，且AC＝CD，延长DC交AB于点E．（1）求证：CA＝CE．（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）19．（7分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．使用次数（次）012345人数（人）11152328203（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是（次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为．（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为．21．（8分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线AB﹣BC表示两车之间的路程y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的路程是km，轿车的速度是km/h．（2）求直线BC所对应的函数表达式（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）之间的函数图象．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CA﹣AB以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）求点A与BC之间的距离．（2）当BP＝2AQ时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ与△ABC的某条边垂直时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣1时，①求此函数图象与y轴交点坐标．②当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为．（2）若已知函数经过点（1，5），求k的值，并直接写出当﹣2≤x≤0时函数y的取值范围．（3）要使已知函数y的取值范围内同时含有±2和±4这四个值，直接写出k的取值范围．2020年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在﹣2，0，﹣1，2这四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．2【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜2，故选：A．2．（3分）2020年4月1日，意大利外长在众议院接受问询时表示，自新冠肺炎疫情暴发以来，意大利总计从海外获得3000万只口罩，其中2200万只来自中国．将2200万用科学记数法表示为（）A．22×106B．2.2×106C．2.2×107D．0.22×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2200万＝22000000＝2.2×107．故选：C．3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，此立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看，所得到的图形即可．【解答】解：该几何体的左视图为故选：D．4．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为（）A．5B．13C．D．【分析】直接利用b2﹣4ac的值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13．故选：B．5．（3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的等量关系是：木长+4.5＝绳长；×绳长+1＝木长，据此可列方程组即可．【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，，故选：A．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠BED 的大小为（）A．80°B．100°C．110°D．105°【分析】由圆周角定理推知∠A＝∠D＝50°，再根据三角形内角和定理求得即可．【解答】解：如图，∵∠A＝50°，∴∠D＝∠A＝50°．又∵∠B＝30°，∴∠BED＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，故选：B．7．（3分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO 的长为3米．若栏杆的旋转∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米B．3sinα米C．米D．3cosα米【分析】根据直角三角形的解法解答即可．【解答】解：栏杆A端升高的高度＝AO•sin∠AOA′＝3sinα（米），故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在函数y＝（x＞0，k＞0）的图象上．若正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标（t+2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，列出t的方程，即可求出k．【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t+2，2），∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6t＝2（t+2），解得t＝1，k＝6．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：＝．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：＝3﹣＝2．故答案为：2．10．（3分）分解因式：2a﹣2ab＝2a（1﹣b）．【分析】直接提公因式2a即可．【解答】解：原式＝2a•1﹣2a•b＝2a（1﹣b），故答案为：2a（1﹣b）．11．（3分）不等式7﹣5x≤2的解集是x≥1．【分析】移项，合并同类项即可求解．【解答】解：7﹣5x≤2，移项得：﹣5x≤2﹣7，则﹣5x≤﹣5．所以x≥1，故答案是：x≥1．12．（3分）如图，OA∥CB，OC∥AB．若∠1＝50°，则∠2的大小为130度．【分析】根据平行线的性质先求出∠O的大小，再根据平行线的性质先求出∠2的大小．【解答】解：∵OC∥AB，∠1＝50°，∴∠O＝50°，∵OA∥CB，∴∠2＝130°．故答案为：130．13．（3分）如图，AB＝4．分别以点A、B为圆心，AB长为半径画圆弧，两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以AB长为半径画圆弧交AC的延长线于点D，连结BD、BC，则△ABD的面积是8．【分析】根据作图过程可得AB＝AC＝BC＝CD＝4，所以三角形ABC是等边三角形，△ABD是直角三角形，进而可求BD的长，最后求出三角形ABD的面积．【解答】解：根据作图过程可知：AB＝AC＝BC＝4，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BC＝CD∴∠D＝∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，∴BD＝4，∴S△ABD＝AB•BD＝4×4＝8．故答案为：8．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为．【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，令y＝0得关于x的方程，解得x的值，则可知点A、点B的坐标及OA、OB的长，再证明△ACO≌△DAE（AAS），从而可用含a的式子表示出DE和BE的长，然后在Rt△BDE中，由勾股定理得出关于a的不等式，则可得a的最小值．【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°，令y＝0得：ax2﹣4ax+3a＝0，解得：x1＝1，x2＝3．∴OA＝1，OB＝3，令x＝0，得：C（0，3a）．∵旋转，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠CAO+∠DAE＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠DAE＝∠ACO，在△ACO和△DAE中，∴△ACO≌△DAE（AAS）．∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a，∴BE＝AE﹣AB＝3a﹣2，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2＝（3a﹣2）2+1≥1．当3a﹣2＝0，即a＝时，BD取得最小值．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（3x﹣1）2﹣x（9x+2），其中x＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：（3x﹣1）2﹣x（9x+2）＝9x2﹣6x+1﹣9x2﹣2x＝﹣8x+1，当x＝时，原式＝﹣8×+1＝﹣3+1＝﹣2．16．（6分）小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同．小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功．用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．【分析】用列表法列举出所有等可能出现的结果，从中找出颜色相同的结果数，进而求出概率．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：由表可知，共有9种等可能出现的结果，其中颜色相同的有5种，∴两人挑战成功的概率为．17．（6分）为支持“抗疫防病”工作，某口罩厂由甲、乙两车间承制防护型口罩．已知乙车间每天生产口罩数量是甲车间每天生产口罩数量的2倍．如果两车间各自生产600万只防护型口罩，乙车间比甲车间少用6天．求甲车间每天生产这种防护型口罩的数量．【分析】设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两车间各自生产600万只防护型口罩时乙车间比甲车间少用6天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲车间每天生产这种防护型口罩x万只，则乙车间每天生产这种防护型口罩2x万只，依题意，得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意．答：甲车间每天生产这种防护型口罩50万只．18．（7分）如图，在⊙O中，AB是直径，AP是过点A的切线，点C在⊙O上，点D在AP 上，且AC＝CD，延长DC交AB于点E．（1）求证：CA＝CE．（2）若⊙O的半径为5，∠AEC＝50°，求的长．（结果保留π）【分析】（1）由切线的性质可得∠BAD＝90°，根据等角的余角相等可证得∠CAE＝∠AEC，从而根据等角对等边可得结论；（2）连接OC，先求得∠AOC＝80°．再利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AP是过点A的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠AED+∠EDA＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠CAE＝∠AEC，∴CA＝CE．（2）连接OC，∵∠AEC＝50°，∠CAE＝∠AEC，∴∠EAC＝50°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAC＝50°，∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠EAC＝80°．∴的长为：＝．19．（7分）近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如表统计表．使用次数（次）012345人数（人）11152328203（1）这天部分出行学生使用共享单车次数的众数是3（次）．（2）求这天部分出行学生平均每人使用共享单车的次数．（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？【分析】（1）根据众数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的公式列式计算即可；（3）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生所占比例即可得．【解答】解：（1）∵使用次数为3次的有28人，次数最多，∴众数为3次，故答案为：3；（2）总人数为11+15+23+28+20+3＝100，（0×11+1×15+2×23+3×28+4×20+5×3）÷100＝2.4（次），答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车2.4次；（3）1500×＝765（人），答：估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有765人．20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图①中以线段AB为腰画一个等腰直角三角形ABC．所画△ABC的面积为．（2）在图②中以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形ABD．（3）在图③中以线段AB为边画一个△ABE，使∠BAE＝90°，其面积为．【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；（2）根据等腰三角形的性质和进行的性质画出图形即可；（3）根据等腰直角三角形的性质和平行线等分线段定理画出图形即可．【解答】解：（1）如图①所示，△ABC即为所求，△ABC的面积为＝，故答案为：；（2）如图②所示，△ABD即为所求；（3）如图③所示，△ABE即为所求．21．（8分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线AB﹣BC表示两车之间的路程y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的路程是150km，轿车的速度是75km/h．（2）求直线BC所对应的函数表达式（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）之间的函数图象．【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所表示的函数表达式；（3）根据题意和函数图象可以中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象．【解答】解：（1）由题意可得，甲乙两地之间的距离是150km，轿车的速度是；（150﹣50×1.8）÷0.8＝75（km/h），故答案为：150，75；（2）点B的纵坐标是：150﹣50×1＝100，∴点B的坐标为（1，100），设线段BC所表示的函数表达式是y＝kx+b，，解得，∴线段BC所表示的函数表达式是y＝﹣125x+225；（3）货车到达乙地用的时间为：150÷50＝3（小时），轿车到达甲地用的时间为：150÷75＝2（小时），因为货车提前1小时出发，所以它们同时到达目的地，货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象如右图所示．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为EF∥AC，EF＝AC．（2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为﹣≤BH≤+．【分析】定理证明：如图①中，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，利用全等三角形的性质证明四边形BDFC是平行四边形即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．直接应用三角形的中位线定理解决问题即可．（2）如图③中，延长CB到T，连接AT，TE′．由三角形的中位线定理可知BH＝TE′，求出TE′的取值范围即可解决问题．【解答】解：定理证明：如图①中，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB，又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC．定理应用：（1）如图②中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝AC，EF∥MN，EF＝MN，∴EF∥AC，EF＝AC．故答案为：EF∥AC，EF＝AC．（2）如图③中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝2，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴2﹣3≤TE′≤2+3，∴﹣≤BH≤+．故答案为：﹣≤BH≤+．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线CA﹣AB以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）求点A与BC之间的距离．（2）当BP＝2AQ时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）当线段PQ与△ABC的某条边垂直时，直接写出t的值．【分析】（1）如图1中，作AD⊥BC于D．利用等腰三角形的三线合一以及勾股定理求解即可．（2）如图2，3中，分点Q在线段AC或线段AB上两种情形分别构建方程求解即可．（3）如图2，3中分点Q在线段AC或线段AB上两种情形分别求解即可．（4）分两种情形：①点Q在线段AC上，考虑PQ⊥AC或PQ⊥求解，②点Q在线段AB上，考虑PQ⊥AB求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作AD⊥BC于D．∴AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，答：点A与BC之间的距离为4．（2）如图2中，当点Q在线段AC上时，∵BP＝2AQ，∴2t＝2（5﹣5t），∴t＝．如图3中，当点Q在线段AB上时，∵BP＝2AQ，∴2t＝2×[5（t﹣1）﹣5]，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．（3）①如图2中，当0＜t≤1时，作QH⊥BC于H，则QH＝CQ•sin C＝4t，S＝•BP•QH＝×2t×4t＝4t2．②当1＜t≤2时，S＝•BP•AD＝×2t×4＝4t．③如图3中，当2＜t＜3时，作QH⊥BC于H，则QH＝BQ•sin B＝[10﹣5（t﹣1）]＝12﹣4t，∴S＝•BP•QH＝×2t×（12﹣4t）＝﹣4t2+12t．综上所述，S＝．（4）①点Q在AC上，当PQ⊥AC时，由cos C＝＝，可得＝，解得t＝，当Q⊥BC时，由cos C＝＝，可得＝，解得t＝＞1不符合题意舍弃．当t＝1.5时，点Q与A重合，点P与D重合，此时PQ⊥BC．②点Q在AB上，当PQ⊥AB时，由cos B＝，可得＝，∴＝，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或1.5或．24．（12分）已知函数y＝（k为常数）．（1）当k＝﹣1时，①求此函数图象与y轴交点坐标．②当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为x≤﹣1或x≥1．（2）若已知函数经过点（1，5），求k的值，并直接写出当﹣2≤x≤0时函数y的取值范围．（3）要使已知函数y的取值范围内同时含有±2和±4这四个值，直接写出k的取值范围．【分析】（1）①把k＝﹣1代入函数关系式，令x＝0求出y的值即可得到结论；②把①中的函数关系式配方成顶点式即可求出结论；（2）根据题意分k＜1和k≥1两种情况求出k的值，再根据当﹣2≤x≤0时求出函数y的取值范围；（3）画出函数图象，运用数形结合法求解即可．【解答】解：（1）当k＝﹣1时，，①当x＝0时，y＝3，∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）；②，x≤﹣1时，y随x的增大而增大；x＞﹣1时，当x≥1时，y随x的增大而增大；综上所述，当x≤﹣1或x≥1时，y随x的增大而增大；故答案为：x≤﹣1或x≥1．（2）当k＜1时，1+2k+k2﹣2k＝5，∴k2＝4，∴k＝﹣2．∴，当x＝﹣2时，y＝﹣4；当﹣2≤x≤0时，y＝（x﹣2）2+4，∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝2，∴当﹣2＜x≤0时，8≤y＜20；②当k≥1时，k2﹣4k+6＝0无实数解；综上：当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是y＝﹣4或8≤y＜20；（3）由题意得，，当k≤0时，则y＝﹣（x﹣k）2+2k（x≤2k），最大值2k≥﹣2，即k≥﹣1，∴﹣1≤k≤0；当0＜k＜2时，即2k＜4，则当x＞k时，y＝（x+k）2﹣2k（x＞k），最小值＜4即可；将x＝k，y＝4代入得4k2﹣2k＝4，解得，，（舍去），∴；当k≥2时，y＝﹣（x﹣k）2+2k（x≤k）最大值2k≥2，如图，此时，图象左右两边最大值不小于4，∴k≥2，综上，或k≥2．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×1033．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．10．因式分解：m2﹣4m+4＝．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为米/分，无人机在40米的高度上飞行了分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．2．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×103【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：42000＝4.2×104，故选：B．3．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．解：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，1，故选：D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选：C．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），sin∠BAC＝，∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．故选：A．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），∴AO：BO＝1：，∵OB：OA＝2，∴a＝﹣4，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解：原式＝2﹣＝．故答案为：．10．因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根可得△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，∴9+8k＝0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．故答案为：30°．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为（16+3）cm．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可．解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点55分时，∠A″OA′＝45°，∴FA″＝3，∴A点距桌面的高度为：16+3（cm）．故答案为：（）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1＝3a2，当a＝时，原式＝3×5＝15．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，列表如下：1271238234978914所以P（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）＝．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为1.4x 元/个，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为 1.4x 元/个，依题意，得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，由切线的性质得到OD⊥BC，则OD∥AC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ODA，由∠ODA＝∠OAD，所以∠CAD＝∠DAE；（2）由（1）知，∠FAE＝50°，由弧长公式可得答案．解：（1）如图，连结OD，∵⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC．∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）如图，连结OF，∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，∴12﹣3＝9，∴∠EOF＝100°，∴的长为．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×＝100（名），答：该部门生产能手有100名工人．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画图即可；（2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；（3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．解：（1）如图①所示，点C即为所求；（2）如图②所示，点M即为所求；（3）如图③所示，点P即为所求．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为20米/分，无人机在40米的高度上飞行了3分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．【分析】（1）利用图象信息，根据速度＝计算即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），分两种情形构建方程即可解决问题；解：（1）无人机上升的速度为＝20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2＝3分．故答案为20，3；（2）设y＝kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，解得，∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+240．（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），由20x﹣60＝50，解得x＝5.5，由﹣20x+240＝50，解得x＝9.5，综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为6．【分析】教材呈现：如图①中，证明△PAC≌△PBC即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．【解答】教材呈现：解：如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）证明：如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（2）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝18，∴DE＝AC＝6．故答案为6．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．【分析】（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．∵∠B＝45°，BC＝4，∴CD′＝BD′＝4，∴AD′＝＝＝3，∵AD＝3，∴AD＝AD′，∴D′与D重合，当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）①如图2中，当点N在AC上时，∵MN∥AD，∴，∴，解得t＝；②如图3中，当点N在BC上时，∵MN∥BD，∴，∴，解得t＝5；综上所述，满足条件的t的值为s或5s．（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣•（3﹣t﹣t）2＝﹣t+；②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，S＝t2﹣6t+9③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t ﹣3）2﹣•[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．综上所述，S＝．（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵JN′∥EK，∴，则，解得t＝1；如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵N′J∥GK，∴，∴，解得t＝；如图10中，当点N′落在中线CF上时，∵MN′∥DF，∴，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．【分析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；（4）通先分段表示出y'，进而确定出最大值，最后用m的范围建立不等式组，即可得出结论．解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1＝2，m＝1∴B（1，2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴k+3＝2，解得：k＝﹣1∴一次函数解析式为y＝﹣x+3②m＜0时，m+1＝﹣2，m＝﹣3∴B（﹣3，﹣2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴﹣3k+3＝﹣2解得：k＝一次函数解析式为y＝x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）∵CD＝DD′，∴2n＝2（﹣n2+4），解得：n＝；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）当﹣1≤x≤0时，y'＝x2﹣n，此时，﹣n≤y'≤1﹣n，当0≤x≤2时，y'＝﹣x2+n，此时，n﹣4≤y'≤n，当n≥1﹣n时，即：n≥，y'的最大值是n，①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤n≤3，当n＜时，y'最大值为1﹣n，②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤1﹣n≤3，∴﹣2≤n≤0，∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0．。
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷（含答案解析）
2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷（含答案解析）2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共12.0分）1.下列计算错误的是()A. (?1)2018=1B. ?3?2=?1C. (?1)×3=?3D. 0×2017×(?2018)=02.下图是⼀个由4个相同的正⽅体组成的⽴体图形，它的左视图是()A. B. C. D.3.计算(x2)2的结果是()A. x2B. x4C. x6D. x84.如图，直线AB//CD，如果∠1=70°，那么∠BOF的度数是()A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°5.如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°6.如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF=90°，则∠D的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，共24.0分）7.近年来，党和国家⾼度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有65000000⼈脱贫，65000000⽤科学记数法表⽰为_______．8.因式分解：2a3?32a=______．=______．9.计算：2√48÷√6?2√2?110.不等式组{x?2≤1x+3>2的解集为______．11.在墙壁上固定⼀根横放的⽊条，则⾄少需要2枚钉⼦，正确解释这⼀现象的数学知识是______．12.如图∠AOB=30°，点C在OB上，OC=8，以点C为圆⼼、R为半径的圆与OA相切，则R=______．13.已知点A(4,x)，B(y,?3)，若AB//x轴，且线段AB的长为5，则xy=______．14.如图，矩形纸⽚ABCD中，AB=6，BC=9，将矩形纸⽚ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为________．三、解答题（本⼤题共12⼩题，共84.0分）15.先化简，再求值：(1a+2?1)÷a2?1a+2，其中a=√3+116.《孙⼦算经》是中国传统数学中最重要的著作，其中记载了这样⼀个问题：“今有⽊，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不⾜⼀尺．问⽊长⼏何？”译⽂：“⽤⼀根绳⼦去量⼀根长⽊，绳⼦还剩余4.5尺，将绳⼦对折再量长⽊，长⽊还剩余1尺，问长⽊长多少尺？”17.⼀个不透明的⼝袋中有三个⼩球，上⾯分别标有数字1，2，3，每个⼩球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个⼩球，记下数字后放回；⼄再从袋中随机取出1个⼩球记下数字．(1)⽤画树形图或列表的⽅法，求取出的两个⼩球上的数字之和为3的概率；(2)求取出的两个⼩球的数字之和⼤于4的概率．18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE⊥CA，且AE=BC，点D在AC上，且AD=AB，求证：DE//AB．19.如图所⽰，在边长为1个单位的正⽅形⽹格中建⽴平⾯直⾓坐标系，△ABC的顶点均在格点上．(1)△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1(2)将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；并直接写出点A2、B2的坐标．20.每年11⽉9⽇为消防宣传⽇，今年“119”消防宣传⽉活动的主题是“全民参与，防治⽕灾”.为响应该主题，吴兴区消防⼤队到某中学进⾏消防演习．图1是⼀辆登⾼云梯消防车的实物图，图2是其⼯作⽰意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地⾯BD的⾼度AH为5.2m.当起重臂AC长度为16m，张⾓∠HAC为130°时，求操作平台C离地⾯的⾼度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)21.某校组织九年级的三个班级进⾏趣味数学竞赛活动，各班根据初赛成绩分别选拔了10名同学参加决赛，决赛成绩(满分：10分)如下表所⽰：班级决赛成绩(单位：分)⼀班55677888910⼆班46777999 10 10三班567789991010(1)把下表补充完整(单位：分)，其中a=______，b=______，c=______；班级平均分中位数众数⼀班7.3a8⼆班7.88b三班c8.59(2)8统计量进⾏说明；(3)为了在全市竞赛中取得好成绩，你认为应选派哪个班级代表学校去参加全市的竞赛？为什么？22.如图1，直线y=kx?2k(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB=2√5．(1)求A、B两点的坐标．(2)如图2，以AB为边，在第⼀象限内画出正⽅形ABCD，并求直线CD的解析式．23.甲、⼄两组同时加⼯某种零件，⼄组⼯作中有⼀次停产更换设备，更换设备后，⼄组的⼯作效率是原来的2倍．两组各⾃加⼯零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所⽰．(1)直接写出甲组加⼯零件的数量y与时间x之间的函数关系式______；(2)求⼄组加⼯零件总量a的值；(3)甲、⼄两组加⼯出的零件合在⼀起装箱，每满300件装⼀箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？24.如图1，直⾓三⾓形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．25. 如图(1)，AB =4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC =BD =3cm.点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图(2)，将图(1)中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB =∠DBA =60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．26. 23.已知⼆次函数y =x 2+bx ?34的图像经过点(2,54).(1)求这个⼆次函数的函数解析式；(2)若抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，顶点为D ，求以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形⾯积．。
2020年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷(附答案详解)
2020年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷1.−5的绝对值是()A. −5B. 5C. 15D. −152.预计到2025年，中国5G用户将超过460000000.将460000000用科学记数法表示为()A. 4.6×109B. 46×107C. 4.6×108D. 0.46×1093.右图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是()A.B.C.D.4.把不等式x+1≤2x−1的解集在数轴上表示，正确的是()A. B.C. D.5.关于x的一元二次方程x2+ax−1=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6.下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：题目测量树顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据AB=10m，α=45°，β=56°设树顶端到地面的高度DC为xm，根据以上条件，可以列出求树高的方程为()A. x=(x−10)cos56°B. x=(x−10)tan56°C. x−10=xtan56°D. x=(x+10)sin56°7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心、大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D和点E，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF.若AC=3，CG=2，则CF的长为()A. 3.5B. 3C. 2.5D. 28.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−2,3)、(0,1)，将线段AB沿x(k≠轴的正方向平移m(m>0)个单位，得到线段A′B′.若点A′、B′都落在函数y=kx 0,x>0)的图象上，则k的值为()C. 3D. 6A. 1B. 329.计算：√12−√3=______．10.分解因式：x3−16x=______．11.如图，点D是△ABC的边BA延长线上一点，AE//BC.若∠DAC=110°，∠B=70°，则∠EAC的大小为______度．12.如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为______ m.13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴、y轴于A、B两点，将线段AB绕着点B逆时针方向旋转90°，点A落在点A′处，则点A′的坐标为______．14.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______ 米．15.以下是小鹏化简代数式(a−2)2+(a+1)(a−1)−2a(a−3)的过程．解：原式=a2−2a+4+a2−1−2a2+6a…………………………①=(a2+a2−2a2)+(−2a+6a)+(4−1)…………………………②=4a+3.………………………………………………………………③(1)小鹏的化简过程在第______ 步开始出错，错误的原因是______ ．(2)请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当a=−1时代数式的值．416.在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5，这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17.供电局的电力维修工人要到30千米远的郊区进行电力抢修.维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．18.图①、图②均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上.要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图①中画线段CD，满足CD⊥AB于点D．(2)在图②中的线段AC上找到一点M，满足S△ABC=4S△BCM.(保留确定点M的画图痕迹)19.如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、点C的切线，且∠BDC=110°，连接AC．(1)求∠A的度数；(2)若⊙O的直径为6，求BC⏜的长.(结果保留π)20.第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行.为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息．Ⅰ.七年级20名学生成绩的频数分布表如下：七年级学生样本成绩频数分布表成绩m(分)频数(人数)50≤m<60160≤m<70270≤m<80380≤m<90890≤m≤1006合计20Ⅱ.七年级20名学生成绩在80≤m<90这一组的具体成绩是：8788888889898989Ⅲ.七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：平均数中位数众数七年级84n89八年级84.28585根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)表中n的值为______ ．(2)在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．(3)七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数．21.李师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示油箱中剩余油量为4升．已知汽车行驶时每小时的耗油量一定．设油箱中剩余油量为y(升)，汽车行驶时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．(1)求李师傅加油前y与x之间的函数关系式．(2)求a的值．(3)求李师傅在加油站的加油量．22.教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=4，∠BAD=2∠ABC.过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．(1)如图②，连接OE，则OE的长为______ ．(2)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连接PC、PE，则PC+PE的最小值为______ ．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD为斜边AB的中线.点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向终点B运动.过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，得到矩形PECF，CD与矩形PECF的一边交于点G，连接PC.设点P 的运动时间为t秒．(1)求线段CF的长.(用含t的代数式表示)(2)当t=1时，求线段PG的长．2(3)当点P不与点A、B、D重合时，设矩形PECF与△PCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．(4)在点P出发的同时，点Q从点D出发，沿DC−CD以每秒6个单位的速度向终点D运动.当点Q在矩形PECF内部时，直接写出t的取值范围．x2+nx+1(x≥0)，其中n为常数24.在平面直角坐标系中，已知函数y=−12(1)当n>0时，求这个函数图象的顶点坐标.(用含n的代数式表示)(2)当y的最大值为1时，且|n|≤2，求整数n的值．x2+nx+1(x≥0)的图象只有一个公共点时，(3)当直线y=n+2与函数y=−12求n的取值范围．(4)设点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上.已知点A的坐标为(0,2n)，以OA为边x2+nx+1(x≥0)的图象与正方形OACB的边有两作正方形OACB.当函数y=−12个公共点时，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−5的绝对值是5，故选：B．根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可．此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其．中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将460000000用科学记数法表示为4.6×108．故选：C．3.【答案】D【解析】解：从正面看有两层，底层三个正方形，上层左边一个正方形，左齐．故选：D．根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．4.【答案】A【解析】解：由x+1≤2x−1，得：x≥2，故选：A．根据不等式解集的表示方法，可得答案．本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．5.【答案】B【解析】解：△=a2−4×1×(−1)=a2+4．∵a2≥0，∴a2+4>0，即△>0，∴方程x2+ax−1=0有两个不相等的实数根．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=a2+4>0，由此即可得出方程x2+ax−1=0有两个不相等的实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵∠DAC=45°，∴AC=CD=xm，∵AB=10m，∴BC=(x−10)m，∴tan56°=CD，BC∴x=(x−10)tan56°，故选：B．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：由作图可知，DF 垂直平分线段BC ，∴CG =GB =2，DF ⊥BC ，FC =FB ，∴∠FGB =∠ACB =90°，∴AF =FB ，∴GF =12AC =32， ∴FB =√FG 2+GB 2=√(32)2+22=52，∴FC =FB =52， 故选：C ．由作图可知，DF 垂直平分线段BC ，推出CF =BF ，利用勾股定理求出BF 即可解决问题．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8.【答案】C【解析】解：∵点A(−2,3)沿x 轴的正方向平移m(m >0)个单位得到点A′，∴点A′的坐标为(m −2,3)．同理，可得出：点B′的坐标为(m,1)．将A′(m −2,2)，B′(m,1)代入y =k x ，得：{3=k m−21=k m， 解得：k =3，故选：C ．利用平移的性质，可用含m 的代数式表示点A′，B′的坐标，根据点A′，B′的坐标，利用待定系数法可得出关于m ，k 的方程组，解之即可得出结论．本题考查了坐标与变换、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用平移的性质，找出点A′，B′的坐标．9.【答案】√3【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．先化简√12=2√3，再合并同类二次根式即可．【解答】解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．10.【答案】x(x+4)(x−4)【解析】解：原式=x(x2−16)=x(x+4)(x−4)，故答案为：x(x+4)(x−4)．原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.【答案】40【解析】解：∵AE//BC，∴∠DAE=∠B=70°，∴∠EAC=∠DAC−∠DAE=110°−70°=40°．故答案为：40．由AE//BC，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠DAE的度数，结合∠EAC=∠DAC−∠DAE，即可求出∠EAC的大小．本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．12.【答案】4.5【解析】解：如图：∵CD//AB，∴△ECD∽△EBA，∴CD：AB=CE：BE，∴1.8：AB=2：5，∴AB=4.5m．答：路灯灯泡距地面的高度为4.5m．根据题意，可将原题转化如下图所示的几何模型，可得△ECD∽△EBA，利用相似三角形的性质，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度即可．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度．13.【答案】(4,6)【解析】解：过A′点作A′E⊥x轴，于点E，作BD⊥A′E，∵一次函数y=−2x+4的图象与坐标轴分别交于B、A两点，∴y=0，即0=−2x+4，∴x=2，∵A点坐标为：(2,0)，∴B点坐标为：(0,4)，∵旋转前后图形全等，∴BD=BO=4，A′D=AO=2，DE=BO=4，∴A′E=6，∴点A′的坐标是：(4,6)．故答案为(4,6)．根据一次函数y=−2x+4的图象与坐标轴分别交于B、A两点，得出B，A两点坐标，再画出旋转后的图形位置，根据图形求解．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴交点求法以及涉及图形旋转，根据旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．14.【答案】0.5【解析】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5)，B(2,2.5)，C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A、B、C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解之得a=2，b=−4，c=2.5．∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5．∵2>0∴当x=1时，y=0.5米．∴故答案为：0.5米．根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．15.【答案】①完全平方公式运用错误【解析】解：(1)小鹏在第①步开始出错，(a−2)2≠a2−2a+4，错误的原因是完全平方公式运用错误．故答案为：①，完全平方公式运用错误．(2)(a−2)2+(a+1)(a−1)−2a(a−3)=a2−4a+4+a2−1−2a2+6a=2a+3．∴当a=−14时，原式=2×(−14)+3=52．(1)从第①步开始核对计算结果，可发现错在−2a，即完全平方公式运用错误；(2)将原式按照完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的法则展开并合并同类项，再将a=−14代入计算即可．本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键．16.【答案】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为5，所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率=59．【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．17.【答案】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：30x −301.5x=1560，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：摩托车的速度为40千米/小时．【解析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用15分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求．(2)如图，点M即为所求．【解析】(1)取格点E，作直线CE交AB于点D，线段CD即为所求．(2)取格点J，K，连接JK交AC于点M，连接BM，点M即为所求．本题考查作图−应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)连接OC，∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD=∠OBD=90°，∵∠BDC=110°，∴∠BOC=360°−∠OCD−∠BDC−∠OBD=70°，∴∠A=12∠BOC=35°；(2)∵⊙O的直径为6，∴OC=OB=3，∵∠BOC=70°，∴BC⏜的长=70⋅π×3180=7π6．【解析】(1)首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案；(2)由(1)可知∠BOC=70°，圆的半径为3，利用弧长公式计算即可．此题考查了切线的性质、弧长公式的运用以及圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20.【答案】88.5【解析】解：(1)由表格中的数据可得，n=(88+89)÷2=88.5，故答案为：88.5；(2)在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级，理由：∵七年级中位数是88.5，87<88.5，∴如果该学生在七年级，排名是后10名，不合题意；∵八年级中位数是85，85<87，∴如果该学生在八年级，排名是前10名，符合题意；由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级；(3)180×8+620=126(人)，答：七年级成绩优秀的学生有126人．(1)根据表格中的数据，可以求得n 的值；(2)根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明理由；(3)根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数．本题考查中位数和众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．21.【答案】解：(1)设加油前函数关系为y =kx +b(k ≠0)，把(0,28)和(1,20)代入，得{b =28k +b =20， 解得：{k =−8b =28故李师傅加油前y 与x 之间的函数关系式为：y =−8t +28；(2)当y =4时，−8a +28=4；解得：a =3；(3)设在加油站的加油量x 升，则28+x −34=8×5，解得：x =46，答：李师傅在加油站的加油量为46升．【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；(2)将y =4代入，得出a 的值；(3)根据汽车的耗油量以及剩余油量和加油量之间关系得出等式求出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键．22.【答案】2√7 4√3【解析】解：教材呈现：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD//BC ，AB =BC ，∴∠BAD +∠B =180°，∵∠BAD =2∠B ，∴∠B=60°，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形；(1)由教材呈现可知，∠ABC=60°，∠BAD=120°，△ABC为等边三角形，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠DAC=60°，∠ADB=∠CDB=30°，∴OD=AD⋅sin∠DAC=2√3，∵AD//BC，DE//AC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=4，∠ADE=180°−∠DAC=120°，∴∠ODE=90°，∴OE=√OD2+DE2=2√7；(2)∵四边形ABCD为菱形，∴点C与点A关于BD对称，连接AE交BD于P，则PC+PE最小，且PC+PE=AE，∵△ADC和△EDC是等边三角形，∴AE=2×4×sin60°=4√3，故答案为：(1)2√7；(2)4√3．教材呈现：根据平行线的性质得到∠BAD+∠B=180°，根据题意求出∠B=60°，根据等边三角形的判定定理证明结论；(1)解直角三角形求出OD，根据平行四边形的性质得到DE=AC=4，证明∠ODE=90°，根据勾股定理计算即可；(2)连接AE交BD于P，根据轴对称最短路径问题得到PC+PE的最小值为AE，根据等边三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定和性质、轴对称−最短路径问题，掌握菱形的性质、轴对称的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1中，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=6，CB=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵四边形PECF是矩形，∴PE//BC，PE=CF，∴APAB =PEBC，∴5t10=PE8，∴PE=4t，∴CF=4t．(2)如图1中，∵t=12，∴AP=12×5=52，∵AD=DB=12AB=5，∴PA=PD，∵PG//AC，∴DG=GC，∴PG=12AC=3．(3)如图2中，当0<t<1时，重叠部分是△PCG．S =12⋅PG ⋅CF =12⋅(6−6t)⋅4t =−12t 2+12t ．如图3中，当1<t <2时，重叠部分是△PCG ．S =12⋅PG ⋅EC =12⋅(8t −8)⋅(6−3t)=−12t 2+36t −24． 综上所述，S ={−12t 2+12t(0<t <1)−12t 2+36t −24(1<t <2)．(4)如图4−1中，当点Q 从D →C 的运动过程中，Q 与G 相遇时，则有：DQ =DG =DP ，可得6t =5−5t ，解得t =511．如图4−2中，当点Q 从C →D 的运动过程中，Q 与G 相遇时，则有DQ =DG =DP ，可得：10−6t =5t −5，解得t =1511，观察图象可知，当511<t <1511时，点Q 在矩形PECF 内部．【解析】(1)求出PE，利用矩形的性质解决问题即可．(2)证明此时PG是△ACD的中位线即可解决问题．(3)分两种情形：如图2中，当0<t<1时，重叠部分是△PCG.如图3中，当1<t<2时，重叠部分是△PCG.分别利用三角形的面积公式求解即可．(4)求出两种特殊情形点Q与G相遇的时间即可判断．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)y=−12x2+nx+1=−−12(x−n)2+12n2+1，∴当n>0时，顶点坐标为(n,12n2+1).(2)当对称轴在y轴右侧即n>0时，y最大值=12n2+1>1，当对称轴时y轴或y轴左侧即n≤0时，y最大值=1，∵|n|≤2且n是整数，∴n=0或−1或−2．(3)当n>0时，直线与二次函数的交点即是抛物线的顶点，12n2+1=n+2，如图①，解得：n1=1−√3(舍去)，n2=1+√3，当n≤0时，满足n+2≤−1得n≤−1，如图②，∴n≤−1或n=1+√3．(4)当两个交点都在AC上时，如图③，则经过C点(2n,2n)，得2n=−−12(2n)2+2n2+ 1，∴n=12，当一个交点在OA上，一个交点在BC上时，如图④，则顶点在AC之下，且抛物线顶点在(n,2n)下方，即：12n2+1<2n,得2−√2<n<2+√2当交点分别在OB和BC上时，则n<0，且抛物线当x=2n时，函数值y<0，如图⑤，即：−−12(−2n)2+n⋅(−2n)+1<0，∴n<−12或n>12(与n<0矛盾，舍去)，综上所述，n的取值范围是n=12或2−√2<n<2+√2ℎ或n<−12．【解析】(1)把函数y=−12x2+nx+1配方成顶点式即可求得．(2)分两类情况讨论：当n>0时，y最大值=12n2+1>1，不符合题意，当n≤0时，y最大值=1，结合|n|≤2，即可求出n的值．(3)分两类情况讨论：当n>0时，交点即是抛物线的顶点，当n≤0时，满足n+2≤1即可．(4)用数形结合的思想，看两个交点在哪些边上，找出临界位置，分类讨论，结合点的坐标即可求出n的取值范围．本题考查了数形结合思想的综合运用，一元二次不等式的解法，二次函数的顶点坐标，开口等与字母的关系，特别注意抛物线中字母系数的取值与图像的关系．。
2020年吉林省长春市名校调研中考数学一模试卷含答案
中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（）A. -6B. 6C. 0D. 无法确定2.下列标志是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（ ）A. a2•a3=a6B. 3a2-a2=2C. a6÷a2=a3D. （-2a）2=4a24.如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）A. ∠GDH+∠DHE=180°B. ∠FEB+∠GCE=180°C. ∠BAD=∠ADGD. ∠GCE=∠AEF5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，将△ABC折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是（ ）A.B. 2C.D.6.用白铁皮做罐头盒．每张铁皮可制盒身16个，或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮，设有x张用于制盒身，y张用于制盒底，能使盒身和盒底配套，依题意可列的方程组及该方程组的解正确的是（ ）A. B.C. D.7.小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A 在一条直线上），量得ED=2米，DB=4米，CD=1.5米，则电线杆AB长为（ ）A. 2米B. 3米C. 4.5米D. 5米8.如图，A（1，y1）、B（-2，y2）是双曲线y=上的两点，且y1+y2=1．若点C的坐标为（0，-1），则△ABC的面积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.科学家在实验室中检测出某种微生物的直径约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示是______．10.计算：×=______．11.分解因式：2x2-4x=______．12.若关于x的一元二次方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，则m的值是______．13.如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连结CD，AD，则∠ADC的度数是______．14.如图，已知MA=MB，那么数轴上点A所表示的数是______．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）15.先化简，再求值：（x-2y）2-（x+y）（3x-y）-5y2，其中x=-2，y=1．16.2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得与观光船航向的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）四、解答题（本大题共8小题，共63.0分）17.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）18.学校广播站要招聘一名播音员，擅长诵读的小龙想去应聘，但是不知道是否符合应聘条件，于是在微信上向好朋友亮亮倾诉，如图是他们的部分对话内容．面对小龙的问题，亮亮也犯了难．聪明的你用所学方程知识帮小龙准确计算一下，他是否符合学校广播站应聘条件？19.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH=3，AB=8，BO=10．求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长（结果保留根号）．20.学习成为现代城市人的时尚，我市图书馆吸引了大批读者，有关部门统计了2018年第一季度到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图如下：（1）在统计的这段时间内，共有______万人到市图书馆阅读，其中商人所占百分比是______．（2）将条形统计图补充完整．（3）若今年4月到市图书馆的读者共28000名，估计其中约有多少名职工．21.如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y甲（厘米），y乙（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC表示______槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示______槽中的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是______．（2）当0≤x≤4时，分别求出y甲和y乙与x之间的关系式；（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？（4）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（5）若乙槽中铁块的体积为112立方米（壁厚不计），求甲槽底面积______（直接写出结果）．22.如图，在菱形四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动点（不与点B重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接CE、BE．（1）问题发现如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为______；∠ECB=______°．（2）拓展探究如图2，当点P在线段BO延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）问题解决当∠BEC=30°时，请直接写出线段AP的长度．23.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+n与抛物线y=ax2+bx+3相交子点A（-5，-7）、B（5，c），点C、D在直线AB上，且点D在点C的右侧，过点C、D分别作CF、DE平行于y轴交抛物线于点F、E，以点C、D、E、F为顶点的多边形记作图形M，其面积为S，设点C的横坐标为m，点D的横坐标为m+2，当-5＜m＜5时，解答下列问题：（1）求直线与抛物线所对应的函数关系式；（2）求s与m的函数关系式；（3）当M为中心对称图形时，求m的值；（4）将M沿直线AB翻折，E、F两点的对应点为E′、F′，请直接写出C、D、E、F四个点中有且只有两个点同时落在第四象限时m的取值范围．24.如图，平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴、y轴于点A、C，直线BC与直线AC关于y轴对称，动点D从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，当点D出发后，过点D作DE∥BC交折线A-O-C于点E，以DE为边作等边△DEF，设△DEF与△ACO重叠部分图形的面积为S，点D运动的时间为t 秒．（1）写出坐标：点A（______），点B（______），点C（______）；（2）当点E在线段AO上时，求S与t之间的函数关系式；（3）求出以点B、E、F为顶点的三角形是直角三角形时t的值；（4）直接写出点F运动的路程长为______．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数定义确定出B表示的数即可．此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．【解答】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数为-6，∴点B表示的数为6，故选：B．2.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3.【答案】D【解析】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、3a2-a2=2a2，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（-2a）2=4a2，正确．故选：D．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】A【解析】解：根据∠GDH+∠DHE=180°，不能得到AB∥CD，故A选项不能判定；根据∠FEB+∠GCE=180°，∠FEB=∠AEC，可得∠AEC+∠GCE=180°，进而得到AB∥CD，故B选项能判定；根据∠BAD=∠ADG，可得AB∥CD，故C选项能判定；根据∠GCE=∠AEF，可得AB∥CD，故D选项能判定；故选：A．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5.【答案】D【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8∴AC=6∵D是AC中点∴AD=CD=3∵折叠∴DF=BF∴设BF=x，则CF=8-x在Rt△DCF中，DF2=CD2+CF2∴x2=9+（8-x）2∴x=∴BF=故选：D．根据题意可得：CD=3，在Rt△DCF中，根据勾股定理可列方程，解方程可得BF的长．本题考查了翻折问题，勾股定理的运用，关键是通过勾股定理列出方程．6.【答案】C【解析】[分析]设用制盒身的铁皮为x张，用制盒底的铁皮为y张，根据铁皮共15张且制作的盒底的数量为盒身数量的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入16x中即可求出结论．[详解]解：设用制盒身的铁皮为x张，用制盒底的铁皮为y张，根据题意得：，解得：，所以盒身的铁皮为9张，用制盒底的铁皮为6张.故选：C．[点评]本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴ED：EB=CD：AB，∴2：6=1.5：AB，∴AB=4.5米．答：电线杆AB长为4.5米．故选：C．根据题意求出△ECD∽△EBA，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．本题主要考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出电线杆的高．8.【答案】C【解析】解：（1）∵A（1，y1）、B（-2，y2）是双曲线y=上的两点，∴y1=k，y2=-，∵y1+y2=1∴k-=1∴k=2∴双曲线的解析式：y=∵A（1，y1）、B（-2，y2）是双曲线y=上两点，∴点A（1，2），点B（-2，-1）∵点C（0，-1）∴BC∥x轴∴S△ABC=×2×3=3，故选：C．将点A，点B代入解析式，再根据y1+y2=1，可求双曲线y=的解析式，将点A，点B代入解析式，可求点A，点B坐标，则可得BC∥x轴，根据三角形面积公式可求△ABC的面积．本题考查了反比例函数的性质，用待定系数法求解析式，熟练掌握图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．9.【答案】3.5×10-6【解析】解：将0.0000035用科学记数法表示是3.5×10-6．故答案为：3.5×10-6．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10.【答案】【解析】解：原式==．故答案为：．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握运算法则是解题关键．11.【答案】2x（x-2）【解析】解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．12.【答案】4【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4×1×（m-3）=0，即4-m=0，解得m=4．故答案是：4．由于关于x的一元二次方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．13.【答案】20°【解析】解：连接OC．∵=，∴∠AOB=∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故答案为20°根据等弧所对的圆周角相等，求出∠AOC即可解决问题．本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】1-【解析】解：根据题意，由勾股定理得：MB==，∴MA=MB=，∴A到原点的距离是-1，∵A在原点左侧，∴点A所表示的数是1-．故答案为：1-．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段MB的长度，得出MA的长度，求出点A与原点的距离，即可得出数轴上点A所表示的数．此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系、勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．15.【答案】解：原式=x2-4xy+4y2-（3x2-xy+3xy-y2）-5y2=x2-4xy+4y2-3x2+xy-3xy+y2-5y2=-2x2-6xy，当x=-2，y=1时，原式=-2×（-2）2-6×（-2）×1=4．【解析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：在Rt△DPA中，∵tan∠DPA=，∴AD=PD•tan∠DPA，在Rt△DPB中，∵tan∠DPB=，∴BD=PD•tan∠DPB，∴AB=BD-AD=PD•（tan∠DPB-tan∠DPA），∵AB=5.6，∠DPB=53°，∠DPA=18°，即5.6=（tan53°-tan18°）•PD，∴PD==5.6，则此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【解析】在直角三角形DPA中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形DPB 中，利用锐角三角函数定义表示出BD，由DB-AD表示出AB，进而求出所求即可．此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．17.【答案】解：画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”）=，答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．【解析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．18.【答案】解：设小龙每分钟读x个字，小龙奶奶每分钟读（x-50）个字，根据题意，得：=，解得：x=260，经检验，x=260是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．∵学校广播站招聘条件是每分钟250-270字，∴小龙符合学校广播站应聘条件．【解析】设小龙每分钟读x个字，小龙奶奶每分钟读（x-50）个字，根据奶奶读了1050个字和小龙读1300个字的时间相同，列出关系式即可得出答案．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．19.【答案】解：（1）∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，OA===6，即圆的半径为6；（2）∵OH⊥AC，∴CH=AH，∴AC=2AH，∵AH===3，则：AC=6．【解析】（1）在Rt△OAB中，利用勾股定理，即可求解；（2）在Rt△OAH中，利用勾股定理求AH的长度，即可求解．本题利用了切线的性质和勾股定理解决问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】（1）16，12.5% ；（2）职工的人数为16-（4+2+4）=6（万人），补全条形图如下：（3）估计其中职工人数为28000×=10500（人）．【解析】解：（1）这段时间，到图书馆阅读的总人数为4÷25%=16（万人），其中商人所占百分比为×100%=12.5%，故答案为：16，12.5%；（2）职工的人数为16-（4+2+4）=6（万人），补全条形图如下：（3）估计其中职工人数为28000×=10500（人）．（1）用学生数除以其所占的百分比即可得到总人数，然后用商人数除以总人数即可得到商人所占的百分比；（2）根据各职业人数之和等于总人数可得职工的人数，据此可补全图形；（3）用总人数乘以职工占总人数的百分比即可得到职工人数．本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．21.【答案】（1）乙，甲，乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米 60（cm2）；（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y甲=k1x+b1，y乙=k2x+b2，∵AB经过点（0，2）和（4，14），DE经过（0，12）和（6，0）∴，解得，，解得：，∴当0≤x≤4时，y乙和y甲与x之间的解析式分别为y乙=3x+2和y甲=-2x+12，（3）当y甲=y乙时，即3x+2=-2x+12，解得x=2，∴当2分钟时两个水槽水面一样高；（4）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm，即1分钟上升3cm ，当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm，即1分钟上升2.5cm，设铁块的底面积为acm2，则乙水槽中不放铁块的体积分别为：2.5×36cm3，放了铁块的体积为3×（36-a）cm3，∴1×3×（36-a）=1×2.5×36，解得a=6，∴铁块的体积为：6×14=84（cm3）．（5）60（cm2）.【解析】解：（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；故答案为：乙，甲，乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）见答案；（3）见答案；（4）见答案；（5）∵铁块的体积为112cm3，∴铁块的底面积为112÷14=8（cm2），可设甲槽的底面积为m，乙槽的底面积为n，则根据前4分钟和后2分钟甲槽中流出的水的体积和乙槽中流入的水的体积分别相等列二元一次方程组，∵“匀速注水”，没过铁块前和没过铁块后注水速度未变，则总水体积不变∴，解得：m=60（cm2），故甲槽底面积为60（cm2）．故答案为：60（cm2）．【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）根据题意分别求出两个水槽中y与x的函数关系式即可；（3）令y相等即可得到水位相等的时间；（4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；（5）根据题意列方程组即可得到结论．本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．22.【答案】（1）问题发现BP=CE，90；（2）拓展探究结论仍然成立，如图，连接AE，由（1）可知：△AEP，△ABC都是等边三角形，∴AE=AP，AB=AC，∠EAP=∠BAC=60°，∴∠EAC=∠BAP，且AE=AP，AB=AC，∴△AEC≌△APB（SAS）.∴EC=BP，∠ABP=∠ACE=30°,∴∠ECB=∠ACE+∠ACB=90°.∴结论仍然成立；（3）问题解决如图，当点E在AC左侧时，∵∠BEC=30°，∠ECB=90°，∴∠EBC=60°，且∠ABC=60°，∴BE与AB重合，∵AB=BC=4，∠BEC=30°，∠ECB=90°，∴BE=2BC=8，∴AE=BE-AB=4，∴△APE是等边三角形，∴AP=AE=4（此时点P与点D重合），如图，若点E在AC右侧时，∵∠BEC=30°，∠ECB=90°，∴∠EBC=60°，∵∠DBC=30°，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=90°，∵BC=AB=4，∠EBC=90°，∠BEC=30°，∴BE=2BC=8，CE=BC=4，∵BP=CE，∴BP=4，在Rt△BEP中，EP==4，∵△APE是等边三角形，∴AP=PE=4，综上所述：AP的长为4或4.【解析】解：（1）问题发现如图，连接AE，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，∠ABD=∠ABC=30°，AO=CO，∴BD垂直平分AC，∴AE=CE，∵旋转∴AP=EP，∠APD=60°，∴△AEP是等边三角形∴AP=AE，∠EAP=60°∵∠APD=∠ABD+∠PAB∴∠PAB=60°-30°=30°∴AP=PB∴AP=PB=AE=EC∵AB=BC，∠ABC=60°∴∠ACB=60°∵△AEP是等边三角形，AC⊥BD，∴∠EAO=30°，∵AE=EC∴∠ECO=∠EAO=30°，∵∠ECB=∠ECO+∠ACB∴∠ECB=90°故答案为：BP=EC，90°（2）见答案；（3）见答案.【分析】（1）问题发现连接AE，根据菱形的性质可得AC⊥BD，∠ABD=∠ABC=30°，AO=CO，根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，由旋转的性质可得△AEP是等边三角形，可得AP=AE，∠EAP=60°，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定，可证AP=PB=AE=EC，由菱形的性质可得∠ACB=60°，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠ACE=30°，即可得∠ECB=90°；（2）拓展探究由等边三角形的性质可得AE=AP，AB=AC，∠EAP=∠BAC=60°，可得∠EAC=∠BAP，根据“SAS”可证△AEC≌△APB，可得EC=BP，∠ABP=∠ACE=30°，即可得∠ECB=90°；（3）问题解决分点E在AC左侧，点E在AC右侧两种情况讨论，根据直角三角形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求点P的坐标．本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．23.【答案】解：（1）∵直线y=x+n经过点A（-5，-7），B（5，c），∴-7=-5+n，∴n=-2．∴c=5-2=3，∴直线解析式为y=x-2．把A（-5，-7），B（5，3）代入y=ax2+bx+3得到解得，∴抛物线解析式为y=-x2+x+3．（2）①当-5＜m≤3时，∵点C横坐标为m，∴C（m，m-2），D（m+2，m），F（m，-m2+m+3），E[m+2，-（m+2）2+（m+2）+3]，∴FC=-m2+m+3-（m-2）=-m2+5，ED=-（m+2）2+5，∴S=×2×[-m2+5-（m+2）2+5]=-m2-m+．②当3＜m＜5时，S=S=×2×[-m2+5+（m+2）2-5]=m+（3）①当-5＜m≤3时，当M为平行四边形时，M为中心对称图形，∴CF=DE，∴-m2+5=-（m+2）2+5，解得m=-1．②当3＜m＜5时，可得-m2+5=（m+2）2-5，解得m=-1+2或-1-2（舍弃），综上所述，m=-1或-1+2．（4）如图1中，当点F′落在y轴上时，因为C（m，m-2），则F（m，-m2+m+3），∵CF=CF′，∴-m=-m2+m+3-（m-2），解得：m=或（舍弃），如图2中，当点D在y轴上时，m+2=0，m=-2，如图3中，当点D在x轴上时，m+2=2，m=0，如图4中，当点C在x轴上时，m=2，综上所述，当C、D、E′、F′四个点中有且只有两个点同时落在第四象限时m的取值范围为＜m≤-2，或0＜m＜2．【解析】（1）由直线y=x+n经过点A（-5，-7），B（5，c），求出n，c，把A（-5，-7），B（5，3）代入y=ax2+bx+3解方程组即可．（2）分两种情形讨论：求出FC、ED，根据梯形的面积公式计算即可．（3）分两种情形讨论：当M为平行四边形时，M为中心对称图形，由CF=DE，列出方程计算即可．（4）分别求出当点F′落在y轴上时（如图1中），m的值；当点D在y轴上时（如图2中），m的值；当点D在x轴上时（如图3中），m的值；当点C在x轴上时（如图4中），m的值，由此即可解决问题．本题考查二次函数的综合题、翻折变换、一次函数．梯形的面积公式等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，学会可以特殊位置考虑问题，找到问题的突破口，属于中考压轴题．24.【答案】（1）-4，0 ； 4，0； 0，4；（2）Rt△ACO中，tan∠CAO===，∴∠CAO=60°，∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAO=60°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=2t，当点F在OC上时，如图1，∵∠AED=∠DEF=60°，∴∠OEF=30°，∵∠EOF=90°，∵EF=DE=AD=2t，∴OE=EF=t，∵AO=AE+OE=2t+t=4，t=，①当0＜t≤时，点E在线段OA上，△DEF与△ACO重叠部分图形是△DEF，如图2，S=•（2t）2=；（5分）②当＜t≤2时，如图3，△DEF与△ACO重叠部分图形是四边形DEGH，∵AE=2t，OE=4-2t，Rt△EOG中，∠EGO=30°，∴OG=OE=（4-2t），∴GH=OH-OG=t-=3t-4，Rt△FHG中，∠HGF=30°，∴FH==3t-4，∴S=S△DEF-S△GHF，=-，=-t-8；（7分）（3）①如图4，当0＜t≤2时，∠EFB=90°，∠FBE=30°，∴BE=2EF=2AD，则8-2t=4t，t=；（9分）②如图5，当2＜t＜4时，E在y轴上，∠FEB=90°，∠FBE=30°，∵∠ABC=60°，∴∠EBO=30°，∵OB=4，∴OE=，BE=，∴EF=，BF=，∵BF=AD，∴2t=，t=，（11分）综上，t的值是秒或秒；（4） 4+4 .【解析】解：（1）x=0时，y=4，∴C（0，4），当y=0时，x+4=0，x=-4，∴A（-4，0），∵直线BC与直线AC关于y轴对称，∴B（4，0），故答案为：-4，0；4，0；0，4；（3分）（2）Rt△ACO中，tan∠CAO===，∴∠CAO=60°，∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAO=60°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=2t，当点F在OC上时，如图1，∵∠AED=∠DEF=60°，∴∠OEF=30°，∵∠EOF=90°，∵EF=DE=AD=2t，∴OE=EF=t，∵AO=AE+OE=2t+t=4，t=，①当0＜t≤时，点E在线段OA上，△DEF与△ACO 重叠部分图形是△DEF，如图2，S=•（2t）2=；（5分）②当＜t≤2时，如图3，△DEF与△ACO重叠部分图形是四边形DEGH，∵AE=2t，OE=4-2t，Rt△EOG中，∠EGO=30°，∴OG=OE=（4-2t），∴GH=OH-OG=t-=3t-4，Rt△FHG中，∠HGF=30°，∴FH==3t-4，∴S=S△DEF-S△GHF，=-，=-t-8；（7分）（3）①如图4，当0＜t≤2时，∠EFB=90°，∠FBE=30°，∴BE=2EF=2AD，则8-2t=4t，t=；（9分）②如图5，当2＜t＜4时，E在y轴上，∠FEB=90°，∠FBE=30°，∵∠ABC=60°，∴∠EBO=30°，∵OB=4，∴OE=，BE=，∴EF=，BF=，∵BF=AD，∴2t=，t=，（11分）综上，t的值是秒或秒；（4）动点D从点A出发，DE∥BC，点E在线段OA上时，如图6，点F的运动路径为等边△ACB中BC边上的高线AF，此时AF==4，当点E在线段OC上时，设BC的中点为P，如图7，点F的运动路径为PC的长，∵PC=BC=4，∴点F运动的路程长为：4+4，故答案为：4+4．（13分）（1）分别令x=0和y=0代入直线y=x+4中，可得A和C的坐标，根据对称性可得B的坐标；（2）根据三角函数特殊值求∠CAO=60°，得△ADE是等边三角形，表示AD=AE=2t，计算当点F在OC上时，如图1，根据AO=AE+OE=2t+t=4，列方程可得t的值，①当0＜t≤时，点E在线段OA上，△DEF与△ACO重叠部分图形是等边△DEF，如图2，②当＜t≤2时，如图3，△DEF与△ACO重叠部分图形是四边形DEGH，根据面积差可得结论；（3）①如图4，当0＜t≤2时，∠EFB=90°，根据BE=2EF=2AD列式可得结论；②如图5，当2＜t＜4时，E在y轴上，根据BF=AD=2t，得t的值；（4）①点E在线段OA上时，如图6，点F的运动路径为等边△ACB中BC边上的高线AF ，②当点E在线段OC上时，设BC的中点为P，如图7，点F的运动路径为PC的长，相加可得结论．此题是一次函数的综合题，主要考查了：一次函数与x轴、y轴交点的求法、三角函数的定义、勾股定理及几何动点问题，此类题常运用方程的思想解决问题，解（2）和（3）的关键是：分两种情况进行讨论．。
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．02．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010 3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a25．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1 7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：2（填“＞”、“＜”或“＝”）10．（3分）分解因式：a2﹣9＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（写出一个即可）．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为度．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起*4247*4752*49坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为千米/时，乙车的速度为千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为；②用含t的代数式表示线段PQ的长为．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．0【分析】被遮挡的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，再求相反数即可．解：被遮住的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，﹣1的相反数是1，故选：A．2．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：7 810 000 000＝7.81×109．故选：B．3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：这个立体图形的俯视图有两层，上层三个正方形，下层一个正方形，右齐．故选：D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．解：A、6a表示6×a，此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；C、（a3）2＝a6，此选项符合题意；D、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；故选：C．5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据怪兽和怪鸟的头数及脚数，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．解：依题意，得：．故选：C．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1【分析】根据题意可得，四边形ABDC是矩形，根据锐角三角函数即可表示旗杆PA的高度．解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，在Rt△PCD中，PC＝CD tanα＝5tanα，∴PA＝PC+AC＝5tanα+1．答：旗杆PA的高度表示为5tanα+1．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠ABN的度数，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．解：∵AB＝BN，∠A＝74°，∴∠ANB＝74°，∠ABN＝180°﹣2×74°＝32°，由作图痕迹可得，BN平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABN＝64°，∴△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣74°﹣64°＝42°，故选：B．8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5【分析】直接根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，由D点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可得出△OBC的面积，由S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC即可得出结论．解：∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，3），∴D（2，），把D（2，）代入反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝3，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝×3＝，∴S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC＝×4×3﹣＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：＜2（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．解：∵2＝，∴＜2，故答案为：＜．10．（3分）分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是0（写出一个即可）．【分析】先利用判别式的意义得到22﹣4k＞0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．解：根据题意得△＝22﹣4k＞0，解得k＜1．所以k可以取0．故答案为0．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为107度．【分析】根据平行线的性质得到∠BAP＝137°，由角的和差关系得到∠PAC的大小即可．解：∵PQ∥MN，∴∠BAP＝180°﹣∠CBA＝137°，∴∠PAC＝137°﹣30°＝107°．故答案为：107．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，根据折叠的性质得到CF＝CB＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝＝4，AE ＝，于是得到结论．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，∴CF＝CB＝5，EF＝BE，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，∵EF2＝AE2+AF2，∴（3﹣AE）2＝AE2+12，解得：AE＝，∴△AEF的面积＝AE•AF＝×1＝故答案为：．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加（2﹣4）米．【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式y＝ax2+2，将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，解得：a＝﹣，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度为2米，故水面宽度增加了（2﹣4）米，故答案为：（2﹣4）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．解：a（a﹣2b）+（a+b）2＝a2﹣2ab+a2+b2+2ab＝2a2+b2，当a＝﹣3，b＝时，原式＝2a2+b2＝2×（﹣3）2+（）2＝23．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是负数的概率．解：列表得：﹣201和﹣2﹣4﹣2﹣10﹣2011﹣112共有9种等情况数，其中小致两次摸出的小球的数字之和是负数的有5种，则小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率是．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．【分析】设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x套，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x 套，依题意，得：﹣＝30，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋10套．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴＝，即＝，解得：BP＝，故答案为：．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．【分析】（1）根据网格即可在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）根据网格和勾股定理即可在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）根据网格和梯形面积公式即可在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．解：（1）图①中直角△ABM即为所求；（2）图②中△CDN即为所求；（3）图③中四边形EFGH即为所求．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为9；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起坐*4247*4752*49其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②根据题意和表格中的数据可以解答本题．解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，故答案为：9；②由条形统计图可得，一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，故答案为：45；（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；②同意，理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．【分析】（1）根据甲在途中休息了3小时，结合函数图象可求出b的值，进而由路程÷时间＝速度，便可求得结果；（2）用待定系数法进行解答便可；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，分两种情况：在甲中途休息前相遇，甲中途休息时相遇．分别列出一元一次方程解答．解：（1）由题意知，b＝9﹣3＝6，∴甲车休息前的行驶速度为：600÷（b﹣1）＝600÷（6﹣1）＝120（千米/时），乙车的速度为：1200÷15＝80（千米/时），故答案为：120；80；（2）设当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（9，600），（12，1200）代入得，，解得，，∴当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为：y＝100x﹣300；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，根据题意得，①在甲途中休息前相遇，有120x﹣80x＝80×1，解得，x＝2；②在甲途中休息时相遇，有80（x+1）＝600，解得，x＝6.5，综上，甲出发2小时或6.5小时与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是8或．【分析】问题呈现：由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；结论应用：（1）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPC≌△BPC，可得PD＝PE＝PC；（2）延长AP，BC交于点H，由“ASA”可证△ADP≌△HCP，可得CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．解：问题呈现：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OP＝OP，OM＝ON，∴△MOP≌△NOP（SAS），∴PM＝PN；结论应用：（1）如图②，在AB上截取AE＝AD，连接PE，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP，又∵AD＝AE，AP＝AP，∴△ADP≌△AEP（SAS），∴DP＝PE，∠D＝∠AEP，∵AB＝AD+BC，AB＝AE+BE，∴BE＝BC，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∴△BPC≌△BPE（SAS），∴CP＝PE，∠PCB＝∠PEB，∴PC＝PD＝PE；（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴∠DAC+∠ABC＝180°，∵∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，∴∠DAC＝2∠PAB，∠ABC＝2∠ABP，∴2∠PAB+2∠ABP＝180°，∴∠PAB+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∵AB＝10，tan∠PAB＝＝，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝2，PA＝4，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝4，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝×BP×PH＝×BP×CN+×PH×CM，∴CM＝CN＝，∴S△PCH＝×4×＝＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠PAB＝∠H，∴tan H＝tan∠PAB＝，∴，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝×4×4＝8，故答案为：8或．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为16；②用含t的代数式表示线段PQ的长为3t．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．【分析】（1）①由勾股定理可求解；②由锐角三角函数可求解；（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，∴BC＝＝＝16，故答案为：16；②∵sin B＝，∴，∴PQ＝3t，故答案为：3t；（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，20＝4t+5t，∴t＝，当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴20﹣4t﹣5t＝10，∴t＝，当＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴4t+5t﹣20＝10，∵＞，∴不合题意舍去，综上所述：当QM的长度为10时，t的值为；（3）当0＜t＜时，S＝3t×（20﹣9t）＝﹣27t2+60t；当＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝9t﹣20，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴tan B＝tan∠NPE，∴，∴NE＝＝﹣15，∴S＝3t×（9t﹣20）﹣×（9t﹣20）×（﹣15）＝﹣；（4）如图，若NQ⊥AC，∴NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴tan B＝tan∠MQN，∴＝，∴t＝，如图，若NQ⊥BC，∴NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴tan A＝tan∠BQN，∴，∴，∴t＝综上所述：当t＝s或s时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据矩形的性质结合平面直角坐标系先确定点D的坐标，再判断出经过点D的函数，代入点D的坐标求出m的值即可；（2）当﹣2≤x≤2时分﹣2≤x＜和≤x≤2两种情况，结合函数图象进一步确定函数的取值范围；（3）首先确定当x＜m时，y有最小值为﹣（x﹣m）2+3，再根据m的不同取值，结合图象与矩形的边的交点个数确定m的取值范围；（4）根据x的不同取值，分别得到关于m的不等式（组），求解不等式（组）即可．解：（1）由题意得，点D的坐标为（﹣1，1），当x＝﹣1时，y＝，∴函数的图象不经过点D，∴函数y＝x2﹣2mx+2m+2（x＜m）的图象经过点D，∴（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+2m+2＝1，解得，，∴；（2）由（1）可知，当﹣2≤x≤2时，分段讨论：①当﹣2≤x＜时，y＝x2+x+1，该二次函数的对称轴为直线x＝﹣，且开口向上，如图，∴当﹣2≤x＜时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y取最大值，最大值＝4﹣2+1＝3；当x＝﹣时（取不到），y最小值＝；所以，＜y≤3；②当﹣≤x≤2时，，二次函数的对称轴为x＝2，开口向下，如图所示，∴﹣≤x≤2时，y随x的增大而增大，当x＝﹣时，y最小值＝﹣，当x＝2时，y最大值是1，∴．综上，当﹣2≤x＜时，＜y≤3；当﹣≤x≤2时，；∴y的取值范围是：；（3）过点E（0，﹣1），F（2，1），B（4，﹣1）三点，＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）+3恒过（1，3），对称轴为直线x＝m，在x＜m时，y随x的增大而减小，y有最小值，最小值＝m2﹣2m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3．①若m≤0，x≥0时，则y1与矩形的边有3个交点，不符合题意；②若0＜m≤2时，y1与矩形的边有F、B两个交点，即y2与矩形的边无交点，∴y最小值≥1，∴﹣（m﹣1）2+3≥1，解得，，即：0＜m≤2；③若2＜m≤4，x≥m时，y1与矩形的边的交点只有B，∴y2有且只有一个交点，∴﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得，﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得：或，∴，④若m＞4，y1与矩形的边无交点，则y2与矩形的边有两个交点，即：当x＝4时，y2＜1，有两个交点，即16﹣8m+2m+2＜1，∴m＞，∴m＞4，综上，m的取值范围是：0＜m≤2或或m＞4；（4）①当m≤x≤m+1时，，若存在1≤y0≤2，仅有y0＝1，即x＝2时，y1＝1，∴m≤2≤m+1，∴1≤m≤2；②当m﹣1≤x ＜m时，，若存在1≤y 0≤2，则，即满足最小值小于2，最大值大于等于1即可，∴，∴或；综合①、②得：或．。
2020年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷 (含解析)
2020年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−2的绝对值是( )A. 2B. 12C. −12D. −22.2017年遵义市固定资产总投资计划为2580亿元，将2580亿元用科学记数法表示为()A. 2.58×1011B. 2.58×1012C. 2.58×1013D. 2.58×10143.不等式组{3−5x2<−13(x−5)+11≤2的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.4.如图，由5个完全一样的小正方体组成的几何体的俯视图是()A.B.C.D.5.如图，直线AB//CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD=70°，则∠BOG的度数是()A. 70°B. 20°C. 35°D. 40°6.如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是()A. 12B. 23C. √53D. 2√557.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG.若AD=5，DE=6，则AG的长是()A. 6B. 8C. 10D. 12(k<0)图象上的点，PA垂直x轴于8.如图，点P是反比例函数y=kx点A(−1,0)，点C的坐标为(1,0)，PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=√5，则k的值等于()A. 2B. −2C. −4D. −6二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算√8−√2=________．10.分解因式：9abc−3ac2=______．=0没有实数根，那么k的最大整数值是______ ．11.如果关于x的方程x2−2x−k212.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲̲m.20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 13. 如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 为AB 上一点，将△BCE 沿CE 翻折至△FCE ，EF 与AD 相交于点G ，且AG =FG ，则线段AE 的长为______．14. 如图，在平面直角坐标系中，点P 是抛物线y =x 2+4x +4对称轴上的任意一点，将线段OP 绕点P 逆时针方向旋转90°得到线段PO′.若点O′落在抛物线上，则点P 的坐标是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15. 先化简，再求值：(x −2xx+1)÷xx 2+2x+1，其中x =2√2．16. 一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．17.已知图中是4ⅹ4的网格，网格的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，如果三角形的顶点在格点上，称为格点三角形．(1)在图(1)中画出一个面积是3的格点三角形ABC；2(2)在图(2)中画出一个面积是5的格点三角形DEF．218.如图，四边形ABCD中，连接AC，AC=AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；⏜的长．(结果保留π)(2)若∠BAC=∠DAC=30°，BC=2，求BCE19.某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．20.某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩(百分制)如下：七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 5999 87 85 89 97 86 89 90 89 77八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 9462 99 94 51 88 97 94 98 85 91分组整理，描述数据(1)按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；分析数据，计算填空(2)两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；年级平均数中位数众数优秀率七年级85.3888920%八年级85.4______ ______ ______ 得出结论，说明理由．(3)估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人．(4)整体成绩较好的年级为______，理由为______(至少从两个不同的角度说明合理性)．21.已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地.两车均先以a千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．(1)若b=32a，且甲车行驶的总时间为54小时，求a和b的值；(2)若b−a=30，且乙车行驶的总时间为85小时，①求a和b的值；②求两车相遇时，离A地多少千米．22.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG.．(1)探究CE与BG的关系并说明理由；(2)猜想△ABC与△AEG面积的关系___________________(直接写出结论，不必说明理由)．(3)如图2，学校教学楼前的一个六边形花园被分成七个部分，分别种上不同颜色的花。
2020年吉林省中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年吉林省中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.3的相反数是()A. 13B. −13C. −3D. −12.李克强总理在2019年的政府工作报告中指出：三大攻坚战开局良好．其中精准脱贫有力推进，农村贫困人口减少1386万，易地扶贫搬迁280万人，数据1386万用科学记数法可表示为()A. 1386×104B. 1.386×106C. 1.386×107D. 0.1386×1083.用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的左视图为()A.B.C.D.4.下列运算正确的是()A. (a3)2=a5B. a4⋅a2=a8C. a9÷a3=a3D. (−ab)2=a2b25.把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C=90°，∠F=90°，∠D=30°，∠A=45°，则∠1+∠2等于()A. 270°B. 210°C. 180°D. 150°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C=5：7，则∠C=()A. 210°B. 150°C. 105°D. 75°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.分解因式：ab−a2=______．8.不等式2+3≥x+1，的解集是______9.一元二次方程x2−3x+1=0的根的判别式的值是______．10.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．11.如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理是___________________________．12.如图，AB//CD//EF，AD=4cm，BC=DF=3cm，则CE的长______ ．13.如图，△ABC中，点M、N分别是AB、AC中点，点D、E在BC边上(点D、E都不与点B、CBC，则重合)，且点D在点E的左边，DN、EM相交于点O.若△ABC的面积为42cm2，DE=12阴影四边形BDOM、阴影四边形CEON的面积和为______cm2．14.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘，则BD的长为______ ．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.先化简，再求值：(2x+1)(2x−1)−5x(x−1)+(x−1)2，其中x=−1．316.现有三张不透明的卡片A、B、C，其中卡片的正面图案分别是剪刀、石头、布，卡片除下面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽到的图案相同的概率．17.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？18.如图，点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE//BF，求证：△AED≌△BFC．19.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)20.千年古塔大旺山白塔是眉山市省级重点文物，为了测量大旺山白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进24米，又测得白塔的顶端A的仰角为60°，求白塔的高度AB.(参考数据：√3≈1.73，结果保留整数．)(x>0)的图象上，其中k>0，21.如图，A、B两点在反比例函数y=kxAC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1(1)若k=2，则AO的长为______ ，△BOD的面积为______ ；(2)若点B的横坐标为k，且k>1，当AO=AB时，求k的值．22.判断下面的抽样调查选取样本的方法是否合适，说明理由．(1)在五一假期期间，调查某商场的日营业额，以估计该商场全年营业额；(2)某晚报社为了了解学生“追星”的情况，来到一家业余艺术学校调查了100名学生；(3)为调查全校男生的身高情况，用简单随机抽样的方法在全校五十个班级中抽取六个班级，调查这六个班男生的身高情况，以估计全校男生身高情况；(4)为了检测一种新型计算机的性能指标，从中抽取2台进行测试．23.如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/ℎ，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(ℎ)之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)汽车行驶______ h后加油，中途加油______ L；(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；(3)若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？24.数学实验课上，王老师让大家用矩形纸片折出菱形．小华同学的操作步骤是：(1)如图①，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠；(2)如图②，将图①中的△A’BF沿BF折叠得到△A″BF；(3)如图③，将图②中的△CDF沿DF折叠得到△C′DF；(4)将图③展开得到图④，其中BD、BE、DF为折叠过程中产生的折痕．试解答下列问题：(1)证明图④中的四边形BEDF为菱形；(2)在图④中，若BC=8，CD=4，求菱形BEDF的边长．25.如图，△ABC是等边三角形，BC=2cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度运动，过点P作PE//BC交射线AC于点E，同时点Q从点C出发沿BC的延长线以1cm/s的速度运动，连结BE、EQ.设点P的运动时间为t(s)．(1)求证：△APE是等边三角形；(2)直接写出CE的长(用含t的代数式表示)；(3)当点P在边AB上，且不与点A、B重合，①求证：△BPE≌△ECQ．②当t为何值时，△BPE≌△QCE？26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于O、B两点，点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,2).点P在抛物线上，且不与点O、B重合，过点P作y 轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，MN与点B始终在PQ同侧，且PN=1.设点P的横坐标为m(m>0)，矩形PQMN的周长为l．(1)用含m的代数式表示点P的坐标．(2)求l与m之间的函数关系式．(3)当矩形PQMN是正方形时，求m的值．(4)直接写出矩形PQMN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：[分析]根据相反数的定义解答即可．[详解]3的相反数是−3，故选C．[点睛]本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．2.答案：C解析：解：1386万=1.386×107．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．3.答案：C解析：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图.根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是两个小正方形，第三层右边一个小正方形．故选C．4.答案：D解析：解：A、(a3)2=a6，故此选项错误；B、a4⋅a2=a6，故此选项错误；C、a9÷a3=a6，故此选项错误；D、(−ab)2=a2b2，故此选项正确．故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.答案：B解析：此题考查三角形内角和定理和三角形的外角性质，关键是根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质解答．根据三角形外角性质可得∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠F+∠FPB，再结合三角形内角和定理求出∠1+∠2即可．解：如图AC和DF交于点O，BC和DF交于点P，∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠F+∠FPB，∠DOA=∠COP，∠FPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠F+∠COP+∠CPO=∠D+∠F+180°−∠C=30°+90°+180°−90°=210°，故选：B．6.答案：C解析：此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补.根据圆内接四边形对角互补可得∠C=180°×7=105°。